典型课例之函数与导数错误剖析

所 以ｖ （ ） ＝ ｖ （ Ａ） ｘ Ａ （ ） ＝ ｃ ｏ ｓ Ａ× （ ） ＝ ２ ｃ ｏ ｓ ２ ｘ
则 都分 别 相 同 ， 二者缺一不可 。 ２ ． 函数 的性 质 （ １ ） 奇 偶 性 设 函数 ） 的定义域 为Ａ， 对于任 意的。 属 于Ａ，
不同的函数 ， 当题 目中明确出现 函数＇ ， ＝ ） 满 足厂 【 一 １ ） ＝ １ 一 ） 时， 才能运用上述解法 。否则应 当看成两 个不同的函数 。函数＇ ， ） ， 定义域为Ａ， 函数ｙ ＝ 一 １ ） 的图象 可以看成是 函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的 图象 向右 平移 １ 个单位得到的。函数 （ １ ） 可以写作 １ ） 一 （ 一 １ ） ］ ， 其 图象也 是 函数 ＝ ） 的图象 向右平移 １ 个 单 位得到 的， 因为 ） 与， （ ） 的图象关 于坐标轴 纵轴 对称 ， 即ｘ ＝ Ｏ 对称 ， 因而函数 ＝ 一 １ ） 与＇ ， ＝ （ １ 一 ） 的图
错解 ： ｙ － Ｃ Ｏ Ｓ ￣ ．
错 因剖 析 ： 函数ｙ － ｓ ｉ ｎ 不 是正 弦 函数 ， 不 能套 用公式 （ ｓ ｉ 似） ＝ ｃ ｏ 眦进行求解计 算。由ｚ ｊ Ｚ ￣ ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ ２ ｘ 是复合 函数 ， 则可以令Ａ＝ ２ ｘ ， ￣ ］ １ ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ Ａ，
设函数ｙ ＝ ） 在 附近有定义 ， 当自变量有 增量Ａ Ｘ时， 函数相应地 有增 量△ ｙ ： ， （ ｘ ０ ＋ Ａ ｘ ） 一 ‰） ， 当
—
时， 函数 的平均变 化率 有极 限 ， 即无 限趋
／ ｔ ｘ
对于任意的 、 Ｘ ２ 属于， ， 当 ｌ ／ Ｊ 、 于 都有厂 （ ） 小于或 等 于， （ ） ， 则称 函数在 区间， 上 是单调增 函数 ， 若 在 此 区间上厂 （ ） 大 于或 等于厂 （ ： ） ， 则称该 函数在 区间，
象 关 于 直 线 ＝ １ 对称 ， 故 选 Ｄ。
二、 导 数 典 型 错 误 剖 析 （ 一） 导 数 相 关 知 识 １ ． 导 数 的定 义
都有 一 。 属 于Ａ， 且厂 （ － ａ ） ＝ ｏ ） ， 则 称 函数 厂 （ ） 为偶函
数， 偶 函数 关 于 坐 标 轴 纵 轴 对 称 。 设 函数 ） 的定 义域为Ａ， 对于任 意的。 属 于Ａ， 都有一 ｎ 属 于Ａ， 且 一 ｏ ） ＝ 一 。 ） ， 则称 函数 ） 为奇 函 数， 奇 函数关 于坐标轴原点对称 。 （ ２ ） 单调性 设 函数 ） 的定义域 为Ａ， 区间， 包含于Ａ。如果
难点剖析
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ｙ ＝ （ ） 的 图象 关 于 （ ） 。 Ａ ． 直线ｙ ＝ ０ 对称 Ｂ ． 直线 ＝ ０ 对称 Ｃ ． 直线ｙ ＝ １ 对称 Ｄ ． 直线 ＝ １ 对称 错解 ： 因为 函 ） 的定 义域 为Ａ， 且 函
一
一
１ ） ＝ １ － ｘ ） ， 所以函数ｙ ＿ ， （ ） 的图象关于直线ｘ ＝ ０ 对
、
函数 典 型 错 误 剖 析
称。 故选Ｂ 。 错 因解 析 ： 函数ｙ ＝ ， 【 一 １ ） 与 函数 ｙ ＝ （ １ 叫） 是 两个
（ 一） 函数 的相 关知 识
１ ． 函数 的 定 义 设 在 某 变 化 过程 中 有 两 个 变 量 、 Ｙ ，如 果 对 于
在某一范 围内的每一个确定的值 ， ， ， 都 有唯一的值与 之相对应 ，那么就称Ｙ 是 的函数 ， 叫作 自变量 ， ｙ ｌ ｌ ｑ 作 因变量 。 自变量 取值 的集合叫作函数 的定义域 ， 因变量Ｙ 的取值 叫作 函数 的值域 。 对定义 的理解需要注意一个基本问题 ，即函数 定 义域 和值域 的确定 。要判断两个表示形式不同 的 函数是 同一个 函数 ，ｆ （ ｘ ） 在某 个区间内可导 ， 若厂 （ ） 大 于０ ， 则函数ｙ ＝ ） 为增 函数 ， 若厂 （ ） 小 于０ ， 则 函数 ｖ ＝ ） 为减 函数 。
（ 二） 导数 典 型错 误 剖 析
例
求 函数ｙ － Ｓ ｉ ｎ ２ ｘ 的导数 。
函数和导数在 日常生活中的应用 十分广泛 。函 数可以运用到生活中的求利润最 大 、用料最省 和效 率最高 的问题。导数可以表示运动物体的瞬时速度 和加速度 ， 还可 以表示经济学意义上 的边际和弹性 。 由于 函数和导数的实用性 ，学习函数和导数尤 为必 要， 正 确学 习 函数 和 导数 更 重 要 。
（ 二） 函数 典 型错 题剖 析
近于某个常数 ，我们 把这个极 限值 叫作 函数在 『 上 的导 数 。 ２ ． 导 数 的 性质 （ １ ） 函数 在 某 一 点 可 导 时 ， 函 数在 点 的导 数 即为 曲线在点处的切线的斜率。
（ ２ ） ｃ ＝ Ｏ（ ｅ ） ： ｅ （ ｓ ｉ ｎ ） ＝ Ｃ Ｏ Ｓ ｃ ０ ｓ ＝ 一 ｓ ｉ ｎ ｘ
上是单调减 函数 。 （ ３ ） 反 函数 设 函数 ） 的定 义 域 为 Ａ， 值 域 为Ｂ。如 果 对 于Ｂ 中的每～个元素ｂ ， 在Ａ中只有一个元 素ｏ ， 使得 。 ） ＝ ｂ ， 那么把ｂ 对应 到。 的映射称 为ｙ ＝ ） 的反 函数 ， 记 作ｙ ＝ ｆ （ ） 。函数 ） 的定 义域Ａ为函数 （ ） 的值 域， 函数 ） 的值域曰 为 函数 厂 一 （ ） 的定义域 。函数 ） 和函数厂 （ ） 互为反函数。