专题：数列通项公式[学生版]
高考专题：数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一、等差或等比数列利用基本量如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得1a ，d （或q ），从而直接写出通项公式。
例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n(C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知3333()()48312a d a a d a -⋅⋅+=⎧⎨=⎩，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。
二、累加（乘）法对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例3. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。
解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ，又31=a所以 n a =32)1(+-n n 练习1. 已知数列{}n a 满足211=a ，121n n a a n n+=++，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例4: 在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。
解析：由已知n n n a a 21=+，112--=n n n a a ，2212---=n n n a a ，…，212=a a，又11=a ， 所以n a =1-n n a a ⋅⋅--21n n a a (1)2a a 1a ⋅=⋅-12n ⋅-22n …12⋅⋅=2)1(2-n n 练习2: 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
练习3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
三、构造法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例5: 已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。
解：∵121+=+n n a a ∴)1(211+=++n n a a 令1+=n n a b则辅助数列}{n b 是公比为2的等比数列∴11-=n n q b b 即n n n q a a 2)1(111=+=+- ∴12-=n n a 变式: 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q，得：qq a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中nn n q a b =），得：qb q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
例6:已知数列{}n a 中，11a =,1132n n n a a ++=+，求n a 。
变式:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 倒数法 )()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。
例7:已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。
解：∵11+=+n n n a a a ∴ 11111+=+=+n n n n a a a a ， 设nn a b 1=，则11+=+n n b b故｛n b ｝是以1111==a b 为首项，1为公差的等差数列 ∴n n b n =-+=)1(1 ∴nb a n n 11==例8：若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． 变式:1.若数列的递推公式为11113,2()n na n a a +==-∈ ，则求这个数列的通项公式。
2、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。
3、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。
四、公式法类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例9：（1）已知数列{an}的前n 项和S n =n 2-9n ，则其通项an= ；若它的第k 项满足5<a k <8，则k=【解析】{an}等差,易得210n a n =-,解不等式52108k <-<,可得8k =（2）已知数列{}n a 前n 项和23n n S a n =-.（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式. 例10：在数列{}n a 中，1a +22a +33a +…+n na =)2)(1(++n n n ，求n a 。
解析：令n S =1a +22a +33a +…+n na =)2)(1(++n n n ， 则1-n S =1a +22a +33a +…+1)1(--n a n =)1()1(+-n n n ， 则n S －1-n S =n na =)2)(1(++n n n －)1()1(+-n n n ， ∴ n a =)2)(1(++n n －)1)(1(+-n n =33+n 例11. 设数列{}n a 的前n 项和n S =2214---n n a ，求n a 。
解析：由n S =2214---n n a ，得1+n S =11214-+--n n a ，∴ 1+n a =1+n S －n S =n a －1+n a +（--221n 121-n ）∴ 1+n a =n a 21+n 21，两边同乘以12+n ，得12+n 1+n a =n 2n a +2， ∴ {}n n a 2是首项为1公差为2的等差数列，∴ n 2n a =2+2)1(⋅-n =n 2，∴ n a =12-n n五、对数法 类型7 rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。
例12：已知数列｛n a ｝中，2111,n n a a b a +==⋅(0)b >，求数列{}.的通项公式n a 六、递推公式型 类型8 n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s例13:（同08广东）在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a 。
解析：在n n n a a a 313212+=++两边减去1+n a ，得)(31112n n n n a a a a --=-+++∴ {}nn a a -+1是以112=-a a 为首项，以31-为公比的等比数列，∴11)31(-+-=-n n n a a ，由累加法得n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+⋅⋅⋅+-+----=+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=311)31(11+---n =1])31(1[431+---n =1)31(4347---n 七、归纳、猜想例14：在数列｛n a ｝中，1,2211+-==+na a a a n n ，则n a 的表达式为 。
分析：因为1,2211+-==+na a a a n n ，所以得：5,4,3432===a a a ，猜想：1+=n a n 。
点评：对难以用上各法求通项的数列，常先由递推公式算出前几项，找到规律，归纳、猜想出通项公式。
类型9 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例16. 在数列}{n a 中，.19981221,,5,1a a a a a a n n n 求-===++解：由条件,)(11123n n n n n n n a a a a a a a -=--=-=+++++ 即,,363n n n n n a a a a a =-=∴-=+++即每间隔6项循环一次.1998=6×333， ∴.461998-==a a例17：已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23。
高二数学数列公式(201911新)
题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数 列;d=0是常数列． 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
；蜘蛛云控 云东家云控 云通天下云控 云控 爆粉
；
机械可靠性基础（2学时） 掌握怠速控制阀的结构原理；结合Auto
求数列通项公式方法(学生版)
求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ， 求n a ；2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；4.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =，求数列}{n a 的通项公式5.已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；6.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且， （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；7.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n nn n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；8.已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；9.数列已知数列{}n a 满足111,41(1).2n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例：1.已知数列{}n a 满足141,21211-+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
专题11 数列求通项问题(学生版)
（2）若 Cn
Sn n
3
,
n为奇数
，设数列
Cn
的前 n 项和为 Tn ，求 T2n .
2n1, n为偶数
【六】构造法求通项
1.型如 an＋1＝pan＋q(其中 p，q 为常数，且 pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设将递推公式改写为 an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步 由待定系数法，解得 t＝ q ；
1.例题
【例 1】
数列{an} 满足 a1
1
，
2
1 an1 1
1 1 an 1
n N*
，则 a10 （
）
9
A．
10
10
B．
9
10
C．
11
11
D．
10
4
1
【例 2】已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ (n>1)，记 bn＝ ．
an－1
an－2
求证：数列{bn}是等差数列，并求 an ．
p－1
第三步
写出数列 an
pq1 的通项公式；
第四步 写出数列{an}通项公式.
2.an＋1＝pan＋f(n)型
【参考思考思路】确定
设数列
列关系式
1.例题 【例 1】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求 an.
【例 2】已知数列{an}满足 an＋1＝2an＋n，a1＝2，求数列{an}的通项公式. 【例 3】已知数列{an}满足 an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.
专题 11 数列求通项问题 解析版
一、数列求通项常用方法知识框架
二、数列求通项方法
数列通项公式大全
数列{}n a 通项公式专题☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆前言：递推公式就是用等式给出一个数列任意相邻项之间存在的规律，是对数列规律的一种呈现方式。
最简单的是给出任意相邻两项之间的规律，并给出第一项的值；也有给出任意相邻三项之间的规律，并给出第一项和第二项的值。
根据这样的递推公式，我们可以依次求出已知项的后一项，再后一项……，还可以求出数列的通项公式。
递推公式与通项公式的相同之处都是揭示数列存在的规律；不同之处在于前者揭示的是任意相邻项之间的规律，后者揭示的是任一项与项数之间的规律。
（一）整式型 1.累加法 2.累乘法 3.构造法 4.对数法 （二）分式型 1.倒数法 2.函数不动点法 深圳金桥家教网（三）其它类型 1.特征方程法 2.分段数列 3.周期数列 4.数学归纳法 5.迭代法6.含n S 型（公式法）7.逐代法+解方程法☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆（一）整式型1.累加法形如)(1n f a a n n =-+型，若f(n)为n 的函数时，用累加法.1.（2003天津文）已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .4.(2008福建文)已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，且点*1)()n a n N +∈在函数21y x =+的图像上：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,2n an n b b b +==+，求证：221n n n b b b ++⋅< 5．（2007北京文、理)（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．2.累乘法形如)(1n f a a nn =+型，当f(n)为n 的函数时,用累乘法.1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求数列{}n a 的通项公式。
专题7.3---等比数列及其前n项和--学生版
专题7.3等比数列及其前n 项和练基础1．（2021·全国高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（）A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021·山东济南市·）已知S n 是递增的等比数列{a n }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（）A ．116B ．18C ．8D ．163．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（）A ．212-B ．152C ．212D ．6324．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列{}n a 满足12451,8a a a a +=+=，则7a ＝（）A ．643B ．643-C ．323D ．323-5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则21nni a==∑___________.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则1a =_____，n S =_______．9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则3a =________，n S =________．10.（2018·全国高考真题（文））等比数列中，1=1，5=43．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若=63，求．练提升1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭（）A.B. C.33-D.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第i 行第j 个数为12j -(其中i ，*j N ∈，且i j ≥).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列{}n a ，设{}n a 的前n 项和为n S .若1020n S =，则n =（）A ．46B ．47C ．48D ．493．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}10n a +是等比数列C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<4.（2019·浙江高三期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈(Ⅰ)求通项公式n a ；(Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列{}n a ，满足11a =，121n n a a n +=+-，设n n b a n =+，n n c a n λ=+（λ为实数）．（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….122344468858121616记第n 行第m 个数为(),f n m .（Ⅰ）若3n ≥，写出(),1f n ，(),2f n ，(),3f n 的表达式，并归纳出(),f n m 的表达式；（Ⅱ）求第10行所有数的和10S .8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，12nn n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：123456,,,,,,a b a b a b ，求{}n c 的前2n 项和.9．（2019·浙江高考模拟）已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈，（1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3nn na c =，当n c 取得最大值时，求n 的值.10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足112a =，123n n a a ++=，数列{}n b 满足11b =，()211n n nb n b n n +-+=+.（1）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1n n n n c b b a +=-，求使[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤成立([]n c 表示不超过n c 的最大整数)的最大整数n 的值.练真题1．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A．2n–1B．2–21–nC．2–2n –1D．21–n–13.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（）A．16B．8C．4D．24．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.6．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.。
专题二 数列通项公式的求法
例1、求数列3，5，9，17，33，……的通项公式
解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……
∴通项公式为： an 2n 1
可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思 维方法。 注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数 列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4， 8同，的…数…列。（可如归a4纳便成不a同n=）2n或者an=n2-n+2 ，这是两个不
累乘法
an1 pan q
待定系数构造法
取倒数
an与sn的关系
a1
3, an
3an1 3 an1
(n
2)
2. 设an是首项为1的正数项数列,且
(n 1)an12 nan2 an1an 0(n 1, 2, 3, )
求an的通项公式.
由(n 1)an12 nan2 an1an 0 累乘法
∴a2－a1=4×1－2 a3－a2=4×2－2 a4－a3=4×3－2
……
an－an-1=4×(n－1)－2
两边分别相加得：
an－a1=4[1+2+3+……+(n－1)]－2(n-1)
∴ an=2n2－4n+3
小结、已知数列递推公式求通项公式：
an1 an f (n) 累加法
an1 f (n) an
∴an=2n－1
解法 2：∵an＋1＝2an＋3，∴n≥2 时，有 an＝2an－1＋3， ∴an＋1－an＝2(an－an－1)． 令 bn＝an＋1－an，∴bn＝2bn－1， ∴{bn}是公比为 2 的等比数列，首项 b1＝a2－a1＝6， ∴bn＝6×2n-1，
专题18 数列(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题18 数列（解答题压轴题）目录①数列求通项，求和 (1)②数列中的恒成立（能成立）问题 (5)③数列与函数 (8)④数列与概率 (11)①数列求通项，求和②数列中的恒成立（能成立）问题1．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数21,11,32,24,27,5,0,5,6,q a a a a a >==-=．1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)设,n n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；(2)设1,12,1,1n n S a a a =++⋅⋅⋅+，是否存在实数λ，使,1n n a S λ≤恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在曲线220x x y -+=上.(1)证明：数列{}n a 为等差数列；③数列与函数④数列与概率1．（2023·湖南·校联考模拟预测）一部电视连续剧共有1(10)n n +≥集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n 集电视剧随机分配在2n 天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第n 集，设该同学观看第一集后的第X 天观看该集．(1)求X 的分布列；(2)证明：最有可能在第(22)n -天观看最精彩的第n 集．2．（2023春·河北唐山·高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左也会等可能地随机选择球门的左不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲等可能地随机传向另外4．（2023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数抽取一位学生，求他的数学成绩恰在640().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，8．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k = 个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q ．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．。
等比数列通项公式与性质 - 学生版
（新课）专题：等比数列通项公式与性质一．填空题（共38小题）1．（2021•黄浦区校级三模）已知数列{}n a 是公比q 不等于1的正项等比数列，1109a a a ⋅=，则10129log ()a a a a ⋅⋅⋅= ．2．（2021•上海模拟）在等比数列{}n a 中，4732a a π=，则29sin()a a = ．3．（2021•上海模拟）已知数列{}n a ，{}n b 均为正项等比数列，n P ，n Q 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项积，且572n n lnP n lnQ n -=，则33lnalnb 的值为 ．4．（2020春•浦东新区校级期末）设等比数列{a n }的各项均为正数，a 1a 2＝32，a 3a 4＝2，则{a n }的通项公式为a n ＝ ．5．（2020春•杨浦区校级期末）1-和4-的等比中项为 ．6．（2020为数列{}n x 的几何平均数，若{}n a 是等比数列，512a -=，它的前11项的几何平均数为52，若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为42，则被抽去的项是第 项．7．（2020春•静安区期末）在实数1和81之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令*3log ()n n a T n N =∈．则数列{}n a 的通项公式n a = ．8．（2020春•徐汇区校级期末）等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a +++⋯+= ．9．（2020春•宝山区校级期中）已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++= ．10．（2020秋•宝山区校级月考）已知数列{}n a 为等比数列，1(0,1)a ∈，2(1,2)a ∈，3(2,3)a ∈，则4a 的取值范围为 ．11．（202011两数的等比中项是 ．12．（2019春•杨浦区校级期末）已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a =，754a =，则q = ．13．（2019春•浦东新区校级期末）已知等比数列1a ，2a ，3a ，4a 满足1(0,1)a ∈，3(1,2)a ∈，4(2,4)a ∈，则6a 的取值范围为 ．14．（2019春•虹口区校级期末）已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为 ．15．（2018秋•闵行区期末）等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a += ．16．（2018春•浦东新区校级期末）在公差为d 的等差数列}中，有性质：121(1)(*)2n n n a a a a n d n N -++⋯+=+∈，根据上述性质，相应地在公比为q 的等比数列{}n b 中，有性质：17．（2018春•杨浦区校级期末）若在等比数列{}n a 中，129512a a a ⋯=，则5a =18．（2018春•闵行区校级期末）在等比数列{}n a 中，338131024a a a =，则2910a a 的值为 ．19．（2021•浦东新区三模）设函数()cos ([0f x x m x =-∈，3])π的零点为1x 、2x 、3x ，若1x 、2x 、3x 成等比数列，则实数m 的值为 ．20．（2021•徐汇区二模）等比数列{}(*)n a n N ∈中，若2116a =，512a =，则8a = ．21．（2021春•宝山区校级月考）已知等比数列{}n a 中，1010a =，2050a =，则30a =22．（2020秋•黄浦区校级月考）已知数列{}(*)n a n N ∈是递增的正项等比数列，数列{}n b 满足12log n n b a =，若1236b b b ++=-，12310b b b ⋅⋅=，则数列{}n a 的通项公式n a = ．23．（2020秋•浦东新区校级期中）已知公比为q 的等比数列{}n a 满足2432a a a +=，则q = ．24．（2020秋•宝山区校级月考）等比数列{}n a 中，24a =，5108a =，则{}n a 的通项公式为 ．25．（2020春•闵行区校级期末）已知等比数列{}n a 的公比为2q =，则1593711a a a a a a ++=++ ．26．（2020春•徐汇区期末）若数列{}n a 满足12(*)n n a a n N +=∈，且12a =，1024m a =，则m = ．27．（2020春•徐汇区校级期末）在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项．28．（2020•普陀区二模）已知等比数列{}(*)n a n N ∈满足2644(1)a a a =-，则4a = ．29．（2019秋•青浦区期末）我国古代庄周所著的《庄子⋅天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = ．30．（2019秋•闵行区期中）若数列{}n a 为等比数列，且12a =，q ，则13521n a a a a -+++⋯+= ．31．（2019春•徐汇区校级期末）{}n a 为等比数列，若12326a a a ++=，4152a a -=，则n a = ．32．（2019春•宝山区期末）在等比数列{}n a 中，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =33．（2019春•浦东新区校级期末）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则这个正实数是 ．34．（2018•杨浦区二模）若{}n a 为等比数列，0n a >，且2018a ，则2017201912a a +的最小值为 ．35．（2018秋•杨浦区校级月考）在等比数列{}n a 中，已知11a =，公比q R ∈，且1q ≠，12345n a a a a a a =，则n =36．（2018春•嘉定区期末）若数列{}n a 满足12a =，13n n a a +=，*n N ∈，则该数列的通项公式n a = ．37．（2018秋•奉贤区期中）设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，123422a aa a ++的值为 ．38．（2018春•芜湖期末）已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则数列{}n a 的通项公式为 ．二．选择题（共11小题）39．（2020春•闵行区校级期末）已知数列{}n a 是等比数列，则下列数列中：①3{}n a ；②{2}n a ；③1{}2na ，等比数列的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个40．（2020春•徐汇区校级期末）n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中()A ．任一项均不为0B ．必有一项为0C ．至多有一项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为041．（2019春•虹口区校级期末）若{a n }是等比数列，下列结论中不正确的是（ ） A ．一定是等比数列B ．一定是等比数列C ．{a n +a n +1}一定是等比数列D ．{a n a n +3}一定是等比数列42．（2018秋•浦东新区校级期中）已知数列{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则数列：①_{2}a n ；②2{}n a ；③21{}na ；④1{}n n a a +；⑤1{}n n a a ++；等比数列的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．543．（2018春•黄浦区期末）已知等比数列{}n a 的前三项依次为x ，22x +，33x +，814m a =-，则m 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．744．（2018春•杨浦区校级期末）在数列{}n a 中，11a =，264a =，且数列1{}n na a +是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于( )A ．7aB ．8aC ．6a 或9aD ．10a45．（2017秋•嘉定区期末）设a 、b 、c 是三个实数，则“2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件46．（2020•浦东新区三模）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978(a a a a +=+ )A．1B．1C．3+D．3-47．（2019春•合肥期中）已知1-、a 、x 、b 、9-依次成等比数列，则实数x 的值为() A ．3 B ．3- C ．3或3- D ．不确定48．（2018•奉贤区二模）已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120190lga lga +=，若22()1f x x=+，则122019()()()(f a f a f a ++⋯+= ) A ．2018 B ．4036 C ．2019D ．403849．（2017•浦东新区二模）已知等比数列1a ，2a ，3a ，4a 满足1(0,1)a ∈，2(1,2)a ∈，3(2,4)a ∈，则4a 的取值范围是( )A ．(3,8)B ．(2,16)C ．(4,8)D ．三．解答题（共2小题）50．（2021春•金山区校级月考）设等比数列1z ，2z ，3z ，⋯，n z ，其中11z =，2z a bi =+，3(z b ai a =+，b R ∈，0)a >．（1）求a ，b 的值．（2）求使120n z z z ++⋯+=的最小正整数n 的值．（参考数据：31)=51．（2020春•黄浦区校级期中）已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，3()n n S a a R =+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请讨论a 的值说明，数列{}n a 是否为等比数列？若是，请证明，若不是，请说明理由．。
2023届高考一轮复习数列专题 数列求和常用方法(学生版)
数列专题 数列求和常用方法（学生版）一、公式法1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2． 推导方法：倒序相加法．2．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1. 例1已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝0，a 4＝1，则S 4＝( )A ．12B ．1C ．2D ．32、等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．83、(2022·天津模拟)设1＋2＋22＋23＋…＋2n －1>128(n ∈N *)，则n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．94、设数列{a n }(n ∈N *)的各项均为正数，前n 项和为S n ，log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，且a 3＝4，则S 6＝( )A ．128B ．65C ．64D ．635、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．46、已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝18，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，则k 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，23 B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 7、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是( )A ．a n ＝n (n ＋1)2B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为2 0202 021 C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为4 0402 021 D ．数列{a n }的第50项为2 5508、(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有( )A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n9、在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．10、数列{a n }满足：a 1＝1，点(n ，a n ＋a n ＋1)在函数y ＝kx ＋1的图象上，其中k 为常数，且k ≠0．(1)若a 1，a 2，a 4成等比数列，求k 的值；(2)当k ＝3时，求数列{a n }的前2n 项的和S 2n ．11、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；二、分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．例2(2022·北京模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n －n 2，n 为偶数，2a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8＝( )A ．546B ．582C ．510D ．5482、(2022·珠海模拟)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A ．1 009B ．1 010C ．2 019D ．2 0203、若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__ _____．4、(2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .5、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数. (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n ＋a ．(1)求a n ；(2)定义[x ]为取整数x 的个位数，如[1]＝1，[32]＝2，[143]＝3，求[a 1]＋[a 2]＋[a 3]＋…＋[a 100]的值．7、已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.8、(2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25.(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .9、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．10、(2022·青岛模拟)从“①S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n ＋a 12；②S 2＝a 3，a 4＝a 1a 2；③a 1＝2，a 4是a 2，a 8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，________，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝122n n S S ＋－，数列{b n }的前n 项和为W n ，求W n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11、(2022·株洲质检)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3.三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ．例3(2022·南京质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．跟踪练习1、(2022·北京模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为9，则n的值为( )A ．576B ．99C ．624D ．625 2、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的前n 项和为B n ，则下列结论正确的是( ) A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋143、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝____ ____. 4、已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n －1)(2n ＋1)的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式12T n <a 2－a 恒成立，则实数a 的取值范围是__ __．5、(2022·本溪模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ，n ∈N *，a 1＝1．(1)在下列三个结论中选择一个进行证明，并求{a n }的通项公式； ①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； ②数列{}a n ＋1－2a n 是等比数列；③数列{}S n ＋1－2S n 是等比数列．(2)记b n ＝S n ＋2S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分．7、给出以下三个条件：①4a 3,3a 4,2a 5成等差数列；②∀n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝2x －a 的图象上，其中a 为常数；③S 3＝7．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{a n }是一个公比为q (q >0，且q ≠1)的等比数列，且它的首项a 1＝1，________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2log 2a n ＋1(n ∈N *)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <12． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．8、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .9、设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.10、已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .11、(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .12、已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足a 1＝b 1＝c 1＝1，c n ＝a n ＋1－a n ，c n ＋1＝b n b n ＋2c n，n ∈N *. (1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若{b n }为等差数列，公差d >0，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1＋1d，n ∈N *.13、已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.14、若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，S 2＝4. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .四、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．例4(2022·江门模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．跟踪练习1、(2022·广东模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n，求数列{b n }的前n 项和S n ．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3、(2022·湖南模拟)某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清(即下题中“已知”后面的内容看不清)，但在(1)的后面保留了一个“答案：S 1，S 3，S 2成等差数列”的记录，具体如下：记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知_____________．①判断S 1，S 2，S 3的关系；(答案：S 1，S 3，S 2成等差数列)②若a 1－a 3＝3，记b n ＝n 12|a n |，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <43． (1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列{a n }的首项a 1的值或公比q 的值(只补充其中一个值)，并说明你的理由；(2)利用(1)补充的条件，完成②的证明过程．4设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．6、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .7、(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .8、(2022·重庆调研)在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若________，求数列{b n}的前n项和S n，在①b n＝4a n a n＋1，②b n ＝(－1)n·a n，③b n＝2n ana 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．9、(2022·沈阳模拟)已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＋1＝2S n＋n＋1，a2＝2.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若b n＝a n·2n，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n>2 022的最小的正整数n的值．。
高考数学冲刺专题复习之——求数列通项公式(学生版)
高考数学（文）冲刺复习之——求数列的通项公式一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法.这种方法适用于已知数列类型的题目，此题目是必须掌握的基本运算，一般有“知二求一”的方程思想.例题 等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.训练【2017新课标1文】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．二、利用n S 和n a 的关系求{}n a 的通项公式解法：巧用1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，.使用是根据具体条件和结论，正用、逆用或同时使用，对等式退（进）一步作差. 1、形如f(S n ,n)=0型可利用公式：⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 直接求出通项n a ；（讨论1a 能否被吸收） 例题1 已知数列{a n }的前n 项和为（1）S n =2n 2-n ；（2）S n =n 2+n+1，分别求数列{a n }的通项公式；例题2 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1), 1.n n n S a n =+-≥求数列{}n a 的通项公式；变式1 数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n a S n n 32-=（n ∈N +），求数列}{n a 的通项公式n α；变式2 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．（１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列；变式3 若前n 项和为S n 且满足a n =)2(1222≥-n S S n n ,且a 1=1，求数列的通项公式；2、形如f(S n ,S n+1)=0型方法（i ）.看成{S n }的递推公式，求S n 的通项公式，再由n S 求出n α.（ii ）.（逆用）利用a n =S n -S n-1转化成关于a n 和a n-1的关系式再求。