高考全国卷1文科数学真题及答案
高考全国卷1文科数
学真题及答案
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2019年高考文科数学真题及答案全国卷I
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项
是符合题目要求的.
.) (=2
12i
1i +(-)
2)
文 ,Ⅰ课标全国2019(.1 A .
11i 2-- B .11+i 2- C .11+i 2 D .11i
2-
2.(2019课标全国Ⅰ, 文1)已知集合A ={1,2,3,4}, B ={x |x =n 2
, n ∈A }, 则A ∩B =( ).
A .{1,4}
B .{2,3}
C .{9,16}
D .{1,2}
3.(2019课标全国Ⅰ, 文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数, 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).
A .12
B .13
C .14
D .16
4.(2019课标全国Ⅰ, 文4)已知双曲线C :22
22=1x y a b
-(a >0, b >0)
则C 的渐近线方程为( ).
A .y =14x ±
B .y =13x ±
C .y =1
2x
± D .y =±x
5.(2019课标全国Ⅰ, 文5)已知命题p :?x ∈R,2x
<3x
;命题q :?x ∈R , x 3
=1-x 2
, 则下列命题中为真命题的是( ).
A .p ∧q
B .?p ∧q
C .p ∧?q
D .?p ∧?q 6.(2019课标全国Ⅰ, 文6)设首项为1, 公比为
2
3
的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 则( ).
A .Sn =2an -1
B .Sn =3an -2
C .Sn =4-3an
D .Sn =3-2an
7.(2019课标全国Ⅰ, 文7)执行下面的程序框图, 如果输入的t ∈[-1,3], 则输出的s 属于( ).
A .[-3,4]
B .[-5,2]
C .[-4,3]
D .[-2,5] 8.(2019课标全国Ⅰ, 文8)O 为坐标原点, F 为抛物线C :y 2
=的焦
点, P 为C 上一点, 若|PF |
=, 则△POF 的面积为( ).
A .2 B
.
..4
9.(2019课标全国Ⅰ, 文9)函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π, π]的图像大致为( ).
10.(2019课标全国Ⅰ, 文10)已知锐角△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b ,
.
) (=b 则 ,6=c ,7=a ,0=A cos 2+A 2
23cos c, A .10 B .9 C .8 D .5
11.(2019课标全国Ⅰ, 文11)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ).
A .16+8π
B .8+8π
C .16+16π
D .8+16π
12.(2019课标全国Ⅰ, 文12)已知函数f (x )=22,0,
ln(1),0.
x x x x x ?-+≤?
+>?若|f (x )|≥ax , 则a 的取值范围是( ).
A .(-∞, 0]
B .(-∞, 1]
C .[-2,1]
D .[-2,0]
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分.
13.(2019课标全国Ⅰ, 文13)已知两个单位向量a , b 的夹角为60°, c =t a +(1-
t )b .若b ·c =0, 则t =______. 的最
y -x 2=z 则13,
10,
x x y ≤≤??
-≤-≤?满足约束条件y ,x 设14)文 ,Ⅰ课标全国2019(.14大值为______.
15.(2019课标全国Ⅰ, 文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点, AH ∶HB =1∶2, AB ⊥平
面α, H 为垂足, α截球O 所得截面的面积为π, 则球O 的表面积为______. 16.(2019课标全国Ⅰ, 文16)设当x =θ时, 函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,
则cos θ=______.
三、解答题:解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17.(2019课标全国Ⅰ, 文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0, S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列21211
n n a a -+?
??
???
的前n 项和.
18.(2019课标全国Ⅰ, 文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药, B 药)的疗效, 随机地选取20位患者服用A 药, 20位患者服用B 药, 这40位患者在服用一段时间后, 记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数, 从计算结果看, 哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图, 从茎叶图看, 哪种药的疗效更好?
=
CA ,中1C 1B 1A -ABC 三棱柱 ,如图)分12本小题满分19)(文 ,Ⅰ课标全国2019(.1960°.
=1BAA ∠ ,1AA =AB ,CB
;C 1A ⊥AB 证明:(1)
的体积.
1C 1B 1A -ABC 求三棱柱 ,C 1A ,2=CB =AB 若(2)
20.(2019课标全国Ⅰ, 文20)(本小题满分12分)已知函数f (x )=y
处的切线方程为(0))f ,(0在点)x (f =y 曲线 ,x 4-2
x -)b +ax (x e =4x +4.
(1)求a , b 的值;
(2)讨论f (x )的单调性, 并求f (x )的极大值.
x
(:N 圆 ,1=2
y +21)+x (:M 已知圆)分12本小题满分21)(文 ,Ⅰ课标全国2019(.21.
C 的轨迹为曲线P 圆心 ,内切N 外切并且与圆M 与圆P 动圆 ,9=2
y +21)- (1)求C 的方程;
(2)l 是与圆P , 圆M 都相切的一条直线, l 与曲线C 交于A , B 两点, 当圆P 的半径最
长时, 求|AB |.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分, 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂
黑.
22.(2019课标全国Ⅰ, 文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图, 直线AB 为圆的切线, 切点为B , 点C 在圆上, ∠ABC 的角平分线BE 交圆于点
E , DB 垂直BE 交圆于点D .
23.(2019课标全国Ⅰ, 文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t
=+??
=+?(t 为参数), 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
24.(2019课标全国Ⅰ, 文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |, g (x )=x +3.
(1)当a =-2时, 求不等式f (x )<g (x )的解集; (2)设a >-1, 且当x ∈1,22a ??
-????
时, f (x )≤g (x ), 求a 的取值范围.
2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项
是符合题目要求的.
1. 答案:A
,{1,4,9,16}=}A ∈n ,2
n =x |x {=B ∵解析: ∴A ∩B ={1,4}.
2. 答案:B
.
1
1+i 2
-=212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-解析:
3.
答案:B
解析:由题意知总事件数为6, 且分别为(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4),
.13
所以所求的概率为
,2满足条件的事件数是 ,(3,4) 4. 答案:C
.
225
4
c a =即 c a =∴ e =∵解析: .
12
b a =∴.2214b a =∴ ,2
b +2a =2
c ∵
,b
y x a =±双曲线的渐近线方程为∵ C.
故选.1
2
y x =±渐近线方程为∴ 5. 答案:B
,2
x +1-3x =)x (h 为假命题.令p ,知03=02由解析: ∵h (0)=-1<0, h (1)=1>0,
内有解.
(0,1)在0=2
x +1-3x ∴ B.
为真命题.故选q ∧p ?为真命题.由此可知只有q 即命题 ,2
x -1=3x ,R ∈x ?∴ 6. 答案:D
D.故选 ,n a 2-3=11211321113
n
n
n n a a a q a q S q q --(-)===
---解析: 7. 答案:A
解析:当-1≤t <1时, s =3t , 则s ∈[-3,3).
.2
t -t 4=s ,时≤3t 1≤当 ∵该函数的对称轴为t =2,
∴该函数在[1,2]上单调递增, 在[2,3]上单调递减.
3.
=min s ,4=max s ∴ ∴s ∈[3,4].
综上知s ∈[-3,4].故选A.
8. 答案:C
=P x 可得
P x ==|PF |利用解析:
=|P y |·|OF |1
2
=POF △S ∴
±=P y ∴ 故选C.
9.
答案:C
>
)x (f ,时π0,2
?? ??
?
∈x .当B 知其为奇函数.可排除x )sin x cos -(1=)x (f 由解析:0, 排除A.
1.
+x cos +x 2
2cos =-)x cos -(1x cos +x 2
sin =)x ′(f ,时π) ,(0∈x 当 .2π3
x =
得 ,0=)x ′(f 令 C.故选 ,D 可排除 ,2
π3
x =
故极值点为 10. 答案:D
.125=
A 2
cos 得 ,0=A cos 2+A 2
23cos 由解析: .
15=A cos ∴ ,π0,2??
???
∈A ∵ .
)舍(13
5
b =-或5=b ∴ ,2364926b b +-?=A cos ∵ 故选D.
11. 答案:A
解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
,8π=×42
π×212
=
半圆柱V 16.
=4×2×2=长方体V 所以所求体积为16+8π.故选A.
12. 答案:D
解析:可画出|f (x )|的图象如图所示.
当a >0时, y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点, 所以排除B , C ;
当a ≤0时, 若x >0, 则|f (x )|≥ax 恒成立.
,相切为界限|x 2+2
x -|=y 与ax =y 则以 ,≤0x 若 0.=x 2)+a (-2
x 得2
,2,
y ax y x x =??
=-?由 2.
=-a ∴ ,0=2
2)+a (=Δ∵ ∴a ∈[-2,0].故选D. 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题, 每个试题考生都必须做
答.第22题~第24题为选考题, 考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分.
13.答案:2
.111122
??
==b ·a ∴ ,60°〉=b ,a 〈 ,1=|b |=|a | ,0=c ·b ∵解析: ∴b ·c =[t a +(1-t )b ]·b =0,
0.
=2
b )t -(1+b ·a t 即
0.=t -1+1
2
t ∴
∴t =2. 14.答案:3
解析:画出可行域如图所示.
画出直线2x -y =0, 并平移, 当直线经过点A (3,3)时, z 取
最大值, 且最大值为z =2×3-3=3.
9π2
答案:
.15 解析:如图,
设球O 的半径为R ,
,2
3R =
AH 则 .
3
R =OH 1.
=EH ∴ ,π=2
EH π·∵又 .
98=2
R ∴ ,2
2+13R ?? ???
=2
R ,中OEH Rt△在∵ .
9π2=2
R 4π=球S ∴
5
-
答案:.16
,)φ-x sin(x 2cos -x sin =)x (f ∵解析:
.5
=φcos ,φsin 其中
取最大值.)x (f ,时)Z ∈k (π
2
+
πk 2=φ-x 当 .
)Z ∈k (φ+π
2
+πk 2=θ ,)Z ∈k (π2+πk 2=φ-θ即
.
5-=φsin =-πcos 2???
+ ???
=θcos ∴ 三、解答题:解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.
.1(1)
2
n n na d -+
=n S 则 ,d 的公差为}n a {设(1)解: 11330,
5105,
a d a d +=??
+=?由已知可得 1.
=-d ,1=1a 解得 .
n -2=n a 的通项公式为}n a {故
,1111321222321n n n n ??
=- ?(-)(-)--??
=21211n n a a -+知
(1)由(2) 项和为
n 的前21211
n n a a -+?
?????
从而数列 111111121113
2321n n ??
-+-++
- ?---??
.
12n n
-= 18.
.
y 药观测数据的平均数为B ,x 药观测数据的平均数为A 设(1)解: 由观测结果可得
x +2.7+2.7+2.6+2.5+2.4+2.3+2.3+2.2+1.8+1.5+1.5+1.2+1.2+(0.61
20
=
2.8+2.9+
3.0+3.1+3.2+3.5)
=2.3,
y +1.9+1.8+1.7+1.6+1.4+1.3+1.2+1.2+1.1+0.9+0.8+0.6+0.5+(0.51
20
=
2.1
+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)
=1.6.
药的疗效更好.
A 因此可看出 ,y >x 由以上计算结果可得 (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
药疗效的B 而 ,上2,3的叶集中在茎7
10
药疗效的试验结果有
A ,从以上茎叶图可以看出
药的疗效更好.A 由此可看出 ,上0,1的叶集中在茎7
10
试验结果有
19.
.
B 1A ,1OA ,O
C 连结 ,O 的中点AB 证明:取(1) 因为CA =CB , 所以OC ⊥AB .
,60°=1BAA ∠ ,1AA =AB 由于
,为等边三角形B 1AA △故 .
AB ⊥1OA 所以 .
C 1OA 平面⊥AB 所以 ,O =1OA ∩OC 因为 .
C 1A ⊥AB 故 ,C 1OA 平面?C 1A 又
,的等边三角形2是边长为都B 1AA △与ABC △解:由题设知(2)
.
1OA =OC 所以
,2
1OA +2OC =2C 1A 则
,C 1A 又 .
OC ⊥1OA 故 的高.1C 1B 1A -ABC 为三棱柱1OA ,ABC 平面⊥1OA 所以 ,O =AB ∩OC 因为 3.
=1OA ×ABC △S =V 的体积1C 1B 1A -ABC 故三棱柱
ABC △S 的面积ABC △又 20.
4.
-x 2-)b +a +ax (x
e =)x ′(
f (1):解 由已知得f (0)=4, f ′(0)=4.
故b =4, a +b =8. 从而a =4, b =4.
,x 4-2
x -1)+x (x 4e =)x (f ,知(1)由(2) .1e 2x
??-
??
?
2)·+x 4(=4-x 2-2)+x (x
4e =)x ′(f 令f ′(x )=0得, x =-ln 2或x =-2.
从而当x ∈(-∞, -2)∪(-ln 2, +∞)时, f ′(x )>0;
当x ∈(-2, -ln 2)时, f ′(x )<0.
故f (x )在(-∞, -2), (-ln 2, +∞)上单调递增, 在(-2, -ln 2)上单调递
减. .
)2
-e -4(1=2)-(f 极大值为 ,取得极大值)x (f 函数 ,时2=-x 当 21.
3.
=2r 半径 ,(1,0)N 的圆心为N ;圆1=1r 半径 ,1,0)-(M 的圆心为M 解:由已知得圆设圆P 的圆心为P (x , y ), 半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 4.=2r +1r =)R -2r (+)1r +R (=|PN |+|PM |所以
短半轴 ,2长半轴长为 ,为左、右焦点N ,M 是以C 曲线 ,由椭圆的定义可知.2)-≠x (22
=143
x y +其方程为 ,)左顶点除外(的椭圆 (2)对于曲线C 上任意一点P (x , y ), 由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,
所以R ≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时, R =2.
4.
=2
y +22)-x (其方程为 ,的半径最长时P 所以当圆
=|AB |可得 ,轴重合y 与l 则 ,90°的倾斜角为l 若 则
,Q 轴的交点为x 与l 设 ,轴x 不平行于l 知R ≠1r 由 ,90°的倾斜角不为l 若.
4)+x (k =y :l 所以可设 ,4,0)-(Q 可求得 ,1
||||QP R
QM r =
.
4
±
=k 解得 ,1=M 与圆l 由
1,2x 解得 ,0=8-x 8+2x 7并整理得 ,22=143
x y +代入4y x =+将 ,时4=k 当
,
.
18
7
=|1x -2x ||AB |所以
.
18
7
=|AB |由图形的对称性可知 ,时4-=k 当
.
18
7
=|AB |=|AB | ,综上 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分, 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂
黑. 22.
(1)证明:连结DE , 交BC 于点G .
由弦切角定理得, ∠ABE =∠BCE .
而∠ABE =∠CBE ,
故∠CBE =∠BCE , BE =CE .
又因为DB ⊥BE ,
所以DE 为直径, ∠DCE =90°,
由勾股定理可得DB =DC .
(2)解:由(1)知, ∠CDE =∠BDE , DB =DC ,
故DG 是BC 的中垂线,
.BG 所以 设DE 的中点为O , 连结BO , 则∠BOG =60°.
从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°,
所以CF ⊥BF ,
.BCF Rt△故 23.
,25=2
5)-y (+24)-x (化为普通方程 ,t 消去参数45cos ,55sin x t y t
=+??
=+?将(1)解: 0.
=16+y 10-x 8-2
y +2
x :1C 即 0.
=16+θsin ρ10-θcos ρ8-2
ρ得0=16+y 01-x 8-2y +2x 代入cos ,sin x y ρθρθ
=??
=?将 的极坐标方程为
1C 所以 0.
=16+θsin ρ10-θcos ρ8-2
ρ 0.
=y 2-2
y +2x 的普通方程为2C (2) 222
2
810160,20
x y x y x y y ?+--+=?+-=?由
0,
2.x y =??
=?或1,1x y =??
=?解得 .
π2,2??
???
,π4???交点的极坐标分别为2C 与1C 所以 24.
解:(1)当a =-2时, 不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0.
设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,
15,,212,1,
236, 1.x x x x x x ?
-?
?
--≤≤??
->???
=y 则 其图像如图所示.从图像可知, 当且仅当x ∈(0,2)时, y <0.
所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.
.a +1=)x (f ,时1,22a ??
-
???
?∈x 当(2) 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 都成立.1,22a ??
-
????∈x 对2-a ≥x 所以 .
43
≤a 即 ,2-a ≥2a -故 .
41,3
??- ??
?
的取值范围是a 从而