广东省汕头市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)有答案
广东省汕头市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜4，x∈Z}，则（）A．M∩N={0}B．N⊆M C．M⊆N D．M∪N=N2．设i是虚数单位，a∈R，若i（ai+2）是一个纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣B．﹣1 C．0 D．13．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．y=ln D．y=e x4．双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y﹣的最大值是（）A．﹣B．0 C．D．16．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为（）A．1 B．2πC．1﹣D．1﹣7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A ．B ．C ．D ．8．直线x ﹣y +m=0与圆x 2+y 2=1相交的一个充分不必要条件是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．﹣4＜m ＜2 C ．m ＜1 D ．﹣3＜m ＜19．函数f （x ）=sin （2x +φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．10．经过函数y=﹣图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记△OAB 的面积为S ，则S=（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．111．已知向量||=1，||=2且•=0，又=+2， =m ﹣n ，∥，则等于（ ）A ．﹣B ．﹣1C ．1D ．212．已知a ＞0，若函数且g （x ）=f （x ）+2a 至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（，1]B ．（1，2]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上）13．如果sin （x +）=，则cos （﹣x ）= ．14．当x ＜0时，f （x ）=﹣x ﹣的最小值是 ．15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E是线B1C段的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球的体积为．三、解答题（6小题，满分60分.而且他又写出必要的文字说明，证明过程或结算步骤）17．已知数列{a n}的各项均是正数，其前n项和为S n，满足S n=4﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设bn=（n∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析．（1）按一定比例进行分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图（图1）记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩[70，90）的频率是0.2，请补全表格并绘制相应频率分（）为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA=PC=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC ∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．（1）求证：侧面PAD⊥底面ABCD；（2）求三棱锥P﹣ACD的表面积．20．在直角坐标系xOy中，曲线C： +y2=1的右顶点是A、上顶点是B．（1）求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）过点D（0，2）且斜率为k（k＞0）的直线l交曲线C于两点M，N且•=0，其中O为坐标原点，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x﹣x．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=（m﹣1）x+n，若对∀x∈R，f（x）恒不小于g（x），求m+n的最大值．请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AD，DE是⊙O的切线．AD，BE的延长线交于点C．（1）求证：A、O、E、D四点共圆；（2）若OA=CE，∠B=30°，求CD长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=1，曲线D的参数方程是：（α为参数）．（1）求曲线C与曲线D的直角坐标方程；（2）若曲线C与曲线D相交于A、B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|﹣|x+|最大值为M，（1）求实数M的值；（2）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣（2+）t恒成立，求实数t的取值范围．2017-2018学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜4，x∈Z}，则（）A．M∩N={0}B．N⊆M C．M⊆N D．M∪N=N【考点】集合的表示法．【分析】化简集合N，利用集合的交集的定义，即得出结论．【解答】解：∵集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜4，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴M∩N={0}，故选：A．2．设i是虚数单位，a∈R，若i（ai+2）是一个纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣B．﹣1 C．0 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据所给的复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部等于0且虚部不等于0，得到结果．【解答】解：∵i（ai+2）是纯虚数，即﹣a+2i是纯虚数，∴﹣a=0，∴a=0故选：C．3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．y=ln D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据奇函数的定义，奇函数图象的对称性，以及y=x3和余弦函数的单调性，复合函数、反比例函数和对数函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：y=cosx在定义域上没有单调性，在定义域上单调递减，y=e x的图象不关于原点对称，不是奇函数，y=x3为奇函数，且在R上单调递增．故选：A．4．双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出a，b，c即可．【解答】解：由﹣=1得a2=64，b2=36，则c2=a2+b2=64+36=100，则a=8，c=10，则双曲线的离心率e===，故选：B5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y﹣的最大值是（）A．﹣B．0 C．D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y﹣得y=﹣2x+z+，平移直线y=﹣2x+z+，由图象可知当直线y=﹣2x+z+经过点B时，直线y=﹣2x+z+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（，），代入目标函数z=2x+y﹣得z=2×+﹣=1．即目标函数z=2x+y﹣的最大值为1．故选：D6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为（）A．1 B．2πC．1﹣D．1﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，间接法求体积即可．【解答】解：由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，正方体的条件为1，圆柱的体积为，所以其体积为1﹣；故选C．7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i≤5，输出S的值，利用裂项法即可计算得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤5，执行循环体，S=，i=2满足条件i≤5，执行循环体，S=+，i=3满足条件i≤5，执行循环体，S=++，i=4满足条件i≤5，执行循环体，S=+++，i=5满足条件i≤5，执行循环体，S=++++，i=6不满足条件i≤5，退出循环，输出S的值．由于S=++++=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：B．8．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=1相交的一个充分不必要条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．【解答】解：联立直线与圆的方程，消去y得：2x2+2mx+m2﹣1=0，由题意得：△=（2m）2﹣8（m2﹣1）=﹣4m2+8＞0，解得：﹣＜m＜，∵0＜m ＜1是﹣＜m ＜的一个真子集，∴直线x ﹣y +m=0与圆x 2+y 2=1相交的一个充分不必要条件是0＜m ＜1． 故选A ．9．函数f （x ）=sin （2x +φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=k π，k ∈z ，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f （x ）=sin （2x +φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin [2（x +）+φ]=sin （2x ++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=k π，k ∈z ，∴φ=﹣，故选：D ．10．经过函数y=﹣图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记△OAB 的面积为S ，则S=（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数可求得切线l 的斜率及方程，从而可求得l 与两坐标轴交于A ，B 两点的坐标，继而可求△OAB 的面积．【解答】解：设M （x 0，y 0）为曲线y=﹣上任一点，则y 0=﹣．∵y=﹣，∴y ′=，设过曲线y=﹣上一点M 的切线l 的斜率为k ，则k=，∴切线l 的方程为：y +=（x ﹣x 0），∴当x=0时，y=﹣，即B （0，﹣）；当y=0时，x=2x 0，即A （2x 0，0）；∴S △OAB =|OA |•|OB |=×|2x 0|•|﹣|=4．故选：B ．11．已知向量||=1，||=2且•=0，又=+2，=m﹣n，∥，则等于（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵向量||=1，||=2且•=0∴与不共线，∵=+2，=m﹣n，∥，∴设=x，则x（+2）=m﹣n，即，则=﹣，故选：A12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=﹣2a根的个数，即函数y=f（x）的图象与直线y=﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a=1时，y=f（x）的图象如图：满足题意；当a=2时，y=f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上）13．如果sin（x+）=，则cos（﹣x）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式首先化简再求值．【解答】解：由已知得到cosx=，而cos（﹣x）=cosx=；故答案为：．14．当x＜0时，f（x）=﹣x﹣的最小值是2．【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义．【分析】由x＜0，可得﹣x＞0，函数f（x）化为f（x）=（﹣x）+，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值和x的值．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，即有f（x）=﹣x﹣=（﹣x）+≥2=2．当且仅当x=﹣时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果．【解答】解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10=90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10=40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率p=．故答案为：．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E是线B1C段的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球的体积为36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，利用勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣DED1外接球体．【解答】解：三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，设球的半径为R，则R2=（2）2+（4﹣R）2，∴R=3，∴三棱锥A﹣DED1外接球体积为=36π．故答案为：36π．三、解答题（6小题，满分60分.而且他又写出必要的文字说明，证明过程或结算步骤）17．已知数列{a n}的各项均是正数，其前n项和为S n，满足S n=4﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设bn=（n∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）n为奇数时，b n==n﹣2．n为偶数时，b n=．分组分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由S n=4﹣a n，S n+1=4﹣a n+1，两式相减得a n+1=a n﹣a n+1，得=，又a1=S1=4﹣a1，解得a1=2．故数列{a n}是以2为首项，为公比的等比数列．故a n=2×=．（2）n为奇数时，b n==n﹣2．n为偶数时，b n=．∴T2n=（b1+b3+…+b2n）+（b2+b4+…+b2n）﹣1=[﹣1+1+…+（2n﹣3）]+ +…+=+=n2﹣2n+．18．某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析．（1）按一定比例进行分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图（图1）记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩[70，90）的频率是0.2，请补全表格并绘制相应频率分布直方图（图2）．【分析】（1）利用茎叶图，可得表格及频率分布直方图；（2）求出K 2，与临界值比较，即可得出结论．频率分布直方图（2）假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系， 则K 2=≈14.55＞10.828∴有99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA=PC=PD=，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2． （1）求证：侧面PAD ⊥底面ABCD ； （2）求三棱锥P ﹣ACD 的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AD中点O，连接PO、CO，利用等腰三角形的性质可得PO⊥AD且PO=1．又底面ABCD为直角梯形，可得四边形ABCO是正方形，CO⊥AD且CO=1，由PC2=CO2+PO2，可得PO⊥OC，因此PO⊥平面ABCD．即可证明侧面PAD⊥底面ABCD．（2）S△ACD=，S△PAD=．利用已知可得：△PAC，△PCD都是边长为的等边三角形，故S△PAC=S△PCD=．即可得出．【解答】证明：（1）取AD中点O，连接PO、CO，由PA=PD=，得PO⊥AD且PO=1．又底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，O为AD中点，故四边形ABCO是正方形，故CO⊥AD且CO=1，故△POC中，PC2=CO2+PO2，即PO⊥OC，又AD∩CO=O，故PO⊥平面ABCD．PO⊂平面PAD，故侧面PAD⊥底面ABCD．解：（2）S△ACD===1，S△PAD===1．△PAC中，AC=PA=PC=，Rt△COD中，CD==，故△PAC，△PCD都是边长为的等边三角形，故S△PAC=S△PCD==．∴三棱锥P﹣ACD的表面积S=2+．20．在直角坐标系xOy中，曲线C： +y2=1的右顶点是A、上顶点是B．（1）求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）过点D（0，2）且斜率为k（k＞0）的直线l交曲线C于两点M，N且•=0，其中O为坐标原点，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心与半径，即可求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）直线l：y=kx+2联立C整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，利用向量知识及韦达定理，求出k，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意点A（2，0）、B（0，1）故线段AB的中点E（1，），所求圆E的半径r=，故圆E的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=（2）依题意，直线l：y=kx+2联立C整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，此时△=16（4k2﹣3）＞0，又k＞0，故k＞．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=•=x1x2+y1y2=2k（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4==0，由k＞0得k=2故所求直线l的方程是y=2x+2．21．已知函数f（x）=e x﹣x．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=（m﹣1）x+n，若对∀x∈R，f（x）恒不小于g（x），求m+n的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数f′（x）=e x﹣1，解f′（x）＜0和f′（x）＞0便可得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）的极小值，并判断没有极大值；（2）根据条件可得出，对任意的x∈R，都有e x﹣mx﹣n≥0成立，然后令u（x）=e x﹣mx﹣n，求导u′（x）=e x﹣m，讨论m的取值，根据导数符号求函数的最小值，从而得出m+n≤2m﹣mlnm，同样根据导数便可求出2m﹣mlnm的最大值，这样即可求出m+n的最大值．【解答】解：（1）依题意f′（x）=e x﹣1；令f′（x）＜0得x＜0令f′（x）＞0得x＞0故函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增故函数f（x）的极小值为f（0）=1，没有极大值．（2）依题意对∀x∈R，f（x）≥g（x），即e x﹣x≥（m﹣1）x+n，即e x﹣mx﹣n≥0恒成立令u（x）=e x﹣mx﹣n，则u′（x）=e x﹣m①若m≤0，则u′（x）＞0，u（x）在R上单调递增，没有最小值，不符题意，舍去．②若m＞0，令u′（x）=0得x=lnm当u′（x）＜0，即x∈（﹣∞，lnm）时，u（x）单调递减；当u′（x）＞0，即x∈（lnm，+∞）时，u（x）单调递增．故=m﹣mlnm﹣n≥0；故m+n≤2m﹣mlnm令q（m）=2m﹣mlnm，则q′（x）=1﹣lnm当m∈（0，e）时，q′（x）＞0，q（x）单调递增；当m∈（e，+∞）时，q′（x）＜0，q（x）单调递减故q（x）max=q（e）=2e﹣elne=e，即m+n≤e，即m+n的最大值是e．请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AD，DE是⊙O的切线．AD，BE的延长线交于点C．（1）求证：A、O、E、D四点共圆；（2）若OA=CE，∠B=30°，求CD长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接EO，证明对角互补，可得A、O、E、D四点共圆；（2）若OA=CE，∠B=30°，求出AC，AD，即可求CD长．【解答】（1）证明：连接EO∵AD，DE是⊙O的切线∴∠DAO=∠DEO=90°，∴∠DAO+∠DEO=180°，∠ADE+∠AOE=180°∴A、O、E、D四点共线．（2）解：连接AE，∵CE=1，∴AO=，AB=2∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°Rt△ABE中，∠B=30°，故AE=AB=，BE=3△ADE中，∠DAE=∠DEA=∠B=30°，∴∠ADE=120°∴AD==1又由切割线定理得AC2=CE•CB=1×4=4，∴AC=2故CD=AC﹣AD=1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=1，曲线D的参数方程是：（α为参数）．（1）求曲线C与曲线D的直角坐标方程；（2）若曲线C与曲线D相交于A、B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据公式ρ•cosθ=x，ρ•sinθ=y求出曲线C的直角坐标方程，根据得出曲线D的直角坐标方程；（2）联立得出A，B两点坐标，用两点间距离公式求出|AB|．【解答】解：（1）∵ρ•cosθ=x，ρ•sinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为：x+y﹣1=0，由得曲线D的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=1；（2）联立得交点A、B的坐标为（1，0），（2，﹣1）故|AB|==．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|﹣|x+|最大值为M，（1）求实数M的值；（2）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣（2+）t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据解析式分别由x的范围去绝对值，化简后可得函数f（x）的解析式，即可求出最大值M；（2）由（1）中f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，由条件和恒成立问题列出不等式，求出解集即可得实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=|x﹣|﹣|x+|=，∴函数f（x）的最大值M是2；（2）由（1）知，函数f（x）的最小值M是﹣2，∵∀x∈R，f（x）≥t2﹣（2+）t恒成立，∴﹣2≥t2﹣（2+）t，化简得，t2﹣（2+）t+2≤0，解得，所以不等式的解集是[，2]．2018年9月1日。
2017-2018学年广东省汕头市高二(下)期末数学试卷(理科)附解析
2017-2018学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-4x+3＞0}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A. B. 或C. D. 或2.若复数（1-i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a是实数，则|1-a+i|=（）A. 0B. 1C. 2D.3.甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A. B. C. D.4.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n-2a n+1=0（n∈N*），若a16+a18+a20=24，则S35=（）A. 140B. 280C. 70D. 4206.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为（）A. B. C. D. 17.执行如图所示的程序框图，若输出的S=120，则判断框内应填入的条件是（）A.B.C.D.8.展开式中x3的系数为（）A. 70B. 80C. 90D. 609.已知函数，则（）A. 函数的最大值为，其图象关于对称B. 函数的最大值为2，其图象关于对称C. 函数的最大值为，其图象关于直线对称D. 函数的最大值为2，其图象关于直线对称10.已知函数f（x）=x2+2|x|-2018，则使得f（）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A. B.C. D.11.已知双曲线：＞，＞的一条渐近线恰好是圆：的切线，且双曲线C1的一个焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C1的方程为（）A. B. C. D.12.已知函数，，＞，若函数g（x）=f（x）-mx-m的图象与x轴的交点个数不少于2个，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，，若，则=______．14.曲线f（x）=x+e-x+1在x=1处的切线方程为______．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n+a n=3，则数列{a n}的通项公式是a n=______．16.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，E为棱AD中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCD-A1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值..18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且EB FD．（1）求证：平面AEC⊥平面BEFD；（2）若AB=2，∠BAD=60°，EB=FD，设EA与平面ABCD所成夹角为α，且，求二面角A-EC-F的余弦值．19.某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸（单位：mm）并绘成频率分布直方图，如图所示．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为零件样本平均数，σ2近似为零件样本方差s2．（1）求这批零件样本的和s2的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）假设生产状态正常，求P（54＜Z＜85.5）；（3）若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为30mm，根据3σ原则判断该生产线是否正常？附：；若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．20.已知定圆M：（x-1）2+y2=16，动圆N过点F（-1，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）已知直线l：y=x-1交圆M于A，B两点．C，D是曲线E上两点，若四边形ACBD的对角线AB⊥CD，求四边形ACBD面积的最大值．21.已知函数f（x）=x2+（2-a）x-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）＞0，求a的最大整数值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点A的极坐标为，，M是曲线C上的一动点，求△MAO面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|．（1）解不等式：f（x）≤8；（2）对任意x∈R，f（x）≥a2-3a恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2-4x+3＞0}={x|x＜1或x＞3}，B={x|-1＜x＜2}，∴A∩B={x|-1＜x＜1}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i 的实部与虚部相等，其中a是实数，∴a+1=1-a，求得a=0，则|1-a+i|=|1+i|==，故选：D．根据复数（1-i）（a+i）的实部与虚部相等，求得a，可得|1-a+i|．本题主要考查复数的基本概念和复数的乘法，求复数的模，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三位同学站成一排照相，基本事件总数n=A=6，甲、丙相邻包含的基本事件个数m==4，∴甲、丙相邻的概率为p=．故选：C．基本事件总数n=A=6，甲、丙相邻包含的基本事件个数m==4，由此能求出甲、丙相邻的概率．本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】B【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（0，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×0+1=1．即目标函数z=2x+y的最小值为1．目标函数z=2x+y的取值范围是[1，4]，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.【答案】B【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n-2a n+1=0（n∈N*），可得a n+2-a n+1=a n+1-a n=…=a2-a1，即有数列{a n}为等差数列，即有2a18=a16+a20，a16+a18+a20=24，可得3a18=24，即a18=8，则S35=（a1+a35）•35=35a18=35×8=280．故选：B．由题意可得数列{a n}为等差数列，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的定义和性质，以及求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设抛物线上的任意一点M（m，m2）M到直线x-y-2=0的距离d==，由二次函数的性质可知，当m=时，最小距离d=．故选：B．设抛物线上的任意一点M（m，m2），由点到直线的距离公式，可求M到直线x-y-2=0的距离，由二次函数的性质可求M到直线x-y-2=0的最小距离．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要注意公式的灵活运用，抛物线的基本性质和点到线的距离公式的应用，考查综合运用能力．7.【答案】B【解析】解：第一次执行循环后，k=1，S=1，不满足输出的S=120，第二次执行循环后，k=2，S=4，不满足输出的S=120，第三次执行循环后，k=3，S=11，不满足输出的S=120，第四次执行循环后，k=4，S=26，不满足输出的S=120，第五次执行循环后，k=5，S=57，不满足输出的S=120，第六次执行循环后，k=6，S=120，满足输出的S=120，故退出循环的条件，应为：k＞5，故选：B．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，（2+x）5的展开式通项为T r+1=C5r（2）5-r x r，当r=2时，有T3=C52（2）3x2=80x2，当r=4时，有T5=C54（2）x4=10x4，则展开式中x3的系数为80×1+（-1）×10=70；故选：A．根据题意，写出（2+x）5的展开式通项，分析可得x2和x4项的系数，由多项式乘法的性质分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．9.【答案】D【解析】解：由题意，cos（）=cos（）=sin（x+），可得f（x）=2sin（x+），∴函数f（x）的最大值为2，令x+=，k∈Z．可得x=+kπ，当k=0时，可知函象关于直线对称．故选：D．根据诱导公式，可知cos（）=cos（）=sin（x+），可得f（x）=2sin（x+）即可判断各选项．本题考查了三角函数的化简和图象以及性质的应用．属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2+2|x|-2018，有f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2+2x-2018，分析可得函数f（x）为增函数，若f（）＞f（x+2），则有|x|＞|x+2|，变形可得：x2-2x-2＞0，解可得：x＜1-或x＞1+，即x的取值范围：（-∞，1-）（1+，+∞）；故选：D．根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f （x）=x2+2x-2018，分析可得函数f（x）为增函数，据此可以将原不等式转化为|x|＞|x+2|，变形可得：x2-2x-2＞0，解饿看的x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．11.【答案】D【解析】解：圆的圆心（1，），半径为．双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，切点在原点处的切线，可得这条渐近线的斜率为：-，可得=，一条渐近线方程为：y=x，且双曲线C1的一个焦点到渐近线的距离为2，可得b=2，解得a=2，b=2，则曲线C1的方程为：．．故选：D．求出圆的圆心，然后求解双曲线的渐近线方程，利用双曲线C1的一个焦点到渐近线的距离为2，求出a，b即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，圆锥曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．12.【答案】C【解析】解：函数g（x）=f（x）-mx-m的图象与x轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f（x）的图象与直线y=m（x+1）的交点个数至少为2个，分别作出y=f（x）的图象和直线y=m（x+1），当直线与曲线在x＜0相切时，设切点为（s，t），由y=（）x的导数为y′=-（）x ln2，可得m=-（）s ln2，t=（）s=m（s+1），解得m=-2eln2，由x＞1时，联立直线y=m（x+1）和y=-x2+4x-，可得-x2+（4-m）x-m-=0，由相切条件可得△=（4-m）2-4（m+）=0，解得m=6-（6+舍去），由直线经过点（1，），可得m=，则由图象可得m的范围是[，6-]（-∞，-2eln2]．故选：C．由题意可得函数y=f（x）的图象与直线y=m（x+1）的交点个数至少为2个，分别作出y=f（x）的图象和直线y=m（x+1），分别求得直线与x＜0的曲线相切，以及x＞1的曲线相切的m的值，和经过点（1，）时m的值，结合图象可得m的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查分类讨论思想方法和方程思想、以及数形结合思想方法，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵向量，，若，∴=，求得m=，则4+2=（1，-2）+（2，-4）=（3，-6），则==3，故答案为：3．利用两个向量共线的性质求得m的值，从而求得4+2的坐标，从而求出|4+2|的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，求向量的模的方法，属于基础题．14.【答案】y=2【解析】解：∵f（x）=x+e-x+1，∴f′（x）=-ee-x+1，∴f′（1）=0，∵f（1）=1+1=2，∴曲线在点x=1处的切线方程为：y-2=0×（x-1），即y=2；故答案为：y=2．欲求在x=1处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．15.【答案】（）n-1，n∈N*【解析】解：2S n+a n=3，①可得n=1时，a1=S1，即3a1=3，可得a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，可得2S n-1+a n-1=3，②①-②可得2a n+a n-a n-1=0，即a n=a n-1，则{a n}为首项为1，公比为的等比数列，可得a n=（）n-1，n∈N*．故答案为：（）n-1，n∈N*．运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等比数列的定义和通项公式，属于中档题．16.【答案】2【解析】解：根据题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1，上过B1，作与平面A1BE平行的面，（如图）取A1D1和BC的中点分别为F，G，∵DG BE，且DG=BE，FD AE，且FD=AE．FD∩DG=D，FD=B1G，可得平面DFB1G是菱形．∴平面DFB1G与平面A1BE平行．故得蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持的平面为DFB1G．由正方体的棱长为2，可得：菱形DFB1G的边长为，cos∠A1EB=．∴sin∠A1EB=∵∠A1EB=∠FDG．那么：=2×sin∠FDG=2．故答案为：2由题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1，上过B1，作与平面A1BE平行的面，证明，求解即可！本题考查平面与平面平行的判断以及性质，关键是分析蚂蚁行走的轨迹的图形．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）由及正弦定理得：sin B sin A-sin A cos B=sin A，………………………………………（2分）∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin B-cos B=1，…………………………（3分）∴sin（B-）=，………………………………………………………（4分）∵B∈（0，π），B-∈（-，），…………………………………………（5分）∴B-=．即B=．……………………………………………………（6分）（2）∵S△ABC=ac sin B=ac=，………………………………（7分）∴ac=4，……………………………………………………………………（8分）由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos，……………………………………（9分）∴16=a2+c2-2×，即a2+c2=20，……………………………………（10分）∴（a+c）2=a2+c2+2ac=20+2×4=28，…………………………………（11分）∴a+c==2．………………………………………………………（12分）【解析】（1）由正弦定理化简已知，结合sinA＞0，可得sin（B-）=，由于B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值及正弦函数的性质可求B的值．（2）利用三角形面积公式可求ac=4，由余弦定理解得a2+c2=20，进而解得a+c 的值．本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，正弦函数的性质，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EB⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB，∵EB∩BD=B，EB，BD⊂平面BEFD，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BEFD；（2）解：设BD∩AC=O，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD为等边三角形，则BD=AB=2，∵O是BD的中点，∴AO=CO=，∵EB⊥平面ABCD，∴∠EAB=α，∴在Rt△EAB中有，EA=，则EB=1，以O为原点，作Oz EB，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O-xyz如图所示，则A（，0，0），C（-，0，0），E（0，1，1），F（0，-1，1），∴，，，，，，，，．设平面AEC的法向量为，，，由，取y=1，得，，．设平面ECF的法向量为，，，由，取a=，得，，．设二面角A-EC-F的平面角为θ，则|cosθ|=．结合图可知，二面角A-EC-F的余弦值为．【解析】（1）连结BD，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，再由EB⊥平面ABCD，得AC⊥EB，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BEFD，进一步得到平面AEC⊥平面BEFD；（2）设BD∩AC=O，求解三角形可得AO=CO=，EA=，EB=1，以O为原点，作Oz EB，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面AEC与平面ECF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-EC-F的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19.【答案】解：（1）=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75．S2=（55-75）2×0.1+（65-75）2×0.2+（75-75）2×0.35+（85-75）2×0.3+（95-75）2×0.05=110；（2）由（1）知，Z：N（75，10.52）．从而P（54＜Z＜75）=×P（75-2×10.5＜Z＜75+2×10.5）=×0.9544=0.4772P（75＜Z＜85.5）=×P（75-10.5＜Z＜75+10.5）=×0.6826=0.3413∴P（54＜Z＜85.5）=P（54＜Z＜75）+P（75＜Z＜85.5）=0.4772+0.3413=0.8185；（3）∵μ-3σ=43.5，μ+3σ=106.5∴P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．∵30∉（43.5，106.5）∴小概率事件发生了，∴该生产线工作不正常．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出数据的平均数与方差；（2）根据正态分布的概率特征，计算出P（54＜Z＜85.5）的值；（3）根据3σ原则判断30是否属于P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ），回答即可；本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均数与方差的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：（1）依题意得：M（1，0），圆M的半径r=4，∵点F（-1，0）在圆M内，∴圆N内切于圆M，∴|NM|+|NF|=4＞|FM|，∴点N的轨迹E为椭圆，设其方程为（a＞b＞0）．则2a=4，c=1，∴b=，∴轨迹E的方程为：；（2）∵点M（1，0）在直线l：y=x-1上，即直线l经过圆M的圆心，∴|AB|=8，∵AB⊥CD，故设直线CD方程为y=-x+m，设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消y得7x2-8mx+4m2-12=0，△=21-3m2＞0，且，，|CD|===，∴四边形ABCD的面积A==（当且仅当m=0时取等号），即四边形ABCD面积的最大值为．【解析】（1）由已知可得，点N的轨迹E为椭圆，求出a与c的值，则椭圆方程可求；（2）点M（1，0）在直线l：y=x-1上，即直线l经过圆M的圆心，则|AB|=8，由AB⊥CD，故设直线CD方程为y=-x+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得C，D的横纵坐标的和与积，再由弦长公式求得CD，代入四边形ACBD面积公式求解．本题考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+2-a-==，当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=3-a＞0，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）＞0，满足题意．由（1）知，当a＞0时，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．若＜≤1，即0＜a≤2，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=3-a＞0，满足题意．若＞1，即a＞2，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．∴f（x）min=f=+（2-a）-a ln=a--a ln，∵f（x）＞0，∴f（x）min＞0，即a--a ln＞0，∴1--ln＞0，令g（a）=1--ln=--ln a+1+ln2（a＞0），∴g′（a）=--＜0，∴g（a）在（2，+∞）上单调递减，又g（2）=＞0，g（3）=-ln＜0，∴g（a）在（2，3）上存在唯一零点x0，∴2＜a＜x0，（2＜x0＜3）．综上所述，a的取值范围为（-∞，x0），故a的最大整数值为2．【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）利用（1）的单调性，对a分类讨论，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴消去参数α得：（x-2）2+y2=4，即：x2+y2-4x=0．转换为极坐标方程为ρ2=4ρcosθ，化简为：ρ=4cosθ．（2）解：∵点O、A在圆C上，如图所示，∴过圆心C作OA的垂线交圆C于P、Q两点，交OA于点T，则．△ △ ==．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用点在圆上的位置，进一步利用三角形的面积公式求出最大值．本题考查的知识要点：主要考察参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用及相关的运算问题的应用，属于基础题型．23.【答案】解：（1）解法一：函数f（x）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，…………………………（2分）当x＜-3时，不等式f（x）≤8化为-2x-2≤8，解得：-5≤x＜-3；…（3分）当-3≤x≤1时，不等式f（x）≤8化为4≤8，解得：-3≤x≤1；当x＞1时，不等式f（x）≤8化为2x+2≤8，解得：1＜x≤3；……（4分）所以不等式f（x）≤8的解集为{x|-5≤x≤3}；…（5分）解法二：函数f（x）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，……………………………（2分）令g（x）=8，画出两个函数的图象如图所示：………………（3分）由图象可知，两函数图象的交点为（-5，8）和（3，8），………………（4分）所以不等式f（x）≤g（x），即f（x）≤8的解集为{x|-5≤x≤3}；………（5分）（注：如果作出函数y=f（x）-8的图象，写出y≤0的解集，可参照解法2的标准给分）解法三：如图，设数轴上与-3，1对应的点分别是A、B，那么A、B两点的距离是4，因此区间[-3，1]上的数都是原不等式的解．………（1分）先在数轴上找出与点A、B的距离之和为8的点，将点A向左移动2个单位到点A1，这时有|A1A|+|A1B|=8，………（2分）同理，将点B向右移动2个单位到点B1，这时也有|B1A|+|B1B|=8，………（3分）从数轴上可以看到，点A1与B1之间的任何点到点A、B的距离之和都小于8，点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A、B的距离之和都大于8，所以，原不等式的解集是{x|-5≤x≤3}；………（5分）（2）解法一：∵函数f（x）=|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4，当-3≤x≤1时“=”成立，………（7分）又∵任意x∈R，f（x）≥a2-3a恒成立，∴a2-3a≤4，即a2-3a-4≤0，……（9分）解得：-1≤a≤4，∴a的取值范围为[-1，4]．…………………（10分）解法二：函数f（x）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，作函数f（x）的图象如图：由图象可知，函数f（x）的最小值为4，……………………………（7分）（注：如果第（1）问用解法2，可直接由（1）得最小值为4，不必重复说明）又∵任意x∈R，f（x）≥a2-3a恒成立，∴a2-3a≤4，即a2-3a-4≤0，……（9分）解得：-1≤a≤4，∴a的取值范围为[-1，4]．…………（10分）【解析】（1）解法一：分类讨论去掉绝对值，求不等式f（x）≤8的解集即可；解法二：画出函数f（x）和g（x）=8的图象，利用图象求出不等式f（x）≤8的解集；解法三：利用绝对值的几何意义，在数轴上表示出对应的点，从而求出不等式的解集；（2）解法一：根据绝对值不等式求出函数f（x）的最小值，把不等式f（x）≥a2-3a 化为a2-3a≤4，从而求出a的取值范围．解法二：画出函数f（x）的图象，由图象求出函数f（x）的最小值，把不等式f（x）≥a2-3a化为a2-3a≤4，解不等式求出a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式与不等式恒成立问题，是中档题．。
2017-2018高二理科数学试题及其答案(汕头期末)
绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测高二理科数学第 Ⅰ 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知集合2={|430}A x x x -+>，={|12}B x x -<<，则AB =A ．{}|13x x -<<B ．{}|23x x x <>或C ．{}|11x x -<<D ．{}|13x x x <->或 2．若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a A ．0 B ．1 C ．23．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为A ．16B ．15C ．23D ．134．若变量x y ，满足约束条件111+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩x y y x x ，则2z x y =+的取值范围是A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[1,3]5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*2120()n n n a a a n N +++-=∈，若16182024a a a ++=，则35S = A ．140B ．280C ．70D ．4206．抛物线2y x =上的点到直线20x y --=的最短距离为ABC．D ．1 7．执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是 A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >8．51()(2)x x x-+展开式中3x 的系数为 A ．70B ．80C ．90D ．609．已知函数()cos()sin(+)63f x x x ππ=-+，则A ．函数()f x(,0)6π对称B ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于(,0)6π对称C ．函数()f x6x π=对称D ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于直线6x π=对称10．已知函数()2||22018x f x x =+-，则使得)()2f f x >+成立的x 的取值范围是A．(1 B．((),13,-∞+∞C ．(1+D ．((),113,-∞++∞11．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线恰好是圆222:(1)(3C x y -+=的切线，且双曲线1C 的一个焦点到渐近线的距离为2，则双曲线1C 的方程为A ．221128x y -= B ．221124x y -= C.221168x y -= D ．22184x y -= 12．已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-≤⎪⎭⎫⎝⎛=1,2541,212x x x x x f x，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的 交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围是A ．(]1,2ln 2,64⎡-∞--⎢⎣B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-306,41 C ．(]1,2ln 2,64e ⎡-∞--⎢⎣D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+306,41第 Ⅱ 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省汕头市高二下学期期中数学试卷(理科)
广东省汕头市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高二下·龙岩期中) 化简＝（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被 9 整除”，要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况，只需展开（ ）A . （k+3）3B . （k+2）3C . （k+1）3D . （k+1）3+（k+2）33. （2 分） 由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推 理，则作为大前提、小前提和结论的分别为（ ）A . ②①③B . ③①②C . ①②③D . ②③①4. （2 分） (2017 高二下·福州期中) 极坐标方程 ρcos2θ=0 表示的曲线为（ ）A . 极点第 1 页 共 12 页B . 极轴 C . 一条直线 D . 两条相交直线 5. （2 分） (2017 高二下·赤峰期末) 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D.6. （2 分） (2017 高二下·黑龙江期末) 直线 得的弦长为（ ）（ 为参数）被圆所截A.B.C.D. 7. （2 分） (2017·石家庄模拟) 已知函数 f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中 a，b∈R，e 为自然对数的底数， 若 f（1）=0，f′（x）是 f（x）的导函数，函数 f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则 a 的取值范围是（ ） A . （e2﹣3，e2+1） B . （e2﹣3，+∞） C . （﹣∞，2e2+2） D . （2e2﹣6，2e2+2）第 2 页 共 12 页8. （2 分） (2015 高二下·永昌期中) 下列各式中值为 1 的是（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2019 高三上·葫芦岛月考) 若函数在取值不可能为（ ）A.B.C.D.10. （2 分） 已知函数，的零点为 ， 函数 的零点为 ， 则有（ ）A.B.C.D.上有最大值，则 的 .若函数11.（2 分）(2019 高三上·郑州期中) 设定义在 上的函数满足任意都有，且时，A.，则，，的大小关系是（ ）B.第 3 页 共 12 页C. D.12. （2 分） 已知函数,， 且函数的零点均在区间,设函数 内，则 的最小值为（ ）A . 11B . 10C.9D.8二、 填空题： (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高二下·大名期中) 将一个大正方形平均分成 9 个小正方形，向大正方形区域随机地投掷 一个点（每次都能投中），投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小 正方形区域的事件记为 B，则 P（A|B）=________．14. （1 分） (2016 高二下·右玉期中) 若曲线 y=e﹣x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0，则点 P 的坐标 为________．15. （1 分） “十一”期间，我市各家重点公园举行了免费游园活动，板桥竹石园免费开放一天，早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园，接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来，第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来，第 三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来，第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来…按照这种规律进行下去，到上午 11 时 30 分竹石园内的人数是________．16. （1 分） (2016·德州模拟) 若直角坐标平面内两点 P，Q 满足条件：①P、Q 都在函数 y=f（x）的图象上； ②P、Q 关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数 y=f（x）的一个“伙伴点组”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同 一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是________（填空写所有正确选项的序号）①y=；②y=；③y=三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)；④y=．第 4 页 共 12 页17. （5 分） 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足（z﹣2）i=﹣3﹣i． （1）求 z；（2）若复数 z= 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 x 的取值范围． 18. （5 分） (2017·黑龙江模拟) 已知 x，y∈R．（Ⅰ）若 x，y 满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3 ．19. （10 分） (2017 高二上·大连期末) 已知函数 f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1） 当 a=3 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2） 设，且 a＞1，讨论函数 g（x）的单调性和极值点．20. （15 分） (2016 高二上·屯溪开学考) 已知二次函数 f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式 f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在 0＜x1＜x2 ， 使得不等式 f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前 n 项和 Sn=f（n）．（1）求 f（x）的表达式；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设 t 的取值范围．，cn=，{cn}的前 n 项和为 Tn，若 Tn＞2n+t 对任意 n∈N，n≥2 恒成立，求实数21. （10 分） (2018·南京模拟) 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边 长为 6 分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以 为圆心、的扇形，且第 5 页 共 12 页弧,分别与边 , 相切于点 , ．（1） 当 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； （2） 当 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？22.（10 分）(2017 高三上·太原期末) 已知平面直角坐标系 xoy 中，点 P（1，0），曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为 α 的直线 l 的极坐标方程为 ρsin （α﹣θ）=sinα．（1） 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2） 若曲线 C 与直线 l 交于 M，N 两点，且，求 α 的值．第 6 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题： (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)17-1、 18-1、 19-1、第 8 页 共 12 页19-2、 20-1、 20-2、第 9 页 共 12 页20-3、21-1、21-2、第 10 页 共 12 页22-1、22-2、。
2017-2018年广东省汕头市学高二下期末质量数学试题(理)有答案
汕头市高二下学期期末质量监测数学理试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
）1·集合A ＝｛x ｜ln 0x ≥｝，B ＝｛x ｜x 2＜16｝，则AB ＝（）A ．（1，4）B ．［l ，4）C ．［l ，＋∞）D ．［e ，4）2．复数231i i -⎛⎫⎪+⎝⎭A ．一3一4iB ．一3＋4iC ．3一4iD ．3＋4i 3·函数22()sincos 33f x x x =+的图象中相邻的两条称轴间距离为（） A 、3π B 、43π C 、32π D 、76π 4．下列命题中，是真命题的是（） A ．00,0x x R e∃∈≤ B ．已知a ，b 为实数，则a 十b ＝0的充要条件是ab＝一1 C ．2,2xx R x ∀∈> D ．已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是a b ＞1的充分条件 5．现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅 有两人相邻，则不同的站法种数是（）A.12 B ．24 C ．36 D ．486.已知向量a ＝(1, x)，b ＝(1, x 一1)，若(2)a b a -⊥，则｜2a b -｜＝（）C. 27.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则C 的渐近线方程为（）A. y ＝14x ±B. y ＝13x ±C. y ＝12x ± D. y ＝x ±8.在△ABC 中，,6A AB π==，AC ＝3，D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，则AD ＝（ ）C. 59.某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，33(,)x y ），…若程序运行中输出的一个数组是 (x ，一10)，则数组中的x ＝（） A. 32 B. 24 C. 18 D. 1610.如图1，已知正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上，当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于（）11.已知函数f(x)＝cos (sin )(0)x x x ωωωω+>，如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ， 都有f(x 0）0()(2016)f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（ ） A 、14032π B 、14032 C 、12016π D 、1201612.已知函数，设a 为实数，若存在实数m ，使f(m)一2g(a )＝0则实数a 的取值范围为（）A.［－1，＋∞)B.［－1, 3］C.（一∞，－1］U ［3，＋∞)D.（一∞，3]第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省汕头市金山中学20172018学年高二数学下学期期中试题理
广东省汕头市金山中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3π C. 23π D. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ） A ． π16 B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ） A ．2或3 B ．2或3 C ．2 D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．224x dx --=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若23b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：试销价格x （元） 4 5 6 7 a9 产品销量y （件）b8483807568已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率． 19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADCCBDCABC13、2π； 14、10 ； 1515； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =. 12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时， ()'0,g x >01x <<时， ()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值，()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当23a c == ∴113sin 123322ABC S ac B ∆=≤⨯= 即ABC ∆面积的最大值为33.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++ 12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥， 因为ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,2AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以3BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,2P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,2DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z =()13n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x n AP x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,222a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+.因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得2||2k >. ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离222211|2|2221111k k k d kk k ++===+++.令211t k =+2||2k >3)t ∈. 于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在3)上单调递减，则(3)(1)f d f <<32d <<.所以d 的取值范围为(3,2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x +-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分。
汕头2018年高二理数试卷及其答案详解
汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测高二理数 第1页(共14页) 绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测高二理科数学考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知集合2={|430}A x x x -+>，={|12}B x x -<<，则A B =A ．{}|13x x -<<B ．{}|23x x x <>或C ．{}|11x x -<<D ．{}|13x x x <->或 2．若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=aA ．0B ．1C ．23．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为A ．16B ．15C ．23D ．134．若变量x y ，满足约束条件111+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩x y y x x ，则2z x y =+的取值范围是A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[1,3] 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*2120()n n n a a a n N +++-=∈， 若16182024a a a ++=，则35S =A ．140B ．280C ．70D ．420 6．抛物线2y x =上的点到直线20x y --=的最短距离为ABC．D ．1 7．执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入 的条件是A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >。
2017-2018学年度第二学期汕头市金山中学高二期中考理科数学答案
2017-2018学年度第二学期汕头市金山中学高二理科数学期中考试参考答案13、2π； 14、10 ； 15； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b P F a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r a c =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =. 12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时， ()'0,g x >01x <<时， ()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值，()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C. 17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯= 即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的. 由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2n n b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥， 因为ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以1,2AO PA PO PA==， 因为PA =，所以BO =． 如图，分别以OA ，OB ， OP 为,,xy z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,,3,0,0O A B C -，()0,,D(3,,0,22P H ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ 所以()90,23,0,,0,,22DB AH ⎛==- ⎝⎭ ()(3,3,0,AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230902n DB n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==()1n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223030n AB x n AP x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2x ，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角则1212122cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅所以二面角P AM N --的余弦值为12分21、解析：（1）由题意，知22111,2a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ① 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222(1)12m x x k -=+.因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ②由①②得2212()12k k k >+-，化简得||k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >(1t ∈. 于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为. ……………………12分 22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立.记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('，记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax e x f x， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a e x f x f x+--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分。
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即实数 的取值范围为 .…………………4分
(2)∵ ， ，
记 ，则 ，
知 在区间 内单调递增.
又∵ ， ，
∴ 在区间 内存在唯一的零点 ，
即 ，
于是 ， .
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
∴
，当且仅当 时，取等号.
由 ，得 ，
∴ ，即函数 没有零点.…………12分
11、【解析】由于 为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于 ，所以 ，故外接圆半径为 .设内切圆半径为 ，根据三角形的面积公式，有 ，解得 ，故两圆半径比为 ，化简得 ，解得 或 .
12、【解析】曲线 在 处的切线的斜率为 ，所以 ，当 且 时， ，可得 时， 时， ，令 ，可得 时， 时， ，可得函数 在 处取得极值， ， ，故选C.
22．（本小题满分12分）
设函数 为自然对数的底数.
（1）若 ，且函数 在区间 内单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若 ，判断函数 的零点个数并证明．
2017-2018学年度第二学期汕头市金山中学
高二理科数学期中考试参考答案及评分标准
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
C
C
B
D
C
A
B
C
13、 ；14、10 ；15、 ；16、100.
201
高
命题人：张培光
第
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ，则 等于（）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面内对应的点在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知命题 ：存在实数 ， ， ；命题 ： （ 且 ）.则下列命题为真命题的是( )
所以 ，从而 ，即 . ②
由①②得 ，化简得 . ③
焦点 到直线 ： 的距离 .
令 ，由 知 .
于是 .
考虑到函数 在 上单调递减，
则 ，解得 .
所以 的取值范围为 .……………………12分
22、解：(1)∵函数 在区间 内单调递增，
∴ 在区间 内恒成立.
即 在区间 内恒成立.
记 ，则 恒成立，
∴ 在区间 内单调递减,
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的 依次为2，2，5时，输出的 为17如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
9．某城市关系要好的 ， ， ， 四个家庭各有两个小孩共 人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 名（乘同一辆车的 名小孩不考虑位置），其中 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 名小孩恰有 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）
A． B． C． D．
4．已知平面向量 满足 ， ，且 与 垂直，则 与 的夹角为（）
A. B. C. D.
5．设 ，则“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
20．(本小题满分12分）
已知四棱锥 ，底面 为菱形， 为 上的点，过 的平面分别交 于点 ，且 平面 ．
（1）证明： ；
（2）当 为 的中点， ， 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
21．（本题满分12分）
已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 分别为椭圆 的左、右焦点，不经过 的直线 与椭圆 交于两个不同的点 ，如果直线 、 、 的斜率依次成等差数列，求焦点 到直线 的距离 的取值范围．
因为 ，且 为 的中点，
所以 ，所以 平面 ，
所以 与平面 所成的角为 ，
所以，所以 ，
因为 ，所以 ．
如图，分别以 ， ， 为 轴，建立所示空间直角坐标系，
设 ，则 ，
所以
．
记平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
记平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
记二面角 的大小为 ， 为锐角
（1）试判断谁的计算结果正确？并求出 的值；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．
19．(本小题满分12分）
已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， .
（1）证明： 是等比数列；
（2）数列 满足 ，求数列 的前 项的和 ．
17、【解析】(1)由 ，得
，
又 , ，又 , .
（2）由余弦定理得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，
即 面积的最大值为 .……………………10分
18、解：（1）∵变量 具有线性负相关关系，∴甲是错误的.
又∵ ， ，
∴ ，满足方程 ，故乙是正确的.
由 ， ，得 ， .……………………6分
18．(本小题满分12分）
某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据 （ ）如下表所示：
试销价格 （元）
4
5
6
7
9
产品销量 （件）
84
83
80
75
68
已知变量 具有线性负相关关系，且 ， ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲： ；乙： ；丙： ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.
（2）由（1）得 ，
又
满足上式.
………12分
20、【解析】（1）证明：连结 交 于点 ，连结 ．因为 为菱形，所以 ，且 为 、 的中点，因为 ，所以 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，所以 ．………………4分
（2）由（1）知 且 ，
A. 种B. 种C. 种D. 种
10．已知点 在同一个球的球面上， ， ，若四面体 的体积为 ，球心 恰好在棱 上，则这个球的表面积为（）
A． B． C. D．
11． 为双曲线 上一点， 分别为 的左、右焦点， ，若 的外接圆半径是其内切圆半径的 倍，则 的离心率为（）
A． 或 B． 或 C． D．
16．对任一实数序列 ，定义新序列 ，它的第 项为 ，假设序列 的所有项都是1，且 ，则 ****．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分）
在 中，角A、B、C的对边分别为 、 、 ，且满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值．
（2）由计算得不是“理想数据”有 个，即 ，从6个检测数据中随机抽取 个，共有 种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有 中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为： .……………………12分
19、【解析】（1）
，又因为 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列.…………………4分
12．已知函数 是定义在 的可导函数， 为其导函数，当 且 时， ，若曲线 在 处的切线的斜率为 ，则 （）
A. B. C. D.1
第II卷(非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． ****.
14． 展开式中含 项的系数为****．（用数字表示）
15．若 ,且 ,则 ****．
则
所以二面角 的余弦值为 ．……………………12分
21、解析：（1）由题意，知 考虑到 ，解得
所以椭圆C的方程为 .……………………3分
（2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，
整理得 .
由 ，得 . ①
设 ， ，
则 ， .
因为 ，所以 ， .
因为 ，且 ， ，
所以 .
因为直线AB： 不过焦点 ，所以 ，