二次函数中的三角形面积 ppt课件
二次函数背景下的直角三角形ppt
BC2 CD2 DB2 DCB 90tan CBD
1 3
x
引例：在平面直角坐标系xOy中，C（0，3）、
B（3，0）、D（1，4）
问题2：若点E在y轴上，以点E、B、D为顶点的
三角形是直角三角形，这样的点E有几y个？
x
引例：在平面直角坐标系xOy中，C（0，3）、
(a 3)2 + a2 2a 3 2 18 a2 (a2 2a)2
x
a2 6a 9 (a2 2a)2 6 a2 2a +9+18=a2 (a2 2a)2
a2 a 6 0
a 2 或 a 3 (舍去)
3
BN CM a2 2a 3 3
3
QN MB
3a 3
x
a2 a 6 0
a 2 或 a 3 (舍去)
Q2 2,5
a2 2a 3
3a
小结：
问题2： 勾股定理
（两点确定，一点在直线上）
问题3： 一线三直角
（两点确定，一点在抛物线上）
y
3 2
x
x 1
M
1,
3 2
x
N 1,0
问题4：正比例函数 与二次函数的图像交与 点F(点F在第一象限),且二次函数图像的对称轴与 正比例函数的图像相交于点M,与x轴相交于点N， 点Q是x轴的正半轴上的一点，如果△OMN与 △OFQ相似，求点Q的坐标．
x
当∠CBQ=90°时，∠2+∠3=90°
∵QN⊥MN，∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3
二次函数中三角形面积问题
二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；令y=0, 则-x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3＝-3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。
解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。
二次函数中不规则图形面积(三角形)
二次函数中不规则图形的面积
直接求解
1、如图,已知抛物线的顶点为M(2,-4),且过点A(-1,5),连结AM交x轴于点B.
(1)求这条抛物线的解析株式;
(2)求点B的坐标;
(3)设点P(x,y)是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点,连结PO,以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上,过Q作x轴的垂线交直线AM于点R,连结PR.设三角形PQR的面积为s.求s与x之间的函数解析株式;
(4)在上述动点p(x,y)中,是否存在使S△POR=2的点?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.
割补法
方法:如图,过ΔABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ΔABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在ΔABC 内部线段的长度叫ΔABC的“铅垂高(h)”,我们可得
1ah,即三角形面积等于水出一种计算三角形面积的新方法:SΔABC=
2
平宽与铅垂高乘积的一半.
1.已知:如图，二次函数y=a2x+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中点A的坐标(-1,0),点C的坐标为(0,5),且抛物线经过(1,8),M为它的顶点
(1)求抛物线的解析式;
(2)求ΔMCB的面积
2、已知二次函数y=a2x+bx+c与X轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0，-3),顶点为P.
（1）求抛物线对应的函数解析式.
(2)在抛物线上(除点c外),是否存在点N,使得S NAB∆=S ABC∆若存在,请写出点N的坐标;若不存在,请说明理由。
补充：周长问题。
二次函数中三角形面积问题(公开课)PPT课件
y
（3）在BC上方抛物线上是否存
.P
在一点P，使得S△PBC=6，若存在， A 求出点P的坐标，若不存在，说明 (-1,0) O
BQ (5,0) x
理由。
C
( ) ( ) P 1-1 ,0 、 P 26 ,7
(0,-5)
.
D (2,-9)
.
16
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、
SΔBCD=15
A (-1,0) O
B (5,0) x
C
(0,-5)
.
D (2,-9)
.
14
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、
B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5).
点D(2,-9)是抛物线的顶点。
y
（2）设M（a，b）（其中0<a<5）
是抛物线上的一个动点，试求 △BCM面积的最大值，
A
B
(-1,0) O N (5,0) x
及此时点M的坐标。
△BCM面积的最大为值125 8
C
.M
(0,-5)
.
M（
5 2
，-
35 4
）
.
D (2,-9)
15
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、
B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5).
点D(2,-9)是抛物线的顶点。
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
S△ BOC=_______
2
1
(-1,0)
A O
.
B(3,0)
2
5
二次函数之“铅垂法”求三角形面积
二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。
在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。
图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。
计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。
②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。
特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。
我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。
运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。
解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。
设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。
∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。
二次函数中有关三角形面积的求解[下学期]--湘教版
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二次函数存在性——直角三角形ppt课件
精选ppt课件
22
精选ppt课件
9
自学指导4（4分钟）
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC为
直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的
坐标；
情况 ：当 一 PC 9A 00 时
y=x2-x-2
P1
(
3 2
,
7 2
)
情况 ：当 二 PA 9 C00 时
P2
(
5 2
,
7 4
)
（-1，0）A O
④在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的 直角三角形．
yx2 2xk
精选ppt课件 yx2 2xk
19
4.如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐 标为（1，3），把矩形绕点B旋转一定的角度，使它的 顶点O落在x轴的点D处，已知M是第四象限内纵坐标为-1 的点，以M为顶点的抛物线正好过O、D两点． （1）求点D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点N，使以O、M、N为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
精选ppt课件
14
当堂训练（6分钟）
（2012•赤峰改编）如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|： |OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由．
（4）在抛物线上是否存在点M，
使△ACM是以AC为直角边的三
二次函数中的三角形面积问题
探究
例1. 如图，抛物线 y = - x2 - 2x +3
与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)， 与y轴交于点C，若点E为第二象限 抛物线上一动点，连接BE、CE， 求四边形BOCE面积的最大值，并 求此时E点的坐标． （至少用2种方法）
中考链接
【中考链接1】
如图，已知二次函数
的图象与直
线 AC 相交于A ，C 两点，与 x 轴的另一个交点为 B ,
（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动
点，若直线 PC 将 △ABC 的面积分成 1 : 3 两部分，求
此时点 P 的坐标．
二次函数中的三角形面积问题
A
A
HB A
C
DB
C B
C
A
C D B
思想：化难为易、化斜为直 方法：公式法、割补法、铅垂法 、切线法
边在坐标轴上， 取三角形的底边
时，一般以坐标
轴上线段或以与 坐标轴平行的线 段为底边
底边
三边
数坐在标形 结均在不坐合
轴上 标轴上
三边均不在坐标 轴上的三角形采 用割或补的方法 把它转化成易于 求出面积的图形
抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴的交点为 E，连接
BC．其中A(-3,0),B(1,0)
（1）求直线 AC 的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点 M（不与C重合），使
S△ACM = S△ABC ？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
探究
例2. 如图，已知抛物线 y = - x2 - 2x +3过点 O
ι 的直线 将
分成△面AB积C为
1 : 2的两部分，求该直线与抛物线的交
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小 结：
二次函数中三角形面积的求法： 1、公 式 法 2、“割补法” 3、新公式法：水平宽与铅垂高乘积的一半 注意：点的坐标与线段长度之间的相互转化
二次函数中的三角形面积
陶朱初中 金 戈
引题
yD
C
如图：抛物线 yx2与2x轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
Ao
Bx
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
△ABC
△ABD △BCD
△ACD
以A、B、C、D为顶点的三角形有哪些？
引题
C(x , C
y ),D(x ,
C
D
y ), D
水平宽：ax x 铅垂高：hA D yy,
C
B
AD
11 S AB C 2a h2(xcxB)y(AyyD )
A
铅垂高
h
C
D
x
B
水平宽
aa
图12-1
y
B
A
C
o
x
A(-1,5) B(4,7) C(2,1)
割补法 新公式法
运用:
例：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
E ( 1 , 2 ) DE=2
1 2 S△BCD=
×2×(1+2)= 3
引题
如图：抛物线 yx2与2x轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
yD
C
E
Ao
x
△ACD
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A(x A,
,
yA),B(xB,
y ), B
OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那 么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的 最大面积；若没有，请说明理由．
y
B
C
A
OMx
P
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
yD
FC
B(3,0) C(O,3) D(1,4)
o Bx
△BCD
F(0,4)
割补法
引题
如图：抛物线 yx2与2x轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
yD
C
B(3,0) C(O,3) D(1,4)
E
o Bx
△BCD
直线BC的解析式：y= –x+3
x
SABD12ABDD 1
△ABD
SABD2448
可以直接利用面积公式：
三角形的一边平行（或垂直）于一条坐标轴
y
A
B
Ay
C
o
x
B
C
o
x
A(1,5) B(6,5) C(3,1)
A(-1,6) B (4,3) C(-1,1)
引题
如图：抛物线 yx2与2x轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
yD
C
如图：抛物线 yx2与2x轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
Ao
Bx
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
△ABC
△ABD △BCD
△ACD
如何求这些三角形的面积呢？
引题
如图：抛物线 yx2与2x轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
1
Q
P y 1 Q y 2 ( x 2 2 x 3 ) ( x 3 ) x 2 3 x
O1
A
x S PA 8 9 B S C,A 1 2 B 3 ( x2 3 x)8 9 3
x 3 2
代1入 x2y 2x3,
y1
15 4
P（3 ，15） 24
练习：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结
交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的面积S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，
是否存在一点P，使S△PAB＝
9 8
S△CAB ，若存在，求出P点的坐标；
若不存在，请说明理由。
y
C
A
铅垂高
h
C
B
D 1 O1
图1
Ax
B
水平宽
a
图2
S水 平 2宽 铅垂高
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
y
C
Ao Bx
△ABC
A(-1,0) B(3,0) C(0,3)
SABC12ABCO SABC12436
引题
如图：抛物线 yx2与2x轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
yD
A(-1,0) B(3,0) D(1,4)
A
o D/ B
解(：1)抛物线解析y1式为(x1)2 4,即y1 x2 2x3
直A 线 解 B 析 y2式 x ห้องสมุดไป่ตู้ 3.
y ( 2 ) C ( 1 , 4 ) 当 , x 1 时 ， y 1 4 , y 2 2 .
CP B
CA 的 B铅 C锤 D 42 高 2 .
SCAB12323
D
（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h