中位线的性质判定定理
1.6三角形中位线定理
课题
1.6中位线定理（第一课时三角形中位线）
课型
新授
教材简介：三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
求证: OM = ON
课
后
延
伸
学
后
反
思
教学目标：1、经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它们解决相关问题。
2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；
教学重难点：三角形中位线定理及应用；难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．
2、三角形中位线及三角形中位线定理
（1）．三角形中位线定义：叫做三角形的中位线。
（2）：三角形中位线定理。
课
内
探
究
创设情境：
如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？
学习了三角形中位线就可以解决这个问题。
课堂小结：
今天你学到了什么？
还有什么困惑？
达标检测：
1、如图；三角形三条中位线组成的图形与原三角形有怎样的大小关系（面积和周长）？说说你的理由。
三角形中位线定理
A
D
E
O
B
C
（3）如图：如果AD= 1 AC，AE= 1 AB，
4
4
DE=2cm，那么BC= 8 cm。
A
DE
G
H
C
B
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
作业：课时练P42 1.变式训练2 2.达标检测1—5
复习：平行四边形判定方法
(1) AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD (3) AO=OC, BO=OD
□ ABCD
(4) ∠BAD= ∠BCD ∠ABC=∠ADC (5) AB∥CD,AB=CD
A
D
O
B
C
平行四边形的判定方法分类
两组对边分别平行 边 两组对边分别相等
一组对边平行且相等
DE是△ABC的中位线
A E
思考：
D
C
B
F
1、一个三角形有几条中位线？
2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
F
C
中位线是两条边中点的连线，而中线是一
个顶点和对边中点的连线。
三角形的中位线具有怎样的性质呢？
A
D
E
B
C
即DE与BC有什么样的 位置关系和数量关系？
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=___6_0_°.
A
A
三角形的中位线定理
１.三角形的中位线_______第三边,并 且______第三边的____________
E
C
2．如图：在△ABC中，DE是中 位线。
（1）若∠ADE=60°，则∠B= （2）若BC=8cm，则DE= cm. ;
B
D
（3）DE +BC=12cm,则BC=—— 3．若等腰△ABC的周长是 40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE ＝———
4.如图,已知△ABC中, AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的 中点,则△DEF的周长 A
是
㎝.
C
D
E
F
B
5、如下图：在Rt △ ABC中， ∠A=90°,D、E、F分别是各边 中点, AB=6cm，AC=8cm，则 △DEF的周长= cm。 B D A F
C
四边形BCFD是平行四边形吗? 为什么？
A
四边形BCFD是平行四边形
E F
D
B
C
如图，点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，
求证：DE∥BC且DE= BC
证明：延长DE到点F，使EF=DE，
A
连接FC,DC,AF. ∵AE=EC
E F
∴四边形ADCF是平行四边形， ∴CF∥DA ∴CF∥BD
C
B
F
证明：连结AC ∵ AE=EB、CF=FB, (三角形中位线定理)
1 ∴EF∥AC，EF= 2 AC 1 同理： HG∥AC，HG= AC 2
∴EF ∥HG，且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
A
(2)观察图形中的DE与BC,你能猜测DE 与 BC 位置关系吗？
苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]
![苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/9c586fc4aef8941ea76e059e.png)
苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点，∴DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF ，∵AH 是△ABC 的高∴△ABH 、△ACH 是直角三角形，∵点D 、点F 是斜边AB 、AC 中点，∴DH=DA ，HF=AF ，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD ＝2，BC ＝4，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。
人教版初中数学八年级下册 三角形的中位线定理-全国获奖
平行四边形的判定（三）一、 教学目标：1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、 重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、教学过程（一）课堂引入1、平行四边形的判定2、创设情境想一想为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB ，AC 的中点D 、E ，若测出DE 的长，就能求出池塘BC 的长，你知道为什么吗 3、通过本节课的学习-------三角形的中位线，就可以解决这个问题（二）探究新知1、什么叫三角形的中位线画图归纳：连结三角形两边的中点的线段叫三角形的中位线2、想一想：一个三角形有几条中位线怎么画。
3、画出三角形的中线，中位线与中线有什么区别三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线4、观察猜想：三角形的中位线与第三边有什么关系5、证明猜想:分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 方法3：如图（3），过点E 作AB 的平行线与过点A 作BC 的平行线交于点G6、归纳三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行与第三边，并且等于第三边的一半几何语言： ∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE 3）∴DE ∥BC,DE= 21 BC 适用范围：（1）证平行关系 （2）证两线段的倍半关系7、引入问题中若DE=30米，则BC=若DE 也测量不出呢8、知识拓展：1三角形三条中位线把三角形分成的四个三角形全等2三角形三条中位线所构成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一（3）图中有三个平行四边形9、练习一1如图1：在△ABC 中，DE 是中位线（1）若∠CDE=60°， 则∠B= 度，为什么？（2）若AB=8cm ， 则DE= cm ，为什么2如图2：在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边中点AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，则△DEF 的周长= cm（三）运用新知例1 如图，点O 是△ABC 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG ．求证：四边形DEFG 是平行四边形；练习二 如图，D 、 E 、F 分别是△ABC 三边中点， AH ⊥BC 于H求证：DF=EH例2 已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）． 同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．练习三 如图，已知△ABC 是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形△ABM 和△CAN ，D 、E 、F 分别是MB ，BC ，CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE=EF ．•例3 已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H求证：OG=OH四课堂小结1这节课学习了什么1三角形的中位线的定义2三角形中位线性质定理2三角形中位线定理应用⑴定理为证明平行关系提供了新的工具⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 一半提供了一个新的途径3方法点拨：在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线1有中点要想中位线，发现中位线2有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形构造中位线3有三角形而无中位线,要连结两边中点构造中位线4由已知中点得到中位线没有用，另取中点构造中位线五布置作业1课本50页第5题2 长江全能学案43-44页。
直角三角形中线、中位线的性质PPT课件
1 求证：CD = AB 2
证明：延长CD到E使DE=CD， 连结AE、BE. ∵AD = BD ， DE =CD ∴四边形ACBE是平行四边形 又∵∠ACB = 90° ∴ □ACBE是矩形 ∴CE = AB（ ?
A
D
E
C
B
） AB
1 由于CD= 2
CE
1 所以CD = 2
简单应用
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
A
E
F
B
C
2
THANK
YOU
SUCCESS
•
三角形中位线定理：
有何作用？
三角形的中位线平行于三角形的第三 边，且等于第三边的一半。
A
D
E
符号语言： ∵DE是△ABC的中位线， （ ∵AD=BD, AE=CE )
B
C
1 ∴DE∥BC且DE= BC 2
这个定理提供了证明线段平行以及 线段成倍分关系的根据.
A
1 DE // BC =2
O
E
DE // GF
∴四边形DGFE是□
=
B
G
F
C
1、证明平行的定理有哪些？
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行 平行于同一直线、垂直于同一直线的两直线平行 平行四边形（矩形、菱形、正方形）的对边平行 三角形的中位线平行第三边
2、证明线段二倍关系定理有哪些？
30度所对直角边是斜边的一半 三角形的中位线等于第三边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1、探索并掌握“直角三角形斜边上的中线性质定理” 2．理解中位线概念，明确中线与中位线的 区别与联系； 3、探索并掌握“三角形的中位线定理” 4、进一步理解转化思想（线段的倍分 要转化为相等问题来解决）.
三角形中位线定理应用
三角形中位线定理应用I]\~?、t\:□江苏徐勇三角形中位线定理是初中数学中的重要定理,在解决数学问题中有着广泛的应用.一、证明两角相等例1如图1,已知四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F,试证明厶BEN=ANFC.【分析】构造三角形的中位线,根据中位线性质得到平行线,将要说明具有相等关系的两个角用同一三角形中的两角替代，并说明该三角形是等腰三角形.证明:连结,取的中点连接MH、NH.根据三角形中位线的性质，有：MH/IAB,MH=y AB,NH//DC,NH=^DC图1所以厶BEN=/JIMN,厶NFC=ZJINM,又由AB=CD,可得MH=NH,所以ZJIMN=ZJ1NM,故Z.BEN=ANFC.【点评】本题的辅助线具有很强的技巧，先把四边形分成两三角形，再构造中位线,像这样利用过渡线段作中位线的方法常常见到,希望引起重视•二、证明两线段相等例2如图2,已知。
是AABC的边BC的中点，E、F是AC边上的两点，且AB=CE、AF=EF,DF的延长线交BA的延长线于G,求证:AF=AG.【分析】由D、F分别是的中点，联想到三角形的中位线定理，为此可连结BE并取其中点连接图2则在44BE和4BCE中均可应用中位线定理，并把等线段AB=CE转化到AHDF中，问题可迎刃而解.证明:如图2,连结BE,并取中点H,连接HD、HF,则HD/ICE,E.HD=*CE,HF//AB,且H F=^AB■:AB=CE,FH=HD,A2=Z3.又•••HFI/BC,HD//AC,:.Zl=Z2,Z3=Z5=Z4,Zl=A4,AF=AG.【点评】题设中具有线段中点的条件时,常设法构造三角形,以便能够利用三角形中位线定理解决问题.三、证明线段的倍分关系例3已知:如图3,AE为正方形4BCD中ABAC的平分线,血分别交BD、BC于点F、E,AC、BD相交于点0.求证:OF=舟CE.【分析】由正方形ABCD知，点。
人教版八年级下册三角形的中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
二、思想方法方面：倍长短线，转化思想．
平行四边形的判定 （3）
----三角形的中位线定理
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
行 四
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的
判
定
对角线 对角线 互相平分 的四边形是平行四边形
情景导入
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点
5
F6
∴DF＝ 1 BC=5cm
2
同理：EF＝
1
AB=6cmB源自36 CDE＝ 12 AC=3cm
E 10
∴三角形DEF2的周长=DF+EF+DE=14cm。 你有何
发现？
5：如图，△ABC中，D是AB上一点，且
AD=AC ， AE⊥CD于E，F是CB的中点。
求证：BD=2EF
证明：
C
A D A C ， A E C D C E D E （ 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 ）
F是CB的中点
EF
∴CF BF
∵CE=DE,CF=BF
EF1BD,即BD2EFA
2
B D
6、如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， 中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想。
AF与DE互相平分 理由如下： 证明：连接DF
∵ E,F分别是AC、BC的中点 ∴EF∥AB, EF=½ AB ∵ D是AB中点 ∴AD =½ AB; ∴ EF∥AD, EF=AD ∴四边形ADFE平行四边形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中位线的性质判定定理
中位线的性质判定定理，也称坐标平面上凸多边形的中位线性质判定定理，是一种判
定凸多边形中位线的性质的学说。
该定理是由美国数学家卡斯洛·威登于1959年提出的。
他指出，若凸多边形不具备某种特殊特征，那么在该多边形的内三角形中，它的中位线方
向和面积的性质完全取决于多边形的边界角度和边长。
具体来说，威登定理认为，若多边形不具备某种特殊特征，则它的内三角形中：
①中位线的方向是由内三角形的外角部分于多边形的边界构成的角度决定的；②中位
线的长度完全取决于内三角形的边来构成的三边的长度；③中位线的面积完全取决于下列
公式：S=a2b2−[(a2+b2−c2)/2]2，其中S是三角形的面积，a、b、c分别是该三角形的三
条边的长度。
三角形中位线性质判定定理主要用于凸多边形在坐标平面上的分析研究。
它可以帮助
人们快速判断凸多边形内三角形的面积大小，从而加快分析凸多边形相关结构的速度和效率。
因此，该定理对于几何学及数学分析研究具有广泛的应用，是平面几何研究的基本定
理之一。