分组码和卷积码
差错控制编码-卷积编码
在一个二进制分组码（ ）当中，包含k个信息位 个信息位， 在一个二进制分组码（n,k）当中，包含 个信息位，码组长度 个信息位有关， 为n，每个码组的（n-k）个校验位仅与本码组的 个信息位有关， ，每个码组的（ ）个校验位仅与本码组的k个信息位有关 而与其它码组无关。为了达到一定的纠错能力和编码效率（ 而与其它码组无关。为了达到一定的纠错能力和编码效率（ ＝ k/n），分组码的码组长度 通常都比较大。编译码时必须把整 ），分组码的码组长度 通常都比较大。 ）， Rc 分组码的码组长度n通常都比较大 个信息码组存储起来，由此产生的延时随着n的增加而线性增加 的增加而线性增加。 个信息码组存储起来，由此产生的延时随着 的增加而线性增加。
分组码有严格的代数结构但卷积码至今尚未找到如此严密的数学手段把纠错性能与码的结构十分有规律地联系起来通常使用近似的极大似然法目前大都采用计算机来搜索好码
3.2卷积码（Convolutional Code）的编码
一、线性码 传输序列是信息序列的线性变换。监督比特是对信息比特进行 线性运算得到。两类线性码： ①. 分组码（Block Code） 每一个信息比特组分别独立运算产生监督比特。每一组监督比 特固定的监督一个信息比特组，记为（n，k）码。 （n：码组长度；k：信息位长度）
（3）状态图（State Diagram） 卷积码的编码器是一种有限状态机，它的状态转移关系是有限 的。在上例（2，1，2）卷积码中，第3拍时的树图代表了所有 可能的状态转移关系。改画成以下的形式，称为状态图。
卷积码的编码过程只是在不同输入下的状态转移。因此，只要 知道编码器的当前状态和输入，编码器的输出和下一状态就被 确定了。 有时用另一种形式的状态转移图
b3
0 0 1 1
移动通信实验线性分组码卷积码实验
4、设置主控菜单，选择【主菜单】→【移动通信】→【卷积码实验】。在“卷积及交织误码设置”界面中，先选择【无误码】。此时系统初始状态为：输入数据为8K，通过模块4进行卷积编码，再经过模块5完成卷积译码。
5、观察并记录原始码元和卷积译码恢复的码元，看是否一致。
由图可知：波形一致
编码信号输入
3、调用示波器观测信号源模块的“PN”和4号模块的编码输出“编码数据TH，即观测原始码元和卷积编码输出信号。
4、运行仿真，开启所有模块的电源开关。
5、设置主控菜单，选择【主菜单】→【移动通信】→【卷积码实验】。在“卷积及交织误码设置”界面中，先选择【无误码】。此时系统初始状态为：编码输入8K数据，进行卷积编码，无差错插入模式。
【突发错】译码结果与输入信号
由图可知：卷积码能纠正随机错，而不能纠正突发错。
五、实验报告
1、观察和记录实验波形，验证卷积码检错及纠错能力。
2、简述卷积码在生活中的应用。
无线通信，移动通信如GSM
六、实验小结
通过本次实验学习了卷积码的编译码原理，观察和记录了实验波形，验证了卷积码的检错及纠错能力。
3、分析汉明码实现检错及纠错的原理。
以接收到的数据为7bit为例，从左到右的位数分别以二进制表示：001，010，011，100，101，110，111。三位二进制以某一位为1可分为三组，第一组为001，011，101，111；第二组为010，011，110，111；第三组为100，101，110，111。将每个小组中二进制所代表的位数（1~7）中的值（0或1）拿出来（每组共4个值），进行奇偶校验，以奇校验为例，1的个数为奇数标0，偶数标1，最后倒叙查看纠错。如：第一组1为奇数标0，第二组为偶数标1，第三组为偶数标1，最后得到110，即第六位数据错误。
卷积码的图解表示
3
信息论
卷积码的基本概念
卷积码的编码器是由一个有k个输入端、n个输出端，且具有L节移 位寄存器所构成的有限状态的有记忆系统，通常称之为时序网络。 卷积码编码的原理图如图所示，
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4
信息论
1 卷积码的解析表示
输入M
m0
t
m0
t 1
m0
t 2
二元（3，1，2） 卷积码编码器原理图
9
信息论
1 卷积码的解析表示
m0
t
0 输入M 1
m0
t 1
m0
t 2
c1
t
c0
t
m1
t
m1
t 1
m1
t 2
c2
t
输出 C t
二元（3，2，2）卷积码并行编码器的原理图
电子信息工程学院
10
信息论
9.5.1 卷积码的解析表示
基本生成矩阵
g
101 011
000 001
S0 S2 S3 S3 S1 S0 S2
由此很快求得输入信息序列为111001…，输出的码字 序列为111,100,101,010,001,111…。
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16
1/111
1/100
1/101
0/010
0/001
1/111
001 000
000 000
000 000
电子信息工程学院
11
信息论
1 卷积码的解析表示
生成矩阵
101 011 G
000 001 101 011
第二章 线性分组码(zhb)
卷积码：m中每k0个码元为一组，经编码输出n0个
码元，增加了n0-k0个监督元，编码规则不仅于此
时此刻进入编码器的码元有关，还与此刻相邻的
m时刻有关，称为卷积码。用(n0,k0，m) 表示。 目前常见的几种码：
级联码：将分组码和卷积码结合起来的码，一般用RS码为外码，卷
积码作为内码。
Turbo码：是并行结构的级联码系统码，将卷积码和随机交织器相结 合。被IS-2000标准作为第三代移动通信手机中的纠错抗干扰方案。 LDPC码：是一种线性分组码，Low-Density-Parity-CheckCodes, 它 能比其它码带来更高的编码增益。被通信公司作为第四代移动通信中
h11Cn 1 h12Cn 2 h1k Cn k Cn k 1 0 h C h C h C C 21 n 1 22 n 2 2k n k n k 2 0 h r1Cn 1 h r2Cn 2 h rk C n k C0 0
Wmin minWV, V C, V 0
线性分组码的最小距离等于它的最小重量
d min Wmin
线性分组码纠t个错误的充要条件是码的最小距离为：
d
2t 1
10
三、（n,k）码的监督矩阵H和生成矩阵G 1. 监督矩阵（也称校验矩阵）
h11 h12 h h 22 21 H h r1 h r2 h1k h 2k h rk 1 0 0 0 0 1
23
伴随式计算电路
R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6
输入
输出
+
S0
+
S1
信息论与编码第6章
当校验位数增长时， 能够检测到差错图案 种类数也增长，同步 码率减小。
s 1
t 1
ps,t mi,t ms, j
i0
j0
mod 2
27
(3) 反复消息位措施
• n反复码：码率为 1/n，仅有两个码字 C0和 C1，传送1比特(k=1)
消息；
• C0=(00…0)，C1=(11…1)
• n反复码能够检测出任意不大于 n/2 个差错旳错误图案 – BSC信道：pb≤1/2，n比特传播中发生差错数目越少，概率越 大 (1－pb)n> pb(1－pb)n －1>… > pbt(1－pb)n －t>… > pbn – 总以为发生差错旳图案是差错数目较少旳图案，当接受到反
– 是指信号差错概率 • 比特差错率 /比特误码率：
– 在传播旳比特总数中发生差错旳比特数所占百分 比
– 是指信息差错概率
• 对二进制传播系统,符号差错等效于比特差错;对多进 制系统,一种符号差错相应多少比特差错却难以拟定 5
差错率
• 根据不同旳应用场合对差错率有不同旳要求: – 在电报传送时,允许旳比特差错率约为: 10－4～10－5； – 计算机数据传播,一般要求比特差错率不大于: 10－8～10－9； – 在遥控指令和武器系统旳指令系统中,要求有 更小旳误比特率或码组差错率
信 源
信 源 编 码
m
信 道
编
码
C调 制 器
传 输 媒 介
解 调 器
R
信 道
译
码
m'
信 源
译
码
信 宿
图6.1.2 有信道编码的数字通信系统框图
31
• 最大后验概率译码准则
信息论-第六章
信息论基础B
4
二、纠错码分类
从功能角度：检错码 、纠错码 对信息序列的处理方法：分组码、卷积码 码元与原始信息位的关系：线性码、非线性码 差错类型：纠随机差错码、纠突发差错码、介 于中间的纠随机/突发差错码。 构码理论：代数码、几何码、算术码、组合码 等
信息论基础B
5
三、差错控制系统分类
码空间的不同选择方法，以及信息组与码组的 不同映射算法，就构成了不同的分组码。
信息论基础B
24
6.3 随机编码
运用概率统计方法在特定信道条件下对编码信 号的性能作出统计分析，求出差错概率的上下 限边界，其中最优码所能达到的差错概率上界 称作随机码界。 用这种方法不能得知最优码是如何具体编出来 的，却能得知最优码可以好到什么程度，并进 而推导出有扰离散信道的编码定理，对指导编 码技术具有特别重要的理论价值。
信息论基础B
只含有限个元素的域称为有限域。
有限域的元素个数称为有限域的阶。
每个特征为零的域都是无限域。
有限域的特征一定是素数。
在特征是素数p的域F中，下列等式成立：
(a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp， a，b F。
信息论基础B
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做 成的群称为有限域的乘法群。 命题1：设Fq是一个含有q个元素的有限域， Fq*=Fq\{0}，则Fq的乘法群Fq*是一个循环群。 定义2：设Fq是一个有限域，Fq*=Fq\{0}，Fq*的 生成元称为Fq的本原元。 命题2：设Fq是一个含有q个元素的有限域，则 Fq中共有 (q－1)个本原元。
3、分配律、结合律成立，
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维 线性空间，n维矢量又称n重(n-tuples)。
卷积码
西安邮电大学通信与信息工程学院科研训练报告专业班级： 通工1112班 学生姓名： 苏越 学号(班内序号): 03111030 （05号）2014 年 4 月 11 日——————————————————————————装订线————————————————————————————————报告份数：摘要卷积码是P.Elias于1955年发明的一种分组码。
分组码在编码时，先将输入信息码元序列分为长度为k的段，然后按照编码规则，给每段附加上r位监督码元，构成长度为n的码组。
各个码组之间没有约束关系，即监督码元只监督本码组的码元有无错码。
因此在解码时各个接收码组也是分别独立地进行解码的。
卷积码则不同。
卷积码在编码时，虽然也是把k个比特的信息段变成n个比特的码组，但是监督码元不仅仅和当前的k比特信息段有关，而且还同前面m=（N-1）个信息段有关。
所以一个码组中的监督码元监督着N 个信息段。
通常将N成为码组的约束度。
一般来说，对于卷积码，k和n的值是比较小的整数。
通常将卷积码记作做（n，k，m），其码率为k/n。
关键词：卷积码、编码、编码器AbstractConvolution code is P.E lias in 1955 a group of invention code. In the code block code, at first the input information code yuan sequence into the period length is k, then according to coding rules to give each section on r a supervision code additional RMB, constitute the length is n yards group. Each code without constraint relation between group, namely supervision code yuan only supervise this code of the group code element for wrong words.if it. So when receiving yards in the decoding each group were also independently of the decoding. Convolution code is different. Convolution code in the coding, although it's a bit of information section k n bits of code into a group, but supervision code yuan and the current k bit not just for information, but also on the front with m = (n-1) information section on. So a group of the supervision code code element oversees N information section. Usually will become yards of the group N constraint degree. Generally speaking, for convolution code, k and n value is smaller integer. Usually will convolution code written for do (n, k, m), the code rate for k/n.Keywords: convolution code, coding, encoder一、引言卷积编码在通信系统当中是一种重要的编码技术，对其进行编码人工来做比较复杂，本次就利用matlab擅长的矩阵运算，对序列信息进行卷积编码。
卷积码
引言卷积码是深度空间通信系统和无线通信系统中常用的一种差错控制编码。
在编码过程中,卷积码充分利用了各码字间的相关性。
在与分组码同样的码率和设备复杂性的条件下,无论从理论上还是从实践上都证明,卷积码的性能都比分组码具有优势。
而且卷积码在实现最佳译码方面也较分组码容易。
因此卷积码广泛应用于卫星通信，CDMA数字移动通信等通信系统，是很有前途的一种编码方式。
对其进行研究有很大的现实意义。
1 、(2.1.2)卷积码的基本概念1.1(2.1.2)卷积码的结构图(2.1.2)卷积码的编码器由两级移位寄存器组成，它的存数(Q0，Q1)有四种可能：00，10，01和11，相应于编码器的四个状态S0, S1, S2和S3。
(2.1.2)卷积码编码器如图1：由图可知，该卷积码的生成多项式为于是，得到的码多项式是1.2(2.1.2)卷积码的网格图表示为了表示卷积码编码器在不同输入的信息序列下，编码器各状态之间的转移关系，以及状态转移与时间的关系，须画出编码器的网格图。
网格图是一种能清楚显示状态转移的时间依赖性状态图，因而用网格图来表示编码器的操作是很有用的。
图2表示了(2.1.2)卷积码的网格图。
图中四行小圆圈表示移位寄存器的四种状态，虚线表示输入是0时的状态转移，实线表示输入是1时的状态转移，支路上标注的码元为输出比特。
2 、(2.1.2)卷积码编码器的编程实现与仿真波形由以上分析可以发现，(2.1.2)编码器由两个模二加法器组成，分别生成、。
而此时输出的是并行数据，须经过并串转换才能输出，在用VHDL编程时，用LOAD和CLK来控制信息的输入与卷积码的产生，当LOAD为底电平时，在每个CLK的上升沿输入一位信息，并进行异或运算;当LOAD为高电平时，在CLK 的上升沿时刻，把生成的卷积码经过并串转换之后输出。
经过编译调试之后，仿真波形如图3：图中，D-IN为输入的信息位，D-OUT为输出的串行卷积码，Q为移位寄存器的内容。
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p( yi | 0) p( yi | cmi )
定义
= p( y | 0) p( y | 1)
yY
P0cm =P2 ( w(cm )) w ( cm )
Pe (2k 1) dmin9ຫໍສະໝຸດ 7.3 一些特殊的线性分组码
7.3.1 重复码： (n, 1) 码，全0 或者全1
Rc 1 / n dmin n
7
7.2 线性分组码的一般性质
7.2.3 重量分布多项式
码的重量分布多项式（WEP）：
多项式的系数是该码字中不同重量的码字的个数
A( Z ) Ai Z 1
i i 0 n i dmin
n
Ai Z i
假设发送的是全零码字，则对于 BPSK 调制有
2 dE ( sm ) 4 b Rc w(cm )
2. 伴随式和标准阵列 7.5.2. 硬判决译码 纠错能力：
t (dmin 1) / 2
k 2m m 1
7.3.2 汉明 (n, k) 码： n 2m 1,
2m m 1 Rc 2m 1 1 n ( n 1)/ 2 ( n 1)/ 2 A( Z ) (1 Z ) n (1 Z ) (1 Z ) n1
7.3.3 最大长度码：汉明码的对偶码
+ 0 0 0 1 1 X X X+1 X+1
1 X X+1
x 0 1 X X+1
1 X X+1
0 0 0 0 0
0 X+1 X
1 0 1 X X+1
X+1 0 1
X 0 X X+1 1
X 1 0
X+1 0 X+1 1 X
3
7.1 基本定义
4. 本原元和本原多项式
m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
GF(2m )
g(X) X2+X+1 X3+X+1 X4+X+1 X5+X+1 X6+X+1 X7+X+1 X8+X4+X3+X2+1 X9+X4+1 X10+X3+1 X11+X2+1 X12+X6+X4+X+1
4
7.2 线性分组码的一般性质
生成矩阵和奇偶校验矩阵
假设：k个信息比特 码字（n位）
cm umi gi um1 g1 um 2 g2
i 1
k
umk gk
5
7.2 线性分组码的一般性质
(n, k) 线性码的对偶码
是一种 (n, n-k) 线性码，有 2n-k 个码矢量 生成矩阵 H，由 n-k 个线性无关的码矢量组成
对偶码 (n, n-k)
正交于
(n, k)码
(n, k) 码任意一个码字 Cm 都正交于矩阵H的每一行
cm Ht 0
由于对(n, k)码的每个码字都成立，于是： GH t 0
H矩阵用于译码器检查收到的码字 c 是否满足 cHt = 0
H 矩阵称为 (n,k) 码的一致校验矩阵 （简称校验矩阵）
6
7.2 线性分组码的一般性质
7.2.2 线性分组码的重量和距离特性
7.1 基本定义
基本概念：
由一组固定长度的码字矢量组成。 码长——矢量元数的个数 n。 码字元素选自由q个元素组成的字符集（二进制分组码，非二进
制分组码）
信息比特与码字之间的关系
k个信息比特 2k种组合
映射
长度为n的码字 2n个码字
(n, k) 码 Rc
码率：
k n
1
7.1 基本定义
对于正交 FSK 调制有
2 dE ( sm ) 2 b Rc w(cm )
8
7.2 线性分组码的一般性质
7.2.4 线性分组码的差错概率
码字差错概率：
n
Pe
cm C cm 0
P
0 cm
i dmin
n
Ai P2 ( i )
P0cm
i 1 yi Y
码字的重量：码字里非零码元的数量 w (c ) 码字间的汉明距离：两个码字间不同码元的个数
码的最小距离
码的最小重量
d min
c1 , c2 C , c1 c2
min
d (c1 , c2 )
wmin min w(c )
cC ,c 0
线性分组码的最小重量与奇偶校验矩阵列之间的相关性有关
CM m C (r , cm ) (2cmj 1)rj
j 1 n
主要问题：码字数量巨大，导致计算量巨大
Pe (2k 1)e Rcdminb / N0
11
7.5 线性分组码的硬判决译码
先逐个码元进行判决后，再进行译码
1. 最小距离（最大似然）译码
判决后的码字可能不是一个有效码字，寻找与该码字距离最小 的有效码字作为译码的结果
cm umG
um
cm
编码运算： cmj xm1 g1 j xm 2 g2 j xmk gkj 矩阵形式：
j = 1, … n
g12 g 22 gk 2 g1 n g2n g kn
g 1 g11 g g G — 生成矩阵 G 2 21 g k g k 1 任何码字都是 G 的矢量 gi 的线性组合：
2 2. 有限域上的多项式： g( X ) g0 g1 X g2 X 首一（Monic）多项式： gm 1
既约多项式：多项式无法写成两个低次多项式的乘积。
X 2 +1 ( X 1)2
2
7.1 基本定义
3. 扩域：本原多项式
X 2 +X 1 X 2 =X 1
GF(4)域的加法和乘法：
有限域，也称伽罗华域（Galios Field）：二进制加法和乘法 的有限集合。 q pm
+ 0 1 0 0 1 1 1 0 X 0 1 0 0 0 1 0 1
1. 基域： GF(5) {0, 1, 2, 3, 4} 扩域： q pm
模 5 的加法和乘法运算
gm X m gi GF( p)
A( Z ) 1 (2m 1) Z m1
（ 2m 1, m)
7.3.4 Reed-Muller码：
n2 ,
m
m k , i 0 i
r
dmin 2m r
10
7.4 线性分组码的最佳软判决译码
有效码字间的最佳检测，如相关度量计算
rj c n j