高中数学分章节训练试题：32双曲线经典练习题

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高三数学双曲线试题

高三数学双曲线试题1.已知双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数，.可得.假设渐近线与函数的切点为.则渐近线的斜率为所以可得.解得.所以可得.又因为.即可解得.故选D.【考点】1.双曲线的性质.2.函数的导数的几何意义.3.算两次的一个等式的数学思想.2.已知双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，由题意知，故双曲线的方程为，因此双曲线的渐近线方程为，故选D.【考点】1.双曲线与抛物线的几何性质；2.双曲线的渐近线3. [2013·陕西高考]双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由双曲线方程知a＝4.又e＝＝，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.4.已知离心率为2的双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则="____________" ．【答案】【解析】由题意可得m+n=1，，解得m=，n=，所以=【考点】双曲线和抛物线的性质．5.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.6.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是()A．x2=4y B．x2=-4yC．y2=-12x D．x2=-12y【答案】D【解析】由题意,得c==3.所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.7.已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】法1．由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选B．8.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为．【答案】【解析】因为曲线的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为．因为过点,所以标准方程为.【考点】双曲线的性质9.已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】椭圆的左焦点为，双曲线的渐近线为，即，由题意，解得，双曲线的半焦距为，双曲线离心率为．【考点】双曲线的性质，椭圆的性质，直线与圆相切．10.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为．【答案】4【解析】由题意，，，解得．【考点】双曲线的离心率．11.双曲线的左、右焦点分别为，若为其上一点，且，，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】,那么在中，根据余弦定理得：,,整理得：,,故选C.【考点】1.双曲线的定义；2.余弦定理.12.已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】由a2+5=9得a2=4,∴a=2,∴e==.故选C.13.己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A．+1B．2C．D．－1【答案】A【解析】由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.【考点】抛物线通径的应用14.已知双曲线（，），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出图形，根据双曲线的对称性及，可得是等腰直角三角形（不妨设点在第一象限），平分角，所以，即（因为由得到，所以），所以，整理得，解得．由双曲线，可得，故选D．【考点】离心率双曲线15.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，∴c2－a2≤3a2，则c2≤4a2，故1<e≤2.16.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()．A．B．C．1D．【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0，故所求距离为＝.选B.17.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于____________.【答案】【解析】不妨设顶点为 ,一条渐近线为即,点直线的距离为.【考点】1、双曲线的性质；2、点到直线的距离.18.双曲线y2=1的离心率e= ；渐近线方程为。

高中数学双曲线练习题及答案

高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。

$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。

$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。

$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。

$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。

7 B。

23 C。

5 或 23 D。

7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。

A。

$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。

高中试卷-3.2.1双曲线及其标准方程同步练习(Word含答案)(含答案)

3.2.1　双曲线及其标准方程（同步练习）一、选择题1.已知平面内两定点F1(－2,0)，F2(2,0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )A.|PF1|－|PF2|＝±3B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5D.|PF1|2－|PF2|2＝±42.已知双曲线x2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )A.32B.5C.7D.123.已知双曲线x24－y25＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )A.3或7B.6或14C.3D.74.已知双曲线的一个焦点为F1(0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是( )A.x24－y2＝1 B.x2－y24＝1 C.x22－y23＝1 D.x23－y22＝15.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为0)和(0)，点P 在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x22－y23＝1 B.x23－y22＝1 C.x24－y2＝1 D.x2－y24＝16.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线7.已知P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )B.10C.8D.68.(多选)关于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，m∈R所表示的曲线C 的形状，下列说法正确的是( )A.∀m∈(1,3)，曲线C为一个椭圆B.∀m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)，曲线C 是双曲线C.∀m∈R，曲线C一定不是直线D.∃m∈(1,3)使曲线C不是椭圆二、填空题9.若曲线C ：mx 2＋(2－m)y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________10.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5.若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________12.已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点，P 是双曲线C 右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值等于________13.△ABC 中，A(－5,0)，B(5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin Bsin C＝________三、解答题14.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．15.设声速为k 米/秒，在相距10k 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．16.已知△ABC 的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．参考答案：一、选择题1.A2.D3.A4.B5.C6.A7.B8.BD二、填空题9.答案：(2，＋∞) 10.答案：26 11.答案：x 2－y 23＝1 12.答案：6 13.答案：±45　三、解答题14.解:(1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．15.解：以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系．设炮弹爆炸点的轨迹上的点P 的坐标为(x ，y)，则||PA|－|PB||＝6a<10a，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝6k,2c＝10k，从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2. 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为x29k2－y216k2＝1.16.解：设顶点A的坐标为(x，y)，则k AB＝yx＋a，k AC＝yx－a.由题意，得yx＋a·yx－a＝m，即x2a2－y2ma2＝1(y≠0)．当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．。

高二数学双曲线练习题及答案

高二数学双曲线练习题及答案下面是一份高二数学双曲线练习题及答案的文章，请你仔细阅读：高二数学双曲线练习题及答案双曲线是数学中重要的曲线之一，在高二数学学习中也占有重要地位。

为了帮助同学们更好地掌握双曲线知识，我们提供一些练习题以及答案，供同学们进行巩固和练习。

题目一：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点F在y轴上，顶点坐标为(0, a)，离心率为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，求双曲线C的方程。

答案一：由双曲线的性质可知，焦点到顶点的距离与焦点到曲线上一点的距离之比等于离心率。

设F的坐标为（0, c），则离心率为：$\frac{CF}{Ca}=\frac{1}{\sqrt{2}}$由焦点的坐标可得c=a(1/√2)由离心率的定义可得：$\sqrt{a^2-c^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$解得a^2=4c^2。

将焦点的坐标带入，得到方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4c^2}=1$题目二：已知双曲线C的一支渐近线方程为y=3x-2，焦点的坐标为（1,0），求双曲线C的方程。

答案二：由双曲线的性质可得，双曲线的渐近线的斜率为圆心到焦点连线的斜率。

设焦点坐标为(F, 0)，则斜率为：k = tan⁡α，其中α为双曲线的倾斜角又由渐近线y=3x-2可得，圆心到焦点连线的斜率为3因此，k=3=tan⁡α，则α为60度，倾斜角为60度。

由焦点坐标可知，焦点在(x1, y1)上，即（1,0）由双曲线的方程性质可得，双曲线的公式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$根据双曲线标准方程，我们可以将双曲线方程改写为：$\frac{(y-y1)^2}{a^2}-\frac{(x-x1)^2}{b^2}=1$代入焦点坐标（1,0）得到：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}=1$将双曲线的倾斜角代入，可得：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}-\frac{(y-x)^2}{a^2}=1$化简得：$\frac{2x^2+2xy+2x+2y^2-4y}{a^2}=0$这样得到了双曲线C的方程。

高二数学练习题双曲线

高二数学练习题双曲线高二数学练习题：双曲线一、选择题1. 双曲线的标准方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = -1C. x^2 - y^2 = 1D. x^2 - y^2 = -12. 双曲线的离心率e满足的条件是：A. e > 1B. e < 1C. e = 1D. e ≥ 13. 双曲线的渐近线的斜率是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在斜率4. 双曲线的渐近线方程是：A. y = xB. y = -xC. y = 0D. y = ±(x/a)5. 双曲线的焦点F1和F2到直线2x + y = 0的距离之和为6，焦点到直线的距离之差为4，则双曲线的离心率e为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、计算题1. 求双曲线 x^2/9 - y^2/4 = 1 的离心率和焦点坐标。

2. 已知双曲线的焦点是 (4, 0) 和 (-4, 0)，离心率为 2/3，求该双曲线的标准方程。

3. 设双曲线的离心率为 3/2，焦点到直线 y = 2x 的距离为 5/2，求该双曲线的方程。

4. 已知双曲线的渐近线方程为 y = x + 1 和 y = -x - 1，求该双曲线的标准方程。

5. 求双曲线 4x^2 - 9y^2 + 16x - 54y + 61 = 0 的中心坐标和离心率。

三、解答题1. 证明：对于双曲线，其任意点到两个焦点的距离之差等于该点到两个渐近线的距离之差。

2. 若直线 y = 2x - 3 与双曲线 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 相交于两个不同的点，求双曲线的离心率。

3. 双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 的离心率为 e，证明该双曲线的焦点到原点的距离为 ae。

4. 已知双曲线的中心为原点，离心率为 2，焦点在第一、三象限，且与 x 轴的交点为 (5, 0)，求该双曲线的标准方程。

5. 求过点 (2, -3) 的双曲线，且其两个焦点分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半轴上。

高中数学双曲线练习题(打印版)

高中数学双曲线练习题（打印版）# 高中数学双曲线练习题## 一、选择题1. 下列哪个方程不是双曲线的标准方程？- A. $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $- B. $ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 $- C. $ x^2 + y^2 = 1 $- D. $ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 $2. 若双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 上的一点 P(x, y) 满足 $ x > 0 $ 和 $ y > 0 $，那么下列哪个不等式成立？- A. $ x^2 > a^2 $- B. $ y^2 > b^2 $- C. $ x^2 < a^2 $- D. $ y^2 < b^2 $## 二、填空题3. 双曲线 $ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 $ 的焦点坐标是 __________。

4. 已知双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 经过点 (2, -3)，且 $ a = 2 $，求 b 的值。

## 三、解答题5. 已知双曲线 $ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 $，求其渐近线方程。

6. 双曲线 $ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 $ 上的点 P(x,y) 到右焦点的距离为 10，求点 P 到左焦点的距离。

## 四、证明题7. 证明：双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 上任意一点到两个焦点的距离之差等于 $ 2a $。

双曲线曲线练习题含答案

双曲线曲线练习题含答案1. 求下列双曲线的渐近线方程：（1）$ x^2-4y^2+8x-32=0 $（2）$ x^2-9y^2=81 $（3）$ x^2+4y^2+4x+16=0 $答案：（1）$ y=\frac{x+4}{2} $ 或$ y=\frac{1}{2}x-4 $ （斜渐近线）（2）$ x+3\sqrt{y^2+1}=0 $ 或 $ x-3\sqrt{y^2+1}=0 $ （与 $ y $ 轴垂直的渐近线）、$ y=-\frac{x}{9} $ （斜渐近线）（3）$ y=-1 $ 或 $ y=-\frac{(x+2)^2}{16} $ （与 $ y $ 轴平行的渐近线）2. 求双曲线 $ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $ 的离心率和焦距长度。

答案：离心率为 $ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3} $，焦距长度为 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=5 $。

3. 求双曲线 $ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1 $ 与直线$ y=\frac{3}{5}x-2 $ 的交点坐标。

答案：设交点坐标为 $ (x_0, y_0) $，则 $ \frac{x_0^2}{25}-\frac{(\frac{3x_0}{5}-2)^2}{9}=1 $，解得 $ x_0=\frac{50}{7} $ 或$ x_0=-\frac{50}{7} $，代入方程即可得到交点坐标。

4. 判断曲线 $ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1 $ 是否关于直线$ y=-x $ 对称。

答案：首先求出曲线关于直线 $ y=-x $ 对称的公式为$ y=\frac{y_0}{x_0}x $，其中 $ (x_0,y_0) $ 是曲线上任意一点。

假设 $ A(a, b) $ 是曲线上的一点，则 $ B(-b,-a) $ 是曲线上的对称点。

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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3．双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是（ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为（ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为（ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=o,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =u u u r u u u u rgA ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =u u u r u u u u r g ，则12PF PF +=u u u r u u u u rA ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22．已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26．若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:x l 与x 轴的交点,若60,PMF ∠=o 45PFM ∠=o ,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．423．324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点(3P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①Q直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(1k∴∈--U U，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是（） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是（） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。

高中数学关于双曲线的经典试题(含答案)

高中数学关于双曲线的经典试题（含答案）
高中数学经典试题：已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐进线的距离为（根号10）／5，过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且PM是PA与PB的等比中项．⑴求双曲线C的渐进线方程⑵求双曲线C的方程高中数学经典试题答案第一问设渐近线方程为y=kx，利用点到直线的距离，求出k=1/3，可求得渐近线方程为y=1/3x，第二问解答如下设：A(x1，y1)B（x2，y2）直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3所以
M(0，1/3)|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：
|PM|=|PM|：|PB|画个图可知他们是相似三角形所以有：
|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2|由于A、B必在x轴的两侧，所以y1，y2其中的一个必是负的因此上式整理为：1/9=-y1*y2再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y其中双曲线的
a=3b得到一个关于y的一元二次方程过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0则y1*y2=(4-b^2)/27因此b^2=5则a^2=45方程就求出来了
拿稳100分
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12．（本小题满分 20 分）已知三点 P（5，2）、 F1 （－6，0）、 F2 （6，0）。（1）求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y＝x 的对称点分别为 P 、 F1' 、 F2' ，求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程 .
2
焦点在 x 轴上,选择支 D 的方程符合题意.
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二、填空题
8．
x2 y 2 1 20 5
设双曲线的方程为 x 4 y , ( 0) ，焦距 2c 10, c 25
2 2 2
当 0 时，
x2

y2

y2

1,

4
25, 20 ；
2． C
3． C
PF1 PF2 2a, 2 2c 2c 2a, e
4．A.
c 1 2 1 a 2 1
5． A【思路分析】：设 p ( x 0 , y 0 ) ，则
y0 1 y , 0 2, cy 0 1 ， x0 c 2 x0 c

c
3 5 3 2 3 , x0 , y0 2 6 3
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高三数学章节训练题 32《双曲线》答案一、选择题 1． D
PM PN 2, 而MN 2 ， P 在线段 MN 的延长线上 2a 2 c2 c, c 2 2a 2 , e 2 2 2, e 2 c a
Δ PF1 F2 是等腰直角三角形， PF2 F1 F2 2c, PF1 2 2c
2．设双曲线的半焦距为 c ，两条准线间的距离为 d ，且 c d ，那么双曲线的离心率 e 等于（） B． 3 C． 2 D． 3
A． 2
3．过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ ， F1 是另一焦点，若∠ PF1Q 双曲线的离心率 e 等于（ A． 2 1
2

2
，则
） C． 2 1 D． 2 2 ） D．
A．
x2 y2 1 2q p q
B．
x2 y2 1 2q p p
C．
x2 y2 1 2p q q
D．
x2 y2 1 2p q q
二、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分） 8 ．双曲线的渐近线方程为 x 2 y 0 ，焦距为 10 ，这双曲线的方程为 _______________。
2a c 2 1 , c e
【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性. 7．D．由题意知, pq 0 .若 p 0, q 0 ,则双曲线的焦点在 y 轴上,而在选择支 A,C 中,椭圆的焦点都在 x 轴上,而选择支 B,D 不表示椭圆; 若 p 0, q 0 ,选择支 A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方 c p q ,双曲线的
高三数学章节训练题 32《双曲线》含答案
时量：60 分钟满分：80 分班级：姓名：计分： □合格（50’～59’）
个人目标：□优秀（70’~80’）
□良好（60’～69’）
一、选择题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分） 1．动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ，则点 P 的轨迹是（ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线）
4 x2 1, ( ) 25, 20 当 0 时， 4 4
9． ( , 4)
(1, )
(4 k )(1 k ) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1, 或k 4 . m x ，得 m 3, c 7 ，且焦点在 x 轴上. 2
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点 M 在双曲线的右准线上，且满足 F1O PM , OP (
OF1 OF 1

OM OM
)
( 0) ，则该双曲线的
Hale Waihona Puke 离心率为（ A． 2） B． 3 C． 2 D．3 （）
2 2 7．如果方程 x y 1 表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 p q
9．若曲线
x2 y2 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 4 k 1 k
。
10 ．若双曲线 _________．
x2 y2 3 1 的渐近线方程为 y x ，则双曲线的焦点坐标是 4 m 2
三、解答题：（本大题共 2 小题，满分 30 分） 11. （本小题满分 10 分）双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, 5), F2 (0,5) ，点 P (3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算 6． C【思路分析】：由 F1O PM 知四边形 F1OMP 是平行四边形，又 OP (
OM OM OF1 OF 1

) 知 OP 平分 F1OM ，即 F1OMP 是菱形，设 OF1 c ，则 PF1 c .
又 PF2 PF1 2a ，∴ PF2 2a c ，由双曲线的第二定义知： e 且 e 1 ，∴ e 2 ，故选 C .
B． 2
2
4．双曲线 mx y 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m （ A．
1 4
B． 4
C． 4
1 4
5．双曲线
x2 y2 1(a, b 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为该双曲线在第一象 a2 b2 1 , tan PF2 F1 2, 则该双曲线的方程为 2
限的点，△PF1F2 面积为 1，且 tan PF1 F2 （）
12 x 2 A． 3y 2 1 5
C． 3 x
2
5x 2 B． 3y 2 1 12
D．
12 y 2 1 5
x2 5y2 1 3 12
6．若 F1 、 F2 为双曲线
x2 y2 1 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线的左支上， a2 b2