《分式方程》教案

15．3 分式方程

第1课时 分式方程及其解法

【出示目标】

1．理解分式方程的意义．

2．了解分式方程的基本思路和解法．

3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．

【预习导学】

自学指导：阅读教材P149－151，完成下列问题．

1．填空：

(1)分母中__不含有__未知数的方程叫做整式方程

(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．判断下列说法是否正确：

①2x ＋32＝5是分式方程；②34－4x ＝4x ＋3

是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程；④1x ＋1＝1y －1

是分式方程． 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．

【自学反馈】

1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？

①x －22＝x 3；②4x ＋3y

＝7； ③1x －2＝3x

；④x （x －1）x ＝－1； ⑤3－x π＝x 2；⑥2x ＋x －15

＝10； ⑦x －1x ＝2；⑧2x ＋1x

＋3x ＝1. 解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数．

②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数．

【教师点拨】判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数．

2．解分式方程的一般步骤是：(1)__去分母__；(2)__解整式方程__；(3)__验根__；(4)__小结__．

【合作探究】

活动1 小组讨论

【例1】 解方程：2x －3＝3x

. 解：方程两边乘x (x －3)，得2x ＝3(x －3)．

解得x ＝9.

检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.

所以，原分式方程的解为x ＝9.

【例2】 解方程：x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）

. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.

解得x ＝1.

检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0.

所以x ＝1不是原方程的解．所以，原方程无解．

活动2 跟踪训练

1．解方程：

(1)12x ＝2x ＋3； (2)x x ＋1＝2x 3x ＋3

＋1； (3)2x －1＝4x 2－1； (4)5x 2＋x －1x 2－x

＝0. 解：(1)方程两边乘2x (x ＋3)，得x ＋3＝4x .去分母：x ＋3＝4x .化简得：3x ＝3.解得x ＝1. 检验：将x ＝1代入2x (x ＋3)≠0.所以x ＝1是方程的解．

(2)方程两边乘3(x ＋1)，得3x ＝2x ＋3x ＋3.解得x ＝－32

. 检验：将x ＝－32

代入(3x ＋3)≠0. 所以x ＝－32

是方程的解． (3)方程两边乘x 2－1，得2(x ＋1)＝4.解得x ＝1.

检验：将x ＝1代入x 2－1＝0，所以x ＝1不是方程的解．所以，原方程无解．

(4)方程两边乘x (x ＋1)(x －1)，得5(x －1)－(x ＋1)＝0.解得x ＝32

. 检验：将x ＝32

代入x (x ＋1)(x －1)≠0. 所以x ＝32

是原方程的解． 【教师点拨】方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母．

2．解分式方程：(1)x x －1＝32x －2

－2； (2)x －3x －2＋1＝32－x

； (3)2x 2x －1＝1－2x ＋2

. 解：(1)方程两边乘2x －2，得2x ＝3－2(2x －2)．解得x ＝76

. 检验：当x ＝76时，2x －2≠0.所以x ＝76

是原方程的解． (2)方程两边乘x －2，得x －3＋x －2＝－3.

解得x ＝1.

检验：当x ＝1时，x －2≠0.所以，x ＝1是原方程的解．

(3)方程两边乘(2x －1)(x ＋2)，得2x (x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－2(2x －1)．

解得x ＝0.

检验：当x ＝0时，(2x －1)(x ＋2)≠0.所以，x ＝0是原方程的解．

【课堂小结】

解分式方程的思路是： 分式方程――→去分母两边都乘以最简公分母一化二解三检验整式方程―→验根

【随堂训练】

教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．

第2课时 分式方程的应用

【出示目标】

能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．

【预习导学】

自学指导：阅读教材P152－153，完成下列问题．

1．列方程解应用题的一般步骤是： (1)____审题设未知数__． (2)____找等量关系列方程__． (3)____解方程__． (4)____验根是否符合实际意义__． (5)____答题__． 2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是： (1)____审题设未知数__．

(2)____找等量关系列方程__．

(3)____去分母化分式方程为整式方程__．

(4)____解整式方程__．

(5)____验根是否符合实际意义__．

(6)____答题__．

【自学反馈】

重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？

甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖__12÷4＝18

__，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，那么一天挖__1x __；两台挖土机一天共挖__18＋1x

__；两台一天完成另一半．所以方程为：__18＋1x ＝1,2)__；解得x ＝__83__，即乙单独挖需__83

__天． 【教师点拨】认真分析题意．根据等量关系列方程．

【合作探究】

1．甲乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？

分析：

路程 速度 时间 甲 18＋1×2 x ＋0.5 18＋1×2x ＋0.5