《网壳结构的稳定性》 沈世钊著

网壳结构的稳定性

沈世钊(哈尔滨工业大学哈尔滨150090）

摘要：本文通过荷载-位移全过程分析对各种形式网壳结构的稳定性能进行了深入研究。对复杂结构的全过程分析方法作了探讨，通过所完成的2800余例各式网壳的全过程分析揭示了不同类型网壳结构稳定性能的基本特性，并提出了单层球面网壳、柱面网壳和椭圆抛物面网壳稳定性承载力的实用计算公式。

关键字：网壳结构稳定性全过程分析非线性有限元分析

一、概述

稳定性分析是网壳结构、尤其是单层网壳结构设计中的关键问题。国外自70年代以来，国内自80年代中期以来，网壳结构发展异常迅速，其稳定性问题遂成为研究热点领域之一。结构的稳定性可以从其荷载-位移全过程曲线中得到完整的概念。传统的线性分析方法是把结构强度和稳定问题分开来考虑的。事实上，从非线性分析的角度来考察，结构的稳定性问题和强度问题是相互联系在一起的。结构的荷载-位移全过程曲线可以准确地把结构的强度、稳定性以至于刚度的整个变化历程表示得清清楚楚。当考察初始缺陷和荷载分布方式等因素对实际网壳结构稳定性能的影响时，也均可从全过程曲线的规律性变化中进行研究。

但以前，当利用计算机对复杂结构体系进行有效的非线性有限元分析尚未能充分实现的时候，要进行网壳结构的全过程分析是十分困难的。在较长一段时间内，人们不得不求助于连续化理论（"拟壳法"）将网壳转化为连续壳体结构，然后通过某些近似的非线性解析方法来求出壳体结构的稳定性承载力。例如文献1-3都提出了关于球面网壳稳定性的计算公式。这种"拟壳法"公式对计算某些特定形式网壳的稳定性承载力起过重要作用。但这种方法有较大的局限性：连续化壳体的稳定性理论本身并未完善，缺乏统一的理论模式，需要针对不同问题假定可能的失稳形态，并作出相应的近似假设；事实上仅对少数特定的壳体（例如球面壳）才能得出较实用的公式；此外，所讨论的壳体一般是等厚度的和各向同性的，无法反映实际网壳结构的不均匀构造和各向异性的特点。因此，在许多重要场合还必须依靠细致的模型试验来测定结构的稳定性承载力，并与可能的计算结果相互印证。

随着计算机的发展和广泛应用，非线形有限元分析方法逐渐成为结构稳定性分析中有利工具。近20年来，这一领域的研究工作一直相当活跃，尤其在屈曲后路径跟踪的计算技术方面做了许多有效的探索。由Ricks 和Wempnor 提出并由Crisfield 和Ramn 等人改进的各种弧长法是这方面的一个重要成果，它为结构的荷载-位移全过程路径跟踪提供了迄今仍然是最有效的计算方法卜[4-6]。但对于像网壳这样具有成千自由度的大型复杂结构位系，要实现其荷载-位移全过程分析，并不像文献中通常给出的一些简单算例那么容易。大量计算实践表明，由结构过渡到大型复杂结构的全过程分析，不只是量的变化；在后者情况下，由于计算累计误差的严重影响和减少CPU 时间的迫切意义，仅仅依靠改进路径跟踪方法可能仍然无能为力；为了保证迭代的实际收敛性，本文在非线形有限元分析理论表达式的精确化、灵活的迭代策略、以及计算控制参数的

合理选择等方面作了较细致探索。应该说，现在已完全有可能对各种复杂网壳结构进行完整的全过程分析，并且较精确地确定其稳定性极限承载力。

为便于实际设计应用，本文在上述理论方法的基础上，采用大规模参数分析的方法，进行网壳结构稳定性实用方法的研究。针对不同类型的网壳结构，在其基本参数（几何参数、构造参数、荷载参数等）的常用变化范围内，共计进行了2800余例实际尺寸网壳结构的全过程分析，对所得结果进行统计分析和归纳，考察网壳稳定性的变化规律，最后从理论高度进行概括，提出网壳稳定性验算的实用公式。这一研究的工作量很大，但受到广大设计部门的欢迎。

在参数分析中我们采用仅考虑几何非线性的全过程分析方法，因为：（l）如果同时考虑几何、物理两种非线性，所需计算时间尚需增加许多倍，对于如此大规模的参数分析来说，至少在目前是很困难的；（2）网壳结构的正常工作状态是在弹性范围内，材料非线性对结构的影响实际上是使结构承载力的安全储备稍有下降；对这种影响已有可能从定量上作出适当判断[7]。

限于篇幅，本文仅对所述内容作简要介绍，但给出的稳定性验算公式已可供实用参考；更详尽的讨论可参阅文献12。

二、网壳结构全过程分析方法

针对像网壳结构这样具有大量自由度的复杂结构体系，为了保证其荷载-位移全过程分析得以顺利实现，本文在理论表达式的精确化、合理选用平衡路径跟踪的计算方法，灵活的迭代策略等方面进行了重点探索，并编制了相应的分析程序。

对于空间梁单元，如果按一般非线性有限元方法推导单元刚阵，为便于对势能方程中的应变函数进行乘方、积分等运算，常忽略位移的一些高阶项；对于像网亮这样非线性程度较高且轴力较大的大型结构体系，往往不能满足计算精度的要求，甚至还会影响到迭代运算的收敛。相比之下，如果按梁-柱理论直接推导单元的刚度矩阵，力和位移的关系可以用超越函数表示，对位移的高阶量没有任何省略。在这方面Oran的工作具有代表性[8]，被以后的研究者经常引用。本文采用类似方法推导出空间梁单元的切线刚度矩阵，但增加了适当的修正项，以考虑Oran矩阵中未曾考虑的两个主轴方向弯曲的相互耦连作用，从而得到更加精确的切

线刚度矩阵。

对于大转角问题，由于转动位移不适用矢量迭加原则，因而在增量计算中不能将每步算得的转动位移增量进行简单迭加。本文引用"结点方向矩阵"的概念来确定结点的空间方向，每步增量计算结束后进行旋转变换，求得新的结点方向矩阵。这一考虑大转角的精确理论对保证计算结果的正确性也是十分重要的。

关于平衡路径的跟踪，文献中先后提出过荷载增量法、位移增量法、各种功或能量增量法、各种弧长法等不同方法。应该说，各种方法都有其适用场合，但也都有不同程度的局限性。相比之下，各种弧长法、尤其是柱面弧长法具有较强的适应性。我们在反复计算、不断探索的过程中，对于不同方法的适应性、稳定性和计算效率作了较细致的比较，最后在所编制的程序中确定了以柱面弧长法为主综合运用各种方法的方针：对于较为简单的结构，采用位移增量法比较方便而有效；对于复杂的多自由度体系，由于很难推测其结点位移的变化趋势，因此在第一步计算中采用荷载增量法，从第二步开始采用变步长的柱面弧长法来自动跟踪结构的荷载-位移全过程。但对于某些复杂结构，在个别临界点附近，发现采用弧长法也难于使迭代收敛，而这时改用余能增量法却能得到满意结果。因此，将余能增量法作为弧长法的一个补充。程序将上述各种方法有机的结合起来，在计算中可以自动交替使用，因此能有效地应付各种复杂问题，尤其是在大型网壳结构的荷载-位移全过程分析中显示出较佳效能。

对于复杂结构来说，即使采用了合理的计算方法，如果一些计算参数不能很好选择并灵活处理，计算仍然可能难于收敛。我们总结计算实践中取得的经验，采取了两条措施：一是提出了变

步长的增量计算方法，并给出了合理步长的计算公式；按照这一公式，每步的步长是根据前一步计算中所需的迭代次数来调整的，在结构接近线性变化时计算容易收敛，所需迭代次数少，下一步计算中步长就会自动增大；反之，在临界点附近收敛比较慢的区域，步长会自动变小，计算点迅速加密；用这种办法可保证高效地完成平衡路径的跟踪过程。二是采用能量准则判断迭代是否收敛，并且对收敛值给予严格控制，以减小计算累积误差，防止在临界点附近迭代发散。

在路径跟踪过程中，利用切线刚度矩阵的正定性来判断结构的稳定性能，并制定了判别临界点性质（是极限点还是分枝点）的准则。对极限点不需采取措施即可进入屈曲后平衡路径。对于分枝点，则采用"扰动荷载法"，即在分枝点附近的计算中引入相应于该点失稳形态的扰动荷载，使计算进入正确的分枝后路径。其实，根据我们的经验，对于具有大量自由度的大型结构，计算的累积误差较大，它也能起到扰动荷载的作用；因此也可采用在分枝点处适当放宽收敛控制值的办法，以引起足够大的累积误差，使复杂结构的计算自动进入正确的平衡路径。

实际网壳结构不可避免地具有各种初始缺陷。从实用角度考虑，关于与杆件特性有关的一些缺陷，如杆件的初弯曲、初始内应力、杆件对结点初始偏心等，在按规范规定选择杆件截面时实际上已作了适当考虑。这样设计出来的网壳结构，杆件稳定性与整个网壳稳定性的耦合作用不是一个主要因素。对网壳稳定性来说，曲面形状的安装偏差，即各结点位置的偏差就成为起主要影响作用的初始缺陷因素。本文采用"一致缺陷模态法"来研究这一因素的影响，即认为初始缺陷按最低阶屈曲模态分布时可能具有最不利影响。文献[9]对这一方法的合理性和有效性进行过仔细论证。显而易见，当采用这一方法进行分析时，即使遇到分枝点的情形，均能自动完成正确的平衡路径跟踪。事实上，初始缺陷通常使分枝问题转化为极限问题。

大量计算实践表明，按上述理论和方法编成的程序，对实际网壳结构的全过程分析是十分有效的。

三、网壳结构稳定性能的参数分析方案

本文利用所编的荷载－位移全过程分析程序对单层球面网壳、圆柱面网壳、椭圆抛物面网壳（双曲扁网壳）、双曲抛物面网壳（鞍形网壳）进行了大规模的参数分析。所分析的网壳均属于常用的形式，具有实际形状和尺寸，其杆件截面也均按实际设计选定。

球面网壳有各种网格划分形式，本文以最常用的K8型网壳作为重点研究对象，然后对K6型、短程线型、肋环斜杆型等网壳进行一定数量的对比分析，以此来取得关于单层球面网壳稳定性能的完整概念。对K8型网壳考虑了四种跨度（L＝40，50，60，70m）和四种矢跨比（f/L＝1／5，1／6，1／7，1／8）共16种几何尺寸，每一种又各采用四套不同大小的杆件截面；所以一共分析了64个网壳。对每个网壳分别按无缺陷的理想情形和具有初始缺陷（最大安装偏差L／1000）的情形进行分析，对部分网壳还考虑了由小到大不同大小初始缺陷的影响。荷载方面考虑了满跨均布荷载g和半跨均布荷载p的不同组合：p／g＝0，l／4，1／2。对部分网壳共进行了近500例荷载-位移全过程分析；再加上对K6型、短程线型、肋环斜杆型等网壳进行的计算共计完成了840例球面网壳全过程分析。

圆柱面网壳可能有三种支承方式：四边支承、两纵边支承和两端支承。它们各有特点，应分别进行研究。网格形式一律采用最常见的由纵向杆和两个方向斜杆组成的三向网格。网壳长度与波宽之比L／b是影响柱面网壳性能的主要因素；为节省计算工作量，参数分析方案中只设定一种网壳宽度b＝15m，但具有不同长度；L＝15，21，27，30，33，39，45m。考虑了不同的矢宽比f/b和不同的杆件截面大小。对每个网壳考虑了不同的荷载分布和初始缺陷的影响。两端支承的网壳还可能按一定间距设置中间加劲肋；在分析方案中对设与不设加劲肋的情形作了对比。共计对四边支承、两纵边支承和两端支承的柱面网分别进行了350例、54例和816例（合起来1220例）荷载-位移全过程分析。

椭圆抛物面网壳一般用于方形或矩形平面，其曲面系以一条抛物线为母线，沿着与之正交但曲率方向相同的另一条抛物线导线平行移动而成；实际工程应用中常用圆弧来代替抛物线作为曲面的母线和导线。习惯上把这类网壳称为双曲扁网壳。本文在参数分析中考虑了三种平面尺寸（30x30m，40x40m，30x45m）、三种矢跨比（f/L＝l／6，1／7，l／8）和两种网格形式（三向网格和正交单斜网格），采用四套不同的杆件截面；对每个网壳考虑了不同荷载分布和初始缺陷的影响。对部分网壳还对两种可能的支承条件（四边简支和固定铰支）作了对比。共计为双曲扁网壳进行了783例全过程分析。

双曲抛物面网壳的全过程性能有其特殊性。本文只对方形平面（对角线长60m）的双曲抛物面网壳进行了不同网格形式、不同矢跨比和不同边梁刚度的对比分析，共计进行了14例荷载-位移全过程分析。

按上述参数分析方案，共计进行了2800余例各种形式单层网壳结构的全过程分析。完成每例分析以后，为每个结点都可画出一条荷载-位移曲线；我们只取一条曲线、即迭代结束时位移最大的那个结点的荷载-位移曲线作为代表。网壳的全过程曲线是异常复杂的；从实用角度，只需取开始一段曲线（即越过每一个临界点以后再保留一段必要的屈曲后路径）进行考察；过此以后结构位移迅速增大，曲线的形状变化多端，在理论上饶有兴趣，但实用上已无更大意义。取第一个临界点处的荷载值作为结构的极限荷载，相应的结构屈曲模态也均可求得。

限于篇幅，本文无法将这些曲线、极限荷载和屈曲模态图-一列出。但可指出，由于取得的成果量较大，它们显示出非常好的规律性。下面按不同网壳形式简要介绍其稳定性能的基本特性，并通过对所得到的大量数据进行回归分析的方法提出网壳稳定性承载力的实用计算公式。

四、单层球面网壳的稳定性

球面网壳的屈曲多数情况下表现为壳面上一个或若干个局部凹陷的形式，这种凹陷从某一结点的跳跃屈曲开始，然后随着邻近结点的逐一失稳，凹陷的范围逐渐扩大，而全过程曲线相应地表现为多次被动和来回摆动的复杂形式。不同网格形式的球面网壳，其出现凹陷的位置也不同。K型网壳的失稳均从主肋上某一结点开始，肋环斜杆型网壳一般从第三环（自支承环算起）上某一结点开始，短程线型网壳则从三角形球面上某一结点开始，逐渐扩大形成凹陷。

各种形式的球面网壳均表现出极佳空间工作性能，因而荷载的不对称分布对它的极限荷载几乎没有影响。为了进行对比，曾把每个网壳在三种不同荷载比例下的全过程曲线画在一起，并均以总荷载g＋p作为纵座标；令人惊讶的是，三条曲线几乎完全重合。因而实用上可以不考虑荷载不对称分布这一因素对球面网壳稳定性承载力可能产生的影响。

与此同时，各种球面网壳均表现出对初始几何缺陷的高度敏感性。作为例子，图1给出某K8型球面网壳（L=60m，f/L=1/8）当考虑九种不同大小的初始缺陷（r＝0，3，6，10，20，30，40，50，60cm）时绘得的全过程曲线，九条曲线画在一起，可资对比；网壳极限荷载随缺陷值变化的情形则如图2所示。可以看到，在开始阶段，网壳极限荷载随缺陷增大迅速下降，至缺陷为20cm（L／300）时达最小值，此时极限荷载为完整网壳的50%左右。缺陷再进一步增大时，极限荷载反而呈增大趋势，不符合人们的正常概念。事实上，当初始缺陷超过一定限度后，网壳已严重偏离原来的球面形状，受力也偏离薄膜内力主导状态，变成了一种"畸形结构"。从相应的全过程曲线可以看到，这种具有过大初始缺陷的网壳刚度很小，位移发展很快，尽管荷载可能保持上升趋势，但在工程上已没有意义。

图１不同初始缺陷时的全过程曲线

图２极限荷载随缺陷值变化曲线

肋环斜杆型网壳对初始缺陷的反应十分类似，只是其极限承载力当缺陷为L／1000－L／500时即达到最低值，随后就开始反弹，表现出"畸变"现象。短程线型网壳的反应稍有不同；在所分析的范围内（缺陷值已达L/100），极限承载力随缺陷值增大连续下降，刚度也越来越小，网壳表现出持续弱化的倾向。这说明严格控制安装偏差对短程线型网壳来说尤其具有重要意义。

从实用角度，似乎可以将L／500－L／300的安装偏差定为球面网壳可以接受的最大允许缺陷；同时把理想网壳极限荷载的50％定为实际网壳的极限承载力。短程线网壳对这一要求也能满足。

对参数分析中取得的大量数据如何处理，以便于供实际设计应用？作为一种尝试，本文试图用回归分析的方法为球面网壳的稳定验算推导一个适当的拟合公式。公式形式力求简单，但要正确选择适当的参变量来代表对网壳极限承载力具有最本质影响的那些因素。对球面网壳，可借鉴壳体稳定性的线弹线解析公式，假定其极限承载力呈如下形式：

(1)

式中：R一球面的曲率半径（m）；B一网壳的等效薄膜刚度（kN／m）；D一网壳的等

效抗弯刚度（k·m）；K一待定系数，由回归分析确定。

实际网壳的等效刚度沿壳面并不均匀，所以应按不同网壳的屈曲模态来确定等效刚度的计算位置。如前所述K型网壳的屈曲一般由主肋结点开始，即网壳的极限荷载主要地是由主肋结点处的刚度决定的，因此应按该处的网格尺寸和杆件截面来计算等效刚度B和D。同样，肋环斜杆型网壳应取自支承环算起的第三环上结点、短程线型网壳应取三角形球面上结点作为计算位置。B和D的具体计算公式见本文附录。实际网壳是各向异性的，球面网壳的等效刚度B和D应理解为两个方向的平均指标。

为节省篇幅，不列出回归分析过程，仅指出：为K8型、K6型、短程线型和肋环斜杆型分别求得的系数K十分接近，相互的差别在5％以内。这一结果说明公式（l）确实反映了球面网壳稳定性能的本质特征，同时也证实了按照种类网壳失稳模态的特点来确定其刚度参数的计算位置是正确的。综合考虑各种因素，本文建议对各类实际球面网壳的极限承载力

统一按如下公式计算：(2)

公式中已考虑了初始几何缺陷等因素的影响。

五、单层柱面网壳的稳定性

（－）四边支承和两纵边支承的圆柱面网壳

四边支承柱面网壳的屈曲模态在多数情况下呈横截面为三个半波的壳面凹陷形式；不对称荷载下也类似，屈曲模态仅略偏一点。但当长宽比较大时（L／b≥2.6），中等矢宽比（f/b＝1／3和1／4）的网壳有可能产生两个半波的侧偏型屈曲，接近于纵边支承的情况。由此可见，对于L ／b小于2．6的四边支承网壳，两端刚性横隔对壳面具有较强的约束作用。对于L／b≤1．4的短网壳，这种约束作用更强，壳面的屈曲可能呈更高阶的四个半波的凹陷形式。

长宽比L／b对四边支承柱面网壳承载力的影响十分明显，随着L／b的增大，极限荷载显著下降，但逐渐趋于某一极限。图3示一典型例子。在多数情况下当L／b≥2.6时曲线即趋平，对于矢宽比较大的情形（f／b=l／2L／b更大）时曲线才渐趋平缓。

矢量比f/b对网壳极限荷载的影响随不同长宽比而变，当L／b较小时，极限荷载随f/b的增大而增大；但随着L/b的增大．f/b的影响渐趋平缓；当L／b＞2时，中等矢宽比（f/b＝1／3或1／4）的网壳极限荷载较大。

初始几何缺陷对柱面网壳稳定性的影响不很大，且随L／b的增加而减少。系列计算表明，即使所考虑的初始缺陷范围已达到15cm（b／100），极限荷载的降低率不超过20％。

四边支承柱面网壳对荷载的不对称分布也并不敏感。当以p＋g来定义极限荷载时，网壳的稳定承载能力并没有因荷载的不对称分布而下降。仅对L／b≤l．2的短网壳稍有影响，实用上可按由下式确定的折减系数K2予以考虑：

K2＝0．6＋0．4／（1＋2p／g）(3)与球面网壳不同，为四边支承柱面网壳推导极限承载力的拟合公式时，关于公式的合理形式缺乏必要的理论参照。但从参数分析中可以得出关于这种网壳极限荷载变化规律的某些主要概念，据此可为拟合公式设想出一些大致模式。我们曾拟定若干个不同的公式模型进行反复试算比较，最后为实际的四边支承柱面网壳提出如下的实用公式：

(4)

式中B和D脚标11和22分别代表网壳的纵向和横向。这一公式已考虑了初始几何缺陷的

影响；但对于L／b≤l．2的短网壳，尚须乘以公式（3）给定的折减系数K2，以考虑荷载不对称分布的影响。

从公式（4）看到，当L／b→∞时，公式仅剩下第三项。因而自然引出一个问题：公式的第三项能否作为纵边支承网壳稳定承载力的表达式？这一理论上成立但由外推法得出的论断需要进一步验证。我们为具有不同几何参数的纵边支承网壳进行的54例全过程分析完全证实了这一论断。因此，实际的纵边支承柱面网壳的极限承载力可按下式计算：

（5）

对纵边支承的柱面网壳不必考虑荷载不对称分布的影响。

图３四边支承柱面网壳极限荷载随L/b变化规律

（二）两端支承的圆柱面网壳

两端支承柱面网壳的两纵边是自由的，但需设置具有一定刚度的边梁。这种网壳的工作犹如支于两端刚性横隔的巨大简支梁，网壳长度对结构受力影响较大，不同长度的网壳（包括边梁）需按实际计算选用不同杆件：L／b增大时，网壳受力增加，相应地选用较大的杆件。在这一前提下，由全过程分析确定的网壳极限荷载与长宽比L／b之间并无明显的依赖关系；也就是说，不同长度的网壳基本上保持同一水平的稳定性承载力。

网壳的屈曲模态表现出明显的壳面变形，与四边支承的柱面网壳有类似之处，充分显示出两侧边梁的弹性约束作用。但边梁本身也产生一定的弯曲和扭转变形，因而壳面变形范围较大；仅在某些不对称荷载作用下壳面变形呈较为局限的凹陷形式。

矢宽比f/b对网壳极限承载力有明显影响：f/b较大的网壳，其极限承载力也较大。这与四边支承的网壳有一定区别：对后者，当L／b较大时，f/b＝1／3和1／4的网壳极限承载力最大，体现出两纵边的固定铰支座对中等矢宽比网壳的壳面变形有强大约束作用。对于两端支承的网壳，弹性边梁的这种约束作用要小得多。

两端支承网壳对初始几何缺陷不十分敏感。如果以b／300作为可以接受的最大的允许缺陷，则极限承载力的降低比率不超过18％。

荷载的不对称分布对网壳的极限承载力（仍以p＋g来衡量）有明显影响，这种影响在p／g ＝0．5时即已充分显现，p／g继续增大时承载力的进一步下降十分缓慢；荷载不对称分布的影响随不同的广b和L／b而有所差异，而且有较强的规律性。本文根据这些规律给出影响系数K2的计算公式，供实际设计采用：

对f/b=1／2的网壳K2=0.75

对f/b=l／3的网壳K2＝1.25－0.25L／b（L／b＝1.0-3.0）

对f/b=1／4的网壳K2=0.50＋0.195（2.6－L／b）(L／b＝1．0-3．0）

对f/b为中间值时，K2按内插法计算。(6)对于较长的两端支承柱面网壳，必要时可按适当间距（一般为波宽b的一倍左右）布置具有一定刚度B的横向加劲肋。这些加劲助使体系的整体刚度和壳面的保形能力均有所增强，网壳的极限承载力相应提高。屈曲模态仍然表现出明显的壳面变形，但凹陷范围不超越加劲肋所限制的区域；同时，由边梁和横向加劲肋组成的弹性约束体系也产生整体变形。

本文根据对比分析，建议按如下公式计算承载力提高系数K3，以考虑设置横向加劲肋的有利影响：

对于f/b=1／2K3=1.35

对于f/b=l／3K3＝2.40－0.42L／b（L／b＝1.4-3.0）

对于f/b=1／4K3=1.20＋0.28（2.6－L／b）2(L／b＝1.4-3.0）

当f/b为中间值时，K3按内插法计算。(7)令人惊讶的是，公式（6）和（7）表达出十分相似的规律。看来，在这两种表面上没有直接关联的现象之间存在某种内在联系。很难进一步分析这种联系，但可以说，设置横向加劲肋确实会加强整个体系对非对称变形的抵抗能力。对比分析表明，对设置横向加劲肋的网壳，荷载不对称分布对其承载力不再产生影响。

为两端支承的柱面网壳推导承载力拟合公式也比较困难。通过反复比较，最后确定实际网壳（不设加劲肋）在对称荷载下的承载力计算公式为：

(8)

式中系数CL＝0.96＋0.16（1.8－L／b）4；

Ih、Iv一边梁水平方向和竖向的线刚度；对于桁架式边梁，可按下式计算：

其中A1、A2为两根弦杆的面积，r1、r2为相应的形心距，Ih.v的量纲为kN·m 实际设计中上式尚应乘以考虑荷载不对称分布影响的系数K2「公式（6）」。

当为网壳设置横向加劲肋时，其极限承载力应在公式（8）的基础上乘以系数K3[公式（7）]，但不再乘系数K2。

六、单层椭圆抛物面网壳的稳定性

椭圆抛物面网壳（或双曲扁网壳）常用的两种网格形式：三向网格和正交单斜网格性能上有较大差别。在参数分析中，对两种网格形式是按单位面积用钢量相等的条件进行设计的。计算表明，在相同用钢量的情况下，三向网格的等效刚度要稍大一些，而其极限承载力则要比对应的正交单斜网格大很多。

三向网格的屈曲模态表现为在一个或几个角区产生明显的局部凹陷，但壳面发生位移的范围较广，其位移呈双波或多波形式。相比之下，正交单斜网格屈曲时的变形较为局限，表现为在网壳边缘的中央部位发生个别结点的显著位移（局部凹陷）。

三向网壳对初始几何缺陷更敏感。大量计算表明，如果把最大允许的安装偏差控制在L／500－L／300范围内，则初始缺陷对双曲扁网壳承载力的影响系数几可偏于安全地取如下数值：对三向网格K1=0．65

对正交单斜网格K1＝0．75。

双曲扁网壳的稳定性能对荷载的不对称分布十分敏感。作为例子，图4给出30x30m正交

单斜网壳极限承载力随p／g变化的曲线。可以看到，当p／g＝2时，网壳承载力已下降到对称荷载情形的30％，而曲线仍未完全趋平。计算还表明，荷载不对称分布对理想网壳和对有缺陷网壳的影响基本相同；也就是说，就对网壳承载力的影响而言，荷载不对称分布和初始缺陷这两个因素之间的耦联作用不明显。本文通过回归分析，建议按如下公式计算荷载不对称分布对网壳承载力的影响系数K2：

(9)

这一公式对两种网格公式均适用。

图4网壳承载力随p/g变化规律

关于双曲扁网壳承载力的实用计算公式，可参照球面网壳的公式形式，通过大量数据进行回归分析，并考虑初始缺陷影响以后，建议采用如下公式：

对三向网格：

(10)

对正交单斜网格：

(11)

式中R1、R2为网壳两个方向的曲率半径，系数K2按公式（9）计算。

七、单层双曲抛物面网壳的稳定性

方形或菱形平面的鞍形网壳是最常见的双曲抛物面网壳。双曲抛物面是一种直纹曲面，最常用的网格形式是沿直纹方向布置两组杆件，再加上斜杆，构成三向网格。但也可沿曲面的主曲率方向（对角线方向）布置两组杆件，形成正交网格，再加设适当数量的斜杆。后一种网格刚度较大，但前一种网格便于施工，比较常用。

双曲抛物面网壳是负高斯曲率型的，两条对角线分别代表主拉和主压方向。由于有一个方向受拉，因而与球面、柱面和椭园抛物面网壳相比，鞍形网壳的荷载一位移全过程性能存在明显不同的特点。

根据不同的网格形式、不同的矢跨比和不同的边梁侧向刚度，单层鞍形网壳的全过程性能十分多样化：有此网壳的承载力持续上升，根本不存在失稳问题；有些网壳虽发生分枝屈

曲，但荷载仍继续上升，结构刚度矩阵始终保持正定；也有些网壳表现出通常的失稳特征，在临界点以后有不同程度的下降段和位移发展，然后荷载重新上升。不同网壳的刚度（包括早期刚度和后期刚度）也各不相同。然而，鞍形网壳的全过程曲线有其明显的共性，即总体上荷载始终保持上升趋势，如果不考虑材料的塑性和强度限制，结构始终维持实际的承载能力。这是与鞍形网壳负高斯曲率的曲面特性分不开的。对于具有初始几何缺陷的实际网壳，可以设想它们的全过程曲线将具有更加明显的单线上升特点。因此从实际设计的角度，可以认为：对鞍形网壳来说，稳定性不是设计中的主要问题，但作为一种替代保证，结构刚度应该作为一个重要的设计因素来进行验算。

鞍形网壳的矢跨比f/L（或高跨比H／L）对网壳工作性能的影响十分明显。网壳两个主方向的矢高f是相等的，网壳高度H＝2f，L为对角线长度。图5把五种不同高跨比（L＝60m，H＝6，9，12，15，18m）的方形平面鞍形网壳的全过程曲线画在一起进行对比，图6则给出不同高度网壳在使用荷载（2kN／m2）下的结构最大位移。可以认为，当网壳高度为9m或6m，即高跨比小于1／6时，结构刚度已难于满足实用要求。

网壳边梁也需具有一定刚度。边梁刚度不足时，网壳位移明显增大。

图５不同高度网壳的全过程曲线

图６不同高度网壳在使用荷载下最大位移

八、结语

本文试图对作者及其梯队近十年来关于网壳结构稳定性研究方面取得的点滴成果作一简要介绍，内容包括：

1、针对象网壳这样具有大量自由度的复杂结构体系为了使其荷载-位移全过程分析得以顺利实现，在非线形有限元理论表达式的精确化、合理选用路径跟踪方法和控制参数，灵活的迭代策略等方面进行了较深入探索，编制了较完善程序。大量计算实践表明，所编程序对实际网壳的稳定性分析是十分有效的。

2、采用大规模参数分析的方法，共计完成了2800余例各种类型实际尺寸网壳结构的全过程分析，揭示了各式网壳结构丰富多彩的全过程受力性能、其失稳的实际过程和各种因素的复杂影响。

3、通过对上述大量数据进行回归分析，并综合考虑各种影响因素，为各式球面网壳、柱面网壳和椭圆抛物面网壳提出了实用的稳定性承载力验算公式。这些公式形式较简单，便于使用，但具有相当可靠性，其回归性相关系数一般均在99%以上。对双曲抛物面网壳则建议用刚度验算来代替稳定性验算。

作者希望，本文的这些结果能对网壳结构的稳定性设计提供参考。

参考文献

1D.T.wright.Membrane Forces and Buckling in Reticulated Shells.Journal of

Structural Div.,ASCE,vol.91,No.ST1,1965

2K.P.Buchert Shell and Shell-like Structures.Guide to Stability design Criteria

for Metal Structures,1976

3胡学仁，穹顶网壳的稳定计算。《第三届空间结构学术交流会论文集》，第二卷，1998，吉林4E.Riks.An Incremental Apporoch to the solution of Snapping and Buckling Problems.Int.J.Solid Structures,vol.15,PPP.529-551,1979

5E.Ramm.Strategies for Tracing the Nonlinear Response Near Limit Points.Nonlinear finite element analysis in Structural Mechanics,1981

6M.A.crisfield.An Arc-length Method Including Line Searches and Accelerations.Int.J.num.Mech. Eng.,Vol.19,PP.1269-1289,1983

7王娜，陈昕，沈世钊，网壳结构弹塑性大位移全过程分析。土木工程学报，1993年第2期

8Cenap Oran.Tengent Stiffness in Space Frames.J.Struct.Div.,vol.99,No.ST6,PP.987-1001,1973

9陈昕，沈世钊，单层穹顶网壳的荷载-位移全过程及缺陷分析，建筑结构学报，1992年第3期10沈世钊等，单层球面网壳的稳定性，空间结构，1997年第3期

11沈世钊等，单层柱面网壳的稳定性，空间结构，1998年第2期，第3期

12沈世钊、陈昕，网壳结构稳定性，科学出版社，1998

附录网壳等效刚度计算公式:

各式网壳结构常用的网壳形式可归纳为附图所示的三种类型。

网壳两个主方向的等效刚度可按下列公式计算

1.图a所网格的等效刚度计算公式

2.图b所网格的等效刚度计算公式

3.图c所网格的等效刚度计算公式

式中A1、A2、A c分别表示方向1杆件、方向2杆件和斜杆的截面积，I1、I2、I c分别为相应的截面惯性矩，杆件间距△1、△2、△3和角度α均示于图。