中国矿业大学 概率论与数理统计课件

( AB C ) ( ABC ) (ABC ) ( A B C) (A B C ) (ABC )
(2) A 与B 发生, C 不发生
(3) A, B 与C 都发生 (4) A, B 与C 至少有一个发生 (5) A, B 与C 全不发生 (6) A, B 与C不全发生 (7) A, B 与C 至少有两个发生
概率论与数理统计
任课教师: 付乳燕
furuyan@126.com
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内容与学时
第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律与中心极限定理
概 30 率学 论时
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计 第八章 假设检验
数 18 理学 统时 计
P( AB C ) P( ABC ) (2) 只订购A，B的 (3) 只订购一种报纸的 P( ABC ABC ABC ) (4) 只订购两种报纸的 P( ABC ABC ABC ) (5) 至少订购一种报纸的 P( A B C ) P( A B C ) (6) 不订购任何报纸的
Ⅱ. 乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有
种方法（i=1,2,…,m) ，则完成该项工作一共有： n1n2 nm种方法。
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Ⅲ. 排列： 从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列， 称为从n个元素里取出r个元素的排列。(n，r均为整数)
①(无放回选取)从n个不同元素中无放回的取出m个(m≤n) ﹏﹏﹏﹏﹏
A S
，0≤ P A ≤1
A S，P( A) 1 P( A)
(加法公式) P A B P A P B P AB 证明 A
B
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推广：
P A1 A2 An
P Ai
i 1 n 1i j n
3. 基本事件：一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果）。
例： 有两个基本事件 { H } 和 { T }
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三、事件间的关系及其运算（重点）
1.事件的关系
① 包含、相等关系
事件B包含事件A
A发生必然导致B发生 A与B相等， 记为 A=B。
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②事件的和 称为A和B的和事件 表示A与B中至少有一个发生，即： A与B中至少有一个发生时， 发生。
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③事件的积
且 A与B的积事件
表示事件A和B同时发生， 即：
当且仅当A与B同时发生时， 发生。 通常简记为AB。
A B
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④事件的差
但 A与B的差事件 A-B 表示事件A发生但事件B不发生 ⑤互斥事件(互不相容) ，则称A,B为互不相容事件 即：A、B不能同时发生。 基本事件都互不相容。
⑥对立事件(逆事件) 且
n! 进行排列，共有 A n(n 1)...( n m 1) (n m)!
m n
种方法。
②(有放回选取)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 ﹏﹏﹏﹏﹏ 次排成一列，称为可重复排列，一共有 nr 种方法。
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Ⅳ. 组合
从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序， 组合数为
解 P( A B C ) P( A) P( B) P(C )
P( AB) P( AC ) P( BC ) P(ABC ) ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0 P( A B C ) 0.75 0.125 0.625
，则称事件A与B互为逆事件 , =S -A。
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或互为对立事件。A的对立事件记为
2 .事件的运算法则
①交换律 ；
②结合律
③分配律
④德· 摩根律： 推广：
；
;
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注：事件的一些关系式
① 设 ，则 ， ，
，
②
③
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例1.
设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件
(1) A 发生, B 与C 不发生
P A1 A2 Ak P A1 P A2 P Ak
其中
两两互不相容。
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如果
则
② P A ≤ P B
① P B A P B P A
证明
且 A 和 B－A互不相容
得①式成立；
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二、概率（概率的公理化定义）
1. 定义 设 E, S ,对于E的每一事件A，赋予一个实数， 记为P(A), 如果P( · )满足以下三个公理： ⑴ 非负性：
⑵ 规范性： ⑶ 可列可加性：
称P(A)为事件A的概率。
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2. 性质：
P 0
证明 取 ，则
故由可列可加性
又因为 ≥0， 所以
有限可加性
频率这一概念近似反映了这个数量规律。
一、频率
1. 定义1 设 E, S, A为E中某一事件，在相同条件进行 n次独立重复试验，事件A发生的次数记为 则比值 2. 性质： 0≤ 称为A的频率。(frequency) ≤1
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22
30 若
两两互不相容
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过 大量掷硬币的试验，所得结果如下： 试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
二、随机事件与样本空间
Ⅰ. 样本空间 定义1 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E
的样本空间,记为S ,样本空间的元素,即E的每个结果， 称为样本点,记为e。 例如上页引例中：
有限个 样本点
S1 ={ H,T }
S2 ={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
连续、 不可列
( ABC A BC AB C ABC )
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为 例2 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则
(A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销
(C) 甲种产品畅销
解
(D) 甲滞销或乙畅销
，故选(D)
设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”
则
例3 关系( C, D )成立，则事件A与B为对立事件。
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例6 证明 证
例7
解
P( AB) P( A) P( AB)
P( AB) 0.3
Leabharlann Baidu
，求
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第一章
第三节 等可能概型
一、等可能概型的定义 二、计算公式 三、计算方法
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1.定义：具备以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
0
1 有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个； 20 等可能性 每个基本事件发生的可能性相同。
等可能概型也称为古典概型。 例：E1—抛均匀硬币,观察哪面朝上 S1 ={ H,T } E2—投一均匀骰子,观察点数
S2 ={1,2,3,4,5,6}
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2.计算公式：
①
1 P ei i 1, 2, , n n ② 若事件A包含k个基本事件，即
其中(
表示
中的k个不同的数)
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(1) (2) (3)
(4) (5)
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例4 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B， C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%， 同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同
时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试 求下列事件的概率：
(1) 只订购A的
k 则有 P A n
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3.方法：
构造A和S的样本点(当样本空间S的元素
较少时，先一一列出S和A中的元素，直 接利用 求解) 用排列组合方法求A和S的样本点个数
预备知识
Ⅰ. 加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有 种，(i=1,2, m)，则完成这项工作共有： n1 n2 nm 种方法。
一、随机试验 二、随机事件与样本空间
三、事件间的关系及其运算（重点）
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一、随机试验 例： : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。 E1
E2 :将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。 E3: 在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。
对上面的随机现象进行观察，具有以下特点： 1、可以在相同的条件下重复进行； 2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能 预先知道全部可能结果； 3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。 E(experimentation) 8
(A)
(C) 解释(D)：
(B)
(D) 与 为对立事件
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A与B为对立事件 例4. 在掷骰子的试验中, 样本空间 S {1, 2 ,6 } 事件A— 出现偶数点 , 事件B —出现奇数点 事件D —点数大于5 事件C —出现点数大于4 ,
求: A B , B C , A D , A D 解: ∵ A={2,4,6} , B={1,3,5} , C={5,6}，D={6}
例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，
S={11,12,13, ……,61, ……,66}
A — 点数之和为7 , A={16,25,34,43,52,61}
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事件A发生
特殊随机事件：
A中的某一个样本点在试验中出现
1. 必然事件：每次试验中必然发生的事件,记为S；
2. 不可能事件：每次试验一定不发生的事件,记；

P Ai Aj
1i j k n

P Ai Aj Ak
1
n 1
P A1 A2 An
提示：可用归纳法证明
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例1. 已知
证明:
例2、
解：
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例3 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，
4
②随机现象： 在每次试验中结果具有不确定性，而在大量的重复 试验中其结果又具有某种统计规律性的现象。 研究对象：概率统计是研究随机现象统计规律性的 一门数学分支。
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第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算 二、频率与概率 三、等可能概型 四、条件概率 五、事件的相互独立性
6
第一章
第一节 随机事件及其运算
A B ,
B C { 5}
A D {1, 3 , 5 , 6 }
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A D { 2 , 4 , 6}
第一章
第二节 频率与概 率
一 、频率 概率的统计定义
二、概率的公理化定义
重点掌握利用关系式计算概率
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一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大
量重复试验中随机事件的出现呈现一定的数量规律，
( )
2
( )
参考学习书目：
《概率论与数理统计》 《概率论与数理统计学习辅导与习题解答》 浙江大学二、三版 高教出版社出版 答疑： 答疑地点：教一楼C300答疑室
答疑时间：周二下午7-8节
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绪 言 自然界和社会中有两类现象：
①确定性现象：在一定条件下必然发生的现象
例 抛一石子必然落下； 同性电荷互斥 （结果可以事先预言的） ②随机现象： 在一定条件下，可能出现这样的结果 也可能出现那样的结果； 例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上； （结果不可事先预言）
两天都下雨的概率为0.1, 试求下列事件的概率：
(1) 第一天下雨，第二天不下雨 (2) 第一天不下雨，第二天下雨 (3) 至少有一天下雨
P( A B)
P( AB) P( AB)
(4) 两天都不下雨 P( AB) (5) 至少有一天不下雨 P( A B) 解：设A—第一天下雨，B—第二天下雨 则
次数
4040 12000
正面的次数
2048 6019 12012
正面的频率 0.5069 0.5016 0.5005
24000
结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；
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随着n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。
这种称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性， 频率稳定值 即概率的统计定义。 注：试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动 范围越小。
设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”
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解：由题意可知
(1)
(2) (3) ﹏﹏ ﹏﹏ ﹏﹏
两两互不相容的
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(4)
﹏﹏
﹏﹏
﹏﹏
两两互不相容
(5)
(6)
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例5 已知 P( A) P( B) P(C ) 0.25 , P( AC) 0.125 P( AB) P( BC ) 0 ,求 A,B,C 至少有一个发生 的概率。
S3 ={ t | t≥0}
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注意： 样本空间的元素是由 试验目的 所决定的。
将一枚硬币连抛三次 例： 1) 观察正反面出现的情况, S1 ={HHH,HHT……} 2) 观察正面出现的次数, S2 ={0,1,2,3} Ⅱ. 随机事件 定义2 样本空间的子集称为随机事件，简称事件， 一般记为 A, B, C等。