§5.1 平面向量的概念及线性运算
平面向量的基本概念与线性运算
§5.1 平面向量的基本概念与线性运算一、考纲要求1.了解向量的实际背景；2.理解平行向量和向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义；5.理解两个向量共线的含义；6.了解向量的线性运算性质及其几何意义.二、学习目标1.平面向量的实际背景与基本概念；向量的线性运算;向量加、减法与数乘向量的几何意义运用是重点。
2.利用数形结合理解向量的线性运算.3.通过平面向量实例的学习，培养严谨的学习态度与交流探索，合作学习的学习能力.三、基础知识回顾1.向量的有关概念①向量如何定义的？对应于数量，向量可以进行大小比较吗？②共线向量如何定义的？判断正误： （1）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反。
( )（2）向量与向量共线，则D C B A ,,,四点共线。
( ) ③相等向量、相反向量如何定义的？判断正误：=的充要条件是|,|||=且//。
( )3.向量共线定理向量与向量)0(≠a 共线的充要条件为 . 思考：条件向量)(≠能否改为向量？四、双基自测1.(2015东北四市联考)在四边形ABCD 中，若AD AB AC +=，则四边形ABCD 一定是（ ）.A 矩形 .B 菱形 .C 正方形 .D 平行四边形2.如图所示，D 是三角形ABC ∆的边AB 的中点，则向量=（ ).A 21+- .B 21+- .C 21- .D 21+ 3.(2015课标全国 II.理13)设向量,不平行，向量b b a 2a ++与λ平行，求实数λ的值.五、典例归类类型一 平面向量的有关概念例1（教材改编）给出下列命题 ①若|,b ||a |=，则=或-=；②若D C B A ,,,是不共线的四点，则=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若,=λ（λ为实数），则λ=0；④已知μλ,为实数，若μλ=，则与共线.其中真命题的序号是__________.【过关训练】：下列说法正确的是______.① 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；② 若//，//，则//； ③对于非零向量b a ,，“=+”是“//”的充分不必要条件。
5.1第五章 平面向量
1 3
1 6
1 6
������������ = ������������ = (������������ + ������������)= (a+b)= a+ b,
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A
解析 答案
第五章
知识梳理 双击自测
5.1
平面向量的概念及线性运算
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
1 2 3 4 5
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且������������=a,������������=b,则 ������������= .
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������������ = ������������ + ������������ + ������������ =-a+b+ a=b- a
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依题意得,������������ = ������������ ,故������������ + ������������=0,即������������ − ������������ + ������������ − ������������ =0,即有������������ − ������������ + ������������ − ������������=0,则 a-b+c-d=0,故选 A.
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由向量的平行四边形法则,得������������ + ������������ =2������������ , 所以������������ = (������������ + ������������).
第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§5.1平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．3．在△ABC 中，点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .(×)(2)单位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移动．(√)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC ．向量AB →与BA →是平行向量D ．平行向量不一定是共线向量答案C解析A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 项，|a |＝|b |说明a ，b 的长度相等，不能判断它们的方向，故B 错误；C 项，向量AB →与BA →方向相反，是平行向量，故C 正确；D 项，平行向量就是共线向量，故D 错误．3．(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是()A.AB →＋AC →＝BC→B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC →答案BC4．(必修第二册P16T3改编)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，即2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝kλ，3＝6k ，解得λ＝－4.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cB ．若四边形ABCD 满足AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形C ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．与非零向量a 共线的单位向量为±a |a |答案ABD解析对于A ，由相等向量的定义知，A 正确；对于B ，因为AB →＝DC →，所以AB ∥DC 且AB ＝DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；对于C ，若b ＝0，则由a ∥b ，b ∥c ，无法得到a ∥c ，故C 错误；对于D ，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |，故D 正确．(2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF→答案D解析方法一(排除法)AD →，BC →不共线，AC →，BD →不共线，故A ，B 错误；PE →，PF →方向相反，C 错误；故选D.方法二在等腰梯形ABCD 中，AD →，BC →不平行，AC →，BD →不平行，故A ，B 错误；∵AB ∥CD ，∴PD PB ＝CD AB ＝PC PA，∴PB PD ＝PAPC ，则PB ＋PD PD ＝PA ＋PC PC ，即BD PD ＝AC PC ，即PD BD ＝PC AC ，∵EF ∥AB ，∴PE AB ＝PD BD ＝PC AC ＝PF AB，∴PE ＝PF ，即P 为EF 的中点，∴EP →＝PF →，故C 错误，D 正确．思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与非零向量a 同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上C ．对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ，使a ＝λb 答案AC解析对于A ，若|a |＝0，则a ＝0，故A 正确；对于B ，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故B 错误；对于C ，若a ，b 方向相同，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，若a ，b 方向相反，则|a ＋b |<|a |＋|b |，若a ，b 不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a ＋b |<|a |＋|b |.综上可知对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |，故C 正确；对于D ，若a ≠0，b ＝0，则a ∥b ，此时不存在实数λ，使a ＝λb ，故D 错误．(2)(多选)如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A ．|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线C.BD →与EH →共线D.CD →＝FG →答案ABD解析由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知|AB →|＝|EF →|，即A 正确；由图形可知AB →与FH →的方向相反，CD →与FG →的方向相同且长度相等，即AB →与FH →共线，CD →＝FG →，故B ，D 正确；而∠BDE 与∠DEH 不一定相等，BD →与EH →不一定共线，故C 错误．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若|AB →|＝7，|AC →|＝4，则|BC →|的取值范围是()A ．[3,7]B ．(3,7)C ．[3,11]D ．(3,11)答案C解析由题意知|AB →|＝7，|AC →|＝4，且|BC →|＝|AC →－AB →|，当AC →，AB →同向时，|BC →|取得最小值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|－|AB →||＝|4－7|＝3；当AC →，AB →反向时，|BC →|取得最大值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|＋|AB →||＝|4＋7|＝11；当AC →，AB →不共线时，3＝||AC →|－|AB →||<|BC →|<||AC →|＋|AB →||＝11，故|BC →|的取值范围是[3,11]．命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →等于()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析因为BD ＝2DA ，所以AB →＝3AD →，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋3AD →＝CA →＋3(CD →－CA →)＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .命题点3根据向量线性运算求参数例4(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于()A ．－12B.79C.3－222D.1＋22答案A 解析如图，在矩形ABCD 中，DO →＝12(DA →＋DC →)，在△DAO 中，DE →＝12(DA →＋DO →)，∴DE →＋12DA →＋12DC ＝34DA →＋14DC →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34，∴λ2－μ2＝116－916＝－12.思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于()A.14a ＋b B.13a ＋b C.14a ＋13b D.13a ＋13b 答案B解析在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD于点F ，则△DEF ∽△BEA ，所以DF BA ＝DE BE ＝13，则DF BA ＝DF DC ＝13，所以DF →＝13DC →＝13AB →，则AF →＝AD →＋DF →＝13AB →＋AD →＝13a ＋b .(2)(2023·聊城模拟)M 是△ABC 内的一点，若BM →＝13BA →＋λBC →，AM →＝12AB →＋μAC →，则λ＋μ等于()A.76B ．1 C.56D.13答案D解析由AM →－BM →＝AB →，得AB →＝12AB →＋μAC →－13BA →－λBC →，所以16AB →＝μAC →－λBC →，即AB →＝6μAC →－6λBC →＝6μAC →＋6λCB →，又AB →＝AC →＋CB →，故μ＝λ＝16，故λ＋μ＝13.题型三共线定理及其应用例5(1)(2023·徐州模拟)已知向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，则k ＝________.答案±22解析因为向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，所以8a －k b ＝t (－k a ＋b )＝－kt a ＋t b ，t ∈R ，＝－kt ，k ＝t ，解得k ＝±2 2.(2)已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案3解析如图，延长AG 交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线，∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3.思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.跟踪训练3(1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a ，b 不共线，AB →＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案D解析对于A ，BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋3b ＋(a ＋3b )＝6b ，则AB →，BD →不共线，故A 不正确；对于B ，AB →与BC →不共线，故B 不正确；对于C ，BC →与CD →不共线，故C 不正确；对于D ，AC →＝AB →＋BC →＝4a ＋6b ＋(－a ＋3b )＝3a ＋9b ＝3CD →，即AC →∥CD →，又AC →与CD →有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，故D 正确．(2)如图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，P 是BN 的中点，若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．答案14解析因为AN →＝12NC →，所以AC →＝3AN →，因为AP →＝mAB →＋14AC →＝mAB →＋34AN →，且B ，P ，N 三点共线，所以m ＋34＝1，所以m ＝14.课时精练一、单项选择题1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，AF →－ED →＋EF →＋2AB →等于()A ．0 B.AB →C.AD → D.CF→答案A解析因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以AF →－ED →＋EF →＋2AB →＝CD →＋DE →＋EF →＋2AB →＝CF →＋2AB →＝0．2.如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为()A ．2e 1－3e 2B ．3e 1－2e 2C ．2e 1＋3e 2D ．3e 1＋2e 2答案D解析由题意得a ＝e 1＋2e 2，b ＝e 1－2e 2，c ＝e 1＋2e 2，所以a ＋b ＋c ＝e 1＋2e 2＋e 1－2e 2＋e 1＋2e 2＝3e 1＋2e 2.3．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析依题意，“a |a |＝b|b |”表示与a ，b 同向的单位向量是相等向量，能推出“a ，b 共线”，所以充分性成立；“a ，b 共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a ，b 共线”不能推出“a |a |＝b|b |”，所以必要性不成立．4．(2024·银川模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝x a ＋b ，d ＝a ＋(2x －1)b ，若c 与d 方向相反，则实数x 的值为()A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案B 解析因为c 与d 方向相反，所以存在k ∈R ，使得d ＝k c ，且k <0，即a ＋(2x －1)b ＝kx a ＋k b ，因为向量a ，b ＝1，＝2x －1，整理可得x (2x －1)＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12或x ＝1.又k <0，所以x <0，故x ＝－12.5．已知O ，A ，B 三点不共线，点P 为该平面内一点，且OP →＝OA →＋AB →|AB →|，则()A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上答案D 解析由OP →＝OA →＋AB →|AB →|，得OP →－OA →＝AB →|AB →|，所以AP →＝1|AB →|·AB →，所以点P 在射线AB 上．6.如图所示，△ABC 内有一点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0，过点G 作一直线分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →(xy ≠0)，则1x ＋1y等于()A ．4B ．3C ．2D ．1答案B 解析因为GA →＋GB →＋GC →＝0，所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝tAD →＋(1－t )AE →＝txAB →＋(1－t )yAC →，所以tx ＝13，(1－t )y ＝13，所以1x ＋1y＝3t ＋3(1－t )＝3.二、多项选择题7．下列各式中能化简为AD →的是()A ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)B ．－BM →－DA →＋MB→C ．(AB →－DC →)－CB→D.AD →－(CD →＋DC →)答案ACD 解析对于A ，－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)＝－(CB →＋MC →＋DA →＋BM →)＝－(CB →＋BM →＋MC →＋DA →)＝－DA →＝AD →，故A 正确；对于B ，－BM →－DA →＋MB →＝MB →－DA →＋MB →＝AD →＋2MB →，故B 错误；对于C ，(AB →－DC →)－CB →＝AB →－DC →－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AD →，故C 正确；对于D ，AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →，故D 正确．8.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，且BC→＝3EC →，F 为AE 的中点，则()A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－23AB →＋13AD →D.CF →＝16AB →－23AD →答案ABC 解析∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ，∴BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，故A 正确；∵BC →＝3EC →，∴BE →＝23BC →＝－13AB →＋23AD →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →－13AB →＋23AD ＝23AB →＋23AD →，又F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →＝13AB →＋13AD →，故B 正确；∴BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋13AB →＋13AD →＝－23AB →＋13AD →，故C 正确；∴CF →＝CB →＋BF →＝BF →－BC →＝－23AB →＋13AD →－12AB →＋＝－16AB →－23AD →，故D 错误．三、填空题9．已知在四边形ABCD 中，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案等腰梯形解析由AB →＝12DC →，可得AB ∥CD 且AB ＝12DC ，所以四边形ABCD 是梯形，又因为|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 的两个腰相等，所以四边形ABCD 是等腰梯形．10．(2023·徐州模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2024，则|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2024方向相同时，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2024|＝2024；当单位向量e 1，e 2，…，e 2024首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2024＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最小值为0.11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 上一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△ABC 的面积为________．答案252解析如图，过点P 作AB ，AC 的垂线交AB ，AC 分别于点E ，F ，由于AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以AE →＝4AB →|AB →|，AF →＝AC →|AC →|，则|AE →|＝4，|AF →|＝1，所以在等腰直角△ABC 中，PE ＝1，BE ＝1，所以AB ＝5，故△ABC 的面积S ＝12×5×5＝252.12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE →＝EC →，CD →＝2CF →，则|AE →＋AF →|＝________.答案3解析因为BE →＝EC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，又因为CD →＝2CF →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋AD →，所以|AE →＋AF →|＝32|AB →＋AD →|＝32|AC →|，又因为∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，所以△ADC 为等边三角形，所以AC ＝AD ＝2，所以|AE →＋AF →|＝32|AC →|＝32×2＝3.四、解答题13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD 中，DE →＝2EC →，BF →＝2FC →，AC 与EF 交于点N.(1)若CN →＝λAB →＋μAD →，求λ＋μ的值；(2)设AE →＝a ，AF →＝b ，试用a ，b 表示AC →.解(1)依题意，设EN →＝tEF →，CN →＝CE →＋EN →＝CE →＋tEF →＝CE →＋t (CF →－CE →)＝(1－t )CE →＋tCF →＝－(1－t )3AB →－t 3AD →，又CN →＝λAB →＋μAD →，＝－1－t 3，＝－t 3，解得λ＋μ＝－13.(2)因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝23AB →＋AD →，AF →＝AB →＋23AD →，所以AE →＋AF →＝53(AB →＋AD →)＝53AC →，所以AC →＝35a ＋35b .14.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.(1)用a ，b 表示AE →，BE →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →＋12AC →＝12a ＋12b ，故AE →＝23AD →＝13a ＋13b ，BE →＝AE →－AB →＝13a ＋13b －a ＝13b －23a .(2)证明因为BE →＝13b －23a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )，所以BE →＝23BF →，所以BE →∥BF →，又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．15．(2023·扬州模拟)设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△BOC的面积为()A ．1B.34C.12D.14答案C 解析如图，∵OA →＋3OB →＋4OC →＝0，∴－17OA →＝37OB →＋47OC →，设－17OA →＝OD →，则OD →＝37OB →＋47OC →，即B ，C ，D 三点共线，∴|OD →||AD →|＝S △BOC S △ABC ＝18，∴S △BOC ＝4×18＝12.16.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，CO 与AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析因为CO 与AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．。
平面向量知识点易错点归纳定稿版
平面向量知识点易错点归纳精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念2.向量的线性运算减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.2 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，1λa＝(λx，λy1)，|a|＝x21＋y21.1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．2．平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．失误与防范1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥ba·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a⊥b .§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥ba ＝λb (b ≠0)x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥ba·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价.。
§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
１．平面向量基本定理 如果 ｅ１ ，ｅ２ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任意向量 ａ，有且只有一对实数 λ１ ，λ２ ，使ａ ＝ λ１ ｅ１ ＋λ２ ｅ２ ．
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
{∴
８
－λｋ
＝
０， ⇒８
＝
２λ２
⇒λ
＝
±
２．
ｋ－２λ ＝ ０
∴ ｋ ＝ ２λ ＝ ±４．
（３） 证法一：∵ Ｍ、Ｎ、Ｐ 三点共线，
∴ 存在实数 μ，使得Ｍ→Ｐ ＝ μ Ｐ→Ｎ，
∴
Ｏ→Ｐ
＝
Ｏ→Ｍ＋μ Ｏ→Ｎ ＝
１＋μ
１ｍ＋μａ＋１μ＋ｎμｂ．
∵ ａ，ｂ 为不共线的非零向量，
ìïïα ＝ １ｍ＋μ，
∴
í îïïβ
ｙ１ ） ． （２）平面向量共线的坐标表示．若 ａ ＝ （ ｘ１，ｙ１ ），ｂ ＝ （ ｘ２，ｙ２ ），
ｂ≠０，则 ａ 与 ｂ 共线⇔ｘ１ ｙ２ －ｘ２ ｙ１ ＝ ０．
需注意的几点：
①若 ａ ＝ （ ｘ１ ，ｙ１ ） ，ｂ ＝ （ ｘ２ ，ｙ２ ） ，则 ａ∥ｂ 的充要条件不能表示
成 ｘ１ ｘ２
＝
ｙ１ ｙ２
③Ｐ 为△ＡＢＣ 的垂心⇔→ＰＡ·Ｐ→Ｂ ＝ Ｐ→Ｂ·Ｐ→Ｃ ＝ Ｐ→Ｃ·→ＰＡ；
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
2015高考数学(人教A版)一轮课件：5-1平面向量的概念及其线性运算
3． (2014· 太原五中 2 月月考)若 O 为△ABC 所在平面内一点， → → → 且 3OA＋4OB＋7OC＝0， 则△OAB 和△ABC 的面积之比为( 1 A. 4 1 C.2 1 B.3 2 D.5 )
→ → → → → → 解析： 将 3OA＋4OB＋7OC＝0 变形为 7(OA＋OC)＝4(OA－ → )． OB 如图，以 OA 和 OC 为邻边所作的平行四边形的对角线 OD 和 AB 平行．显然 OD 交 AC 于 AC 的中点，故 O 到 AB 的距离 1 1 是 C 到 AB 距离的2，所以△OAB 和△ABC 的面积之比为2.故选 C.
(5)相等向量：长度相等 且方向相同 的向量． (6)相反向量：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的 相反向量．
特别提醒：向量是自由向量，在用有向线段表示向量时，要 认识到有向线段的起点的选取是任意的， 不能认为向量也是由起 点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有 “平衡意识”——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．有 向线段仅是向量的直观体现，不能等同于向量．
2→ 1 2 1 → → → 解析：AF＝AC＋CF＝a＋3CD＝a＋3(b－a)＝3a＋3b.故选 D.
答案：D
题型一
平面向量的有关概念
【例 1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； → ＝DC → ，则四边形 ABCD 为平行四边形； ②若AB ③若 a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中假命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
2．向量的加法运算及其几何意义 → ＝a，BC →＝ (1)已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作AB
第五章 平面向量
第一节平面向量的概念与线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有的量叫向量;通常记为 ;长度为的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量加法与减法(1).向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律: ;结合律:(2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：长度：方向：(2)．运算律4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、考点分析考点一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是。
例2：设0为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·0;(2) 若与a0平行，则=||·0；（3）若与0平行且||=1，则=0。
上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二：平面向量的线性运算例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向考点三：平面向量共线定理例3：如图所示,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP ：PM 的值.三、课堂检测1.(2010•四川)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC =16,||||,AB AC AB AC +=-则|AM |=( )A.8B.4C.2D.12.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB sAC ==+则r+s 的值是( )24..33A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( )A.a,b 方向相同B.a,b 两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λ aD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=04.已知O ､A ､B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=则OC 等于( )2112.2.2..3333A OA OB B OA OBC OA OBD OA OB --+--+5.设D ､E ､F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且2,2,2,DC BD CE EA AF FB ===则AD BE CF ++与()BCA.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断6.已知a,b 是不共线的向量,AB =λa+b,AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1 7、关于非零向量，有下列四个命题 ① “||+||=||”的充要条件是“方向相同”； ② “||+||=||”的充要条件是“方向相反”； ③ “||+||=||”的充要条件是“有相等的模”；④“||-||=||”的充要条件是“方向相同”；其中真命题的个数是（A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-,则△ABC 的形状为________.9.在平行四边形ABCD 中,E ､F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +u ,AF 其中λ,u∈R,则λ+u=________.10.如图,平面内有三个向量OA ､OB ､,OC 其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为_______11.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,,AB mAM AC nAN ==则m+n 的值为________.第二节 平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ， λa ＝ ，|a |＝ (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝ ， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ . 基础检测1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 3．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．04．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫12，－5D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________.6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．二、考点分析考点一 平面向量基本定理及其应用例1.1.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB ＝a ，AC ＝b ，则AO ＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.3.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.✧ 方法总结1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．考点二 平面向量的坐标运算例2.1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －b C.32a ＋12b D.32a －12b 2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．✧ 方法总结平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示例3.已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．变式3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2三、课堂检测1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( )A ．(－3,4)B ．(3,4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π36．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________． 8．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 10．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．5．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．3.(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) 2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |的值为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3D ．33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－184．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |＞|b |5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 6．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．二、考点分析考点一 平面向量的数量积的运算1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C.32 D.522．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 3．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.✧ 方法总结向量数量积的2种运算方法4．(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．125．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．6．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________． ✧ 方法总结计算有关平面几何中数量积的方法(1)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(2)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算法则求得．考点二 平面向量数量积的性质角度(一) 平面向量的模1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________ 2.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.✧ 方法总结 求向量模的常用方法(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．角度(二) 平面向量的夹角3．(2018·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π44．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 ✧ 方法总结求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. [注意] 〈a ，b 〉∈[0，π]．角度(三) 平面向量的垂直5．(2018·湘中名校联考)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．✧方法总结1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．变式2.1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－22．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．3．已知AB ―→·BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2，AD ―→·DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为________．考点三 平面向量与三角函数的综合例3.(2017·江苏高考)已知向量a ＝(c os x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．✧ 方法总结平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．变式3.已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．三、课堂检测1．(2018·洛阳第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．32．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且a ·(a －b )＝2，|a |＝2，则|b |等于( )A. 2 B ．2 3 C ．4 D ．23．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(x,4)，若(a －b )⊥c ，则c ·(a ＋b )＝( ) A ．(2,12) B ．(－2,12) C ．14 D ．104．(2018·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30 D.345．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( )A ．－12 B.32－1 C.12 D.326．(2018·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.3227．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．8．(2018·张掖一诊)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |＝________. 9．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．10.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.11．(2018·惠州三调)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题五 平面向量11C ．正三角形D ．等腰直角三角形12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－113．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 314．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 方向上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．15．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA ―→＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．16．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．17．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长． (2)设实数t 满足(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．。
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 5.1平面向量的概念及线性运算教案 理 新人教A版-推荐下载
2014 高考会这样考 1.考查平面向量的概念、线性运算；2.考查向量运算的几何意义，向 量共线的应用． 复习备考要这样做 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向 量共线和点共线、直线平行的关系．
1． 向量的有关概念
名称
向量
定义
既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模)
运算律 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律：
(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c).
a－b＝a＋(－b)
λ(μa) ＝λμa；
λ(a＋b)
2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且 ＝a， ＝b，则
＝____________.
1 答案 b－2a
解析 B→E＝B→A＋A→D＋12D→C＝－a＋b＋12a＝b－12a.
当 λ＝0 时，λa＝0 ＝λa＋λb
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关
系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．
2． 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量．
3． 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的
单位向量
平行向量
共线向量
相等向量
相反向量
长度等于 1 个单位的向量
方向相同或相反的非零向量
方向相同或相反的非零向量又叫做 0 与任一向量平行或共线 共线向量
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)
专题五 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线 答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二 平面向量基本定理及坐标表示考向一 平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二 平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一 平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二 向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。
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(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不 确定. (6)正确.对于一个向量,只要不改变其大小与方向,是可以任意 移动的.
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规律方法:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征 入手,也可以从反面进行考虑,要注意这两种方法的结合.另外, 要特别注意“零向量”.
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创新预测1下列命题: ①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与 a,b之一的方向相同;
OC OA OB .其中α+β=1,O为平面内直线AB外任意
一点.
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●中点公式若M是线段AB的中点, O为平面内任意一点, 1 则OM OA OB . 2
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考点自测
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1.下列各命题:
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等;
题型突破
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题型一tixingyi向量的基本概念 【例1】判断下列命题是否正确,不正确的说明理由. (1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b. (2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反. (3)对于任意向量a,b,|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b.
答案:C
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4.已知向量a, b, 且AB a 2b, BC 5a 6b, CD 7a 2b, 则一定共线的三点是() A.A､B､D B.A､B､C C.B､C､D D.A､C､D 解析 : AD CD CA CD AC CD AB BC 7a 2b a 2b 5a 6b 3a 6b 3AB,
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规律方法:用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基
本功,除利用向量的加､减法,数乘向量外,还应充分利用平面几 何的一些定理,因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或 三角形中,利用三角形中位线､相似三角形对应边成比例等平 面几何的性质,把未知量转化为与已知向量有直接关系的向量
第五章
平面向量
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§5.1 平面向量的概念及线性运算
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高效梳理
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●向量的有关概念及表示方法
名称 向量 零向量 单位向量 共线(平 行)向量 行记作a∥b 相等向量 相反向量 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等 向量 与向量a方向相反且等长的向量，叫做a的相 反向量
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定义 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量 的长度(或模) 长度等于零的向量；其方向不确定 给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1 的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0
②△ABC中,必有 AB +BC + CA =0; ③若 AB + BC + CA =0,则A､B､C为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a|+|b|与|a+b|一定相等.其中真命题
的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
(4)由于零向量0方向不确定,故0不能与任意向量平行.
(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反. (6)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
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解析:(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因 素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故(1)不 正确. (2)不正确,|a|=|b|只能判断两向量的长度相等,不能判断方向. (3)正确.∵|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件可得a=b. (4)不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行,可知(4)不正确
个实数λ,使a=λb.
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●平面向量基本定理 如果e1､e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1､λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其 中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底. ●三点共线定理 平面上三点A､B､C共线的充要条件是:存在实数α､β,使
答案:D
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3.若AB 3e1 , CD 5e1 , 且 AD BC , 则四边形ABCD是() A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰梯形
5 解析： AB 3e1 , CD 5e1, CD AB, 3 AB与CD平行且方向相反，易知 CD AB . 又 AD BC，四边形ABCD是等腰梯形.
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减法
求a与b的相反向 量－b的和的运 算
a+(-a)=0
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
1 a
a
λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb
(2)当λ＞0时， λa与a的方向相 同；当λ＜0时， λa与a的方向相 反；当 λ＝0时，λa＝0
备注
如a，AB
记作0 a0＝ a
0
a a
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些 向量共线或平行
向量a与b平
如 AB ＝a 记作－a
●向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何 意义)
常用结论
加法
求两个向量 和的运算
(1)交换律：a+b=b+a (2)结合律(a+b)+c=a+(b+c) (3)a+0=0+a=a
C.4
D.5
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解析:①真命题;②假命题,若a与b中有一个为零向量时,其方向 是不确定的;③真命题;④假命题,终点相同并不能说明这两个 向量的方向相同或相反;⑤假命题,共线向量所在直线可以重 合,也可以平行;⑥假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是
有向线段.
答案:C
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2.化简以下各式 : ①AB BC CA; ②AB AC BD CD; ③OA OD AD; ④ NQ QP MN MP.结果为零向量 的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4
来求解.
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创新预测2在例2题图中, 连结CD交AM于点P, 若 AP AM, CP CD, 求､.
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题型三tixingsan共线向量定理及其应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若 AB=a+b, BC =2a+8b, BC =3(a-b),求证:A､B､D三点共线;
(2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且A､C､D三点
共线,求k的值.
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题型四tixingsi平面向量基本定理及其应用
1 1 【例4】如图所示, 在 OAB中, OC OA, OD OB与BC 4 2 交于点M设OA a, OB b,以a、b为基底表示OM.
②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
④两个有公共终点的向量,一定是共线向量. ⑤向量AB与 向量 CD 是共线向量,则点A､B､C､D必在同一条直线上;
⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为() A.2 B.3
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
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(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a､b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
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规律方法:(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,
A､B､D三点共线.
答案:A
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5.在 ABC中,已知D是AB边上一点, 若AD 2DB, 1 CD CA CB, 则 () 3 2 A. 3 1 B. 3 1 C. 3 2 D. 3
答案:A
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通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定 系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共 线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才
能得出三点共线.
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创新预测3设两个非零向量e1和e2不共线. 点共线;
(1)如果 AB =e1-e2,8e1-2e2,求证:A､C､D三
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●|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)的几何意义 如图,式子|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)的几何意义为:平行四边形 两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和.
●平行向量(共线向量)基本定理 如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一
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解析:①假命题,当a+b=0时,命题不成立;②真命题;③假命题, 只有当a与b同向时二者相等,其他情况均为|a|+|b|>|a+b|. 答案:B
当A､B､C三点共线时,也可以有 AB BC CA 0 ;④假命题,
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题型二tixinger向量的线性运算 2 【例2】 ABC中, AD AB, DE / / BC交AC于E , BC边上的 3 中线AM交DE于N，设AB=a,AC=b,用a、b表示向量AE、 |、 BC DE、 、 、 . DE AE AN