陕西省西安市高新第一中学北师大版高中数学必修二2.1.2 直线的方程教案

【教学案例】

直线的方程（一）

（西安高新一中）

（一）教学分析

1．学生起点分析：

（1）学生已经具备的知识：点的坐标，直线的y截距，直线的倾斜角，直线的斜率，两点确定一条直线，

（2）学生活动的经验基础：

学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线，如何过直线外一点作一条直线的的平行线，其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向，意识到确定直线需要的2个要素。

2．教学任务分析：

（1）通过本节的学习，学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。

（2）有了直线的点斜式方程，就可逐一探求出直线方程的其他形式。探求过程本身并没有多少难度，但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。从点斜式到斜截式，是从一般到特殊的思维过程，用到了演绎思想；从点斜式到两点式，是从一般到一般的逻辑推理，依靠直线的斜率来过渡，体现了转化思想；从两点式到截距式，又是从一般到特殊的思维过程，再一次用到演绎思想。

（3）两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因而在教学中要突出点斜式方程。

（二）教学过程

1．问题提出：

方案一：我们知道，点的代数表示形式是坐标，那么点动成线，直线的代数表示形式会有吗？如果有，应该是什么？我们来探究。

方案二：一次函数的一般形式为y = kx + b，其图像为一条直线。当一次项系数k> 0时，函数单调递增，图像呈上升趋势，是一条逐渐上升的直线；当一次项系数k< 0时，函数单调递减，图像呈下降趋势，是一条逐渐下降的直线；当一次项系数k = 0时，函数为常数函数，图像是一条与y轴垂直的直线。

问题提出：

①从集合的角度看，直线可以看成什么？

②在平面直角坐标系中，点的代数形式是什么？

③一次函数的图像是怎么描绘出来的？

④一次函数的解析式可以看成什么？

⑤在平面直角坐标系中，直线的代数形式是什么？

⑥从直线的代数形式上看，确定直线的因素是什么？

⑦这些因素的几何意义你知道吗？是什么？

⑧在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何因素是什么？

⑨从对上面问题的解答中，你能抽象出与直线有着直接关系的数学概念吗？分别有哪些？你能对它们进行叙述或定义吗？

⑩在平面直角坐标系中，所有直线都可以写成一次函数的解析式吗？

问题解答：①可以看成点的集合。

②有序实数对，用（x，y）表示。

③用列表描点法，即从解析式中取出一组组有序实数对，变成一个个点，再描绘到平面直角坐标系中。

④可以看成一个二元一次方程。

⑤一次函数的解析式，即一个二元一次方程。

⑥是一次项系数k和常数项b。

⑦因素k的几何意义是决定直线上升或下降的幅度，即直线的倾斜角或斜率，因素b的几何意义是直线与y轴交点的纵坐标。

⑧是直线上升或下降的幅度和直线上的一个点。

⑨可以，它们应该是直线上的一个点和直线的倾斜角或斜率。这些概念在上一节课上已经讲过。

⑩不是，垂直于x轴的直线就不行。

通过对若干问题的提出和解答，再给出一些具体的直线让学生去体会，学生一定能够较好的认识直线的方程。

方案三：西安市计划近几年里要建造两条地铁线，一条是东西走向，称为地铁一号线，一条是南北走向，称为地铁二号线。

地铁二号线正在建造当中，线路呈直线状，经过钟楼和南门，请问，这条线路经过小寨十字吗？请从数学的角度考虑，是怎样测算出来的？

答：建立平面直角坐标系，如果能找到线路上所有点的代数表示形式，即直线的代数表示形式，然后把小寨十字对应点的坐标代入这个“代数表示形式”中去检验就行了，如果适合，就说明地铁线路经过小寨十字；如果不适合，说明地铁线路不经过小寨十字。

那么，这个“代数表示形式”是什么呢？这就是我们今天要学习的内容。

2．直线方程的点斜式：

在平面直角坐标系中，直线l 经过点

),

(00y x P ，斜率为k ，点),(y x Q 是直线l 不同

于点1p 的任一点，

分析：由于P ，Q 都在直线l 上，从而用P ，Q 的坐标来表示直线l 的斜率，则由斜率公式可得：

00

x x y y k --= 整理得：)(00x x k y y -=-

即直线l 由直线的几何特征，这个方程是由直线上的一点和斜率（一个方向）所确定的，称为直线方程的点斜式.

在推导直线方程的点斜式时，教师可帮助启发学生作如下分

析：

建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的，其斜率都等于k 。

提问：

（1）上述变形过程中是否是恒等变形，也就是说该方程是否表是了这条直线上的所有点，而直线上所有点也是否在该直线上，如果不是的话，丢失或添加了那些元素？

（2）直线方程的点斜式可以把所有直线都表示出来？有遗漏的吗？（在“斜”上加重语气，唤醒思考，不满足于一时的成功）

解答：（1）由题意易得，满足方程的点都在直线上，而得出方程00

x x y y k --=后，要把它变成方程)(00x x k y y -=-.因为前后并不

是等价变形，而前者表示的直线上缺少一个点0P ，变形后得到的

后者恰好将是成为整条直线的方程。

（2）如果一条直线的斜率不存在，是不可能用点斜式表示出来的。但这个问题反而更容易求解，反倒应特别注意的是不要遗漏此种情况。

当直线的斜率k 不存在时，无法用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.

值得注意的是，当直线斜率0=k 时，虽然也能用点斜式，但由于斜率的特殊性，该直线方程可直接写为1y y =；

评注：点斜式方程推导对学生来说是容易接受的，因此，本