第三章 坐标变换与二次曲线的分类.
二次曲线的类型.ppt
x2 y2 a2 b2 0,
(6) 抛物线: y2 2 px 0,
(7) 一对平行直线: y2 a2 0,
(8) 一对虚平行直线: y2 a2 0,
(9) 一对重合直线: y 2 0.
1( x
a14
1
)2
2(
y
a24
2
)2
3(z
a34
3
)2
a124
1
a224
2
a324
3
a44
0
令常数项为 a4' 4 , 得:
1 x2 2 y2 3 z2 a4' 4 0
(1) 123a4' 4 0
(2.7)
1°1, 2 , 3, 同号 ,则同于形式
A E 0
的根,它们全为实数.因此:
1
T
T
AT
2
.
3
对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角坐
标变换，保持原点不动，从旧坐标系 1 {O;e1,e2,e3}
到新坐标系 2 {O;1 e1,e2,e3} 的过渡矩阵为T,即:
T,
(2.9) 椭圆抛物面 双曲抛物面
(2) a34 0, a4' 4 0, 则(2.8)变为:
1 x2 2 y2 a4'4 0.
(2.10)
9° 1 , 2 同号但与 a4' 4 异号 ,则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
10°1 , 2 , a4' 4 同号,则同于形式:
第三章第一节 仿射坐标变换的一般理论
点的变换公式为：
x 2 1 0 x 1 y 0 1 1 y 2 z 1 0 1 z 0
x 2 x y 1 y y z 2 z x z
e3
e3
ye2 ze3 OM xe1 x (c11e1 c21e2 c31e3 ) y(c12e1 c22e2 c31e3 ) z(c13e1 c23e2 c33e3 ) (c11 x c12 y c13 z )e1 (c21 x c22 y c23 z)e2 (c31 x c32 y c33 z)e3
1.2 图形的坐标变换公式 将空间点的坐标变换公式： x d1 c11 c12 c13 x y d c c c y 21 22 23 2 z d c 3 31 c32 c33 z
于是 I 到 I 的过渡矩阵为 (Cd1 , Cd 2 , Cd 3 ) C (d1 , d 2 , d 3 ) CD 推论： 若I 到I 的过渡矩阵为C ，则 I 到I 1 的过渡矩阵为C 例3. 已知仿射坐标系 I 的三个坐标平面在 仿射坐标系 I 的方程为 yOz面：3 x 2 y 2 z 1 0 xOz面：2 x y - z - 2 0 xOy面：x - 2 y z 2 0 且 I 的原点O 在I 中的坐标为 (1, 4, 2) ， 求I 到 I 的坐标变换公式.
x x 2 y I到II的向量的变换公式: y 2 x y 在I坐标 [ A; e1 , e2 ]下: F E A(0,0), B(1,0), F (0,1), D(2,2) e 2 e2 AC 2 AB AF 2e1 e2 A D e1 C (2, 1) e1 C B E (1, 2) 同理 E 点坐标为： 1 x （x 2 y 2） 3 II到I的点的坐标变换公式: x x 2 y 2 y 1 ( 2 x y 2) 3 y 2 x y 2
《解析几何》向量的线性运算
则称 与 相等, 记作 ＝ . 平行向量: 若向量 与 方向相同或相反, 则称
与 平行, 记作 ∥ .
规定: 零向量与任何向量平行 .
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1.1 向量的概念
反向量: 与 的长度相同, 但方向相反的向量 称为 的反向量, 记作－ .
§1 向量的线性运算 §2 仿射坐标系 §3 向量的内积 §4 向量的外积 §5 向量的多重乘积
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§1 向量的线性运算
1.1 向量的概念 1.2 向量的线性运算 1.3 向量的分解 1.4 在三点共线问题上的应用
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1.1 向量的概念
现实中：温度、时间、身高、体重等量 只有大小，称为数量 (或标量) ;
几何变换法: 通过讨论几何图形在各类几何变换 中性质的变化规律, 由此解决相应 的几何问题.
常见的几何变换: 保距变换, 仿射变换, 射影变换
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课程简介
解析几何的主要创始人 1. 费马 (Fermat Pierre de, 1601-1665, 法国人)
出身商人家庭, 学法律并以律师为职业, 数学只是他 的业余爱好, 尽管如此, 他对数论和微积分作出了第一 流的贡献, 并同帕斯卡(Pascal Blaise) 一起开创了概率 论的研究工作, 他与笛卡儿都是坐标几何的发明者.
的点的坐标所满足的数量关系---来表示,
于是几何问题就可转化为代数问题, 从而
代数方法被引入到几何学的研究中来.
简言之: 坐标法就是建立从几何学对象到某种
数量形式的对应关系, 由此利用代数
方法解决几何问题.
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解析几何中的二次曲线分类
解析几何中的二次曲线分类解析几何是数学中的一个重要分支，它旨在研究图形形状、大小、位置等性质，以及这些性质之间的相互联系。
在解析几何中，二次曲线是一类特殊的几何图形，由于其广泛的应用，在解析几何的研究中占有重要的地位。
本文将介绍二次曲线的分类及其特点。
一、二次曲线的基本概念首先，我们需要澄清二次曲线的定义。
在平面直角坐标系中，我们可以表示一个点的坐标为$(x,y)$。
如果一个点$(x,y)$在坐标系中满足一个由$x$和$y$的二次多项式方程表示的条件，那么这个点就在这个方程所描述的二次曲线上。
二次多项式方程一般的形式为：$$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$$其中，$A,B,C,D,E,F$为实数，$A$和$B$不能同时为零。
二次曲线的几何形状取决于二次项和常数项的系数。
二、椭圆如果$AC-B^2>0$，那么二次曲线就是椭圆。
这里，$A>0$和$B>0$。
椭圆的特点是，它的任何一条直径都可以被看作是它的两个焦点之间的连线。
此外，椭圆还有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之和是一个定值，叫做椭圆的长轴长度。
三、双曲线如果$AC-B^2<0$，那么二次曲线就是双曲线。
在这种情况下，我们可以定义一个新的变量$y'=\frac{y}{x}$，这样就可以将原方程化为标准式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$a$和$b$都是正实数。
双曲线取决于$a$和$b$的大小关系。
如果$a>b$，我们称之为正双曲线；如果$b>a$，我们称之为负双曲线。
无论哪一种情况，双曲线都有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之差是一个定值，叫做双曲线的焦距。
四、抛物线如果$AC-B^2=0$，且$A$和$B$不同时为零，那么二次曲线就是抛物线。
在这种情况下，我们可以将原方程变形为标准式：$$y=ax^2+bx+c$$其中，$a$和$b$都是实数。
坐标变换与二次曲线的分类
第三章 坐标变换与二次曲线的分类本章教学目的：通过本章的学习，掌握仿射坐标变换的一般理论，理解和掌握二次曲线的类型，掌握用方程的系数判别二次曲线的类型,不变量，掌握圆锥曲线的仿射特征组, 度量特征。
本章教学重点：(1) 平面的仿射变换与保距变换, (2) 仿射变换基本定理本章教学难点：(1) 用坐标法研究仿射变换 (2) 图形的仿射分类与仿射性质本章教学内容：第一节 仿射坐标变换的一般理论一 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式1 向量的坐标变换公式在空间中取定两个仿射坐标系，它们的标架分别为231,,,I O e e e ⎡⎤⎣⎦和'''''123,,,I O e e e ⎡⎤⎣⎦。
设向量α在I 和'I 中的坐标(),,x y z 和()''',,x y z 。
又设'1e ,'2e ,'3e 在I 中的坐标依次为()112131,,c c c ，()122232,,c c c ，()132333,,c c c ，即 '1111212313'2121222323'3131232333e c e c e c e e c e c e c e e c e c e c e⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩， 于是由坐标的定义得到α在I 中的坐标为'''111213'''212223'''313233x c x c y c z y c x c y c z z c x c y c z ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩， ()3.1用矩阵写出为'111213'212223'313233x c c c x y c c c y z c c c z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()3.1a 称 ()3.1和()3.1a 为向量的坐标变换公式, ()3.1a 中的矩阵111213212223313233c c c C c c c c c c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为从坐标系I 到'I 的过渡矩阵。
二次曲线方程的化简与分类
(x0 cos y0 (x0 sin
sin )
y0 cos
)
（5.6-4）
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原
点的坐标 (x0, y0 ) 与坐标轴的旋转角 决定的。
确定坐标变换公式，除了上
面的这种情况外，还可以有
其它的方法。
y
M x/ y/
例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标
tg Y a12 a11 , X a22 a12
(aa1211X()aX22a12)YY
0, 0.
ctg 2
1 tg 2 2tg
1 (
2
a12 )2 a22 a12
a22
1 ( a12 )( a11 )
a22 a12
2a12
a11 a22 2a12
a22
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二 次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二 次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。
例 1 已知两垂直的直线 l1: 2x y 3 0 与
l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求
坐标变换公式。
解 设 M (x, y) 的新坐标为 (x, y)，那么有
x x 2 y 2 , y 2x y 3 ,
5
5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而
与一次项系数及常数项无关。
2o 一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13, a23 得
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
§5.6 二次曲线方程的化简与分类一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到 x"2＋y"＝0, 即 x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5-6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线： a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。
二次曲线的方程化简与分类
x y
A2 x A1x
B2 y C2 z
A22 B22 B1 y C1z
A2 A22 B22
cos ，
A12B2B12 A22 B22
sin ，
（﹡）
A1 A12 B12
sin ，
B1 A12 B12
cos
．
（*）的符号选取要使得第一式右端 x 的系数与第二式
与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程 中一次项消失.
张 之 正 解析几何
6
Mathematical Scien20c2e1/C8o/2l9lege
2．二次曲线方程的化简与分类
2. 转轴：
数学科学学院
x xcos ysin
y
x sin
y
cos
转轴变换规律：
1°二次项系数一般要改变．
定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
[1] x2 y2 1 (椭 圆) a2 b2
张 之 正 解析几何
12
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2．二次曲线方程的化简与分类
数学科学学院
[2]
x2 a2
y2 b2
1 (虚 椭 圆)
a12 0 ．为此，取 ，使得
a12 a22 a11sin cos a12 cos2 sin2 0 ，
即 a22 a11 sin 2 2a12 cos 2 0 ，
cot 2 a11 a22
∴
2a12
张 之 正 解析几何
8
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§5.6 二次曲线的方程化简与分类
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解 考虑三个平面
1 : 2x+y+z=0, 2 : x-y-z=0,
x y
x0 y0
或
(1.2)
x
y
x0
y0
a11 a21
a12 a22
x
y
(1.2 )
(1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式。
设向量
a在
1下的坐标为(u,v)，在
2下的坐标
为
(ua, v(uu)e，a1 11则vev2a12u)e(1a11(eu1 a2a121ev2 )a22v)e(2a12eu1 e1
形式上可写成
(e1
e2
)
(e1
e2
)
a11 a21
a12 a22
,
矩阵A
a11 a21
a12
a22
称为从坐标系 1
到坐标系 2
的过渡矩阵 .
注: 1 和 2为同定向的直角坐标系的充要
条
cos -sin
件是 Aco为s正交sin矩 阵 且|A|=1，此时 A sin
cos
aij
其中矩阵A=( 1)称为2从
1
到
2的过渡矩x,阵y,，z 且, x是' ,可y'逆, z的' 。
设 1点M在 和 x下0 , 的y0 坐, z0标分别为a 1 2
,
O’在(a1下, a的2 , a坐3 )标, (a为1 , a2 , a3 ), ，向量 在 和 下的坐标分
别为
过移轴和转轴得到。
仿
设
1
{O;e1
1
,
e2
,ee3i},
2
{O;e1,e2 ,e3 } 是空间的两个 (a1i , a2i , a3i )
射坐标系，在 下， 的坐标为
那么形式上(e有1 ,
e2
,
e3
)
(e1
,
e2
,
e3
a11 )a21
a12 a22
a(1i3=1,2,3）,
a23
a31 a32 a33
第三章 坐标变换与二次曲线的分类
•１ •２ •３ •４ •５
仿射坐标变换的一般理论 二次曲线的类型 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量 圆锥曲线的仿射特征 圆锥曲线的度量特征
§ 1.仿射坐标变换的一般理论
标{之O间;e的1 ,平关e2面系}.上.设我给O们了研在两究个同1下仿一的射个坐坐点标标(为向系量(x10),在y{0O),1;e和e11,,ee222下},的在2坐
e e1 1). 下面取
1
的1
坐标 4 , 3
5 5
；同样可得 e2 的
1
坐标为
3 5
,
4 5
;.因此从
1
到 2的点的坐标变换公
式为
4
x
y
5 3
-
3 5 4
x y
1 1
.
5 5
l1 : 2x y 3 0 在新坐标系中的方程为
2( 4 x 3 y 1) ( 3 x 4 y 1) 3 0 ,
55
55
即 x 2 y 4 0 .
从 2 到1 的点的坐标变换公式为
4
x
y
5 3 5
3
5
4
x - 1
y
-
1
.
5
l2 : x 2 y 1 0在 原坐标系中的方程为
4 5
(
x
1)
3 5
(
y
1)
2
3 5
(
x
1)
4 5
(
y
1)
1
0
,
即 2x-11y+14=0.
例2 在右手直角坐标系中，判断曲面 S: (2x y z)2 ( x y z)2 y z 是什么曲面.
a22e2 )
ve2
因此u v
a11u a12u
a21v a22v
(1.3 )
将它写成矩阵形式
u
v
a11 a21
a12 u
a22
v
(1.3)
(1.3)或 1.3'称为平面向量的仿射坐标变换公式。
1 和 2 的坐标向量之间的关系为
ee12
a11e1 a12e1
a21e2 a22e2
程；2 直解{O线';le2设1:, e原x2}'坐.解标2 方系y' 程为 131x0{O在4;原ey1,坐e21标},系新0中坐的标方系程为。 4x 3 y 7 0
得x=1,y=1.因此 O'在 1 中的坐标为（1，1）。
因为 x ' 轴的标准方程为：
x-1 y-1 43
所以 x '轴的方向数为4∶3，于是e1 的 1 坐标为：
)
y(a12e1
a22e2 )
x0
a11
x'
a12
y'
e1 ( y0 a21 x a22 y)e2
xe1 ye2
e1
M
e2
o
o
e2
e1
图4.1
所以 x a11 x a12 y x0
y
a21 x
a22
y
y0
将(1.1)写成矩阵形式
(1.1)
x y
a11 a21
a12 a22
那么使用平面的坐标变换公式
的推导方法可以得到
x x x0 y 源自A yy0,
z
z z0
(1.6)
a1
a1
a2
Aa2
,
a3
a3
(1.7)
公式（1.6）称为从 1 和 2 的空间点的仿 射坐标 变换公式，公式(1.7)称为从 1 到 2 的空间向量的仿
射坐标变换公式。
如果 1 ， 2 都是直角坐标系，则可以证明A是正交
矩
1 2
1
阵。2 进一步，如果 ， 是同定向的，那么|A|=1;如果 与
是反定向的，那么|A|=－1。
例1 在平面上，设x' 轴， y' 轴在原坐标系中的
方 程分别为
3x-4y+1=0, 4x+3y-7=0, 且新、旧坐标系都是右手直角坐标系。求 1 到 2 的点 的坐标变换公式；直线l1:2x-y+3=0在新坐标系中的方
或 sin
cos
;
1与 2
为反定向的直角坐标
系的充c要os条 件s是inA为正交矩阵co且s|A-|s=i－n1，此时
A= sin
-
cos
或
- sin
-
cos
其中，0≤θ<2π。
到
e1'
设 1 和 2 均为右手直角坐标系
的转角(逆时针方向)为θ,则
,O
'(
x0 ,
y0
),
e1
x cos
y
sin
- sin cos
x y
x0 y0
.
若θ=0，则
x
y
1 0
0 1
x y
x0
y0
x
y
x0
y0
,
(1.4)
（1.4）就是移轴公式。
若O与 O' 重合，则
x y
cos sin
- sin
cos
x y
(1.5)
（1.5）就是转角为θ的转轴公式。
平面上的任一右手直角坐标变换都可以经
1 下的坐标分别是
的坐标分别为( x, y)
(a11, a21 ), (a12
和( x, y).
,
a22
),
点M在
1
和
e1
2
下
如图4.1,因为
M
e2
o
o
e2
e1
图4.1
OM OO' O'M
(x0e1 y0 e2 ) x0e1 y0e2
x((xa1' e1e1' 1ya'2e12'e)2