04傅立叶变换.
傅里叶变换及反变换
1 2{F [j(0) ]F [j(0) ] }
F ( j )
1
m 0 m
P( j)
( )
( )
0
0
0
R( j)
1 2
0
0
0
F ( j )
1
m 0 m
f (t)
r(t)
y1(t)
低通
滤波
y(t)
cos(0t) cos(0t)
R( j)
1 2
0 ( )
0
P( j)
0 ( )
§4.5 连续时间傅里叶变换的性质
复习
F(j)＝ f(t)ejtdt
f(t)21 F(j)ejtd
1 唯一性： 2 线性特性： 3 奇偶特性： 4 共轭特性： 5 对称特性： 6 时域展缩特性： 7 时移特性：
9 时域微分特性： 10 频域微分特性： 11 时域卷积定理： 12 频域卷积定理：
偶信号的频谱是偶函数，奇信 号的频谱是奇函数。
F(j) f(t)ejtdt令t
f()ejd f()关e于jtd F(j)
f(t) F (j) ， 则 f* (t) F * ( j)
证F (： j)＝ f (t)ejtd可 t F 得 *(j)＝ f*(t)ejtdt
F *(j)＝ f *(t)ejtdt
0
1 4
20
0
0
Y1( j)
1
1
2
4
0
20
Y ( j) 1
2
0
4.7 傅里叶反 变换
要解决的问题：由F( jw)求 f(t)
f(t)21 F (j)ejtd
利用傅里叶变换的互易对称性 部分分式展开
傅里叶变换4种形式
1 / 24种傅里叶变换形式离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用.连续傅里叶变换FT当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j Ʊ).x(t)与X(j Ʊ)之间变换关系为傅里叶变换对：⎰∞∞-Ω=Ωdt e t x j X t j )()( ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续.连续傅里叶变换级数FS当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20=Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对：dt e t x T jk X T T t jk ⎰-Ω-=Ω22~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞-∞=∑Ω=π时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π2.幅度谱|)(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成，其基波角频率为0Ω，单位为rad/s.离散时间傅里叶变换DTDT当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对:∑∞∞--=n nj j e n x e X ωω)()(ωπωππωd e e X n x n j j ⎰-=)(21)(时域波形以抽样间隔s T 为时间间隔离散化，而频域频谱图则是连续的，且以数字角频率2π为周期化.离散傅里叶级数DFS当~x (n)为离散时间周期为N 的周期信号，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数系数为)(~k x .~x (n 与))(~k x 之间变换关系为离散傅里叶级数变换对：∑-=-=102~~)()(N n nk N j en x k X π -∞<k<∞∑-==102~~)(1)(N k nk N j ek X N n x π时域与频域都离散且周期.时域波形以N 为周期，以抽样间隔s T 为时间间隔离散化.频域频谱图|)(~k X |以N 为周期，离散谱线间隔为数字角频率Nπ2，对应模拟角频率为s NT π2.频谱图表明离散时间周期信号是由成谐波关系的有限个角频周期序列kn N je π2组合而成，基波频率为N π2，单位为rad/s-----精心整理，希望对您有所帮助!。
完整版常用傅立叶变换表
xinc(出)
同
产(5
变换10的频域对应.矩形函数是理 想的低通滤波器,sinc函数是这类 滤波器对反因果冲击的响应.
11
siii〞(出
6'tri(0
tri是三角形函数
12
tri(tzZ)
Lsmc2图
变换12的频域对应
13
高斯函数exp( - at2)的傅里叶 变换是他本身.只有当Re( a) > 0时,这是可积的.
24
1
-f7T-sgn(/)
止匕处sgn(⑴)为符号函数;注意止匕变 换与变换7和24是一致的.
25
1
1
变换29的推广.
E(昌6gli0
26
后gn(£)
1i^L
变换29的频域对应.
27
U(Q
此处u(t)是单位阶跃函数;此变换 根据变换1和31得到.
时域信号
弧频率表小的 傅里叶变换
注释
/ kG(3)£3面
g⑴三,27r /-co
劭4?圾3M
1
匕g⑴ +6.h(t)
R・G(f) +b・H(力
线性
2
g(£ —s
)
e-t27rafG(f)
时域平移
3
网g⑴
卜〔〜霜
频域平移,变换2的频域对应
4
皿出〕
如果
m值较大,那么g〔出〕会收缩
ES
工G〔竺〕到原点附近,而।&1口,会扩散并变得扁平.当|a|趋向 无分时,成为Delta函数.
5
幽
k-/)i
傅里叶变换的二元性性质.通过 交换时域及量力和频域发量3得到.
6
即g(t)dtn
傅里叶变换
=
−∞ +∞
f (x − x0)e−iξxdx
=
−∞
f (τ )e−iξτ e−iξx0 dx.
类似地也可证明第二式成立. 证毕.
ˆ(ξ ) = F [f (x)] a = 0 为 常 3. 相 似 性 质 设 f 数, 则 1ˆ ξ F [f (ax)] = f ( ) a a 特别地， 若 取 a = −1, 则 可得翻转公式 ˆ(−ξ ) F [f (−x)] = f
+∞ +∞
1
∞
kπx
kπx
{
−∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dx}f (ξ )eiξx dξ . f
+∞ −∞
ˆ(ξ ) = F [f (x)] = f
f (x)e−iξx dx .
ˆ(ξ ) 的 傅 里 叶 逆 变 换 记 作 f f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξx dξ . f
7
(a) lim δ (x − x0) =
→0+
+∞ 0
+∞
x = x0 x = x0
(b)
lim
→0+
δ (x − x0)dx = 1
−∞
定 理 (筛 选 性 质) 对 在 点 a < x0 < b 的 邻 域 内 连续的任 意函数 ϕ(x) 有
b
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
sinat πt
的傅里叶变
4
ˆ(ξ ) = f F
−1
a −a
e
−iξt
dt = − 1 2π
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
狄利克雷条件
间断点
间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。间断点可以 分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间 断点，不存在就是跳跃间断点。
几种间断点常见类型。
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y= （x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函 数y=tanx在点x=π/2处。
振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数 y=sin(1/x)在x=0处。
①傅里叶变换
①傅里叶变换
②傅里叶逆变换
②傅里叶逆变换
谢谢观看
定义
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions) （1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的 一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。 狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。
背景
傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引 起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄利克雷才对这个问题作出了令人信 服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷 条件。
f(t)是t的周期函数，如果t满足狄利克雷条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点， 附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周 期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式 成立。称为积分运算f(t)的傅里叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅里叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数， f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
详解傅里叶变换公式
详解傅里叶变换公式傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换到频域信号的数学方法。
它可以将一个信号分解为不同频率的正弦波之和，从而揭示信号的频率结构。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信、物理学等领域具有广泛的应用。
首先，我们要理解时域（Time Domain）和频域（Frequency Domain）的概念。
1. 时域：在时域中，信号表示为时间轴上的函数，例如：```f(t) = A * cos(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t)```在这个例子中，f(t) 是一个正弦波函数，t 是时间。
2. 频域：在频域中，信号表示为频率轴上的函数，例如：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * sin(2 * π* ω)```在这个例子中，F(ω) 是一个正弦波函数，ω是频率。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，公式如下：```F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^(-jωt) dt```其中，F(ω) 是频域信号，ω是频率，t 是时间，j 是虚数单位，e 是自然对数的底数。
傅里叶变换的逆变换公式如下：```f(t) = ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^(jωt) dω```现在，我们来通过一个简单的例子来说明傅里叶变换。
假设我们有一个正弦波信号，如下所示：f(t) = A * sin(2 * π* t) + B * sin(2 * π* t + π/4)```我们可以使用傅里叶变换将其转换为频域信号，如下所示：```F(ω) = A * cos(2 * π* ω) + B * cos(2 * π* ω+ π/2)```通过傅里叶变换，我们可以看到信号中包含的主要频率成分。
例如，在这个例子中，我们可以看到信号主要包含两个频率成分：一个是A = 1，ω= π/2 的正弦波，另一个是B = 1，ω= π/4 的正弦波。
傅里叶变换的相关性
正弦变换是傅里叶变换的另一种扩展， 它使用正弦函数而不是余弦函数来分 析信号。正弦变换在信号处理中也有 重要的应用，尤其是在雷达信号处理 和通信信号处理中。
小波变换
• 小波变换是一种时间-频率分析方法，它使用小波函数来分析信号。小波变换在信号处理中具 有许多优点，例如能够提供多尺度的信号分析、能够检测信号的突变等。小波变换在图像处 理、语音识别、雷达信号处理等领域有广泛的应用。
详细描述
当信号的频率成分接近时，它们在频域中会产生重叠，导致 在时域中无法分辨原始信号中的各个成分，这种现象被称为 混叠现象。为了减少混叠现象，需要选择合适的采样频率和 采样点数，以避免频率成分重叠。
频率泄漏
总结词
频率泄漏是指在进行傅里叶变换时，由于信号的非理 想性，导致频谱能量泄漏到其他频率分量中。
• · 小波变换是一种时间-频率分析方法，它使用小波函数来分析信号。小波变换在信号处理中 具有许多优点，例如能够提供多尺度的信号分析、能够检测信号的突变等。小波变换在图像 处理、语音识别、雷达信号处理等领域有广泛的应用。
Z变换
• Z变换是一种复数域的数学工具，它可以用来分析离散时 间信号。Z变换在数字信号处理中具有重要的作用，它可 以用来分析系统的稳定性、求解差分方程等。Z变换在控 制系统、数字滤波器设计等领域有广泛的应用。
详细描述
移位性质是傅里叶变换的一个重要特性，它表明信号在时间轴上的平移不会改变其频域 表示。这一性质在信号处理中非常重要，例如在通信系统中的抽样定理、滤波器设计等
方面都有广泛应用。
微分和积分性质
总结词
微分和积分性质是指傅里叶变换具有微分和 积分运算的特性，即对 $f(t)$ 进行微分或 积分后进行傅里叶变换，可以得到原函数 $f(t)$ 的傅里叶变换乘以复数共轭或实部或 虚部的结果。
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傅里叶变换定理（5）
（6）傅里叶积分定理：在函数 g x,y 的各个连续点上有
F -1 F g x,y FF
-1
gx,y gx,y
FF g x,y F -1 F -1 g x,y g x, y
对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而 对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的 “倒立像”。
Fg x* hx G f x H f x
即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积
Fg xhx G f x * H f x
而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积
卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。
二维不变线性系统的传递函数
如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为
F f x , f y f x, y exp j f x x f y y d xdy
同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为
G f x , f y g x, y exp j f x x f y y d xdy
根据卷积定理有
Hfx, fy
hx, y exp j f
x
x fy
y d xdy
即
G f x , f y H f x , f y F f x , f y
Hfx, fy
G f x , f y
称做不变线性系统的的传递函数
f x, y
F f
x
df x df y , f y exp j2 π f x f y x y
傅里叶反变换记作
F -1 F f x ,f y
傅里叶频谱概念和狄里赫利条件
根据欧拉公式， exp j2π f x x f y y 是频率为 f x , f y 的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数 f x,y 是各种频率为 f x , f y 的余（正）弦函数的叠加，叠加 时的权重因子是 f x,y 。因此傅里叶变换 F f x , f y 常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和 狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件可具体表述为：“在任一有限矩形区域 里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而 且没有无穷大间断点”
傅里叶变换
G f F g x
g xexp- j2f xdx
(傅立叶变换)
g x F 1 G f G f exp j2πf x df
(傅立叶逆变换)
傅里叶变换定理（1）
（1）线性定理：如果
Fg x G f x , Fhx H f x
（波的叠加原理） 则有 Fgx hx G f x H f x
（2）相似性定理：如果 （缩放和反演定理） 则有
Fg x G f x
（单缝衍射，缝窄衍射变宽）
1 fx F g ax G a a
傅里叶变换定理（2）
（3）位移定理：如果
Fg x G f x
则有 Fg x a G f x exp j 2f x a
，函数在空域中的平移，带来频域中的相移
同时
Fg xexp j 2f a x G f x f a
，函数在空域中的相移，带来频域中的平移
空间频率的两种意义
空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数 称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数 信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的 图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，其大小是没有限 制的，可以是无穷大 另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因 为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变 的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为： 光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方 向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。 下章再详细讲这两者区别
二维傅里叶变换定义
若函数 f x,y 在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅 里叶变换定义为
F f x ,f y f x,y exp - j2π f x x f y y dxdy
傅里叶变换记作 F f x,y 函数 F f x ,f y 的傅里叶反变换为
关于存在性的两点说明
在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函 数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说， 物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来 看，可以认为傅里叶变换总是存在的
在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如余（正）弦函数、 阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的，而且都 不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于 这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换 可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义 和广义的区别
傅里叶变换定理（3）
（4）帕色伐（Parseval）定理： Fg x G f x 如果 则有：
g x dx G f x df x
2 2
该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。
傅里叶变换定理（4）
（5）卷积定理：如果
则有
Fg x G f x , Fhx H f x
F fx , f y
传递函数的意义
空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子 • 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不 同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递” 为输出过程中的作用，因而称为传递函数 传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各 种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些 基元成分的初位相 传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作 位相传递函数