高数下册知识点
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高等数学下册知识点
第八章 空间解析几何与向量代数 (一) 向量及其线性运算
1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
2、 线性运算:加减法、数乘;
3、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
4、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a =ρ
,),,(z y x b b b b =ρ,
则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρ
ρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ;
5、 向量的模、方向角、投影:
1) 向量的模:
222z y x r ++=ρ;
2) 两点间的距离公式:2
12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
3) 方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
4) 方向余弦:r
z r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
5) 投影:ϕcos Pr a a j u
ρρρ=,其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。
(二) 数量积,向量积
1、 数量积:θ
cos b a b a ρ
ρρρ=⋅
1)2a a a ρρρ=⋅
2)⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρ
ρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρ
ρ
2、 向量积:b a c ρ
ρρ⨯=
大小:θsin b a ρρ,方向:c b a ρ
ρρ,,符合右手规则
1)0ρρ=⨯a a
2)b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b a
z
y x z
y x b b b a a a k
j i b a ρρρρ
ρ=⨯
运算律:反交换律 b a a b ρ
ρρρ⨯-=⨯
(三) 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念:0),,(:=z y x f S
2、 旋转曲面:
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,
绕y 轴旋转一周:
0),(2
2=+±z x y f 绕
z 轴旋转一周:0),(22=+±z y x f
3、 柱面:
0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
0),(z y x F 的柱面
4、 二次曲面
1) 椭圆锥面:2
22
22z b
y a x =+
2) 椭球面:122
222
2=++c z
b y a x
旋转椭球面:122
222
2=++c
z a y a x
3) 单叶双曲面:122
222
2=-+c z b y a x
4) 双叶双曲面:122
222
2=--c
z b y a x
5) 椭圆抛物面:z b
y a x =+22
2
2
6) 双曲抛物面(马鞍面):z b y
a x =-22
2
2
7) 椭圆柱面:122
2
2=+b y a x
8) 双曲柱面:122
2
2=-b
y a x
9) 抛物柱面:
ay x =2
(四) 空间曲线及其方程
1、 一般方程:⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F
2、 参数方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos
3、 空间曲线在坐标面上的投影
⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x H
(五) 平面及其方程
1、 点法式方程:0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量:),,(C B A n =ρ
,过点),,(000z y x
2、 一般式方程:0=+++D Cz By Ax
截距式方程:
1=++c
z
b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ
,
22
22
22
21
21
21
2
12121cos C
B A
C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ
⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21//
21
2121C C B B A A ==
4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离:
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
(六) 空间直线及其方程