求数列前N项和的七种方法含例题和答案

求数列前N 项和的七种方法

点拨:

核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

1. 公式法

等差数列前n 项和：

11()(1)

22

n n n a a n n S na d ++=

=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =

(

)1111n n a q q S q

-≠=

-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、)1(211+==∑=n n k S n

k n 2、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

3、21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=32 （利

用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝

2

11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

1

1++=+n n S n （利用常用公式）

∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

n

n 8=

，即n ＝8时，501)(max =n f

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的

通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② ①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n

21}的通项之积 设n n n

S 2226242232+???+++=…………………………………①

1

4322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位）

①

－

②

得

14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S

（错位相减）

1

1

2

221

2+--

-

=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练习：

求：S n =1+5x+9x 2

+······+(4n-3)x n-1

解：S n =1+5x+9x 2

+······+(4n-3)x n-1 ①

①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②

①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n

x ）-（4n-3）x n

当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n

当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n

) 1-x

+1-（4n-3）x n

] 3. 反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2

++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1

sin 2sin 3sin 88sin 89sin 2

2

2

2

2

+++???++=S …………..②

（反序）

又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x

①

+

②

得

（反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴ S ＝

4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n

（分组）

当a ＝1时，2

)13(n n n S n -+

=＝2)13(n

n + （分

组求和）

当1≠a 时，2)13(111

1n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+---

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2

332)12)(1(

∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

1

k k k

n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝

k k k n

k n k n

k ∑∑∑===++1

2

1

3

1

32

（分组）

＝)21()21(3)21(22

2

2

3

3

3

n n n +???++++???++++???++

＝

2

)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）

＝2

)

2()1(2++n n n

练习：求数列???+???),21

(,,81

3,41

2,21

1n n 的前n 项和。 解： n n n n n n n n S 2

1

1)1(21)

2

1

212121()321()

2

1

(81341221132-++=+???+++++???+++=++???+++= 5. 裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

(6)

n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 [例9] 求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

解

：

设

n n n n a n -+=++=

11

1

（裂项）

则

1

13

212

11+++

???+++

+=

n n S n

（裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n