2018版高中数学人教A版选修2-1课件:3-1-3 空间向量的数量积运算
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高二数学 人教A版选修2-1课件:3.1.3 空间向量的数量积运算

探究点 4 空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴ (a) b (a b).
rr rr ⑵ a b b a (交换律).
r r r rr rr ⑶ a (b c) a b a c (分配律).
注: 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.
是
r b
在
r a
方向上
的射影向量.
探究点 3 空间两个向量的数量积的性质
rr 显然,对于非零向量 a, b ,有下列性质:
r r rr ①a b ab 0;
r2 r r
r
r2
② a a a ,也就是说 a a .
注:性质①是证明两向量垂直的依据; 性质②是求向量的长度(模)的依据.
面的充要条件知,存在惟一的有序实数对
r rr
(x,y),使g = xm + yn,
l
将上式两边与向量l作数量积,得
rr rr rr l×g = xl×m + yl×n.
rr rr 因为l×m = 0,l×n = 0,
rr
rr
所以l×g = 0,即l⊥g.所以l⊥g,
r
gl
m
ur
n
r n
ur m g
即l垂直于平面α内任一直线.所以l⊥α.
rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
rr rr ⑵ a, b=b, a.
r
a
rA
a
r
O
r
B
b
b
rr ⑶如果 a, b
,那么向量 ar
r ,b
r 互相垂直,记作 a
2018年优课系列高中数学人教A版选修2-1课件: 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件(16张)

b
θ O
aA
B1
3)空间向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ;
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
2
a
.
注:
性质②是证明两向量垂直的依据;
性质③是求向量的长度(模)的依据.
4)空间向量的数量积满足的运算律 ⑴(a) b (a b)
果不能,请举出反例 .
不直能 时,,例有如a b向 量a ca,而与未向必量有b,bc都c垂.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
⑵ a b b a (交换律)
⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注: 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
对于三个均不为 0 的 数
a 对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b?= 如c.
已知空间两个非零向量 a 、b ,则 a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b
即 a b a b cosa, b . 注:(1)两个向量的数量积是数量,而不是向量.
(2)规定:零向量与任意向量的数量积等于 零.
(3)点乘符号“· ”在向量运算中不是乘 号,既不能省略,也不能用“×”代替.
2018版高中数学人教A版选修2-1课件:3-1-2 空间向量的数乘运算

重难聚焦
2.向量共面的充要条件及其应用 剖析:(1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是:存在有序 实数对(x,y),使������������ = ������������������ + ������������������ . 满足这个关系式的点P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式.这个充要 条件常用来证明四点共面. (2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可 用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在 许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一 点 O,都有������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ , 且x+y+z=1 成立,则 P,A,B,C 四 点共面”作为判定空间中四点共面的依据.
反思对于这类题目,应结合图形,充分利用向量平移来处理向量的 加减运算和数乘运算.
1 1
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】 若 A 是△BCD 所在平面外一点,点 G 是△BCD 的重心,求证: ������������ = (������������ + ������������ + ������������ ).
1 3
证明:如图,连接 BG,延长后交 CD 于点 E,由 G 为△BCD 的重心,知 ������������ = ������������ . 由题意知 E 为 CD 的中点,则
2 3
1 1 ������������ = ������������ + ������������, 2 2
最新-2018高中数学 第3章313空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1 精品

例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC与BD 的 交 点 , G 为 CC1 的 中 点 , 求 证 : A1O ⊥ 平 面 GBD.
【思路点拨】 设法证明A1O与平面GBD内的 两相交直线垂直.
【证明】 设A→1B1=a,A→1D1=b,A→1A=c, 则 a·b=0,b·c=0,a·c=0. 而A→1O=A→1A+A→O =A→1A+12(A→B+A→D)=c+12(a+b), B→D=A→D-A→B=b-a, O→G=O→C+C→G=12(A→B+A→D)+12C→C1
向量 a,b 的_夹__角___,记作〈__a_,__b_〉__.
2.已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量
_|a_|_|b_|_c_o_s_〈__a__,__b_〉_叫做 a 与 b 的_数___量__积___(或内积),
记作 a·b,即 a·b=|a||b|·cos〈a,b〉,它满足的运算律
有:(1)交换律:_a_·b__=__b_·a__;(2)分配律:_a_·_(b__+__c_) _ _=__a_·_b_+__a_·c__;(3)(λa)·b=λ_(_a_·b_)__=a_·_(_λ_b_)_.
解:因为B→C=O→C-O→B, 所以O→A·B→C=O→A·(O→C-O→B) =O→A·O→C-O→A·O→B =|A→O||O→C|cosπ3-|O→A||O→B|cosπ3 =1×1×12-1×1×12=0, 所以O→A⊥B→C,即 OA 与 BC 所成的角为直角.
用数量积解决两点间的距离问题
例2 已知空间四边形OABC各边及对角线长都 相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直 线OE与BF所成角的余弦值. 【思路点拨】
寻求O→E、B→F与O→A、O→B、O→C的关系
人教A版高中数学选修2-1课件高二:3-1-3空间向量的数量积运算.pptx

[答案] 6 3 9 16 6 3-23
[解析] a·b=|a||b|cos〈a,b〉=3×4×cos30°=6 3; a2=a·a=|a|2=9; b2=b·b=|b|2=16; (a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=9+6 3-32 =6 3-23.
命题方向 向量的夹角
[例 2] 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异 面直线 A1B 与 AC 所成的角.
=14[B→D·(-B→C)+B→A·(-B→C)+B→D·C→A+B→A·C→A]
=14[-B→D·B→C-B→A·B→C+(C→D-C→B)·C→A+A→B·A→C]
=14[-12-12+12-12+12]=-18.
向量 a、b 之间的夹角为 30°,且|a|=3,|b|=4,则 a·b= ________,a2=________,b2=________,(a+2b)·(a-b)= ________.
[点评]通过证明两个非零向量的数量积为零来证明两个向 量垂直,从而说明两个向量所在的直线垂直,这是利用数量积 证明空间垂直问题的常用方法.
已知空间四边形 OABC 中,M、N、P、Q 分别为 BC、AC、 OA、OB 的中点,若 AB=OC,求证:PM⊥QN.
[证明]
如图,设O→A=a,O→B=b,O→C=c, 又 P、M 分别为 OA,BC 的中点. ∴P→M=O→M-O→P=12(b+c)-12a
∴A→1B·A→C=(a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1,而|A→1B| =|A→C|= 2.
∴cos〈A→1B,A→C〉=
1 2×
2=12,∴〈A→1B,A→C〉=60°.
因此,异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60°.
[解析] a·b=|a||b|cos〈a,b〉=3×4×cos30°=6 3; a2=a·a=|a|2=9; b2=b·b=|b|2=16; (a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=9+6 3-32 =6 3-23.
命题方向 向量的夹角
[例 2] 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异 面直线 A1B 与 AC 所成的角.
=14[B→D·(-B→C)+B→A·(-B→C)+B→D·C→A+B→A·C→A]
=14[-B→D·B→C-B→A·B→C+(C→D-C→B)·C→A+A→B·A→C]
=14[-12-12+12-12+12]=-18.
向量 a、b 之间的夹角为 30°,且|a|=3,|b|=4,则 a·b= ________,a2=________,b2=________,(a+2b)·(a-b)= ________.
[点评]通过证明两个非零向量的数量积为零来证明两个向 量垂直,从而说明两个向量所在的直线垂直,这是利用数量积 证明空间垂直问题的常用方法.
已知空间四边形 OABC 中,M、N、P、Q 分别为 BC、AC、 OA、OB 的中点,若 AB=OC,求证:PM⊥QN.
[证明]
如图,设O→A=a,O→B=b,O→C=c, 又 P、M 分别为 OA,BC 的中点. ∴P→M=O→M-O→P=12(b+c)-12a
∴A→1B·A→C=(a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1,而|A→1B| =|A→C|= 2.
∴cos〈A→1B,A→C〉=
1 2×
2=12,∴〈A→1B,A→C〉=60°.
因此,异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60°.
人教版高中数学选修2-1(A版)课件:第三章 3.1 3.1.3空间向量的数量积运算 (共99张PPT)

世间最容易的事是坚持,最难的事也是坚持。要记住,坚持到底就是胜利。 没有热忱,世间便无进步。 只有不想做的,没有做不到的。 目标再远大,终离不开信念去支撑。 最好的投资就是投资自己,因为这是你唯一能确定只赚不赔的投资。 坚持把简单的事情做好就是不简单,坚持把平凡的事情做好就是不平凡。 如果你受苦了,感谢生活,那是它给你的一份感觉;如果你受苦了,感谢上帝,说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 缺乏明确的目标,一生将庸庸碌碌。 树立必信的信念,不要轻易说“我不行”。志在成功,你才能成功。 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 当你对于昨天不再耿耿于怀的时候,就是你开始过得幸福的时候。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 一个今天胜过两个明天。 你既认准这条路,又何必在意要走多久。
一定不要把别人都当傻子,事实上,所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世,那么你的人脉会越来越宽,财富越 来越多,人生也就越来越好! 愚痴的人,一直想要别人了解他。有智慧的人,却努力的了解自己。 用最少的浪费面对现在。
以解决自己的问题为目标,这是一个实实在在的道理,正视自己的问题,设法解决它,这是成功的捷径。谁能塌下心来把目光凝集在一个个 小漏洞、小障碍上,谁就先迈出了一大步。 那些尝试去做某事却失败的的人只能引为烧身,只有真正敢的人才能所向披靡。
高中数学(人教A)选修2-1课件:3.1.3空间向量的数量积运算

• 即与斜线垂直⇔与射影垂直.
• 4.设a,b都是非零向量,〈a,b〉=θ,
• ①a∥b时,θ=_0____或π,θ0=_____时,a 与b同向π ;
• θ=_______时π2 ,a与b反向.
>
0
• ②a⊥b⇔θ=<__________⇔a·b=0π.
• ③θ为锐角时,a·b____0,但a·b>0时,θ可 能为____;θ为钝角时,a·b_____0,但 a·b<0时,θ可能为____.
• [答案] D • [解析] |a|·a是与a共线的向量,a2是实数,
故A不对; • (a·b)2=|a|2·|b|2·cos2〈a,b〉≠a2·b2,故
B错; • (a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,故C错. • |a·b|=||a|·|b|·cos〈a,b〉|≤|a|·|b|.
2.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|等于( )
• 2.空间两个非零向量a、b,|a|a|b|·cobs〈=a,b〉 ______________
• 叫做向量a、b的数量积(或内积).
• 同平面向量一样,空间两个向量的数量积是 一个实数,a·空b=0间两个向量的数量积也具有如 下性质: a·a
• (1)a⊥b⇔__________;
• (2)|a|2=__________;
≠
• ⑥不为零的三个实数a、b、c,有(ab)c= a(bc)成立,但对于三个向量a、b、c, (a·b)c_______a(b·c),因为a·b是一个实数 ,(a·b)c是与c共线的向量,而a(b·c)是与a
• 牛刀小试 • 1.下列式子中正确的是( ) • A.|a|·a=a2 B.(a·b)2=a2·b2 • C.(a·b)c=a(b·c) D.|a·b|≤|a||b|
• 4.设a,b都是非零向量,〈a,b〉=θ,
• ①a∥b时,θ=_0____或π,θ0=_____时,a 与b同向π ;
• θ=_______时π2 ,a与b反向.
>
0
• ②a⊥b⇔θ=<__________⇔a·b=0π.
• ③θ为锐角时,a·b____0,但a·b>0时,θ可 能为____;θ为钝角时,a·b_____0,但 a·b<0时,θ可能为____.
• [答案] D • [解析] |a|·a是与a共线的向量,a2是实数,
故A不对; • (a·b)2=|a|2·|b|2·cos2〈a,b〉≠a2·b2,故
B错; • (a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,故C错. • |a·b|=||a|·|b|·cos〈a,b〉|≤|a|·|b|.
2.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|等于( )
• 2.空间两个非零向量a、b,|a|a|b|·cobs〈=a,b〉 ______________
• 叫做向量a、b的数量积(或内积).
• 同平面向量一样,空间两个向量的数量积是 一个实数,a·空b=0间两个向量的数量积也具有如 下性质: a·a
• (1)a⊥b⇔__________;
• (2)|a|2=__________;
≠
• ⑥不为零的三个实数a、b、c,有(ab)c= a(bc)成立,但对于三个向量a、b、c, (a·b)c_______a(b·c),因为a·b是一个实数 ,(a·b)c是与c共线的向量,而a(b·c)是与a
• 牛刀小试 • 1.下列式子中正确的是( ) • A.|a|·a=a2 B.(a·b)2=a2·b2 • C.(a·b)c=a(b·c) D.|a·b|≤|a||b|
高中数学(人教A版选修2-1)课件:3-1-3 空间向量的数量积运算

第一章
三角函数
→ ||AD → |cos〈AB → ,AD → 〉-|AB → ||AC → |cos〈AB → ,AC → 〉=cos 60° =|AB -cos 60° =0.
栏目 导引
第一章
三角函数
在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积. 3根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式 a· b=|a||b|cos空间向量的夹角 阅读教材 P90 第 1~3 自然段内容,完成下列问题.
栏目 导引
第一章
三角函数
1.夹角的定义
图 3114 → → 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉.
栏目 导引
第一章
栏目 导引
第一章
三角函数
教材整理 2 空间向量的数量积及其性质 阅读教材 P90 第 4 自然段~“思考”以上部分内容,完成下列问题. 1.已知两个非零向量 a,b,则________叫做 a,b 的数量积,记作________. 规定:零向量与任何向量的数量积为________,即 0· a=________.
栏目 导引
第一章
三角函数
→ → 1 ∴OG· BC=4(a+b+c)· (c-b) 1 =4(a· c-a· b+b· c-b2+c2-b· c) 1 2 =4(|a| · cos θ-|a|2· cos θ-|a|2+|a|2)=0. → → ∴OG⊥BC,即 OG⊥BC.
栏目 导引
第一章
三角函数
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)〈a,b〉与(a,b)都表示直角坐标系下的点.( → → (2)在△ABC 中, 〈AB,BC〉=∠B.( ) ) )
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2 2 2
(3)|������������ + ������������ + ������������ | =
(������������ + ������������ + ������������ )2 =
|OA|2 + |OB|2 + |OC|2 + 2OA· OB + 2OA· OC + 2OB· OC = 3 + 3 = 6.
2 2
(2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������) = (������������ + ������������) ·(������������ − ������������ + ������������ − ������������ ) =(������������ + ������������) ·(������������ + ������������ − 2������������ ) = (������������ + ������������) ·(������������ + ������������) − (������������ + ������������) ·2������������ =|������������|2 + 2������������ ·������������ + |������������|2 − 2������������ ·������������ − 2������������ ·������������ 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 − 2 × 1 × 1 × − 2 × 1 × 1 × = 3 − 2 = 1.
3.1.3 空间向量的数量积运算
Байду номын сангаас
-1-
目标导航
1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.
重难聚焦
1.理解向量数量积的概念 剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是 向量,而向量的数量积的结果是数量; (2)书写要规范:不能写成a×b,也不能写成ab; (3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即 (a · b)c≠a(b· c),a· b=a· c b=c. 2.空间向量数量积的应用 剖析:(1)利用向量的数量积可以求出向量的模和夹角,进而可以 求出两点间的距离或两条直线所成的角. (2)利用向量的数量积可以证明两个非零向量垂直,进而可以证明 两条直线垂直.
1 2
1 = (������������1 -������������ ) + ������1 ������ ·(������������1 + ������1 ������1 ) 2 1 1 1 = (������-������) + ������ · ������ + ������ 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 4
【变式训练 1】 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求: (1)������������ ·������������; (2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������); (3)|������������ + ������������ + ������������ |. 1 1 解:(1)������������ ·������������ = |������������||������������|· cos 60°=1×1× = .
1 = ������������ ·[������1 ������1 − (������1 ������ + ������������ )] 2
1 2
=b· (������-������) + ������ = |������|2=42=16. (2)������������ ·������������1 = (������������1 + ������1 ������ ) ·(������������ + ������������1 ) =(������������1 − ������������ + ������1 ������ ) ·(������������ + ������������1 ) = ������-������ + ������ · (a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. (3)������������ ·������������1 = (������������1 + ������1 ������ ) ·(������������1 + ������1 ������1 )
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
= (-a+b+c)· ������ + ������ =− |������|2 + |������|2=2.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的 几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
(3)������������ ·������������1 .
解:如图,设������������ =a, ������������ =b, ������������1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
(1)������������ ·������������1 = ������������ ·(������1 ������1 − ������1 ������ )
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
数量积的运算 【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为 AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:
(1)������������ ·������������1 ;
(2)������������ ·������������1 ;
(3)|������������ + ������������ + ������������ | =
(������������ + ������������ + ������������ )2 =
|OA|2 + |OB|2 + |OC|2 + 2OA· OB + 2OA· OC + 2OB· OC = 3 + 3 = 6.
2 2
(2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������) = (������������ + ������������) ·(������������ − ������������ + ������������ − ������������ ) =(������������ + ������������) ·(������������ + ������������ − 2������������ ) = (������������ + ������������) ·(������������ + ������������) − (������������ + ������������) ·2������������ =|������������|2 + 2������������ ·������������ + |������������|2 − 2������������ ·������������ − 2������������ ·������������ 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 − 2 × 1 × 1 × − 2 × 1 × 1 × = 3 − 2 = 1.
3.1.3 空间向量的数量积运算
Байду номын сангаас
-1-
目标导航
1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.
重难聚焦
1.理解向量数量积的概念 剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是 向量,而向量的数量积的结果是数量; (2)书写要规范:不能写成a×b,也不能写成ab; (3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即 (a · b)c≠a(b· c),a· b=a· c b=c. 2.空间向量数量积的应用 剖析:(1)利用向量的数量积可以求出向量的模和夹角,进而可以 求出两点间的距离或两条直线所成的角. (2)利用向量的数量积可以证明两个非零向量垂直,进而可以证明 两条直线垂直.
1 2
1 = (������������1 -������������ ) + ������1 ������ ·(������������1 + ������1 ������1 ) 2 1 1 1 = (������-������) + ������ · ������ + ������ 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 4
【变式训练 1】 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求: (1)������������ ·������������; (2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������); (3)|������������ + ������������ + ������������ |. 1 1 解:(1)������������ ·������������ = |������������||������������|· cos 60°=1×1× = .
1 = ������������ ·[������1 ������1 − (������1 ������ + ������������ )] 2
1 2
=b· (������-������) + ������ = |������|2=42=16. (2)������������ ·������������1 = (������������1 + ������1 ������ ) ·(������������ + ������������1 ) =(������������1 − ������������ + ������1 ������ ) ·(������������ + ������������1 ) = ������-������ + ������ · (a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. (3)������������ ·������������1 = (������������1 + ������1 ������ ) ·(������������1 + ������1 ������1 )
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
= (-a+b+c)· ������ + ������ =− |������|2 + |������|2=2.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的 几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
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(3)������������ ·������������1 .
解:如图,设������������ =a, ������������ =b, ������������1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.
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(1)������������ ·������������1 = ������������ ·(������1 ������1 − ������1 ������ )
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数量积的运算 【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为 AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:
(1)������������ ·������������1 ;
(2)������������ ·������������1 ;