2020届吉林省高考二模数学(文科)试卷及答案
b
的夹角为
()
A． 3
B． 2 3
【解答】解：向量
a
，
b
满足
|
a
|
C． 4
D． 3 4
3 ， | b | 2
6
，且满足
(2a
b)
a
，
设
a
与
b
的夹角为
，
[0
，
]
，
则 (2a b)a 2a 2 ab 23 32 6 cos 0 ，cos 2 ， 2
lnx ln(x 1) x 1 x
(lnx ) 2
lnx x ln(x 1) x 1 x(x 1)(lnx)2
0
．
g(x) logx (x 1) ， (x 2) ．单调递增．
c 1 a b ， b a c ． 故选： C ．
第 6页（共 18页）
4．（5 分）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分 割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例 5 1 ( 5 1 0.618 称为黄金分割比例），这
（2）求点 D 到平面 BED1 的距离．
20．（12 分）已知函数 f (x) sin x x cos x 1 x3 ， f (x) 为 f (x) 的导数． 6
（1）证明：
f
( x)
在区间
(0,
)
上不存在零点；
2
（2）若 f (x) kx x cos x 1 x3 1对 x (0, ) 恒成立，求实数 k 的取值范围．
LP HJ 1 5 1 ， 5 1 2
2
则在矩形 HJIF 中， HF HJ ( 5 1)2 ，
5 1
2
2
同理： FC ( 5 1)3 ， DC ( 5 1)4 ，
2
2
则 BC ( 5 1)5 11.09 ； 2
故选： D ．
5．（5 分）函数 f (x) ( 4 x) cos x(x ) 且 x 0) 的图象可能为 (
C．607 号职工
D．520 号职工
A． 2 3
B． 2 3
C． 2 3
D． 2 3
8．（5
分）若向量
a
，
b
满足
|
a
|
3 ， | b | 2
6
，且满足
(2a
b)
a
，则
a
与
b
的夹角为
()
A． 3
B． 2 3
C． 4
D． 3 4
9．（5 分）如图给出的是计算1 1 1 1 的值的一个程序框图，则图中空白框中应
故选： A ．
6．（5 分）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法从中抽取 56 人做问卷调查，将 840
人按 1，2，3， ，840 随机编号，若 442 号职工被抽到，则下列 4 名职工中未被抽到的是
()
A．487 号职工
B．307 号职工
C．607 号职工
D．520 号职工
【解答】解：根据系统抽样的特点，得组距应为 840 56 15 ，
35
2019
填入 ( )
A．
S
S
1 2i
3
B．
S
S
1 2i
1
C．
S
S
i
1
1
D．
S
S
1 2i 1
10．（5
分）已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的渐近线与圆 (x 1)2
y2
sin2 130 相切，则
该双曲线的离心率等于 ( )
A．
1 sin 50
B．
1 cos 50
C． 2sin 50
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，
对某中学一年级 100 名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：
近视
不近视
足够的户外暴露时间
20
35
不足够的户外暴露时间
30
15
2 sin( ) 1 ． 6
（1）写出曲线 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc 8 ，证明：
（1） (4 a)(4 b)(4 c) 216 ；
（2） (a b)2 (b c)2 (c a)2 48 ．
2020 年吉林省高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5 分）若复数 z 满足 (1 2i)z 1 i ，则 | z | ( )
A． 10
B． 10 5
C． 3 5
D． 2 5
2．（5 分）已知集合 A {x Z || x | 3} ， B {x | x 1 或 x 2} ，则 A (ðR B) (
)
x
第 7页（共 18页）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，函数 f (x) ( 4 x) cos x(x ) 且 x 0) ， x
则 f (x) ( 4 x) cos(x) ( 4 x) cos x f (x) ，即 f (x) 为奇函数，排除 B 、 D ；
x
x
又由 0 x ， 4 x 0 ， cos x 0 ，则 f (x) 0 ，排除 C ； 2x
请说明理由．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修 4-4：坐
第 4页（共 18页）
标系与参数方程]
22．（10
分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
y
1
4m m2 3(1 m2 1 m2
)
(m
为参数），以坐
标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是
22 样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么
余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为 1，则矩形 ABCD 的长为 (
) （结果保留两位小数）
A．10.09
B．11.85
C．9.85
D．11.09
5．（5 分）函数 f (x) ( 4 x) cos x(x ) 且 x 0) 的图象可能为 (
【解答】解：已知集合 A {x Z || x | 3} {2 ， 1 ，0，1， 2} ，
B {x | x 1 或 x 2} ， ðR B [1 ， 2] ，
则 A (ðR B) [1，0，1， 2] ，
故选： D ．
3．（5 分）已知 a log8 7 ， b log3 2 ， c 0.1 ，则 (
)
A．{0 ，1， 2}
B．{1 ，0，1}
C．{0 ， 3}
D．{1 ，0，1， 2}
3．（5 分）已知 a log8 7 ， b log3 2 ， c 0.1 ，则 (
)
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． c a b
4．（5 分）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分 割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例 5 1 ( 5 1 0.618 称为黄金分割比例），这
解
：
tan 645 tan(2 360 75) tan 75 tan(45 30) 1 tan 30 1 3 2 3 ． 1 tan 30 1 3
故选： B ．
第 8页（共 18页）
8．（5
分）若向量
a
，
b
满足
|
a
|
3 ， | b | 2
6
，且满足
(2a
b)
a
，则
a
与
D． 2 5
|
z
||
1i 1 2i
|
|
|1i | 1 2i |
2 5
10 ． 5
故选： B ．
2．（5 分）已知集合 A {x Z || x | 3} ， B {x | x 1 或 x 2} ，则 A (ðR B) (
)
A．{0 ，1， 2}
B．{1 ，0，1}
C．{0 ， 3}
D．{1 ，0，1， 2}
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的焦点为 F1(3, 0)
， F2 (3, 0)
，过 F2
作直线
l 与双曲线 C 的右支交于点 A ， B 两点．若 | BF2 | 4 | AF2 | ， | AF1 || AB | ，则 C 的方程是 (
)
A． x2 y2 1 36
B． x2 y2 1 54
S5
．
15．（5
分）函数
f
(x)
sin(
x) 8cos
x
的最小值为
．
2
2
16．（5 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，AB / /DC ，BAD ，CD AD 3 ，四边形 ABFE 2
为平行四边形， FA 平面 ABCD ， FC 5 ，则直线 AB 到平面 EFCD 距离为 ．
)
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． c a b
【解答】解： x 2 时， f (x) xx ，
2020年吉林省白山市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．若集合M={1，2，3，4}，N={x|x（x﹣3）＜0}，则M∩N等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{x|1＜x＜3}D．{2，3，4}2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1+3iD．1﹣3i3．在等差数列{a n}，a6=9，a3=3a2，则a1等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣24．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=6x+y的最大值为（）A．2B．C．6D．5．若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±2xC．y=±xD．y=±2x6．如图，在梯形ABCD中，AB=3CD，则下列判断正确的是（）A．=3B．=﹣C．=﹣D．=﹣+7．某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积等于（）A．B．2C．D．38．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4B．﹣7C．﹣22D．﹣329．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），为了得到f（x）的图象，只需将g（x）=2sinωx的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位10．若关于x的不等式4x+x﹣a≤在x∈（0，]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．（﹣∞，﹣]D．[﹣，1]11．设α为锐角，则“log2tanα＞1”是“0＜sin2α＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．直线x﹣4y+1=0经过抛物线y=ax2的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2﹣m），则正数m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为．14．曲线f（x）=e x+5sinx在（0，1）处的切线方程为．15．一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为．16．设S n，为数列{a n}的前n项和，若S n=2n﹣1，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，c=b．（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为，求BD的长．18．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．19．在四梭推P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=4AB，AC⊥PA，M为线段CP上一点．（1）求证：平面ACD⊥平面PAM；（2）若PM=PC，求证：MB∥平面PAD．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．①设B（，1），且•=，求k的值；②若A与D关于x轴对称，求△AOD的面积的最大值．21．已知函数f（x）=，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]上仅存在一个x0，使得f（x0）≥a，求实数a的值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．2020年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．若集合M={1，2，3，4}，N={x|x（x﹣3）＜0}，则M∩N等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{x|1＜x＜3}D．{2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合N，再求M∩N．【解答】解：集合M={1，2，3，4}，N={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，∴M∩N={1，2}．故选：B．2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1+3iD．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=2+i代入z（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1﹣z）的共轭复数．【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i，∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i．故选：B．3．在等差数列{a n}，a6=9，a3=3a2，则a1等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6=9，a3=3a2，∴a1+5d=9，a1+2d=3（a1+d），解得a1=﹣1，故选：C．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=6x+y的最大值为（）A．2B．C．6D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=6x+y得y=﹣6x+z，平移直线y=﹣6x+z，由图象可知当直线y=﹣6x+z经过点C时，直线y=﹣6x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（1，0），代入目标函数z=6x+y得z=6×1+0=6．即目标函数z=6x+y的最大值为6．故选：C．5．若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±2xC．y=±xD．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率求出m=2，然后结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．【解答】解：由双曲线方程得a2=m，b2=6，c2=m+6，∵双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，∴=e2=4，即，得m+6=4m，3m=6，得m=2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线y=x=y=±x，故选：A6．如图，在梯形ABCD中，AB=3CD，则下列判断正确的是（）A．=3B．=﹣C．=﹣D．=﹣+【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】在梯形ABCD中，AB=3CD，AB∥DC，利用向量的三角形法则、向量共线定理即可判断出结论．【解答】解：在梯形ABCD中，AB=3CD，AB∥DC，∴，==，，==+=﹣+．故选：D．7．某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积等于（）A．B．2C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱柱与三棱柱的组合体．【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为1的正方形，高为2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以几何体的体积V=1×1×2+=．故选C．8．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4B．﹣7C．﹣22D．﹣32【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18，从而解得S的值．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得i=2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4，i=3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9，i=4满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16，i=5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16﹣25，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18，故解得：S=﹣4．故选：A．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），为了得到f（x）的图象，只需将g（x）=2sinωx的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由零点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式；再根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），可得==﹣，∴ω=3．再根据3×+φ=kπ，k∈Z，可得φ=kπ﹣，﹣π＜φ＜0，φ=﹣，∴f（x）=2sin（3x ﹣）．只需将g（x）=2sin3x的图象向右平移个单位，可得f（x）=2sin3（x﹣）=2sin（3x ﹣）的图象，故选：D．10．若关于x的不等式4x+x﹣a≤在x∈（0，]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．（﹣∞，﹣]D．[﹣，1]【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论．【解答】解：不等式4x+x﹣a≤在x∈（0，]上恒成立，等价为不等式4x+x﹣≤a在x∈（0，]上恒成立，设f（x）=4x+x﹣，则函数在∈（0，]上为增函数，∴当x=时，函数f（x）取得最大值f（）=4+﹣=2﹣1=1，则a≥1，故选：A11．设α为锐角，则“log2tanα＞1”是“0＜sin2α＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α为锐角，可得tanα＞0，则“log2tanα＞1”可得：tanα＞2，，可得：⇒“0＜sin2α＜”，反之不成立，例如取α=．即可判断出结论．【解答】解：∵α为锐角，∴tanα＞0，则“log2tanα＞1”⇒tanα＞2，⇒，∴⇒“0＜sin2α＜”，反之不成立，例如取α=．∴“log2tanα＞1”是“0＜sin2α＜”的充分不必要条件．故选：A．12．直线x﹣4y+1=0经过抛物线y=ax2的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2﹣m），则正数m的最小值为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的焦点，得到未知量a，由垂直得到斜率乘积是﹣1，由此得到m的取值范围．【解答】解：∵y=ax2的焦点坐标为（0，）∴a=1，∴抛物线为y=x2，设P点坐标为（x，x2）∵PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2﹣m），∴k PA k PB=﹣1∴x4﹣3x2+4﹣m2=0有解令t=x2，（t≥0）则方程变为t2﹣3t+4﹣m2=0，且在t≥0上有解，∵对称轴为t=，∴只需△≥0即可，∴m≥故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为15．【考点】分层抽样方法．【分析】根据总体中年员工的所占的比例、样本的容量，求出应抽取中年员工的人数【解答】解：因为老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，所以参演的中年员工的人数为：36×=15，故答案为：15．14．曲线f（x）=e x+5sinx在（0，1）处的切线方程为y=6x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=e x+5cosx，则f′（0）=e0+5cos0=1+5=6，即函数在（0，1）处的切线斜率k=f′（0）=6，则对应的方程为y﹣1=6x，即y=6x+1，故答案为：y=6x+115．一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为40π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出正三角形外接圆的半径，再求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积S．【解答】解：∵一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，∴正三角形外接圆的半径r=3××=，∵球心O到此正三角形所在的平面的距离为d=，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=40π．故答案为：40π．16．设S n，为数列{a n}的前n项和，若S n=2n﹣1，则的最大值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】S n=2n﹣1，可得a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n．则=，﹣1再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵S n=2n﹣1，∴a1=S1=2﹣1=1，=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1则==≤=，当且仅当n=3时取等号．∴的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，c=b．（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为，求BD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由C=60°，可得sinC，由c=b，可得：，又由正弦定理可得：，解得sinB，结合b＜c，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值．（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C=60°，可得：sinC=，由c=b，可得：，又∵由正弦定理，可得：，解得：sinB=，∵由已知可得b＜c，可得B为锐角，∴可得：B=45°，A=π﹣B﹣C=75°．（2）∵△BCD的面积为，即：a•CD•sinC==，解得：CD=1，∴由余弦定理可得：BD===．18．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）先分别求出，和S甲2，S乙2，由此能够比较两组员工的业务水平．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S=[（4﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=5.2，S=[（5﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]=2．∵=，S甲2＞S乙2，∴两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25种，事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11种，∴P（A）=．19．在四梭推P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=4AB，AC⊥PA，M为线段CP上一点．（1）求证：平面ACD⊥平面PAM；（2）若PM=PC，求证：MB∥平面PAD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由CD⊥平面PAD得PA⊥CD，结合PA⊥AC，得PA⊥平面ACD，故平面ACD⊥平面PAM；（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AE，可得ME∥CD，ME=CD，因为AB∥CD，AB=CD，所以AB与ME平行且相等，推出四边形ABME是平行四边形，故MB∥AE，所以MB∥平面PAD．【解答】证明：（1）∵CD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA，又∵AC⊥PA，CD∩AC=C，∴PA⊥平面ACD，∵PA⊂平面PAM，∴平面ACD⊥平面PAM．（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AE．∵PM=PC，∴ME∥CD，ME=CD，又∵AB∥CD，AB=CD，∴ME∥AB，ME=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴MB∥AE，又∵AE⊂平面PAD，MB⊄平面PAD，∴MB∥平面PAD．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．①设B（，1），且•=，求k的值；②若A与D关于x轴对称，求△AOD的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求出圆O的方程，运用直线和圆相切的条件，求出b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可求出a，进而能求出椭圆方程．（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求出交点A的坐标，①运用向量的当量积的坐标表示，计算即可得到所求值；②运用三角形面积公式，结合基本不等式即可得到△AOD的面积最大值．【解答】解：（1）由题设知圆O的方程为x2+y2=b2，∵直线l：x﹣y+2=0与圆相切，故有，解得b=，∵e=，∴a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3，∴椭圆C的方程为．（2）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，由，解得，①∵==，解得k=，或k=0（舍），∴k=．②∵=≤=．当且仅当k=时取等号．∴S△AOD的最大值为．21．已知函数f（x）=，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]上仅存在一个x0，使得f（x0）≥a，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到=9，结合b+c=10，求出b，c的值即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，求出a即可．【解答】解：（1）f′（x）=，∴f′（0）==9，而b+c=10，解得：b=9，c=1，∴f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞或x＜﹣，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减；（2）由（1）得：f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，①a≥1时，≤1，f（x）在[1，2]递减，∴f（x）max=f（1）==a，解得：a=，②0＜a≤时，≥2，f（x）在[1，2]递增，∴f（x）max=f（2）==a，无解，③＜a＜1即1＜＜2时，f（x）在[1，）递增，在（，2]递减，f（x）max=f（）==a，无解，综上，a=．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连结OC，OC⊥AB，推导出OA=OB，OC⊥AB，由此能证明直线AB与⊙O 相切．（2）延长DO交⊙O于点F，连结FC，由弦切角定理得△ACD∽△AFC，从而=，由此能求出AO的长．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴，又OD=OE，∴OA=OB，如图，连结OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB，又点C在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．解：（2）如图，延长DO交⊙O于点F，连结FC，由（1）知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD=∠F，∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=，又∠DCF=90°，∴=，∵AD=2，∴AC=6，又AC2=AD•AF，∴2（2+2r）=62，∴r=8，∴AO=2+8=10．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+，∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣352020年7月21日。
2020年吉林长春高三二模文科数学试卷-学生用卷
2020年吉林长春高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第1题5分已知集合A={x|x(x−2)⩽0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=（）．A. {0,1,2}B. {−1,3}C. {1,2}D. {0,1,2,3}2、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第2题5分2020年吉林长春高三二模理科第2题5分若z=1+(1−a)i（a∈R），|z|=√2，则a=（）．A. 0或2B. 0C. 1或2D. 13、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第3题5分2020年吉林长春高三二模理科第3题5分下列与函数y=√x定义域和单调性都相同的函数是（）．A. y=2log2xB. y=log2(12) xC. y=log21x D. y=x144、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第4题5分2020年吉林长春高三二模理科第4题5分2019~2020学年6月陕西西安碑林区西北工业大学文化补习学校高三下学期月考文科（七模）第5题5分已知等差数列{a n }中，3a 5=2a 7，则此数列中一定为0的是（ ）．A. a 1B. a 3C. a 8D. a 105、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第5题5分若单位向量e 1→，e 2→夹角为60°，a →=2e 1→−e 2→，则|a →|=（ ）．A. 4B. 2C. √3D. 16、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第6题5分2019~2020学年12月陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高二上学期月考文科第4题4分 2019~2020学年10月湖南长沙天心区长郡中学高二上学期月考第13题3分《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对两人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）．注：雷达图（Radar Chart ），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（Spider Chart ），可用于对研究对象的多维分析A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲7、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第7题5分2020年吉林长春高三二模理科第7题5分命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立；q:∀a >0，f(x)=lna+x a−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）．A. p ∧qB. (¬p)∨(¬q)C. p ∧(¬q)D. (¬p)∧q8、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第8题5分已知函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ⩽0，则函数y =f(x)−3的零点个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 49、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第9题5分已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α=（ ）． A. π12B. π6C. π4D. π310、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第10题5分2019~2020学年广东广州海珠区广州市第六中学高二下学期期中第9题5分若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）．A. √2B. √3C. 2√23D. 2√3311、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第11题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=n+2nS n(n∈N∗)，则S n=（）．A. 2n−1+1B. n⋅2nC. 3n−1D. 2n⋅3n−112、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第12题5分2020年吉林长春高三二模理科第10题5分在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC//ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4．正确命题的个数是（）．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第13题5分2020年吉林长春高三二模理科第13题5分2018年福建莆田高三一模文科第14题5分若x，y满足约束条件{2x+y⩾2y−2⩽02x−y⩽2，则z=x+y的最大值为．14、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第14题5分曲线f(x)=2sinx在x=π3处的切线与直线ax+y−1=0垂直，则a=．15、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第15题5分在半径为2的圆上有A，B两点，且AB=2．在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为．16、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第16题5分2020年吉林长春高三二模理科第16题5分三棱锥A−BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD=2√2，则三棱锥A−BCD体积的最大值为；三棱锥A−BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第17题12分已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sinBsin2A=√2cosA，cosB=13．(1) 求A的大小．(2) 若AC=2，求AB长．18、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第18题12分2020年吉林长春高三二模理科第17题12分2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：(1) 求m的值．(2) 将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？，其中n=a+b+c+d）（K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第19题12分如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1=2AB=4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，且A1B⊥NG．(1) 求证A 1B ⊥GM ．(2) 求点A 1到平面MNG 的距离．20、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第20题12分已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． (1) 求C 的方程．(2) 设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM//AP 交椭圆于点M ．试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第21题12分已知函数f (x )=13x 3+x 2+mx +m ．(1) 若x 1为f (x )的极值点，且f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，求2x 1+x 2的值．(2) 求证：当m >0时，f (x )有唯一的零点．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分） 选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第22题10分2020年吉林长春高三二模理科第22题10分已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos3π4y =tsin3π4（t 为参数）．(1) 求C 1和C 2的普通方程．(2) 过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第23题10分2020年吉林长春高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|ax +1|+|x −1|．(1) 若a =2，解关于x 的不等式f(x)<9．(2) 若当x >0时，f(x)>1恒成立，求实数a 的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 A;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】 4;14 、【答案】 1;15 、【答案】 16;16 、【答案】 2√23;3;17 、【答案】 (1) A =π3．;(2) AB =√64+1．18 、【答案】 (1) m=0.025．;(2) 2×2列联表如下表所示：不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 6√55．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) 证明见解析，2．;21 、【答案】 (1) −3．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) C1的普通方程为：(x−2)2+y2=4，C2的普通方程为：x+y−8=0．;(2) 4(√2−1)．;23 、【答案】 (1) {x|−3<x<3}．(2) (0,+∞)．;。
2020届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研模拟测试数学(文)试卷(PDF版)
17. （10 分）
为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相
应区域. 现随机抽取了某阅读区 500 本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.
文学类专栏
科普类专栏
其他类专栏
文学类图书
100
40
10
科普类图书
30
200
30
其他图书
20
10
60
（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；
48 A.
25
56 B.
25
8 C.
5
D. 4 3 5
x 1
6.
已知实数
x,
y
满足线性约束条件
x
y
0
，则 z 2x y 的最小值为
x y 2 0
A. 5
B. 1
C. 5
D. 1
7. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ： (0.675, 0.989),
(1.102, 0.010), (2.899,1.024), (9.101, 2.978) ,下列函数模型中拟合较好的是
3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求。
1. 集合 A {x | 0 x 1 4}, B {x | x 2},则 A I B
A. 数据中可能有异常值
B. 这组数据是近似对称的
C. 数据中可能有极端大的值
D. 数据中众数可能和中位数相同
2020届吉林省高三数学(文科)二模试题以及答案汇总
2020年高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅱ卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{{}221,650=A xB y y y A B x ⎫=≥=-+≤⎬⎭1若，则．（ ）A ．(]0,5B ．(],5-∞C ．(]0,3D ．(],3-∞2．若复数512iz i=-（i 为虚数单位），则z 在复平面中对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ． 三D ．四3．抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1016（，） D ．116（0，）4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y=-的最大值是（ ）A ．2B ． 4C ． 6D ．86．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20192020，则输入m 的值为（ ） A ．2017 B ． 2018 C ． 2019 D ．20207．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π38．函数1()l n ||f x x x=+的图象大致为（ ）9．给出下列四个命题：①方程22184x y a a -=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是4a >； ②命题 :p “存在0x R ∈，使得20010x x ++<” 的否定是“对任意x R ∈，210x x ++均有＜”；③回归直线ˆˆˆya bx =+ 恒过样本数据的中心(),x y ； ④若直线a 平行于平面α内的一条直线b ，则a ∥.α其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量“优良”,空气质量指数大于200表示空气“重度污染”．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天（于第二天晚上离开）． 由统计图表所做的以下推断中，说法不正确的是（ ）是1S S =+0;1S n ==n m<m输入A ．此人停留的2天空气质量都“优良”的概率为413； B ．此人到达当日空气“重度污染”的概率为213； C ．此人到达当日空气质量“优良”的条件下，次日空气质量“优良”的概率为23； D ．此人停留的2天至少一天空气“优良”的概率为713． 11．数列{}n a 的前n 项和为S n ,若11a ＝，1(2)1n n a S n ≥＋＝，则2019a 等于（ ） A ． 20183B ． 201813+ C ．201723⨯ D ． 2017123+⨯12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),11x R f x f x ∈+=-都有． 当01x ≤≤时，()2f x x =．若直线()=f x x m +与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数m 的值是（ ）A ．0B ． 0或14-C ．14-12-或D ． 0或12-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．在科学史上，阿基米德是公认的排在首位的大科学家．他在自己许许多多的科学发现当中，以圆柱容球定理最为得意，甚至希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形．圆柱容球是这样的:“圆及其外切正方形绕过切点的一条对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．”若从此圆柱中任取一点，则该点并非取自球内的概率是 ．14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2 (a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________．15．已知函数()()()2f x sinx cosx f x f x +='＝，，()f x '（其中()f x 是的导函数)，则21+cos 2cos sin 2xx x -=____．16．设△ABC 的三个顶点A ，B ，C 对应三边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c (a<b<c )成等差数列，A ，C 两点的坐标分别是((,0,,则顶点B 的轨迹方程为_____________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【数学】吉林省2020届高三第二次模拟考试试题(文)(解析版)
【答案】D
【解析】由题可知：抽样距为 ，
设第一组抽出的号码为 ，
由前29组共有435项，前30组有450项
所以可知 号落在第30组
又因为每组抽出号码成等差数列 ，公差为15
所以
所以
当 时，则
又 ，所以 号职工不是被抽到的员工
故选：D
7. （）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令
如图
由 ，则 ，则
可知 ，则
所以
所以矩形 的长
故选：D
5.函数 且 的图象可能为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】有题可知：
函数的定义域为 关于原点对称
则 ，可知该函数为奇函数
又
所以A正确
故选：A
6.某单位有 名职工，现采用系统抽样方法从中抽取 人做问卷调查，将 人按 ， ， ， ， 随机编号，若 号职工被抽到，则下列 名职工中未被抽到的是（）
【答案】B
【解析】
则
由
所以
则
故选：B
8.若向量 ， 满足 ， ，且满足 ，则 与 的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ，所以
则 ，又 ，
所以 ，由
则 ，
又 ，所以
故选：D
9.如图给出的是计算 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】该程序框图的功能为计算 的值
所以
又 或 ，
所以
所以
故选：D
3.已知 ， ， ，则（）
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={xx(x −2)≤0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1,0，3}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {0,2，3} 2. 若z =1+(1−a)i(a ∈R)，|z|=√2，则a =( )A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1 3. 下列与函数y =1√x 定义域和单调性都相同的函数是( )A. y =2log 2xB. y =log 2(12)xC. y =log 21xD. y =x 144. 已知等差数列{a n }中，3a 5=2a 7，则此数列中一定为0的是( ) A. a 1 B. a 3 C. a 8 D. a 105. 若单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 夹角为60°，a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 4 B. 2 C. √3 D. 16. 《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高数二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是(注：雷达图(RadarCℎart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderCℎart)，可用于对研究对象的多维分析)( )A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲7. 命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立：q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∨(￢q)C. p ∧(￢q)D. (￢p)∧q8. 已知函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，则函数y =f(x)−3的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2√23D. 2√3311.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=n+2nS n (n∈N∗)，则S n=()A. 2n−1+1B. n⋅2nC. 3n−1D. 2n⋅3n−112.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC//ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4.正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约条条件{2x+y≥2y−2≤02x−y≤2，则z=x+y的最大值为______14.曲线f(x)=2sinx在x=π3处的切线与直线ax+y−1=0垂直，则a=______．15.在半径为2的圆上有A，B两点，且AB=2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为______．16.三棱锥A−BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD=2√2，三棱锥A−BCD体积的最大值为______；三棱锥A−BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sinBsin2A=√2cosA，cosB=13．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若AC=2，求AB长．18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P(K2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1=2AB=4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．(Ⅰ)求证：A1B⊥GM；(Ⅱ)求点A1到平面MNG的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM//AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21. 已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．(Ⅰ)若x 1为f(x)的极值点，且f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，求2x 1+x 2的值； (Ⅱ)求证：当m >0时，f(x)有唯一的零点．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)(Ⅰ)求C 1和C 2的普通方程；(Ⅱ)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．23. 已知函数f(x)=|ax +1|+|x −1|．(Ⅰ)若a =2，解关于x 的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若当x >0时，f(x)>1恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|0≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：C ．可解出集合A ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：因为z =1+(1−a)i(a ∈R)，∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒(1−a)2=1⇒a =0或2； 故选：A ．根据复数求模公式计算即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题． 3.答案：C解析：解：y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x|x >0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x|x ≥0}． 故选：C ．可看出，y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{x|x >0}上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{x|x >0}，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ． 本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵等差数列{a n }中，3a 5=2a 7， ∴3(a 1+4d)=2(a 1+6d)， 化为：a 1=0．则此数列中一定为0的是a 1． 故选：A ．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.答案：C解析：解：由a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，得a ⃗ 2=(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )2=4e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4×1−4×1×1×cos60°+1=3， 所以|a ⃗ |=√3． 故选：C ．根据平面向量的数量积，计算模长即可．本题考查了利用平面向量的数量积求模长问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误， 对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确， 故选：D ．先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7.答案：A解析：解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立， 当x 0=π时，对任意实数x ，使得sin(x +π)=−sinx 恒成立， 故P 为真命题；命题q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x ，有a+xa−x >0，解可得−a <x <a ，函数的定义域为(−a,a)，关于原点对称，有f(−x)=ln a+xa−x =−ln a+xa−x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数， 故其为真命题；则p ∧q 为真命题，(￢p)∨(￢q)、P ∧(￢q)、(￢p)∧q 为假命题； 故选：A ．根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f(x)=ln a+xa−x 在a >0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题． 8.答案：B解析：解：因为函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，且x ≤0时f(x =−2x(x +2)=−2(x +1)2+2； 所以f(x)的图象如图，由图可得：y =f(x)与y =3只有两个交点； 即函数y =f(x)−3的零点个数是2； 故选：B ．画出f(x)的图象，结合图象求出y =f(x)与y =3的交点个数，即可判断结论．本题考查函数的零点与方程根的关系，作图是难点，属于中档题． 9.答案：C解析：解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足， 故选：C ．由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论． 本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题． 10.答案：D解析：解：圆x 2+y 2−4y =0化为标准方程为：x 2+(y −2)2=4， ∴圆心为(0,2)，半径r =2，∵渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay =0， ∴√a 2+b 2=√3，即2ac =√3∴离心率e =c a=2√33， 故选：D ．先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值． 本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与圆的位置关系，是中档题． 11.答案：B解析：解：法一：排除法：a 2=6，a 3=16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2nS n (n ∈N ∗)，∴S n+1−S n =n+2nS n ,化简得：S n+1n+1 =2Sn n， ∴数列{Snn}是以2为首项，2为公比的等比数列， S n n=2n ,S n =n ⋅2n ．故选：B ．根据a n+1=S n+1−S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 本题主要考查等比数列的定义与通项公式的求解，a n 与S n 的关系是解决本题的关键． 12.答案：C解析：解：如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，则EG//D 1B 1，而CA 1⊥平面EFG ，所以AC 1⊥EG ；故①正确；对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，∴CM//ED ，因此GC//ED 不正确；③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，∴B 1F 与BC 不垂直，因此B 1F ⊥平面BGC 1不成立．④∵D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.∴EF 和BB 1成角为π4.正确．正确命题的个数是2． 故选：C ． 如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，可得EG//D 1B 1，又CA 1⊥平面EFG ，即可判断出正误．对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误； ③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，可得B 1F 与BC 不垂直，即可判断出正误． ④由于D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.即可判断出正误．本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：4解析：解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图： 化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时，z 取得最大值， 由{y =22x −y =2，解得A(2,2)时， 目标函数有最大值为z =4． 故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：1解析：解：∵f′(x)=2cosx ， ∴f′(π3)=2cos π3=1，∵切线与直线ax +y −1=0垂直， 所以−a =−1 ∴a =1．故答案为：1．根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a 的值．本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，利用切点处的导数等于切线斜率是本题的切入点．15.答案：16解析：解：由∠ABQ =90°，∠BAP =90°， 延长BO 到P ，AO 到Q ；当点P 位于劣弧PQ 之间时，△ABP 为锐角三角形，因为AO =OB =AB ；所以：∠AOB =∠POQ =60°； 所以其概率为：P =60°360∘=16．故答案为：16．先找到等于90°的分界点，进而求得结论．本题主要考查几何概型，此题涉及到弧长问题，属于基础题目．16.答案：2√2 4π3解析：解：当BD 过球心，所以∠BAD =∠BCD =90°，所以AO ⊥面BCD ，V A−BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC =CD 时体积最大， 因为BD =2√2，OA =√2，所以BC =CD =2， 所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23；三棱锥A −BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB =AC =√OC 2+OA 2=2=BC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =√32，所以r =√3，所以外接圆的面积为S =πr 2=4π3，故答案分别为：2√23，4π3． 由于BD 过球心，所以可得∠BAD =∠BCD =90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC =CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．17.答案：解：(1)∵sinBsin 2A =√2cosA 中，sinB =2√23， ∴2sin 2A =3cosA ，即2(1−cos 2A)=3cosA ， 解得cosA =12，A =π3．(2)∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB ，∴AB =ACsinB ⋅sinC =√64+1．解析：(1)由已知结合同角平方关系可求cos A ，进而可求A ； (2)由已知结合和差角公式可求sin C ，然后结合正弦定理可求． 本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题．18.答案：解：(Ⅰ)由图可知，(0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005)×10=1， 解得m =0.025；擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 3070 100K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762<6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．解析：(Ⅰ)由小矩形面积之和为1即可求出m ；(Ⅱ)根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)证明：AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，可得CB ⊥平面ABB 1A 1， M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，可得MN//BC ， 可得MN ⊥平面ABB 1A 1，又A 1B ⊥NG ， 由三垂线定理可得A 1B ⊥GM ；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，由(Ⅰ)可得A 1B ⊥平面MNG ， 在△BNE 中，AA 1=2AB =4，tan∠EBN =12，则cos∠EBN =√5， 可得BE =4√55，由BA 1=2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．解析：(1)运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，易得A 1B ⊥平面MNG ，即A 1到平面MNG 的距离为A 1E ，由解三角形的知识求得所求距离．本题考查线面垂直的判定和性质的运用，考查点到平面的距离的求法，注意运用转化思想和平面几何的性质，属于中档题．20.答案：解：(1)已知点P 在椭圆上，设P(x 0,y 0)，即有x 02a 2+y 02b 2=1，又k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c =2， 可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ， 联立直线AP 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0， 由x A =−2，可得x P =6−8k 23+4k 2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2−12=0，即x M 2=6−8k 23+4k 2，所以|AP|⋅|AQ||OM|2=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M|2=|x p +2|⋅|0+2||x M |2=2．即|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，且定值为2．解析：(1)由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a =−34，又c =1，再结合a 2=b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．本小题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题等知识．21.答案：解：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得(2x 1+x 2+3)(x 1−x 2)=0．2x 1+x 2=−3.(6’)(2)证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，可知ℎ(x)在(−∞,−2)和(0,+∞)上单调递增，在[−2,0]上单调递减，又ℎ(−2)=43，ℎ(0)=0；−m(x +1)为过点(−1,0)的直线，又m >0，则−m <0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．(12分)解析：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．(2)令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程为(x −2)2+y 2=4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)，得{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y =8； (Ⅱ)如图，圆C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=8， 即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)， 则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=4|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4<α<π2，∴−π4<2α+π4<5π4．∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1,1+√2]， 则|ON||OM|的最小值为4√2+1=4(√2−1)．解析：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4为{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程；(Ⅱ)分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)，可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1x +2,−12≤x ≤1−3x,x <−12， 则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−12≤x ≤1x +2<9或{x <−12−3x <9，解得1<x <3或−12≤x ≤1或−3<x <−12， 综上可得原不等式的解集为(−3,3)；(Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立，即为1<f(x)min，当a=0时，f(x)=|x−1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；当a<0，即−a>0时，f(x)=|ax+1|+|x−1|=−a|x+1a |+|x−1|=(−a−1)|x+1a|+(|x−1|+|x+1a|)，当−a−1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1a |，又|1+1a|>1不恒成立；当a>0，x>0时，f(x)=ax+1+|x−1的最小值为f(1)=a+1|>1恒成立，综上可得，a的范围是(0,+∞)．解析：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020年吉林省高考文科科数学仿真模拟试题二(附答案)
2020年吉林省高考文科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2. 在复平面内，复数22ii+-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“x＞5”是“＞1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件4. 以A （－2，1），B （1，5）为半径两端点的圆的方程是( ) A. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25 B. （x －1）2＋（y －5）2＝25C. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25或（x －1）2＋（y －5）2＝25D. （x ＋2）2＋（y －1）2＝5或（x －1）2＋（y －5）2＝5 5. 已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，则(1)f =（ ） A. 53-B. 13C. 23D. 326. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，510a =-，则1a =（ ） A. -3B. -2C. 2D. 37. 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（ ） A. 1212p p << B. 1212p p << C. 2112p p << D.2112p p << 8. 已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ） A. 58-B.118C.14D.189. 已知4616117421⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= T ，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①和②处可以分别填入( ) A.i m m i +=≤，?10 B.1?10++=≤i m m i ， C.i m m i +=≤，?11 D.1?11++=≤i m m i ，10．已知点()12,0F -，圆()222:236F x y -+=，点M 是圆上一动点，线段1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N .则点N 的轨迹方程为A.22192x y -=B.320x y --=C.2236x y += D.22195x y += 11．函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年吉林省高考数学(文科)模拟试卷(2) 含详细答案解析
2020年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}2．（5分）设复数z满足．则||等于（）A．B．C．D．23．（5分）下列与函数y＝定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2B．y＝log2（）xC．y＝log2D．y＝x4．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．（5分）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则＝（）A．B．C．1D．6．（5分）《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲7．（5分）设是非零向量，已知命题p：若，则；命题q：若，则，下列命题中真命题是（）A．（￢p）∧（￢q）B．p∨（￢q）C．p∨q D．p∧q8．（5分）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]9．（5分）已知α为锐角，且，则角α＝（）A．B．C．D．10．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上的点，且PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±2x11．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，，设，则数列{b n}的前n项和为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的个数是（）（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0B．1C．2D．3二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若x，y满足约条条件，则z＝x+y的最大值为14．（5分）曲线f（x）＝2sinx在处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝．15．（5分）设不等式组所表示的平面区域为M，函数y＝﹣的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点不落在N内的概率为．16．（5分）三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，三棱锥A﹣BCD体积的最大值为；三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B．（1）求sinB的值；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某校高一组织一次数学竞赛，选取50名学生成绩（百分制，均为整数），根据这50名学生的成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计选取的50名学生在这次数学竞赛中的平均成绩；（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生成绩中抽取一个样本容量为5的样本，再随机抽取2人的成绩，求恰有一人成绩在分数段[50，60）内的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．20．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，点P为椭圆上异于A，B的点，且直线P A和PB的斜率之积为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM∥AP交椭圆于点M，试证明为定值，并求出该定值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若x1为f（x）的极值点，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），求2x1+x2的值；（Ⅱ）求证：当m＞0时，f（x）有唯一的零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求C1和C2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O作直线交曲线C1于点M（M异于O），交曲线C2于点N，求的最小值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．2020年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（2）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）设复数z满足．则||等于（）A．B．C．D．2【解答】解：因为z＝，所以，所以||＝，故选：B．3．（5分）下列与函数y＝定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2B．y＝log2（）xC．y＝log2D．y＝x【解答】解：在定义域{x|x＞0}上单调递减，在定义域{x|x＞0}上单调递增，的定义域为R，在定义域{x|x＞0}上单调递减，的定义域为{x|x≥0}．故选：C．4．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a10【解答】解：∵等差数列{a n}中，3a5＝2a7，。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3，5，7}，B ={x|x 2−7x +10≤0}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 已知复数z =a +i ，a ∈R ，若|z|=2，则a 的值为( )A. 1B. √3C. ±1D. ±√33. 下列与函数y =√x 定义域和单调性都相同的函数是( )A. y =2log 2xB. y =log 2(12)xC. y =log 21xD. y =x 144. 在等差数列{a n }中，a 3=3，d =2，则a 1=( )A. 1B. −1C. 7D. 25. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(2,0)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +2b ⃗ |=( )A. 12B. 4C. 2√3D. √36. 某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A 表示甲的创造力指标值为4，点B 表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是A. 乙的记忆能力优于甲的记忆能力B. 乙的创造力优于观察能力C. 甲的六大能力中记忆能力最差D. 甲的六大能力整体水平优于乙7. 已知命题p ：∀x >0，x <tanx ，命题q ：∃x >0使得ax <lnx ，若p ∨(￢q)为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a ≥1eC. a <1D. a <1e8. 函数f(x)={lnx −x 2+2x(x >0)x 2−2x −3(x ≤0)的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 已知α为锐角，cos(α+π6)=23，则sinα=( )A. 2+√156B. 2√3+√56C. 2√3−√56D. √15−2610. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√3311. 已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6=6332，且−a 2，a 4，3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．A. (12)n−1；4−(2n +4)⋅(12)nB. (12)n；4−(2n +4)⋅(12)n C. (12)n−1；5−(2n +4)⋅(12)nD. (12)n；5−(2n +4)⋅(12)n 12. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )A. A 1E ⊥DC 1B. A 1E ⊥BDC. A 1E ⊥BC 1D. A 1E ⊥AC二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x,y 满足{x −y +1≤02x +y −4≥0x ≥0，则z =x +2y 的最小值为________．14. 设曲线y =2−cosx sinx在点(π2,2)处的切线与直线x +ay +1=0垂直，则a = ______ ．15. 已知在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，在边AB 上任取一点F ，则△ADF 与△BFE 的面积之比大于1的概率是________．16. 一个平行于棱长为1的正四面体ABCD 的一对棱AC ，BD 的截面，所得最大截面的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足2√3sinAsinB =5sinC 且cosB =1114．(1)求角A 的大小；(2)若内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =14，求边BC 上的中线AD 的长．18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E为A1C1的中点，AB=BC=2，C1F⊥AB，(1)求证：AB⊥BC；(2)若C1F//平面ABE，且C1F=2，求点A到平面BCE的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作x轴的垂线l1，D为l1上异于点B的一点，以BD 为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H，且l2与直线AD相交于点P，试判断|PF1|+|PH|是否为定值，并说明理由．21.已知函数f(x)=[ax2+(a−1)2x+a−(a−1)2]e x，若x=0为f(x)的极值点，求实数a的值．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.已知函数f(x)=|a−x|+|x+1|．(1)当a=6时，解不等式f(x)≥9；(2)若关于实数x的不等式f(x)>2a2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：D解析：本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，属于基础题．根据复数求模公式计算即可．解：z=a+i，a∈R，则|z|=√a2+1=2，解得：a=±√3，故选：D．3.答案：C解析：解：y=在定义域{x|x>0}上单调递减，xy=2log2x=x在定义域{x|x>0}上单调递增，故A错；y=log2(1)x的定义域为R，B错；2y=log21在定义域{x|x>0}上单调递减，C正确；xy=x14的定义域为{x|x≥0}.故D错故选：C．可看出，y=在定义域{x|x>0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x>0}上单调√x递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x>0}，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}中，a3=3，d=2，a1+2×2=3，解得a1=−1．故选：B．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积与模长公式的计算问题，是基础题．根据平面向量的数量积计算向量的模长即可．解：平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(2,0)，|b⃗ |=1，∴|a⃗|=2，∴(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=4+4×2×1×cos60°+4×1=12，∴|a⃗+2b⃗ |=2√3．故选C．6.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查读图识图能力、分析判断能力，是基础题．在A中，乙的记忆能力是4，甲的记忆能力是5；在B中，乙的创造能力是3，乙的观察能力是4；在C中，甲的推理能力最差；在D中，甲的六大能力综合为4+5+5+4+4+3=25，乙的综合能力和为5+3+3+4+4+5=24，得到整体水平甲的高．解：由六维能力雷达图，得：在A中，乙的记忆能力是4，甲的记忆能力是5，。
吉林省长春市2020届高考数学二模试卷(文科) (解析版)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3} 2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．13．下列与函数y=1√x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x144．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．若单位向量e1→，e2→夹角为60°，a→=2e1→−e2→，则|a→|＝（）A．4B．2C．√3D．16．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝lna+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．若双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√3311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣112．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为棱A 1D 1，D 1D ，A 1B 1的中点，给出下列命题：①AC 1⊥EG ；②GC ∥ED ；③B 1F ⊥平面BGC 1；④EF 和BB 1成角为π4．正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为 ．14．曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ． 15．在半径为2的圆上有A ，B 两点，且AB ＝2，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为 ．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 ；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，sin B sin 2A =√2cos A ，cos B =13． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若AC ＝2，求AB 长．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计100P （K 2≥x ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AA 1＝2AB ＝4，M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，G 为棱AA 1上一点，若A 1B ⊥NG ． （Ⅰ）求证：A 1B ⊥GM ；（Ⅱ）求点A 1到平面MNG 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值； （Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4（t 为参数）． （Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．1【分析】根据复数求模公式计算即可．解：因为z＝1+（1﹣a）i（a∈R），∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒（1﹣a）2＝1⇒a＝0或2；故选：A．3．下列与函数y=x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x14【分析】可看出，y=1√x在定义域{x|x＞0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x＞0}上单调递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x＞0}，从而得出选项A，B ，D 都错误，只能选C ． 解：y =1√x {x |x ＞0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x |x ＞0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x |x ＞0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x |x ≥0}． 故选：C ．4．已知等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是（ ） A ．a 1B ．a 3C ．a 8D ．a 10【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 解：∵等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7， ∴3（a 1+4d ）＝2（a 1+6d ）， 化为：a 1＝0．则此数列中一定为0的是a 1． 故选：A ．5．若单位向量e 1→，e 2→夹角为60°，a →=2e 1→−e 2→，则|a →|＝（ ） A ．4B ．2C ．√3D ．1【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可． 解：由a →=2e 1→−e 2→，得a →2=(2e 1→−e 2→)2=4e 1→2−4e 1→•e 2→+e 2→2=4×1﹣4×1×1×cos60°+1＝3， 所以|a →|=√3． 故选：C ．6．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于A选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A错误，对于B选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B错误，对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C错误，对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D正确，故选：D．7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝lna+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q【分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f （x ）＝ln a+x a−x在a ＞0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立， 当x 0＝π时，对任意实数x ，使得sin （x +π）＝﹣sin x 恒成立， 故P 为真命题； 命题q ：∀a ＞0，f （x ）＝ln a+x a−x，有a+x a−x＞0，解可得﹣a ＜x ＜a ，函数的定义域为（﹣a ，a ），关于原点对称， 有f （﹣x ）＝lna+x a−x=−lna+x a−x=−f （x ），即函数f （x ）为奇函数，故其为真命题；则p ∧q 为真命题，（￢p ）∨（￢q ）、P ∧（￢q ）、（￢p ）∧q 为假命题； 故选：A ．8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】画出f （x ）的图象，结合图象求出y ＝f （x ）与y ＝3的交点个数，即可判断结论．解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2；所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．9．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【分析】由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论．解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)， 将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足， 故选：C ．10．若双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√33【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．解：圆x 2+y 2﹣4y ＝0化为标准方程为：x 2+（y ﹣2）2＝4， ∴圆心为（0，2），半径r ＝2，∵渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴√a 22=√3，即2ac=√3∴离心率e =c a =2√33，故选：D ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣1【分析】根据a n +1＝S n +1﹣S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 解：法一：排除法：a 2＝6，a 3＝16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)， ∴S n+1−S n =n+2n S n ，化简得：S n+1n+1=2Sn n， ∴数列{S n n}是以2为首项，2为公比的等比数列，S n n=2n ，S n =n ⋅2n ．故选：B ．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】如图对于①，连接A1C，B1D1，可得EG∥D1B1，又CA1⊥平面EFG，即可判断出正误．对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，进而判断出正误；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，可得B1F与BC不垂直，即可判断出正误．④由于D1D∥B1B，EF和DD1所角为π4．即可判断出正误．解：如图对于①，连接A1C，B1D1，则EG∥D1B1，而CA1⊥平面EFG，所以AC1⊥EG；故①正确；对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，∴CM ∥ED，因此GC∥ED不正确；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，∴B1F与BC不垂直，因此B1F⊥平面BGC1不成立．④∵D1D∥B1B，EF和DD1所角为π4．∴EF和BB1成角为π4．正确．正确命题的个数是2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图：化目标函数z ＝x +y 为y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过A 时，z 取得最大值， 由{y =22x −y =2，解得A （2，2）时， 目标函数有最大值为z ＝4． 故答案为：4．14．曲线f（x）＝2sin x在x=π3处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝1．【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a的值．解：∵f′（x）＝2cos x，∴f′(π3)=2cosπ3=1，∵切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，所以﹣a＝﹣1∴a＝1．故答案为：1．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为16．【分析】先找到等于90°的分界点，进而求得结论．解：由∠ABQ＝90°，∠BAP＝90°，延长BO到P，AO到Q；当点P位于劣弧PQ之间时，△ABP为锐角三角形，因为AO＝OB＝AB；所以：∠AOB＝∠POQ＝60°；所以其概率为：P=60°360°=16．故答案为：16．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 √23；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为4π3．【分析】由于BD 过球心，所以可得∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC ＝CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．解：当BD 过球心，所以∠BAD ＝∠BCD ＝90°，所以AO ⊥面BCD ，V A ﹣BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC ＝CD 时体积最大， 因为BD ＝2√2，OA =√2，所以BC ＝CD ＝2， 所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23； 三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB ＝AC =√OC 2+OA 2=2＝BC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =232，所以r =3， 所以外接圆的面积为S ＝πr 2=4π3， 故答案分别为：2√23，4π3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A=√2cos A，cos B=1 3．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．【分析】（1）由已知结合同角平方关系可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合和差角公式可求sin C，然后结合正弦定理可求．解：（1）∵sinBsin2A=√2cosA中，sinB=2√23，∴2sin2A＝3cos A，即2（1﹣cos2A）＝3cos A，解得cosA=12，A=π3．（2）∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB，∴AB=ACsinB⋅sinC=√64+1．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计100P （K 2≥x ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．解：（Ⅰ）由图可知，（0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005）×10＝1， 解得m ＝0.025； （Ⅱ）擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性104050合计3070100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762＜6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．【分析】（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，易得A1B⊥平面MNG，即A1到平面MNG的距离为A1E，由解三角形的知识求得所求距离．解：（1）证明：AB⊥BC，BC⊥BB1，可得CB⊥平面ABB1A1，M，N分别为CC1，BB1的中点，可得MN∥BC，可得MN⊥平面ABB1A1，又A1B⊥NG，由三垂线定理可得A1B⊥GM；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，由（Ⅰ）可得A1B⊥平面MNG，在△BNE中，AA1＝2AB＝4，tan∠EBN=12，则cos∠EBN=5，可得BE =4√55，由BA 1＝2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．【分析】（1）由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a2=−34，又c ＝1，再结合a 2＝b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．解：（1）已知点P 在椭圆上，设P （x 0，y 0），即有x 02a +y 02b =1，又k AP k BP=y 0x 0+a ⋅y 0x 0−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c ＝2，可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ，联立直线AP 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0， 由x A ＝﹣2，可得x P =6−8k 23+4k2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x2﹣12＝0，即x M2=6−8k 23+4k2，所以|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．即|AP|⋅|AQ||OM|为定值，且定值为2．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值； （Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．【分析】（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．（2）令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．解：（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得（2x 1+x 2+3）（x 1﹣x 2）＝0． 2x 1+x 2＝﹣3．（6’）（2）证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，可知h （x ）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，又h(−2)=43，h （0）＝0；﹣m （x +1）为过点（﹣1，0）的直线，又m ＞0，则﹣m ＜0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos3π4y =tsin3π4（t 为参数）． （Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．【分析】（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4为{x =8−√22t y =√22t ，消去参数t ，可得C 2的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2），可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．解：（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程为（x ﹣2）2+y 2＝4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4（t 为参数），得{x =8−√22ty =√22t ，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y ＝8；（Ⅱ）如图，圆C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ＝8， 即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2），则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4＜α＜π2，∴−π4＜2α+π4＜5π4． ∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1，1+√2]， 则|ON||OM|的最小值为√2+1=4(√2−1)．一、选择题23．已知函数f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|．（Ⅰ）若a ＝2，解关于x 的不等式f （x ）＜9；（Ⅱ）若当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1＜f （x ）min ，（x ＞0），讨论a ＝0，a ＜0，a ＞0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|={3x ，x ＞1x +2，−12≤x ≤1−3x ，x ＜−12，则f （x ）＜9等价为{x ＞13x ＜9或{−12≤x ≤1x +2＜9或{x ＜−12−3x ＜9，解得1＜x ＜3或−12≤x ≤1或﹣3＜x ＜−12， 综上可得原不等式的解集为（﹣3，3）； （Ⅱ）当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立， 即为1＜f （x ）min ，当a ＝0时，f （x ）＝|x ﹣1|，其最小值为f （1）＝0，不符题意；当a ＜0，即﹣a ＞0时，f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|＝﹣a |x +1a|+|x ﹣1|＝（﹣a ﹣1）|x +1a|+（|x ﹣1|+|x +1a|），当﹣a ﹣1≥0，f （x ）有最小值，且为|1+1a|，又|1+1a|＞1不恒成立；当a ＞0，x ＞0时，f （x ）＝ax +1+|x ﹣1的最小值为f （1）＝a +1|＞1恒成立， 综上可得，a 的范围是（0，+∞）．。