函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
1、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
2、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
3、)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。
4、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称.推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.5、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
分段函数的周期：设 y f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: y f (x),
x a,b,T b a 。把 y f (x)沿x轴平移KT K(b a) 个单位即按向量
a (kT,0)平移，即得y f (x) 在其他周期的图像：
y f (x kT), x kT a, kT b。
y＝f(*＋a)为奇函数，则 f(－*＋a)＝－f(a＋*)
〔3〕y＝f(*＋a)为偶〔或奇〕函数，等价于单层函数 y＝f(*)关于直线*＝
a 轴对称〔或关于点〔a，0〕中心对称〕
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3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(b－*)关于直线*＝〔b－a〕/2 轴对称 性质 4、复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(b－*)关于点〔〔b－a〕/2，0〕中 心对称 推论 1、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(a－*)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(a－*)关于原点中心对称 4、函数的周期性 假设 a 是非零常数，假设对于函数 y＝f(*)定义域内的任一变量*点有以下 条件之一成立，则函数 y＝f(*)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。 ①f(*＋a)＝f(*－a) ②f(*＋a)＝－f(*) ③f(*＋a)＝1/f(*) ④f(*＋a)＝－1/f(*) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 假设函数 y＝f(*)同时关于直线*＝a 与*＝b 轴对称，则函数 f(*)必 为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 6、假设函数 y＝f(*)同时关于点〔a，0〕与点〔b，0〕中心对称，则 函数 f(*)必为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 7、假设函数 y＝f(*)既关于点〔a，0〕中心对称，又关于直线*＝b 轴 对称，则函数 f(*)必为周期函数，且 T＝4|a－b|
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
高中数学-函数周期性奇偶性对称性
课题:函数的周期性、奇偶性、对称性规律总结一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
()()()()012...516f f f f ++++× ()()()()()01234f f f f f +++++， 01633=×+=，故选：B.2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，且满足()()122f f +=，则()20231k f k ==∑（ ） A ．2023− B ．0 C ．2 D ．2023【答案】B【详解】因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)−+=+f x f x ，所以(2)()f x f x −+=， 因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x −+=−+， 所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数，由(2)(2)f x f x −+=−+，令0x =，得(2)(2)f f =−，则(2)0f =， 又(1)(2)2f f +=，得(1)2f =， 由(2)(2)f x f x −+=−+，令1x =，得(1)(3)f f =−，则(3)2f =−， 由(2)()f x f x +=−，令2x =，得(4)(2)0f f =−=， 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以20213()[(1)(2)(3)(4)]505(1)(2)(3)05052(2)0k f k f f f f f f f ==+++×+++=×++−=∑. 故选：B ．3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x +关于点()2,0成中心对称，则函数()f x 的一条对称轴为（ ） A ．2023x = B ．2022x =C ．2021x =D ．2020x =【答案】C【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x +=−+，所以()f x 关于1x =对称，即()()2f x f x =−，因为()1f x +关于点()2,0成中心对称，且()f x 向左平移1个单位长度之后得到()1f x +， 所以()f x 关于()3,0对称，所以()()60f x f x +−=， 因为()()2f x f x =−，()()60f x f x +−=， 所以()()62f x f x −−=−，故()()()48f x f x f x =−+=+，故()f x 的周期为8， 因为()f x 关于1x =对称，关于()3,0对称，所以()f x 关于5x =对称，由图象可知，()y f x =与|lg |y x =有10个交点， 所以方程()lg f x x =有10个根. 故答案为：10。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
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函数奇偶性、对称性与周期性
奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2
(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称
3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2
a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称
（三）函数的周期性
1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T
2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -
=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)
(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=
10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=
11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=
12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=
13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
14、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 2=。
二、例题讲授
例题1
（1）已知)(x f y =是定义在实数集R 上奇函数，0<x 时，12)(+=x x f ，求)(x f y =的解析式。
（2）已知)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+，1<x 时，12)(+=x x f ，求)(x f y =的解析式。
（3）已知奇函数)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+，02<<-x 时，12)(+=x x f ，求)18(log 2f
（4）已知)(x f y =满足0)1()1(=-++x f x f ，1<x 时，12)(+=x x f ，求)(x f y =的解析式。
例题2
（1）已知2sin )(++=x b ax x f ，1)2(=f 求)2(-f
（2）已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在[]4,0上只
有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(]10,8-中的根．
（3）已知1
22)(+=x x
x f ，求)6()5()4()5(f f f f +++-+- 的值 例题3
（１）设函数)(x f y =的定义域为R ，若)(x f y =的图象关于1=x 对称，则函数满足
A 、)1()(x f x f +=
B 、0)2()(=-+x f x f
C 、)1()1(x f x f -=-
D 、)1()1(x f x f -=+
（２）函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称
（３）函数)1(+=x f y 和函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称
（４）设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于
__________对称。
)2(x f y =的图象关于__________对称。
（５）设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，其中正确命题序号为_______。
例题５
2、设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0,2
1]，都有f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2)，且f(1)=a>0。
（1）求f(21)及f(4
1) （2）证明f(x)是周期函数
（3）记a n =f(2n+n
21),求证：a n =a n 21
三、自我检测
1、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么
A.f(2)＜f(1)＜f(4)
B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)
D.f(4)＜f(2)＜f(1) 3、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是
A.增函数且最小值为－5
B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5
D.减函数且最大值为－5
4、F(x)＝[1＋1
22-x ]f(x)，(x ≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x) 5、A.是奇函数 B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
6、设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1，f(x)＝x ，则f(7.5)＝()
A.0.5
B.－0.5
C.1.5
D.－1.5
7、设f(x)是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+3)=0，且
当－1<x ≤1时，f(x)=2x －3，求当2<x ≤4时，f(x)的解析式。
8、定义在上的偶函数满足且当时,.求的单调区间
提示： ===)4
()2()(42x f x f x f ， f(21)=f(n ·n 21)=f[n 21+(n －1)·n 21]=f(n 21)·f[(n －1)·。