微分方程求解方法总结

微分方程求解方法总结

在数学中，有许多重要的方法，但每种方法都有自己的特点。下面我就从几个方面来讲一下微分方程求解的方法。

根据某一具体问题的需要，可以使用变量替换法、分离常数法、方程组求解法等。

如果方程有两个未知数，则将二者同时代入，消去一个未知数，求出另一个未知数；或者设出一个变量，使得原方程能够表示为：

y=x+e(k)，或者将它化成含参数为y=x(k)(t)dt的标准形式。在初等微分方程中，一般先设解析函数(y=f(x))，然后用变量替换法或者分离常数法即可求得。

在建立方程时，如果没有足够的条件，可以假设某些因素来达到目的，常用的方法有整理变量法、降次法、分离参数法等。假设有两个或两个以上的方程不能同时给出解析解，则可以降低方程的次数(系数)来得到解析解。这时应该注意的是，所建立的方程必须有实数解，否则就不可能用于实际问题。

求解微分方程的基本思想就是把方程化为标准形式，并利用标准形式的解。对于一个含有复杂变量的方程来说，利用微分方程理论可以分析解的性质和结构，找出一些重要关系式，进而推导出通解公式或者近似公式。当把方程降次后，可以利用解的叠加性，将解的集合逐步地“叠加”起来，直至叠加出所需要的解。对于简单的方程，有时还可以利用初等函数方法，使方程化为线性方程，再求解即可。而对于含有非线性方程的方程组来说，可以考虑适当地选择一些辅助未

知函数，建立辅助方程，求得未知函数的近似值，再利用微分方程的性质进行迭代求解，从而得到原方程组的解。对于具有多个方程的方程组来说，除了可以使用上述方法外，还可以利用差分的思想进行处理。求解方程的主要方法包括了最小二乘法、数值解法等。最小二乘法是指在建立数学模型的基础上，尽量使用近似解。它首先把各方程组解进行比较，选出误差最小的一个，然后用此方程组的解进行拟合，得到满足精度要求的预测值。数值解法则主要是通过近似方法来求得方程的解，其解决思路是寻找误差最小的一个，然后采用微分方程的性质，通过计算，将方程化为简单方程，再利用标准形式进行计算。