求数列前N项和的方法

求数列前N 项和的方法

1. 公式法

等差数列前n 项和：

11()(1)

22

n n n a a n n S na d ++=

=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =

(

)1111n n a q q S q

-≠=

-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、)1(211+==∑=n n k S n

k n 2、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

3、21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利

用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝

2

11)

211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

1

1++=+n n S n （利用常用公式）

∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当 8

8-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通

项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制

错位）

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+⋅⋅⋅+++=

…………………………………① 14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ………………………………② （设制错位）

①

－

②

得

14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n

S

（错位相减）

1

1

2

221

2+--

-

=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练习：

求：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1

解：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1 ①

①两边同乘以x ，得

x S n =x+5 x 2+9x 3+·+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+·+

n x ）-（4n-3）x n

当x=1时，S n =1+5+9+·+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n =

1

1-x [ 4x(1-x n )

1-x

+1-（4n-3）x n ] 3. 反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++⋅⋅⋅+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2

++⋅⋅⋅+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1

sin 2sin 3sin 88sin 89sin 2

2

2

2

2

+++⋅⋅⋅++=S …………..②

（反序）