模糊数学第19次 模糊相似性度量模糊综合评价讲解
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数学建模-模糊综合评判
在综合评判中起主导作用时，建议采用模型1； 当模型1失效时可采用模型2，模型3.
模型4 M（●，+）----加权平均模型
n
bj ai • rij
j 1,2,, m
i 1
模型4对所有因素依权重大小均衡兼顾，
适用于考虑各因素起作用的情况
注：有关合成算子以及权值确定可以查阅相关 资料，根据实际情况选择。
值就是 x0对A 的隶属度值。这种方法较直观地反映了 模糊概念中的隶属程度,但其计算量相当大。
(2)专家经验法： 专家经验法是根据专家的实际经验给出模
糊信息的处理算式或相应权系数值来确定隶属 函数的一种方法。在许多情况下,经常是初步 确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和 实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检 验和调整隶属函数的依据。
例
设论域X=[0,100]，模糊子集A表示“年老”，B 表示“年轻”。Zadeh给出的A、B的隶属度函数 分别为：
0
Ax
1
x
50 5
2
1
1
Bx
1
x
25 5
2
1
0 x 50; 50 x 100.
0 x 25; 25 x 100.
μ(x) 1
年轻
0
25
50
根据定义，我们不难算出 B(30)=0.5，
R=（rij）n×m∈F（X×Y）。
n
（4）确定各因素权重 A=（a1,a2,…,an)， ai 1, ai 0 i 1
（5）做综合评判 B A R
注:
（1） 为了更好地理解、解释评判结果，可 以将评判结果归一化。令
B' (b1',b2 ',, bm ')
模糊数学综合评判法ppt课件
实例：某装修房经监测，其室内空气污染物含量如下，试 判断其污染程度。
甲醛： 0.32mg/m3 ；苯：0.18mg/m3；甲苯：0.23mg/m3；二甲苯： 0；氨：0.27mg/m3；可吸入物：0.21mg/m3。
解决方法——综合评判法
评价因子的确定 分级标准 各因子对评价等级的隶属度 综合评价 结论
n
i1
Wi 1
结果为：W 0 . 3 0 , 0 . 1 6 , 0 . 1 7 , 0 , 0 . 2 0 , 0 . 1 7
4.3综合评判——最大隶属度
R B 模糊综合评判模式为： W0 . 8 50 . 1 5 00 . 3 30 . 6 70 00 . 8 5 0 . 1 5 0 W R 0 . 3 0 , 0 . 1 6 , 0 . 1 7 , 0 , 0 . 2 0 , 0 . 1 7 0 , 0 . 4 2 9 3 , 0 . 5 2 5 7 , 0 . 0 4 5 10 0 0 00 . 6 5 0 . 3 5 0 0 0 . 6 0 . 4 0
结果表明该室内环境空气对优等级 的隶属度为0，对良好等级的隶属度为 0.4293, 对轻污染等级的隶属度为0.5257， 对重污染等级的隶属度为0.045。该室内 空气的监测结果对轻污染的隶属度最大, 故评判该室内空气的质量为轻污染等级。
5.结论
该装修房室内环境空气质量在良好与轻 污染之间，偏重于轻污染，在保持良好 的通风条件下，可居住。
2.用隶属度函数公式求各因子对评价等级 的隶属度
4.综合评价
建立模糊关系矩阵 计算权重——指数超标法 综合评判——最大隶属度
AHP模糊综合评判法PPT课件
27
第27页/共66页
0.2 0.5 0.3 0.0 0.1 0.3 0.5 0.1
R
0.0
0.4
0.5
0.1
0.0 0.1 0.6 0.3
0.5
0.3
0.2
0.0
运算功能 存储容量 运行速度 外设配置 价格
据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配
置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于
人认为“不受u欢1 迎”，则 的单因素评价向量为
R1 (0.2,0.5,0.3,0)
26
第26页/共66页
同理，对存储容量 u2 ，运行速度 u3 ，外设配置 u4 和价格 u5 分别作出单因素评价，得
R2 (0.1,0.3,0.5,0.1) R3 (0,0.4,0.5,0.1) R4 (0,0.1,0.6,0.3) R5 (0.5, 0.3, 0.2, 0.0) R1, R2 , R3, R4 , R5 组合成评判矩阵 R
Bk
(aj
j 1
r
jk
)＝max 1 j m
aj
rjk
,
k 1, 2,, n
(0.3
0.3
0.4)
0.5 0.3
0.3 0.2 0.4 0.2
0 0.1
0.15
0.12
0.12
0.08
0.2 0.2 0.3 0.2
16
第16页/共66页
(3) M( , )
⊕表示相加
m
Bk min aj , rjk , k 1 , 2 , , n
• 应用领域 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、信息控制、聚类分析、专家系统、 综合评判等
第27页/共66页
0.2 0.5 0.3 0.0 0.1 0.3 0.5 0.1
R
0.0
0.4
0.5
0.1
0.0 0.1 0.6 0.3
0.5
0.3
0.2
0.0
运算功能 存储容量 运行速度 外设配置 价格
据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配
置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于
人认为“不受u欢1 迎”，则 的单因素评价向量为
R1 (0.2,0.5,0.3,0)
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同理，对存储容量 u2 ，运行速度 u3 ，外设配置 u4 和价格 u5 分别作出单因素评价，得
R2 (0.1,0.3,0.5,0.1) R3 (0,0.4,0.5,0.1) R4 (0,0.1,0.6,0.3) R5 (0.5, 0.3, 0.2, 0.0) R1, R2 , R3, R4 , R5 组合成评判矩阵 R
Bk
(aj
j 1
r
jk
)＝max 1 j m
aj
rjk
,
k 1, 2,, n
(0.3
0.3
0.4)
0.5 0.3
0.3 0.2 0.4 0.2
0 0.1
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0.12
0.12
0.08
0.2 0.2 0.3 0.2
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(3) M( , )
⊕表示相加
m
Bk min aj , rjk , k 1 , 2 , , n
• 应用领域 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、信息控制、聚类分析、专家系统、 综合评判等
模糊数学综合评价法
模糊数学综合评价法模糊综合评价法（fuzzy prehensive evaluation method）模糊数学综合评价法 1模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。
模糊数学综合评价法 2为了便于描述，依据模糊数学的基本概念，对模糊综合评价法中的有关术语定义如下：1．评价因素（F）：系指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性将评价因素分成若干类（例如，商务、技术、价格、伴随服务，等），把每一类都视为单一评价因素，并称之为第一级评价因素（F1）。
第一级评价因素可以设置下属的第二级评价因素（例如，第一级评价因素“商务”可以有下属的第二级评价因素：交货期、付款条件和付款方式，等）。
第二级评价因素可以设置下属的第三级评价因素（F3）。
依此类推。
2．评价因素值（Fv）：系指评价因素的具体值。
例如，某投标人的某技术参数为120，那么，该投标人的该评价因素值为120。
3．评价值（E）：系指评价因素的优劣程度。
评价因素最优的评价值为1（采用百分制时为100分）；欠优的评价因素，依据欠优的程度，其评价值大于或等于零、小于或等于1（采用百分制时为100分），即0≤E≤1（采用百分制时0≤E≤100）。
4．平均评价值（Ep）：系指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。
平均评价值（Ep）＝全体评标委员会成员的评价值之和÷评委数5．权重（W）：系指评价因素的地位和重要程度。
一级评价因素的权重之和为1；每个评价因子的下一个评价因子的权重之和为1。
6．加权平均评价值（Epw）：系指加权后的平均评价值。
加权平均评价值（Epw）＝平均评价值（Ep）×权重（W）。
完整版模糊综合评价法(终版).pptx
,n
0.5 0.3 0.2 0
0.3
0.3
0.3
0.3
0.4
0.2
0.1
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2 0.2 0.3 0.2
b1
max
1i3
0.3,
0.3,
0.2
0.3
18
.精品课件.
（2） M •， 算子（模型二）：
m
bj
i 1
ai , rij
max 1i m
ai rij
min 1,
m
ai
rij
,
j 1, 2,
,n
i1
0.5 0.3 0.2 0
0.3
0.3
0.3
0.3 0.2
0.4 0.2
0.2 0.3
00..21 0.3
0.27
0.21
0.09
b1
min
1,
3
0.15
0.09
0.06
min
1,
0.3
0.3
i1
21
.精品课件.
（三）模糊综合判定法的优缺点
隶属度是模糊综合评价中最基本和最重要的概念。所谓隶属度 rij 是
指多个评价主体对某个评价对象在 ui 方面作出 v j评定的可能性大小
m
（可能性程度）。隶属度向量 Ri (ri1, ri2 ,…,rim ), i 1, 2,..., n, rij 1
j 1
r11 r12
R
r21
r22
r1m
2. 确定各项评价指标的权重 下面先对学生的评价进行模糊综合评价。设1, 2, 3...... 8的权重
模糊数学综合评价
第四讲 模糊综合评价
§4.1评价指标权重的确定
在对许多事物进行客观评价时，其评价因素可能较 多，我们不能只根据某一个指标的好坏就做出判断， 而应该依据多种因素进行综合评价。 设 U u 1 , u 2 , , u n 是待评价的n个方案集合，
V v 1 , v 2 , , v m 是评价因素集合，将U中的每个
E ( e ij ) n m
m in a ij . / a ij 1 i n e ij a ij / m ax a ij 1 i n a ij j / m ax a ij j 1 i n
a ij I 1 a ij I 2 a ij I 3
其中j为第 j项指标的适度数值。
a ij m a x a ij 1 i n d ij m in a ij . a ij 1 i n ij mn m in a ij j . a ij j 1 i n
a ij I 1 a ij I 2 a ij I 3
期望净现值
风险盈利值 风险损失值
5.20
4.73 0.473
6.70
5.71 1.599
4.20
3.82 0.473
5.25
5.54 1.313
3.75
3.30 0.803
试确定四个评价指标的权重
x 1 ( 5 . 2 10 . 08 5 . 25 9 . 72 6 . 6 ) / 5 7 . 37 ,
C 5 0 . 140 ,
C 05 0 . 087 , P5 0 . 14 / 0 . 087 1 . 61
于是 各评价指标的权重为： W=（0.196,0.217,0.213,0.205,0.169）
§4.1评价指标权重的确定
在对许多事物进行客观评价时，其评价因素可能较 多，我们不能只根据某一个指标的好坏就做出判断， 而应该依据多种因素进行综合评价。 设 U u 1 , u 2 , , u n 是待评价的n个方案集合，
V v 1 , v 2 , , v m 是评价因素集合，将U中的每个
E ( e ij ) n m
m in a ij . / a ij 1 i n e ij a ij / m ax a ij 1 i n a ij j / m ax a ij j 1 i n
a ij I 1 a ij I 2 a ij I 3
其中j为第 j项指标的适度数值。
a ij m a x a ij 1 i n d ij m in a ij . a ij 1 i n ij mn m in a ij j . a ij j 1 i n
a ij I 1 a ij I 2 a ij I 3
期望净现值
风险盈利值 风险损失值
5.20
4.73 0.473
6.70
5.71 1.599
4.20
3.82 0.473
5.25
5.54 1.313
3.75
3.30 0.803
试确定四个评价指标的权重
x 1 ( 5 . 2 10 . 08 5 . 25 9 . 72 6 . 6 ) / 5 7 . 37 ,
C 5 0 . 140 ,
C 05 0 . 087 , P5 0 . 14 / 0 . 087 1 . 61
于是 各评价指标的权重为： W=（0.196,0.217,0.213,0.205,0.169）
模糊综合评价法讲解
B1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14) B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14) 归一化（即将每分量初一分量总和），得
B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12) B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12) 若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升， 则此教师晋升为教学型教授，不可晋升为科研型教
是由一个指标实际值来刻画，因此从这个角度讲，
模糊综合评价要求更多的信息），ri 称为单因素评
价矩阵，可以看作是因素集U和评价集V之间的一种 模糊关系，即影响因素与评价对象之间的“合理关
系”。
在确定隶属关系时，通常是由专家或与评价问题 相关的专业人员依据评判等级对评价对象进行打分
，然后统计打分结果，然后可以根据绝对值减数法
1.80 1.93 0.87 1.12 1.21 0.87 0.89 2.52 0.81 0.82 1.01
A＝（0.2，0.3，0.5）
专家评价结果表
由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自 的评价矩阵P、Q、R：
0.7 0.2 0.1 P 0.1 0.2 0.7
0.3 0.6 0.1
0.3 0.6 0.1 Q 1 0 0
0.7 0.3 0
0.1 0.4 0.5 R 1 0 0
0.1 0.3 0.6
例3：“晋升”的数学模型，以高校教师晋 升教授为例
因素集：
U={政治表现及工作态度，教学水平，科 研水平，外语水平}；
评判集：
V={好，较好，一般，较差，差}；
（1）建立模糊综合评判矩阵
当学科评审组的每个成员对评判的对象进 行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分 或投票的方法表明各自的评价
B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12) B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12) 若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升， 则此教师晋升为教学型教授，不可晋升为科研型教
是由一个指标实际值来刻画，因此从这个角度讲，
模糊综合评价要求更多的信息），ri 称为单因素评
价矩阵，可以看作是因素集U和评价集V之间的一种 模糊关系，即影响因素与评价对象之间的“合理关
系”。
在确定隶属关系时，通常是由专家或与评价问题 相关的专业人员依据评判等级对评价对象进行打分
，然后统计打分结果，然后可以根据绝对值减数法
1.80 1.93 0.87 1.12 1.21 0.87 0.89 2.52 0.81 0.82 1.01
A＝（0.2，0.3，0.5）
专家评价结果表
由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自 的评价矩阵P、Q、R：
0.7 0.2 0.1 P 0.1 0.2 0.7
0.3 0.6 0.1
0.3 0.6 0.1 Q 1 0 0
0.7 0.3 0
0.1 0.4 0.5 R 1 0 0
0.1 0.3 0.6
例3：“晋升”的数学模型，以高校教师晋 升教授为例
因素集：
U={政治表现及工作态度，教学水平，科 研水平，外语水平}；
评判集：
V={好，较好，一般，较差，差}；
（1）建立模糊综合评判矩阵
当学科评审组的每个成员对评判的对象进 行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分 或投票的方法表明各自的评价
模糊综合评价法及例题 1 ppt课件
0.4)
0.5 0.3
0.3 0.4
0.2 0.2
0 0.1
0.2 0.2 0.3 0.2
0 .30 .30 .30 .2
2020/12/12
24
算子
▪ (2) M(•,)算子
m
skj 1 (jrj) k ＝ 1 m j ma jr x jk, k 1 ,2 , ,n
(0.3
0.3
0.4)
0.5 0.3
0.3 0.4
0.2 0.2
0 0.1
0 .10 5 .10 2 .10 2 .0 8
0.2 0.2 0.3 0.2
2020/12/12
25
算子
▪ (3) M(,)
m
skm 1 i,nmij,n rjk,
k 1,2, ,n
j 1
(0.3
0.3
0.4)
0.5 0.3
R 1 0 . 5 ,0 . 3 ,0 . 2 ,0
R 2 0 . 3 ,0 . 4 ,0 . 2 ,0 . 1
R1 0.5 0.3 0.2 0 RR20.3 0.4 0.2 0.1
R3 0.2 0.2 0.3 0.2
2020/12/12
22
模糊综合评价
r11
SW R1,2, ,mr21
6
什么是模糊数学
•模糊概念 秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
2020/12/12
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u1 ? r1 ? (0.2,0.5,0.2,0.1)
u2 ? r2 ? (0.7,0.2,0.1,0)
u3 ? r3 ? (0,0.4,0.5,0.1)
u4 ? r4 ? (0.2,0.3,0.5,0).
2019 年5月30 日
14
（4）由单因素评判构造综合评判矩阵
??0.2 0.5 0.2 0.1??
? 结论：C和B 的模糊相似性更小一些，越相近。
2019 年5月30 日
6
3、欧几里得距离
设A, B 是论域U上的两个模糊子集，A, B 间的欧氏距离 定义为
e ?A, B?? ?n ? A ?xi ?? ? B ?xi ?2 i?1
? ?A, B ?? 1 e ?A, B?
n
——欧氏相对距离
2019 年5月30 日
（4）构造综合评判矩阵：
? ?
r11
R
?
? r21 ??
r12
r22 ?
? ? ?
r1m
? ?
r2m ?
??
?? ?
rn
1
rn 2
?
rnm
?? ?
（5）综合评判：对于权重 A ? (a1,a2,? ,an ),计算
B ? A ?R ，并根据隶属度最大原则作出评判。
2019 年5月30 日
13
例：考虑一个服装的评判问题。
第四章 模糊性与相似性度量
? 为了进一步度量模糊子集的模糊性，引进模糊度的概念。
? 应用于模糊综合评价、模糊模式识别、模糊故障诊断等
模糊度d(A) 模糊熵H(A)
对一个模糊子集 模糊性的度量。
其中A是模糊子集。
4.1 模糊度
? 模糊度：度量一个模糊集合的模糊程度，与隶属函数有关。 ? （1972，法国，德拉卡）
称之为因素集。又设所有可能出现的评语有 m 个，记作 V ? {v1,v2 ,? ,vm }
称之为评语集。由于各种因素所处地们不同，作用也不 一样，考虑用权重 A ? {a1,a2 ,? ,an }来衡量。
2019 年5月30 日
12
综合评价步骤：
（1）确定因素集 U ? {u1, u2 ,? ,un }; （2）确定评判集V ? {v1,v2 ,? ,vm }; （3）对第 i 个因素进行单因素评判： ri ? (ri1, ri2,? , rim );
2
]
2019 年5月30 日
10
第六章 模糊综合评价
综合评价：利用评价因素对一个事物从各个角度进行评判打分 模糊综合评价：评价因素具有模糊性
一级模糊综合评价 多级模糊综合评价
2019 年5月30 日
11
1、一级模糊综合评判
设与被评价事物相关的因素有 n 个，记作 U ? {u1, u2,? , un }
?1
n
n i?1
w?xi ??
1
2019 年5月30 日
5
? 例2 设在论域 U = {x1, x2, x3}上有三个模糊子集， ? A = 0.2/x1+0.6/x2 +1/x3 ? B = 0.6/x1+0.3/x2 +0.8/x3 ? C = 0.5/x1+0.1/x2 +0.2/x3 ? 对元素x1到x3的加权向量为w = {1.4, 0.6, 1 }
? 模糊度为0：任意元素的隶属度要么取0，要么取1 。 ——普通集合
? 模糊度为1：任意元素的隶属度均为0.5. ——最模糊
? 两个模糊集合模糊度的比较：模糊度越靠近0.5，越模糊。
2019 年5月30 日
2
4.3 模糊集之间的相似性度量
1、海明距离
? d(x, y) = 0 ? x = y ? d(x, y) = d(y, x) ? d(x, z) ? d(x, y) + d(y, z)
? 结论：A及C与B的模糊相似性是一样的；但显然，A和C 这两个模糊子集有很大差别。
2019 年5月30 日
4
2、加权海明距离
设A, B 是论域U上的两个模糊子集，A, B 间的加权海明距离
定义为
n
dw ?A, B ?? ? w?xi ?? A ?xi ?? ? B ?xi ?
i?1
其中加权系数满足
（1）建立因素集U ? {u1 , u2 , u3 , u4 },其中 u1 :花色； u2 :式样； u3 :耐穿程度； u4 :价格。
（2）建立评判集V ? {v1, v2 , v3 ,v4 }，其中 v1 :很欢迎； v2 :较欢迎； v3 :不太欢迎； v4 :不欢迎。
（3）进行单因素评判得到：
设A, B 是论域U上的两个模糊子集，A, B 间的海明距离定义为
n
d ?A, B?? ? ? A ?xi ?? ? B ?xi ? ——绝对海明距离 i?1
? ?
?A, B??
1 d ?A, B??
n
1 n
n i?1
? A ?xi ??
? B ?xi ?
——相对海明距离
2019 年5月30 日
3
? 例1 设在论域 U = {x1, x2, x3}上有三个模糊子集， ? A = 0.2/x1+0.6/x2 +1/x3 ? B = 0.6/x1+0.3/x2 +0.8/x3 ? C = 0.5/x1+0.1/x2 +0.2/x3
(1 ?
0.4)] ?
0.45
?
0(B,C)
?
1
[
2
0.4 ?
(1 ?
0.1)] ?
0.65
故B比A更贴近于 Ｃ.
2019 年5月30 日
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海明贴近度
? ?
3(A,B)
?
1?
1 n
n k?1
A( xk
)?
B(xk
)
欧几里得贴近度
1
? ? 4 ? 1 ?
1 n
[
n k?
1
(
A(
x
k
)?
B(xkBiblioteka ))2解： A ?C ? 0.1 ? 0.1 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.3
A⊙C = 0.9 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4
B ?C ? 0 ? 0.1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.4
B⊙C = 0.1 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.1
1
?
0(A,C ) ?
[
2
0.3 ?
7
4.4 贴近度
在刻画两个模糊子集的模糊相似性时，为了克服“距离” 的不足，汪培庄学者提出了“贴近度”。
设A, B 是论域U上的两个模糊子集，A, B 间的贴近度定义为：
?A,
B ??
1 2
??A ?
B
?
?1 ?
A
B ???
2019 年5月30 日
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例：设论域 U ? {x1 , x2 , x3 , x4 }上的三个模式为 A ? (0.9,0.1,0.6,0.3), B ? (0,0.3,0.4,0.8), C ? (0.1,0.6,0.3,0.4),判别 A 和 B 中哪个与 C 最贴近。