结构非线性分析的有限单元法分解
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有限元非线性分析-正式课件-2011-01-06
屈服强度的影响因素
影响屈服强度的内在因素有：结合键、组织、结构、原子本性。 如将金属的屈服强度与陶瓷、高分子材料比较可看出结合键的影响 是根本性的。从组织结构的影响来看，可以有四种强化机制影响金 属材料的屈服强度，这就是：(1)固溶强化；(2)形变强化；(3)沉淀强 化和弥散强化；(4)晶界和亚晶强化。沉淀强化和细晶强化是工业合 金中提高材料屈服强度的最常用的手段。在这几种强化机制中，前 三种机制在提高材料强度的同时，也降低了塑性，只有细化晶粒和 亚晶，既能提高强度又能增加塑性。 影响屈服强度的外在因素有：温度、应变速率、应力状态。随 着温度的降低与应变速率的增高,材料的屈服强度升高，尤其是体心 立方金属对温度和应变速率特别敏感，这导致了钢的低温脆化。应 力状态的影响也很重要。虽然屈服强度是反映材料的内在性能的一 个本质指标，但应力状态不同，屈服强度值也不同。我们通常所说 的材料的屈服强度一般是指在单向拉伸时的屈服强度。
屈曲分析
屈曲分析 是一种用于确定结构开始变得不稳定时的临界 载荷和屈曲模态形状(结构发生屈曲响应时的特征形状)的技 术，特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构的理论屈曲 强度(分叉点)。 非线性屈曲分析是一种典型而且重要的几何非线性分析， 比线性屈曲分析更精确。非线性屈曲分析的基本方法是，逐 步地施加一个恒定的载荷增量，直到解开始发散为止。尤其 重要的是，要一个足够小的载荷增量，来使载荷达到预期的 临界屈曲载荷。若载荷增量太大，则屈曲分析所得到的屈曲 载荷就可能不精确。在这种情况下，打开二分和自动时间步 长功能[ AUTOTS ,ON]有助于避免这种问题。
有限元-非线性分析
一．非线性结构分析简介 二．几何非线性（大应变、屈曲分析等） 三．材料非线性（弹塑性分析） 四．接触分析（高度非线性） 五．ANSYS的设置
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
返回
二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
钢管混凝土拱桥结构非线性分析
用实际的组合截面 ， 吊杆横梁 、 对 拱肋横梁 、 风撑均用 Ｂ ａ ８ ｅｍ１８单 元模拟 ， 吊杆则用 Ｌｎ ｌ 元模拟 ， 面板用 ｓ ｅ６ ｉｋ０单 桥 ｈ ｕ３单元 模 拟。 经离散后 ， 全桥共 １ ４ 个节点 ，３２ １ ８２ ０ ２ １ 个单元 ， 图 １ 见 。
弹性模 量， ａ ／ Ｐ
７ ５ ０ ８ ７ ５ ０ ８
１ｌ６ １ １ ０ ２ ０
表 ２ 灌注弦管 阶段最大应力表
阶 段 最 大 应 力 伊 ａ 部 位
空钢管合拢后 浇筑左缀板后
４ ． ３５ ５ ． ３６
５ ． ９２ ６ ． ３８ ７ ． ７２
钢棒与弦管交点
钢棒与临时铰 中间支 座交点
弹性和塑性两部分 ，ｅ ｅ ＋ｄ ＇ 中， 为弹塑性矩阵 ， 计 ｄ ＝ｄｅ ｄ。其 其
文中以某下承式钢 管混凝 土变高 度桁 式有推 力无铰 拱桥 为 算式为 ：
～
拱肋上 、 弦杆 断面形状 为平放 的哑铃形 。 下
主要对 该 桥进行 几何 非线 性和 材料 非线性 分析 ， 用 Ａ 采 Ｎ—
Ｄ Ｄ ） ～ 塞（ Ｄ Ａ （ 襄 。 ＋ ）
其 中 ， 为弹性 矩阵 ； －分别 为塑性势 函数 和屈服 函数 ； Ｄ ｇ和 厂
表 １ 材料取值
材料 名称
Ｑ３ ５ ４ｃ Ｑ２ ５ ３ｃ
Ｃ０ ５
ＳＳ Ｙ 空间建模计算。拱肋 Ｂａ １８ ｅ ８ 单元模拟 ， ｍ 单元特性中截面采 Ａ 为与硬化关系有关 的硬化 函数。材料取值见 表 １ 。
２ １Ｘ１ １ ． ０１ ２ １Ｘ１ １ ． ０１
３ ５Ｘ １ ｏ ． ０１
质 量密度／ ｇ ｍ一 ｋ－
７８０ ５ ７８ ０ ５
弹性模 量， ａ ／ Ｐ
７ ５ ０ ８ ７ ５ ０ ８
１ｌ６ １ １ ０ ２ ０
表 ２ 灌注弦管 阶段最大应力表
阶 段 最 大 应 力 伊 ａ 部 位
空钢管合拢后 浇筑左缀板后
４ ． ３５ ５ ． ３６
５ ． ９２ ６ ． ３８ ７ ． ７２
钢棒与弦管交点
钢棒与临时铰 中间支 座交点
弹性和塑性两部分 ，ｅ ｅ ＋ｄ ＇ 中， 为弹塑性矩阵 ， 计 ｄ ＝ｄｅ ｄ。其 其
文中以某下承式钢 管混凝 土变高 度桁 式有推 力无铰 拱桥 为 算式为 ：
～
拱肋上 、 弦杆 断面形状 为平放 的哑铃形 。 下
主要对 该 桥进行 几何 非线 性和 材料 非线性 分析 ， 用 Ａ 采 Ｎ—
Ｄ Ｄ ） ～ 塞（ Ｄ Ａ （ 襄 。 ＋ ）
其 中 ， 为弹性 矩阵 ； －分别 为塑性势 函数 和屈服 函数 ； Ｄ ｇ和 厂
表 １ 材料取值
材料 名称
Ｑ３ ５ ４ｃ Ｑ２ ５ ３ｃ
Ｃ０ ５
ＳＳ Ｙ 空间建模计算。拱肋 Ｂａ １８ ｅ ８ 单元模拟 ， ｍ 单元特性中截面采 Ａ 为与硬化关系有关 的硬化 函数。材料取值见 表 １ 。
２ １Ｘ１ １ ． ０１ ２ １Ｘ１ １ ． ０１
３ ５Ｘ １ ｏ ． ０１
质 量密度／ ｇ ｍ一 ｋ－
７８０ ５ ７８ ０ ５
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
非线性有限单元法在结构分析中的应用
维普资讯
Байду номын сангаас
第２ ７卷第 ｌ 期
２０ ０６年 ２月
华
北
水
利
水
电
学
院
学
报
Ｖ０ ．７ Ｎｏ． Ｉ２ １
Ｊｕ ａ ｆＮ ｒ ｈｎ ｎｔｕｅｏ ａ ｒＣ ｎｅｖｎ ｙａ ｄＨｙ ｒｅｅ ｔｃＰ ｗ ｒ ｏ ｒ ｌｏ ｏｔ Ｃ ｉａＩｓｔｔ ｆＷ ｔ ｏ ｓｒａ ｃ ｎ ｄ ｌｃｒ ｏ ｅ ｎ ｈ ｉ ｅ ｏ ｉ
变． 其特 征是 在材 料 变形 过程 中 ， 力 和应 变不 再具 应 有 一一 对应 关系 ， 应变 的 大小 与加 载历 史有 关 ， 与时 间无关 ， 载过程 中 ， 力 与应 变之 间按 材料 固有 的 卸 应 弹性 规 律 变 化 ， 全 卸 载 后 有 不 可 恢 复 的 残 余 完
Ｆｂ２０ ｅ ．０ ６
文章 编号 ： ０ —５３ （０６ ０ —０ １ ０ １ ２ ６４ ２０ ） １ ０２— ３ ０
非线性有 限单元法在 结构分析 中的应 用
杨 剑 ，周 家新２ 寇 国伟２ ，
（． Ｉ 河海大 学土木工程 学院 ， 江苏 南京 ２０９ ； ． 一师。 １０ ８ ２ 农 新疆 阿克 苏 ８３０ ） ４００
１ 材 料 非 线 性 问题
材料 非 线性 问题 的主要 特征是 材 料 的应 力 一应 变关 系 表现 为非 线 性 性 质 ， 由于 本 构 方程 的非 线 即 性 引起 整个 问题解 的非 线性 ．
１ １ 材料 非线性 本 构关 系 ．
弹 性应 变增 量 与应力 增 量成正 比 。 服从 虎 克定律 ３ 材 料产 生 的塑 性 应 变 ， ． 大小 取 决 于加 载历 史 和 约定 条件 ， 假定 塑 性 变形符 合正 交 流动 法则 ， 塑 即 性 变形 方 向与屈 服 面正 交 ， 性应 变增 量 为 塑
Байду номын сангаас
第２ ７卷第 ｌ 期
２０ ０６年 ２月
华
北
水
利
水
电
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报
Ｖ０ ．７ Ｎｏ． Ｉ２ １
Ｊｕ ａ ｆＮ ｒ ｈｎ ｎｔｕｅｏ ａ ｒＣ ｎｅｖｎ ｙａ ｄＨｙ ｒｅｅ ｔｃＰ ｗ ｒ ｏ ｒ ｌｏ ｏｔ Ｃ ｉａＩｓｔｔ ｆＷ ｔ ｏ ｓｒａ ｃ ｎ ｄ ｌｃｒ ｏ ｅ ｎ ｈ ｉ ｅ ｏ ｉ
变． 其特 征是 在材 料 变形 过程 中 ， 力 和应 变不 再具 应 有 一一 对应 关系 ， 应变 的 大小 与加 载历 史有 关 ， 与时 间无关 ， 载过程 中 ， 力 与应 变之 间按 材料 固有 的 卸 应 弹性 规 律 变 化 ， 全 卸 载 后 有 不 可 恢 复 的 残 余 完
Ｆｂ２０ ｅ ．０ ６
文章 编号 ： ０ —５３ （０６ ０ —０ １ ０ １ ２ ６４ ２０ ） １ ０２— ３ ０
非线性有 限单元法在 结构分析 中的应 用
杨 剑 ，周 家新２ 寇 国伟２ ，
（． Ｉ 河海大 学土木工程 学院 ， 江苏 南京 ２０９ ； ． 一师。 １０ ８ ２ 农 新疆 阿克 苏 ８３０ ） ４００
１ 材 料 非 线 性 问题
材料 非 线性 问题 的主要 特征是 材 料 的应 力 一应 变关 系 表现 为非 线 性 性 质 ， 由于 本 构 方程 的非 线 即 性 引起 整个 问题解 的非 线性 ．
１ １ 材料 非线性 本 构关 系 ．
弹 性应 变增 量 与应力 增 量成正 比 。 服从 虎 克定律 ３ 材 料产 生 的塑 性 应 变 ， ． 大小 取 决 于加 载历 史 和 约定 条件 ， 假定 塑 性 变形符 合正 交 流动 法则 ， 塑 即 性 变形 方 向与屈 服 面正 交 ， 性应 变增 量 为 塑
《结构分析中的有限元法》2015-有限元习题-参考答案
3、简述结点力和结点载荷的差别。 结点力：单元与单元间通过结点的相互作用力。 结点载荷：作用于结点上的外载荷。
4、列表给出有限元几类基本单元的图形、结点数、结点自由度数和单元总自由 度数(包括杆单元、梁单元、平面三角形单元、平面四边形单元、轴对称问题三 角形单元、四边形壳单元、四面体单元)。
单元 类型 杆单
（1）单元的类型和形式 为了扩大有限元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现(等参元,梁板 壳,复合材料) （2）有限元法的理论基础和离散格式 将 Hellinger-Reissner、Hu—Washizu(多场变量变分原理)应用于有限元分析， 发展了混合模型、杂交型的有限元表达格式，应研究了各自的收敛条件；将加权 余量法用于建立有限元的表达格式；进一步研究发展有限元解的后验误差估计和 应力磨平方法。 （3）有限元方程的解法(大型复杂工程结构问题——静态, 特征值, 瞬态等) （4）有限元法的计算机软件(专用软件, 通用软件)
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如
果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内
应力在虚应变上的虚功(内力功)。
根据虚功原理得到 ( εT uT F )d uTTd 0
p
(1 T uT F)d 2
uT
Td
0
其中的 p 即为总势能泛函。由上面变分为零式表明：在所有区域内满足几 何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取 驻值(可证明此驻值为最小值)。此即总势能泛函的极值条件。
10, 0
3 2, 0
解：根据拉格朗日插值基函数：
u(x, y) l1(x, y)u1 l2 (x, y)u2 l3(x, y)u3 l4 (x, y)u4
4、列表给出有限元几类基本单元的图形、结点数、结点自由度数和单元总自由 度数(包括杆单元、梁单元、平面三角形单元、平面四边形单元、轴对称问题三 角形单元、四边形壳单元、四面体单元)。
单元 类型 杆单
（1）单元的类型和形式 为了扩大有限元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现(等参元,梁板 壳,复合材料) （2）有限元法的理论基础和离散格式 将 Hellinger-Reissner、Hu—Washizu(多场变量变分原理)应用于有限元分析， 发展了混合模型、杂交型的有限元表达格式，应研究了各自的收敛条件；将加权 余量法用于建立有限元的表达格式；进一步研究发展有限元解的后验误差估计和 应力磨平方法。 （3）有限元方程的解法(大型复杂工程结构问题——静态, 特征值, 瞬态等) （4）有限元法的计算机软件(专用软件, 通用软件)
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如
果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内
应力在虚应变上的虚功(内力功)。
根据虚功原理得到 ( εT uT F )d uTTd 0
p
(1 T uT F)d 2
uT
Td
0
其中的 p 即为总势能泛函。由上面变分为零式表明：在所有区域内满足几 何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取 驻值(可证明此驻值为最小值)。此即总势能泛函的极值条件。
10, 0
3 2, 0
解：根据拉格朗日插值基函数：
u(x, y) l1(x, y)u1 l2 (x, y)u2 l3(x, y)u3 l4 (x, y)u4
非线性结构有限元分析
0
t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1
n
n
n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的 节点坐标值。
（10-25）
T T t T t t t e C e dv dv W e t tv t t t tv t tv t dv
此为改进的拉格朗日（ U·L ）公式。 三、非线性问题有限元基本方程 有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方 法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。
第一节
有限元基本方程
一、线性问题的基本方程 由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
T T T v v v s s
dv u q dv u q ds u R
T 0 0
mu u dv Du u dv
[M ]
t t
{u} [ D]
t t
{u} [ K ]t t {u} t t {R} （10-8）
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加 法求解。
二、非线性问题的基本方程 对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成 若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求 解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的） 要求出：t+△t步时的位移和应力。 ①全拉格朗日（T·L）公式 以t=0时刻状态为度量基准，求t+△t时刻的值。 由虚功方程： 其中：
t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1
n
n
n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的 节点坐标值。
（10-25）
T T t T t t t e C e dv dv W e t tv t t t tv t tv t dv
此为改进的拉格朗日（ U·L ）公式。 三、非线性问题有限元基本方程 有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方 法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。
第一节
有限元基本方程
一、线性问题的基本方程 由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
T T T v v v s s
dv u q dv u q ds u R
T 0 0
mu u dv Du u dv
[M ]
t t
{u} [ D]
t t
{u} [ K ]t t {u} t t {R} （10-8）
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加 法求解。
二、非线性问题的基本方程 对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成 若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求 解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的） 要求出：t+△t步时的位移和应力。 ①全拉格朗日（T·L）公式 以t=0时刻状态为度量基准，求t+△t时刻的值。 由虚功方程： 其中：
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KT P
求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼 近的方法求之。即
K T P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增 量法两大类。
4
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-1 位形描述示意图
5.2 非线性问题求解方法
上式的泰勒展开式为
, ,
令 得 则有
K T K T ,
P
KT P 0
8
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.1 非线性问题分类及求解 5.2 非线性问题求解方法 5.3 材料非线性 5.4 几何非线性 5.5 边界非线性 5.6 非线性弹性稳定性问题 5.7非线性分析特点 5.8 ANSYS非线性结构计算示例 5.9ANSYS稳定性计算示例
1
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
7
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.3 载荷增量法
, K T P 0
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于 ， 对应于 ，则 , 0
n 附近的近似 非线性方程组 0 在
n
F 0
线性方程组为
一般情况下，
故可得其解为
F n 0 1 F n1 n n n1 n n1
5.1 非线性问题分类及求解
5.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生 的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向 和受力特点。静力平衡方程表示为：
K P
其基本方程的特点如下：
a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结 构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d． 结构的边界（约束）条件为线性关系。
或为 KT 1 P 假设将载荷因子 分为m个增量，并设
0 0 1 2 m 1
n1 n
有 相应载荷为
n 1
m
n
1
Pn n P Pn Pn1 Pn n P
1
则方程组的迭代公式为 n KT n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
9
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
得到改进解
重复上述过程，总结得出近似递推公式
KT n KT n
1 n1 KT P n
以一维非线性问题为例， 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
图10-2 直接迭代法的几何意义
6
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.2 牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法
5.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大 步骤如下： (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材 料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅 为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵[B]时， 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非 线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。
（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作 用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。
3
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理， 与线性问题求解相似 。 (3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后 的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态 上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表 为
5.2.1 直接迭代法
将平衡方程写成如下迭代格式
返 回 章 节 目 录
KT n n1 P 0
具体迭代过程简述如下 取初始值 0
5
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
则得到
KT 0 KT 0
1 K P 1 T 0
D D
返 回 章 节 目 录
K BT D BdV
K P
10
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(a) 非线性弹性问题
(b) 弹塑性问题
(c) 理想塑性问题
(d) 强化塑性问题
图10-6 材料非线单元法简介
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满 足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类，即材料非线性和几何非线性。