01函数对称性和周期性的一些重要结论(2016.09)(1)
函数对称性和周期性的一些重要结论
函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。
其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。
自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。
满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。
常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。
周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。
3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。
两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。
如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
函数对称性周期性结论
函数对称性周期性结论
函数对称性周期性结论（Function Symmetry Periodicity Theorem）是指在数学函数理论中，一般情况下当函数的图像具有对称性时，该函数的周期性也同样成立。
这一定理适用于任何一个函数，无论它是可导数、可积分、在复平面上，甚至是复数函数。
换句话说，函数对称性周期性结论认为，如果一个函数具有左右对称性，或者其图像具有旋转对称性，那么该函数就是周期函数。
具体来说，此结论指出，若一函数f(x)具有左右对称性，即存在常数a 使得f(x + a) = f(-x + a)，则f(x)必然具有周期性；若该函数具有旋转对称性，即存在常数b使得f(x + b) = f(b - x)，则f(x)也必然具有周期性。
这一结论可以进一步引出反函数、导数和积分存在对称性的周期性结论。
换句话说，即假定某个函数f(x)具有左右对称性，或旋转对称性，它的反函数、导数和积分，一定也都有相应的周期性特征。
此外，函数对称性周期性结论还推导出另外一条重要结论，即具有左右对称性的函数，只要它的对称轴不穿越原点，它的导数和积分也能满足相应的对称性周期性结论。
函数对称性周期性结论的实际应用场景主要集中在图像处理、音频处理、信号处理等众多领域，用于检测和生成规律性的数学函数、复数函数的图像平面及其他特征。
总之，函数对称性周期性结论可以帮助我们将数学函数的对称性、周期性等定性特征进行定量分析，具有重要的理论意义和实际应用价值。
函数的对称性和周期性结论总结
函数的对称性和周期性结论总结函数是数学中最基础的概念，它是描述两个数量之间关系的方程。
函数的对称性和周期性是函数的重要性质，它们的研究可以帮助我们理解更多有关函数的属性。
本文综述了函数的对称性和周期性的结论，以及它们在实际应用中的重要性。
首先，让我们看看函数的对称性。
函数的对称性是指函数的曲线在某些特定的平行线上具有相同的形状，或者说函数曲线具有对称性。
函数的对称性可以分为三类：对称、半对称和反对称。
称类型的函数具有正负对称性，这意味着函数的曲线在直线上的形状是完全一样的。
半对称的函数具有正值或负值的对称性，这意味着函数的曲线在正负一侧的形状是一样的。
反对称的函数具有不正或不负的对称性，这意味着它的曲线在正负一侧的形状是不一样的。
因此，函数的对称性是指函数曲线在一些特定的平行线上具有特定的形状特性。
其次，让我们看看函数的周期性。
函数的周期性是指函数曲线在某一特定的时间间隔内重复出现的性质。
一般情况下，函数的周期性可以用来表示这个时间间隔中某些特征的变化。
一般来说，函数的周期性也可以用来描述函数曲线在一定时间内变化的情况。
函数的周期性主要包括正弦周期性、余弦周期性、正弦余弦和正弦角周期性。
正弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如正弦函数曲线一样，产生正弦波形。
余弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如余弦函数曲线一样，产生余弦波形。
正弦余弦型是指，函数曲线同时包含正弦和余弦波形，在特定间隔内变化如正弦余弦数列一样。
正弦角周期性的特点是，函数曲线在特定间隔内变化如正弦角函数一样，产生正弦角波形。
最后，让我们看看函数对称性和周期性在实际应用中的重要性。
函数对称性和周期性都在很多领域中有广泛的应用，如物理学、机械工程和电子信息等。
物理学中，函数的对称性和周期性可用于研究力学系统的运动，从而有助于我们更好地理解动力学中的某些问题。
在机械工程中，函数的对称性和周期性对计算机的性能也有很大的影响，可以帮助我们更好地把握计算机的运行状态。
(完整word)高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零，若：1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数的周期性和对称性
6：函数 是定义在R上的偶函数，且对任意的实数x，都有 成立，若当 时， (1)求 时，函数 的表达式； (2)求当 函数 的表达式； (3)若函数 的最大值为 解关于x不等式
5：设 是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式。
3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。 性质1.若函数 以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=
X=a
X=b
性质2.若函数 以 为对称点，那么此函数是周期函数，周期T= 假定 (a,0) (b,0)
（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 图象关于直线 对称,在 上， 求当 时 的解析式。
例5：设 是定义在R上的偶函数，它的图 象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式
性质3.若函数 以 为对称点，以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期 T=
假定
X=b
(a,0)
X
Y
O
练习1:定义在R上的函数 满足 且方程 有1001个根，则这1001个根的和？ 4:如果 那么 3：如果 那么 2:函数 图象关于点 对称，则
函数的性质 --对称性、周期性
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(1)若 关于直线 对称
一、函数的对称性
若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在 上，就称 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。
(2)若 关于点 对称
5:(1)定义在R上偶函数 满足 则方程 在区间 上至少有( )个根。 (2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间 至少有( )个根。
完整版)函数的周期性与对称性总结
完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。
2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。
如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。
2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。
3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。
4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。
5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。
6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。
7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。
8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。
函数的周期性与对称性
函数的周期性和对称性一、知识梳理＆方法总结1. 周期性的定义如果存在一个非零常数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称为周期函数；若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期； 注：① 定义中“存在常数”,其意是可存在正数，也可存在负数，还可二者都存在，不是正负同时存在才行。
② 定义中“取定义域内每一个值”时，都有，即恒成立的意思。
③ 周期函数的定义域有不同的三种形式：定义域为左侧无限区间；定义域为右侧无限区间；定义域双侧无限区间；④ 周期有不同的三种形式：有正周期不一定有负周期；有负周期不一定有正周期；有正周期不一定有最小正周期⑤ 若周期函数的周期为，则是周期函数，且周期为2. 函数对称性的一些结论(1) ()()()()2f a x f a x f x f a x x a +=-⇔=-⇔=为对称轴 (2) ()()()2,f a x f a x c a c ++-=⇔为对称中心 一般地，(1) ()()2a bf a x f b x x ++=-⇔=为对称轴 (2) ()()(,)22a b cf a x f b x c +++-=⇔为对称中心 3. 函数周期性的一些结论(1) 若满足或,则的周期为；(2) 如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有()()f x a f x b +=+，那么)(x f y =周期为T a b =-4. 对称性和周期性的关系T x ()()f x T f x +=()f x ()f x ()f x 0T ≠T T x ()()f x T f x +=T (),f x x R ∈T ()0f x ωω≠（）||ωT ()y f x =()()f x a f x +=-()1()f x a f x +=±()y f x =2||a(1) 若关于点,对称,则的周期为；(2) 若的图象关于直线,对称,则函数的周期为；(3) 若的图象关于直线和点对称，则函数的周期为二、典型例题分类解析经典题型一——函数的对称性【例一】对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：① 若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图像关于点)0,1(A 对称；② 若对R x ∈，恒有)1()1(-=+x f x f ，则)(x f 的图像关于直线1=x 对称； ③ 若函数)1(-x f 的图像关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ④ 函数)1(x f +与函数)1(x f -的图像关于直线1=x 对称． 其中正确命题的序号为________．【例二】已知函数)(x f 的图像与函数21++=xx y 的图像关于点)1,0(A 对称． （1）求)(x f 的解析式； （2）若xax f x g +=)()(且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求正数a 的取值范围．经典题型二——求函数的解析式【例三】设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间]1,0[上的图像为如图所示的线段AB ，求在区间]2,1[上时()f x 的表达式．()y f x =(,0)a (,0)b ()f x 2||a b -()y f x =x a =()x b a b =≠()y f x =2||a b -()y f x =x a =(,0)b ()y f x =4||a b -【例四】设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间[23]，上，2()2(3)4f x x =--+,则时，]2,0[∈x 求)(x f 的表达式。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 (1)
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
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对
称
轴
对
称
（9）
与 的两个函数的图象
（即 轴）
（10）
与 的两个函数的图象
（11）
与 的两个函数的图象
与 的两个函数的图象
（14）
和 的两个函数的图象
中
心
对
称
（15）
与 的两个函数的图象
（16）
与 的两个函数的图象
（17）
与 的两个函数的图象
记忆方法：自对称找中点，互对称让两式子中（ ）的值相等。
（5）以 为对称轴和对称中心，则 为 的一个周期．
序号
函数满足的条件
对称轴（中心）
自
对
称
轴
对
称
（1）
满足 的函数 的图象
，偶函数
（2）
满足 的函数 的图象
（或 ，或 ）
（3）
满足 的函数 的图象
（4）
满足 的函数 的图象
中
心
对
称
（5）
满足 的函数 的图象
，奇函数
（6）
满足 的函数 的图象
（或 ，或 ）
（7）
满足 的函数 的图象
（8）
满足 的函数 的图象
一个函数求平均，两个函数解方程。 求一相加除以二，求二相等解方程。
函
数
周
期
性
的
一
些
结
论
序号
函数式满足关系
周期
（1）
（2）
（3）
；
（4）
（5）
或
（6）
（7）
（8）
（9）
．定义在 上且周期 为的奇函数有 ．
（10）
（11）
（12）
（13）
关于函数的图像对称性和周期性的记忆方法：
（1）
（2）
（3）
（4） 以 为对称轴，或以 为对称中心，则 为 的一个周期．