福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题 理
福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题 理
一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.
1.已知集合2
{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N = A.{- 1,0,1}
B. {0,1}
C. {0,1,2}
D. {-2,- 1,0,1}
2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31i
i
+-互为共轭复数,则x +y = A.0
B.3
C.-1
D.4
3.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格:
则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是 A.1.4,1.4
B.1.4,1.5
C.1.4,1.6
D.1.62,1.6
4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-，则6S = A.-14
B.-12
C.-17
D.12
5. (x +3)(x - 2)5
的展开式中，4
x 的系数为 A.10
B.38
C.70
D.240
6.已知函数()()
()0.303
0.341(),2,0.2,log 22
x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b
7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称。
在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的x =5，y =2，则输出的n 值为
A.4
B.5
C.6
D.7
8.若x ∈[0,1]时，|2|0x
e x a --≥，则a 的取值范围为 A. [2ln2 - 2,1]
.[2,2]B e e --
C.[2-e,1]
D.[-1,1]
9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3
f x f π
≤,则下列结论错误的是
.3A a b =
.()012
B f π
=
2.()()515
C f f ππ-=-
42.()()155
D f f ππ
-
=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *
)是正整数n 的最佳分解时，定义函数f(n) =q-p,则数列*
{(5)})(n
f n N ∈的前2020项的和为
A. 1010
51+
100051
.4
B -
101051.2
C -
1010.51D -
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
不选或选出的选项中含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，选出全部正确选项的得5分。
11.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 是1DD 的中点,则
A.直线1//B C 平面1A BD 11.B B C BD ⊥
C.三棱锥11C B C -E 的体积为
13
D.异面直线1B C 与BD 所成的角为60°
12.若双曲线2
2
:1(0C mx ny mn +=<))绕其对称中心旋转3
π
可得某一函数的图象,则C 的离心率可以是
23
.
A
4.3
B
.3C
D.2
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.将答案填在答题卡的相应位置. 13.已知向量a = (1,1),b = (-1,k),a ⊥b ,则|a +b | =____ 14.在数列{}n a 中122,1,3,n n a a a a +===1 ,则20192020a a +=____
15. 设F 是抛物线2
:3E y x =的焦点,点A 在E 上,光线AF 经x 轴反射后交E 于点B,则点F 的坐标为_____，|AF| +4|BF|的最小值为_____(本题第一空2分,第二空3分.)
16.直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形1,2 3.AA =点M 是侧面
11BCC B 内的动点(不含边界),,AM MC ⊥则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围为_____
四、解答题:共70分o 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
第17 ~ 21题为必考题,每道试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分。
17. (12分)
在平面四边形ABCD 中，,2,2
3
ABC DAC ACB ADC π
π
∠=∠=∠∠=
(1)若,36
ACB Bc π
∠=
=，求BD;
(2)若3,DC AB =,求cos .ACB ∠
18. (12分)
如图1,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E为CD的中点，以BE为折痕将△BCE折起到△PBE 的位置，使得平面PBE⊥平面ABED,如图2.
(1)证明:平面PAB⊥平面PBE;
(2)求二面角B-PA-E的余弦值.
19. (12分)
已知F(1,0)是椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的焦点,点
3
(1,)
2
P在C上.
(1)求C的方程;
(2)斜率为1
2
的直线l与C交于
1122
(,),(,
A x y
B x y)两点,当
1222
340
x x y y
+=时，求直线l被圆
224
x y
+=截得的弦长.
20.(12分)
冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便。
石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜。
从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶。
现在有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B材料。
上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图。
（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？
A材料B材料合计
成功
不成功
合计
;③表
面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为1
.
2
第三个环节生产合格的概率为
2
,
3
且各生产环节相互独立.
已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元,若生产不合格还需进行修复第三个环节的修复费用为3000元,其余环节修复费用均为1000元如何定价才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标?
附:
2
2
()
,() ()()()()
n ad bc
k n a b c d
a b c d a c b d
-
==+++ +++++
.
21. (12分)
已知函数f 2
()sin 2.x
x e x ax =+-- (1)当a =0时,求f(x)的单调区间;
(2)若x=0为f(x)的极小值点,求a 的取值范围.
(二)选考题;共10分。
请考生在第22-23题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选的题号.如果多做,则按所做的第一题计分.
22. [选修4- -4:坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为,
4x t y =⎧⎪⎨
=⎪⎩t 为参数),圆C 的方程
22(1) 1.x y +-=以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l 和C 的极坐标方程;
(2)过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A,与C 交于另一点B.若5,6
12
π
π
α≤≤
求
||||OB OA 的取值范围.
23. [选修4- -5:不等式选讲](10分) 记函数1
()|||212
f x x x =++-|的最小值为m. (1)求m 的值;
(2)若正数a,b,c 满足abc = m,证明:9
.ab bc ca a b c
++≥
++。
2020届福建省泉州市2017级高三第一次质量检测数学(理)试卷及答案
2020届福建省泉州市2017级高三第一次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★一、单项选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N =A.{- 1,0,1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {-2,- 1,0,1}2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31i i +-互为共轭复数,则x +y = A.0 B.3 C.-1 D.43.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用,汇总得到如下表格:则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是A.1.4,1.4B.1.4,1.5C.1.4,1.6D.1.62,1.64.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-,则6S =A.-14B.-12C.-17D.125. (x +3)(x - 2)5的展开式中,4x 的系数为A.10B.38C.70D.2406.已知函数()()()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b7.松、竹、梅经冬不衰,因此有“岁寒三友”之称。
在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载,宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹,恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题,设计下面的程序框图,若输入的x =5,y =2,则输出的n 值为A.4B.5C.6D.78.若x ∈[0,1]时,|2|0x e x a --≥,则a 的取值范围为A. [2ln2 - 2,1] .[2,2]B e e -- C.[2-e,1] D.[-1,1]9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3f x f π≤,则下列结论错误的是.3A a b =.()012B f π= 2.()()515C f f ππ-=- 42.()()155D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时,定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(n f n N ∈的前2020项的和为A. 101051+ 100051.4B - 101051.2C - 1010.51D -。
2020届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题(解析版)
2．若复数 满足
,则
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计
算公式求解．
【详解】
由（z+1）i＝1+i，得 z+1
，
∴z＝﹣i，则|z|＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．经统计,某市高三学生期末数学成绩
则
，解得 n
，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C
，
令 f（k）
（k
），则 f′（k）
，
令 f′（k）＝0 可得 k
或 k （舍），
∴当 k
时，f′（k）＞0，当
k
时，f′（k）＜0，
∴当 k
时，f（k）取得最大值 f（ ）
．
故选：D．
【点睛】 本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方 法，属于较难题．
2020 届福建省高三毕业班 3 月质量检测考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
【答案】C
【解析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
= D．
，
；
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 故选：C． 【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．
14．若 【答案】60
展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是______.
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x
【数学】福建省泉州市2020届高三上学期单科质量检查 数学(理)试题(PDF版)
9
4．已知 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不重合的平面．给出下列四个命题： ①若 ， m ，则 m ；②若 m n ， n ，则 m ； ③若 ， m ，则 m ；④若 m ， m ，则 ．
其中为真命题的编号是
A．①②④
B．①③
C．①④
【解析】①中，若 ，则 内任一直线与 平行，①为真命题．
ln π
11．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : kx y 4k 0 与曲线 y 9 x2 交于 A, B 两点，且 AOAB 2 ，
则k
A． 3 3
B． 2 2
C．1
D． 3
【解析】直线 kx y 4k 0 ，即 k(x 4) y 0 ，所以直线 l 过定点 P(4,0) ，过圆心 O 作 OM l 于
3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案
使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
相等，不妨取渐近线为 y b x ，即 bx ay 0 ，点 F (c,0) 到渐近线的距离 d b (c) 0 bc b ，
a
a2 b2 c
所以 b 3 ，所以 C 的方程为 x2 y2 1，故选 C． 49
7．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为
A． 1010
B． 1009
21 4
；所以
4≤R2≤
21 4
，由球
O
的表面积
2020年福建省泉州市高考数学一模试卷(理科)
2020年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{0M =，1，2}，2{|20}N x Z x x =∈+-…，则(M N =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）已知x ，y R ∈，若x yi +与31ii+-互为共轭复数，则(x y += ) A ．0B ．3C ．1-D ．43．（5分）某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是( ) A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.64．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知25a =-，416S =-，则6(S = ) A ．14-B ．12-C ．17-D ．125．（5分）5(3)(2)x x +-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．10B ．38C ．70D ．2406．（5分）已知函数0.3030.341(),(2),(0.2),(log 2)2x x f x a f b f c f -====，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（5分）松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称．在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．（5分）若[0x ∈，1]时，|2|0x e x a --…，则a 的取值范围为( ) A ．[222ln -，1]B ．[2e -，2]e -C ．[2e -，1]D ．[1-，1]9．（5分）已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-，0ab ≠．当x R ∈时，()()3f x f π„，则下列结论错误的是( ) A ．3a bB ．()012f π=C ．2()()515f f ππ-=-D ．42()()155f f ππ-=- 10．（5分）将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解．当(p q p q ⨯„且p ，*)q N ∈是正整数n 的最佳分解时，定义函数()f n q p =-，则数列*{(5)}()n f n N ∈的前2020项的和为( ) A ．101051+B ．1000514-C ．1010512-D ．101051-二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．不选或选出的选项中含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，选出全部正确选项的得5分．11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则( )A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．（5分）若双曲线22:1(0))C mx ny mn +=<绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是( )A 23B ．43C 3D ．2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥rr ，则||a b +=r r ． 14．（5分）在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a += ．15．（5分）设F 是抛物线2:3E y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为 ，||4||AF BF +的最小值为 ．16．（5分）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形1,23AA =M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围为 ．四、解答题：共70分o 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．。
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(带答案解析)
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理科)数学试题1．已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1-- 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ）A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.6 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（ ） A ．－14 B ．－12 C ．－17 D ．125．5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．38C ．70D ．2406．已知函数41()2x x f x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 7．松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1- 9．已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（ ） A．a B ．012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5n f ()*n N ∈的前2020项的和为（ ） A ．101051+ B ．1010514- C ．1010512- D ．101051- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥ C ．三棱锥11C B CE -的体积为13 D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（ ）A ．3B ．43CD ．213．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r ，则a b +=r r _________.14．在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________. 15．设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________.16．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.17．在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，BC =BD ；（2）若DC =，求cos ACB ∠.18．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值.19．已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上. （1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.20．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？ 附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围. 23．记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.参考答案1．B【解析】【分析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂．【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z所以{}2,1,0,1N =--， 又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题．2．C【解析】【分析】 计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3．B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4．B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=- 故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.5．A【解析】【分析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数.【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】 解：因为41()222x x x x f x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >> 即a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7．A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件，当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件， 当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件， 故输出的n 值4．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．D【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9．D 【解析】 【分析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得； 【详解】解：因为()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=是图象的对称轴，此时，函数取得最大值sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确； 22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 11．ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥u u u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g，1B C =u u u rBD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题. 12．AD 【解析】 【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e ==．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==． 故选：AD ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题. 13．2 【解析】 【分析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14．43【解析】 【分析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解； 【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=，所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题. 15．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ 274【解析】 【分析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 所以12916x x =，所以121233151527||4||4444444AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274. 【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.16．⎤⎥⎝⎦【解析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<则(4,4,AM x z =--u u u u r，(,0,CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()(240x x z -+-=，即()(2224x z -+-=，(0z <<，连接1A M ，1B M，则12B M ≤<以111142MB <≤， 依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B所成角，1111114tan 27A B A MB MB MB ⎛⎤∠==∈ ⎥ ⎝⎦故答案为：27⎛⎤⎥ ⎝⎦本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题. 17．（1）BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，BC =1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠， 即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得BD =（2）设ACB θ∠=，AB x =， 则2DAC θ∠=，DC =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==， 在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，sin sin 3xθπ=，sinsin 23sin x πθθ⋅=⋅2sin cos sin xθθθ=⋅解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18．（1）证明见解析（2）7【解析】 【分析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值； 【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥， 当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点， 所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P，B，A ，(0,0,1)EP =u u u r，EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩；令22y =-，解得2x =，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,7m n m n m n ⋅====-⋅u r ru r r u r r .. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19．（1）22143x y +=（2【解析】 【分析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可； （2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得； 【详解】解：（1）由己知得221a b -=， 因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+， 联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O到直线l的距离为d==，所以直线l被圆O截得的弦长为5l===.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 20．（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】【分析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X万元，易知X可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K的观测值2100(4520530)1250507525k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21．（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤ 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2x f x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-， 记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<， 所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22xf x e x ax '=+--，(0)0f '=. 记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-.下面证明()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin xx e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭.又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>， 所以存在1,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数，又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<， 根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<，又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2xg x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数， 又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1xx e x =--，0x > 因为0x >，所以()10xu x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+ 故2(2)sin 2221sin 220ag a ea a a a a '=-->+--≥，又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化； （2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤， 当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12； 当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23．（1）1m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立.当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥=⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以0ab bc ca ++≥>，0a b c ++≥>，又因为1abc =，所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b ca b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。
福建省泉州市2020届高三毕业班线上质量检测理科数学试题 Word版含解析
泉州市2020届高三毕业班适应性线上测试（一）理科数学一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}230A x x x =-<，2{}0|B x x =-≥，则()A B =R( )A. {|02}x x <≤B. {}2|0x x << C. {|23}x x ≤< D. {}|03x x <<【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】}{}{(3)003A x x x x x =-<=<<，}{2B x x =≥，}{2RB x x =<，则(){}{}{}03202RA B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题.2.设复数()2112i z i+=-，则z =( )10B.2525D.43【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算以及复数模的求法即可求解.【详解】复数()2124212125i i iz i i +-+===--，22422555z -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则复数z 25， 故选：C.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.3.如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度()/mg ml的变化情况，其中点iA的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:h)，点i A的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值()1,2,3i=. 记iV为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记iT为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则123,,V V V中最小的，123,,T T T中最大的分别是( )A.23,V T B.22,V T C.13,V T D.12,V T【答案】B【解析】【分析】根据图像，依据题意逐个判断得出答案.【详解】①设(),i i iA x y，则iiiyVx=，即直线iOA的斜率，由图可知，直线2OA的斜率最小，即2V最小；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应132,,A A A在首次降到峰值一半时对应点，不妨记为132,,B B B，由图可知2A到2B经历的时间最长，所以123,,T T T中最大的是2T.故选：B.【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力以及转化与化归的思想，考查了图中量的几何意义，属于基础题.4.已知{}n a是公差为3的等差数列.若124,,,a a a成等比数列，则{}n a的前10项和10S=( )A. 165B. 138C. 60D. 30【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项以及等差数列的通项公式求出13a =，再利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】由124,,a a a 成等比数列得2214a a a =即()()211139a a a +=+解得13a =，101109101034531652S a d ⨯=+⨯=⨯+⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.5.若()()()()()()523450123452111111x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =( )A. 10B. 10-C. 80D. 80-【答案】D 【解析】 【分析】由()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式展开式的通项即可求解.【详解】()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，通项()()515211rrr r T C x -+=+-⎡⎤⎣⎦，故当1r =时，()()()511411+15=211801T C x x -+-=-+⎡⎤⎣⎦，所以480a =-.故选：D【点睛】本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题.6.已知函数()f x 满足()()2 f x f x +=-，且当1x >时，()3f x x =，则()f x 的图象在()()0, 0f 处的切线方程为( )A. 128y x =+B. 128y x =-+C. 128y x =-D. 128y x =--【答案】B【解析】 【分析】根据题意可得()f x 关于直线1x =对称，从而可得()()028f f ==，且()'012k f ==-，利用点斜式即可求解.【详解】依题意由()()2 f x f x +=-，可得()()1 1f x f x +=-， 所以()f x 关于直线1x =对称， 所以()()028f f ==，当1x >时，()3f x x =，则21x -<所以()()()332226128f x f x x x x x =-=-=-+-+， 所以()231212f x x x '=-+-()'012k f ==-，故切线为：128y x =-+， 故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称性以及导数的几何意义，求出函数的导函数以及切点，属于基础题.7.已知函数2,0()32,0xx b x f x b x ⎧++>=⎨+≤⎩，若()f x 在实数集上为增函数，则常数b 满足（ ） A. 0b < B. 0b >C. 01b ≤≤D. 1b >【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R 上递增，则有0221b b b -≤⎧⎨+≥+⎩，解得不等式，即可求出结果．【详解】因为()f x 在实数集上为增函数，所以001221b b b b -≤⎧⇒≤≤⎨+≥+⎩，故选C. 【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．8.如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A.32B. 3C.23D.43【答案】A【解析】【分析】根据三视图得出几何体的直观图，然后再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D-的边长为3，,M N分别为AB，1DD的三等分点，且11BM D N==.三棱锥1N B MB-即为所求三棱锥，11313322V⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，同时考查了椎体的体积公式，属于基础题.9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设ABC三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，面积为S，则“三斜求积”公式为S =若2sin sin 5C c A =，且()()40,a b c a b c +---+=则利用“三斜求积”公式可得ABC 的面积S =( )B. 2C. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得5ac =，代入()()40,a b c a b c +---+=可得2226a c b +-=，再由三斜求体即可解答.【详解】因为2sin sin 5C c A =，由正弦定理得25c c a =，5ac =，又因为()2240a c b --+=，所以222246a c b ac +-=-=，代入2S ==. 故选：B【点睛】本题考查了正弦定理以及新定义，需熟记定理的内容，属于基础题.10.已知双曲线：()22221,0x y a b a b-=>，点P 的坐标为()1,2-，斜率为18-的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，直线AP 交双曲线于另一点C ，直线BP 交双曲线于另一点D .当直线CD 的斜率为18-时，此双曲线的离心率为（ ）A.62B.325 D.52【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法可表示出,M N y y ，由平行关系易知,,P M N 三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入,M N y y 整理可得到,a b 关系，利用双曲线222c a b =+得到关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(),M M M x y22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+2218M M x b a y =⋅=- 228M M b y x a∴=-⋅…①设()33,C x y ，()44,D x y ，线段CD中点(),N N N x y同理可得：228N N b y x a=-⋅…②AB CD k k = //AB CD ∴，易知,,P M N 三点共线2211N MM N y y x x --∴=++，将①②代入得：2222882211M N M N b b x x a a x x -⋅--⋅-=++即()22410M N b x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ ∴()222244a b c a ==-，即2245c a =2252c e a ∴==故选：C【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到点差法的应用；关键是能够利用三点共线得到斜率相等，从而构造出关于,a c 的齐次方程，解齐次方程求得离心率；需要注意的是，在处理弦中点问题时，常采用点差法来得到弦的斜率和中点坐标之间的关系.二、多项选择题:本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，选出全部正确选项的得5分.11.如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )A. ()39f =B. ()()71f =C. 若()6f t ≥，则[]212,512 N ()t k k k ∈++∈D. 不论t 为何值，()()()4?8f t f t f t ++++是定值 【答案】BD【解析】 【分析】以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，从而点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐一判断选项即可求解.【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-.则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 333326f ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；故答案为：BD.【点睛】本题考查了三角函数的应用、解三角不等式，两角和与差的正弦公式，属于基础题.12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()1 1f x f x +=-.若()11f =，则( ) A. ()f x 是周期函数 B. 当n 为偶数时，()0f n =C. ()()()()22212 2336 616f f f f +++⋅⋅⋅+=D. ()()()()()22222233...42428811f f f n f n n n ++++++=++ 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数为奇函数以及()()11f x f x +=-，结合周期定义即可判断A ；由函数的周期为4 即可判断B ；根据题意可得()()111f f -=-=-，结合B 项以及函数的周期为4即可求解；由函数的周期为4以及当n 为偶数时，()0f n =即可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又()()11f x f x +=-， 所以()()()2f x f x f x +=-=-.所以()()()42f x f x f x +=-+=，可得函数()f x 的周期为4，选项A 正确；()()()2200f f f -=-=-=，即()()()220f f f -==，又因为函数周期为4，所以当n 为偶数时，()0f n =，选项B 正确； 因为()()111f f -=-=-，周期4T=，所以()()()()22222122336613517f f f f +++⋅⋅⋅+=-+=，所以选项C 是错的；()()()()()()222222221223342421357941f f f n f n n +++⋅⋅⋅+++=-+-++⋅⋅⋅++()()()22222215397(41)41n n ⎡⎤=+-+-+⋅⋅⋅--++⎣⎦()()1235794141n n =+++++⋅⋅⋅+-++⎡⎤⎣⎦()()223411212448812n n n n n n ++=+⨯=++=++所以选项D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题考查了函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，属于中档题.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相位置.13.已知向量(1,1),a =(2,1)b =，若()()a b a b λ-⊥+，则实数λ的值为________. 【答案】85【解析】 【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】()()a b a b λ-⊥+,()()0a b a b λ∴-⋅+=,23(1)50λλ+--=,解得85λ=， 故答案为：85【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.14.已知数列{}n a 的各项均为正数，且2*116N ()n n n na a a n a ++=+∈，则4725a a a a +=+__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据递推关系式可得()()11320n n n n a a a a ++-+=，从而可得{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由2116n n n na a a a ++=+可得：221160n n n n a a a a ++--=， 即()()11320n n n n a a a a ++-+=， 因为0n a >，所以13n n a a +=，所以{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列， 所以222472525259a a a q a q q a a a a ++===++. 故答案为：9【点睛】本题考查了递推关系式研究函数的性质，等比数列的通项公式，属于基础题. 15.已知()2:20C y px p =>的准线l 与x 轴交于点A ，点,B P 在C 上，ABF 是面积为2的等腰直角三角形，则C 的方程为__________；PFPA的最小值为__________. 【答案】 (1). 24y x =【解析】 【分析】 根据题意可得到122p p ⋅⋅=，故可求出C 的方程；设(0P x ，焦点()1,0F ，()1,0A -，利用抛物线的定义以及勾股定理可得01,PF x PA =+=，从而2PF PA=≥即可求解.【详解】由已知可得AFP ∠为直角，故122p p ⋅⋅=，解得2p =， 所以C 的方程为24yx =；由对称性，不妨设(0P x ，因为抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，()1,0A -，01,PF x PA =+==PF PA==≥，当且仅当01x =时取等号，PF PA取最小值2. 故答案为：24y x =；2【点睛】本题考查了抛物线的定义以及抛物线的标准方程，需熟记抛物线的定义以及几何性质，属于中档题.16.已知三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面30ABC PAB ∠=︒,，6,10AB PA CA CB ==+=.设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为__________. 【答案】34【解析】 【分析】利用余弦定理求出PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得PD =，连接CD ，可得PD ⊥平面ABC，进而可得tan PD CD θ==CD y =，CA x =，即10CB x=-，由180CDA CDB ∠+∠=︒，利用余弦定理可得：()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，化简配方即可求解. 【详解】由已知易得PAB △是直角三角形， 过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得93,22PD AD BD ===， 连接CD ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理，可得PD ⊥平面ABC ， 所以PCD θ∠=，tan PD CD θ==CD 取最小值时，tan θ最大. 设CD y =，CA x =，则10CB x =-.因为180CDA CDB ∠+∠=︒，所以cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，即()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，所以y =，可得当152x =时，y取得最小值，最小值为即CD的最小值所以tan θ34=.故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共60分.17.如图，已知在平面四边形ABCD 中，,CAB a ABC ACB βγ∠=∠=∠=,，且()()2cos sina sin sin cosa cos γβγβ+=--.（1）证明:2CA CB AB +=；（2）若21CA CB DA DC ===,，求四边形ABCD 的面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）383,1616⎛+ ⎦⎝. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，然后再利用两角和的正弦公式的逆应用可得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=，从而可得sin sin 2sin βαγ+=，再利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得ABC ∆为是等边三角形，设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，利用三角形的面积公式可得213sin 4ABCD S AC ϕ=，在ADC 中，由余弦定理求出AC ，然后利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由cos (sin sin )sin (2cos cos )γαβγαβ+=--得cos sin cos sin 2sin sin cos sin cos γαγβγγαγβ+=--.整理得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=， 即得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=. 因为在ABC 中，αβγπ++=，所以()()()sin sin sin ,sin sin αγπβββγα+=-=+=， 所以sin sin 2sin βαγ+=. 由正弦定理得2CA CB AB +=.（2）因为CA CB =，2CA CB AB +=， 所以CA CB AB ==,ABC 为是等边三角形. 设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈， 则ABCD ACD ABC S S S =+△△ 211sin sin 6022DA DC AC ϕ=⋅⋅+ﾟ21sin 4AC ϕ= 在ADC 中，由余弦定理得22252cos cos 4AC DA DC DA DC ADC ϕ=+-⋅∠=-.15sin cos 44ABCD S ϕϕ⎫=+-⎪⎝⎭()1sin 4ϕϕ=1sin 23πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为0ϕπ<<，所以2333πππϕ-<-<，所以sin 13πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，得11sin 232πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.1sin 23πϕ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭.因此，四边形ABCD面积的取值范围为3853,⎛⎤+⎥⎦⎝.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于中档题.18.如图，正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为4,D是AC的中点，E在11A C边上，113EC A E=.（1）证明:平面1BC D⊥平面11ACC A；（2）若F是侧面11ABB A内的动点，且//EF平面1BC D. ①在答题卡中作出点F的轨迹，并说明轨迹的形状(不需要说明理由)；②求二面角1C BD F--的余弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）①取1AA的中点M，11A B的中点N，连接MN，则点F的轨迹就是线段MN785【解析】【分析】（1）证出1AA BD⊥，BD AC⊥，利用线面垂直判定定理可得BD⊥平面11ACC A，再利用面面垂直的判定定理即可证出面面垂直.（2）①取1AA的中点M，11A B的中点N，连接MN，可得点F的轨迹；②以DA、DB所在的直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系D xyz-，求出平面1DBC的一个法向量以及平面DBF 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）在正三棱柱1ABC ABC -中，因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA BD ⊥.在等边ABC 中，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1AA AC A =,所以BD ⊥平面11ACC A .又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . ②由图可知当点F 与点N 重合时，二面角1C BD F --的余弦值取到最大值. 以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D，(0,B ，()12,0,4C -，()()N F，()0,DB =，()12,0,4DC =-，()1,DF =设平面1DBC 的一个法向量为()111,,m x y z =.由10,0,DB m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1110,240,x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令12x =，解得11z =. 所以()2,0,1m =.设平面DBF 的一个法向量为()222,,n x y z =由0,0,DB n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得12220,40,x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令24x =，解得21z =-.所以()4,0,1n =-.因此cos ,855m n m n m n ⋅===⋅⋅.故二面角1C BD F --的余弦值得最大值为. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，空间向量法求面面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.19.设椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点.（1）若2AF FB =，求l 的方程；（2）设过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点P ，若M 是PAB △的外心，证明:ABMF为定值.【答案】（1）)1y x =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程消x ，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由2AF FB =，可得122y y =-，两根之和、两根之积即可求解. （2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，利用弦长公式求出AB ，根据题意可得AB 的垂直平分线方程22343434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，求出点M 的坐标，进而求出MF ，进而可求解.【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得()2234690t y ty ++-=，设()()1112,,,A x y B y y ，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+若2AF FB =，则122y y =-，解得5t =±，所以，l 的方程为)1y x =- （2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以()212212134t AB y t +=-==+ 因为M 是PAB △的外心，所以M 是线段AB 的垂直平分线与AP 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线为22343434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭令0y =，得2134x t =+，即21,034M t ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以，22213413434t MF t t +=-=++()22221211234433334t ABt t MFt ++===++，所以AB MF 为定值. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.某游戏棋盘上标有第0,1,2,,100⋅⋅⋅站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明:11119)3(183n n n n P P P P n +-+=+≤≤；（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）分布列见解析，4；（2）证明见解析；（3）不公平. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、根据独立重复实验的概率计算公式求出概率即可.（2）当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -，从而112133n n n P P P +-=+，同时加上13n P 即可证出.（3）由（2）可得9998972133P P P =+，由1009813P P =，概率不相等，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、 ()()2213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()842134564279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -.所以，112133n n n P P P +-=+.同时加上13n P 得()1111211119833333n n n n n n n P P P P P P P n +--⎛⎫+=++=+≤≤ ⎪⎝⎭；（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为,9998972133P P P =+， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009813P P =. 所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()xaxf x x lnx e =-+. （1）当1a ≥-时，讨论()f x 的极值点个数； （2）若0x >时，()f x e ≤-，求a 的取值范围. 【答案】（1）一个极值点；（2）1e a e -≤-. 【解析】 【分析】（1）求出()()1x x e x a x f x e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=，令()x e g x a x =+，求出()g x '，利用导数判断()g x 的单调性，从而判断函数()f x 的单调性，从而由极点的定义即可求解.（2）等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立，令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤，利用导数求()min h x 即可.【详解】（1）()()()11'1x x x e x a x a f x x ex e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝⎭ 令()xe g x a x=+ 则()()21'x e x g x x-=，当01x <<，()'0g x <，当0,'()0x g x >>， 所以()g x 在()0,1递减在(1,)+∞递增，所以()()min 1g x g a e ==+因为1a ≥-所以0a e +>，()0g x >恒成立，则当()'0f x >时，()01,'0x f x <<<时，1x >所以()f x 在()0,1递增，(1,)+∞递减，所以1x =是()f x 唯一极值点，所以()f x 只有一个极值点（2）因为0x >，不等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立， 令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤ 因为()()()21ln 1x x x x e e x h x ---+'=，令()l 1x nx x e ϕ=--+，则()11'1x x x xϕ-=-= 当()()()0,10,1,0,'(),'x x x x ϕϕ∈>∈+∞<，所以()x ϕ在()0,1递增，(1,)+∞递减. 有()()221130,120,0e e e e e ϕϕϕ⎛⎫=--<=->= ⎪⎝⎭. 所以()x ϕ在()0,1存在唯一零点0x ，在(1,)+∞存在唯一零点x e =，当00x x <<时，()()0,'0x h x ϕ<<，当01x x <<时，()()0,'0x h x ϕ>>，当1x e <<时，()()0,'0x h x ϕ><，当()(),'0,'0x e x h x ϕ><>，所以()h x 在()00,x 和()1,e 上为减函数在()0,1x 和(,)e +∞上为增函数，所以()min h x 是()0h x 与()h e 较小者，()1e h e e -=-，因为()000ln 10x x x e ϕ=--+=，所以010x e x e +-=，所以()()00001000ln x x e x x e e h x e e x x ---==-=- 综上，()1min e h x e -=-，所以1e a e -≤-.所以，满足题意的a 的取值范围是1e a e -≤-.【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用，在研究函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.（二）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程；（2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB 的面积的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【解析】【分析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOB S OA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由4x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-， 设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=， 可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭， 121sin cos 2444AOB S OA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时， AOB 的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知关于x 的不等式2321x x a x -+-≥-的解集为R .（1）求a 的最大值m ；（2）在（1）的条件下，若1p >，且22pq p q m --=-，求p q +的最小值.【答案】（1）4；（2）7.【解析】【分析】（1）当1x =时，解得a R ∈；当1x ≠时，分离参数可得2321x x a x -+-≤-，令()2321x x g x x -+-=-，只需()min a g x ≤，根据绝对值的几何意义求出()min g x 即可；（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=，从而()()123p q p q +=-+-+，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）当1x =时，20a ≥⋅恒成立，此时a R ∈.当1x ≠时，原不等式可等价转化为2321x x a x -+-≤-.令()2321x x g x x -+-=-，则原不等式恒成立，只需()min a g x ≤.因为()23244411x x x g x x x -+--=≥=--， 当且仅当23x ≤或2x ≥时，“=”号成立， 所以()min 4g x =，即4a ≤.综上知，a 的最大值4m =.（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=.因为10p ->，所以()20q ->，()()12337p q p q +=-+-+≥=.当且仅当12p q -=-，即3,4p q ==时“=”成立，所以p q +的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.。
泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查(理科数学)2020市4月质检解答题参考答案
理科数学试题答案及评分参考
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置。
13．2
14． 4 3
15． ( 3 , 0) ， 27
4
4
16． ( 2 7 , 2] 7
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
4
4
思路探求 2：由题目已知条件∠DAC 2∠ACB ，可将所要的角转化到 △ACD 中，利用正弦定理求
市质检数学（理科）参考解答与评分标准 第 2页 共 12页
出 AC ，再将 AC 用 Rt△ABC 中边角来表示，最后再由等量代换求解即可得.
（2）解法二
设∠ACB= ， AB x ，
则∠DAC 2 ， DC 3x .......................................................................7 分
4sin θ cos θ sin θ
解得 cos θ 3 即 cos∠ACB= 3 .....................................................................12 分
又∠DAC 2∠ACB= π ，∠ADC= π ，
3
3
所以 △ADC 为等边三角形，所以 AD 2 .......................................................................4 分
在 △ABD 中，由余弦定理得， BD2 AB2 AD2 2AB AD cos∠BAD ，
2020届福建省泉州市高考数学一模试卷(含解析)
2020届福建省泉州市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={2,3，4，6}，B ={a b |a >b,a ∈A,b ∈A}，则A ∩B =( ) A. {2}B. {2,3}C. {2,3，4}D. {2,3，4，6} 2. 已知复数z 满足1z =1+i(i 是虚数单位)，则z 2=( )A. 2iB. i 2C. −i 2D. −2i3. 将区间[0,1]内的均匀随机数转化为[−2,6]内的均匀随机数，需要采取的变换为( )A. a =6a 1+2B. a =6a 1−2C. a =8a 1+2D. a =8a 1−24. 若{x +y ≥0x−y≤0y ≤a，z =x +2y 的最大值是3，则a 的值是( ) A. 1B. −1C. 0D. 2 5. 已知tanθ=−12，则tan2θ+4tan(θ+π4)=( )A. 1B. −2C. −1D. 06. 下列说法正确的是( )A. 样本10，6，8，5，6的标准差是5.3B. “p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的充分不必要条件C. K 2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K 2的值很小时可以推定两类变量不相关D. 设有一个回归直线方程为ŷ=2−1.5x ，则变量x 毎增加一个单位，y 平均减少1.5个单位 7. 六棱锥P −ABCDEF 中，底面是正六边形，顶点在底面的射影是底面正多边形中心，G 为PB 的中点，则三棱锥D −GAC 与三棱锥P −GAC 体积之比为 ( )A. 1：1B. 1：2C. 2：1D. 3：2 8. 设函数f(x)={1x 为有理数0x 为无理数，若对任意x 的都满足x −f(x)≤g(x)成立，则函数g(x)可以是( ) A. g(x)=xB. g(x)=|x|C. g(x)=x 2D. 不存在这样的函数9. y =√3sin x 2+cos x2在[π,2π]上的最小值是( ) A. 2 B. 1 C. −1 D. −210. 直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A. B. 2 C. D.11. 如图，BC 是单位圆(即半径为1的圆)圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的一点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A. −34B. −89C. −14D. 不确定12. 函数的图象大致是( ) A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为√3a2的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB =30°，∠BDC =30°，∠DCA =60°，∠ACB =45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为______ ．14. 的展开式中，x 4的系数是________.(用数字作答)15.在平面直角坐标系O中，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|+|BF|=6|OF|，则双曲线的离心率为______．16.下面有四个命题：①函数的最小正周期是；②函数的最大值是；③把函数的图象向右平移得的图象；④函数在上是减函数．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a nS n2，求证：b1+b2+⋯+b n<1．18.如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连接BM．(Ⅰ)求证：BM⊥平面ADM；(Ⅱ)求二面角A−DM−C的余弦值；(Ⅲ)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M−ADE的体积为√2．1219.已知椭圆的左、右焦点分别为，点也为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点．(Ⅰ)若点满足，求直线的方程；(Ⅱ)为直线上任意一点，过点作的垂线交椭圆于两点，求的最小值．20.同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，计算：(1)向上的数相同的概率．(2)向上的数之积为偶数的概率．21. 已知函数f(x)=e x −x −1，(e 是自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数F(x)=e x f(x)，证明：F(x)有极大值F(x 0)，且满足1e 2<F(x 0)<14．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =tan 2αy =2tanα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ+11=0．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．23.(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x−2|−1|≤1的解集为______ ．【答案与解析】1.答案：B解析：解：当b=2时，ab 的值为32,2,3；当b=3时，ab的值为43,2；当b=4时，ab的值为32，∴B={32,43,2,3}，∴A∩B={2,3}．故选：B．根据a∈A，b∈A且a>b及集合A即可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系，交集的运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：复数z满足1z=1+i(i是虚数单位)，∴z=11+i =1−i12−i2=12(1−i)，∴z2=1(1−2i−1)=−1i.故选：C．根据复数的代数形式的运算法则，计算即可．本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.答案：D解析：本题考查了随机数．利用已知根据函数的值域求解．解：当a 1∈[0,1]时，a=6a1+2的值域是[2,3]，则A项不符合题意；a =6 a 1−2的值域是[−2,−1]，则B 项不符合题意；a =8 a 1+2的值域为[2,10]，则C 项不符合题意；a =8 a 1−2的值域为[−2,6]，则D 项不符合题意．故选D ．4.答案：A解析：解：作出不等式表示的平面区域，如图z =x +2y 的几何意义是直线y =−12纵截距的一半由{x −y =0y =a，可得x =y =a ，根据图形可知在(a,a)处，z =x +2y 的最大值为3 ∴a +2a =3∴a =1故选A ．作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，根据z =x +2y 的最大值为3，即可求a 的值．本题考查线性规划知识，考查求函数的最值，正确作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义是关键． 5.答案：D解析：解：∵tanθ=−12，∴tan2θ+4tan(θ+π4)=2tanθ1−tan 2θ+4×tanθ+tan π41−tanθtan π4=2×(−12)1−14+4×−12+11+1×12=−43+43=0． 故选：D ．由已知直接利用倍角公式及两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题．6.答案：D解析：解：A ，样本10，6，8，5，6的平均数为7，方差为165，标准差是4√55，故不正确；B ，p ∧q 为真，则p 、q 均为真，p ∨q 为真，p 、q 至少一个为真，故“p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的必要不充分条件，故不正确；C ，K 2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能推定两个变量不相关．所以C 错；D ，设有一个回归直线方程为y ̂=2−1.5x ，则变量x 毎增加一个单位，y 平均减少1.5个单位，正确． 故选：D ．对四个命题分别进行判断，A ，求出平均数、方差、标准差可得结论；B ，p ∧q 为真，则p 、q 均为真，p ∨q 为真，p 、q 至少一个为真；C ，K 2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能推定两个变量不相关；D ，设有一个回归直线方程为y ̂=2−1.5x ，通过回归直线方程的性质，即可得出结论． 本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7.答案：C解析：试题分析：两三棱锥体积的比即为点D 、点P 分别到同一个平面AGC 的距离之比，设点P 在底面ABCDEF 的射影为O ，因为PO//面GAC ，故点P 到平面AGC 的距离即为点O 到平面AGC 的距离，又因为点O 为线段AD 的中点，故点D 、点O 到同一个平面AGC 的距离之比为2：1，两三棱锥体积的比为2：1。
福建省泉州市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查理科数学(理)试题
福建省泉州市2019-2020学年高三上学期期末质检文数学试题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-≥，则A =R （ ） A ．(,0]-∞B ．[2,)+∞C ．(0,2)D ．(,0][2,)-∞+∞2．若复数(2i)(1i)a -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．若ππ2sin()cos()445αα--=-，则cos2=α（ ） A ．45- B ．25- C ．25 D ．454．新中国成立70周年，社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国，其中，“快闪”因其独特新颖的传播方式吸引大众眼球.根据腾讯指数大数据，关注“快闪”系列活动的网民群体年龄比例构成，及男女比例构成如图所示，则下面相关结论中不正确的是（ ）A ．35岁以下网民群体超过70%B ．男性网民人数多于女性网民人数C ．该网民群体年龄的中位数在15～25之间D ．25～35岁网民中的女性人数一定比35～45岁网民中的男性人数多5．设E 是中心在坐标原点的双曲线．若(2,0)A 是E 的一个顶点，(4,0)F -是E 的一个焦点，则E 的一条渐近线方程为（ ）A ．13y x =B ．y x =C ．y =D ．3y x =6．已知等差数列{}n a 中，36+8a a =，则475+a a =（ ）A ．32B ．27C ．24D ．167．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（ ）A ．12B ．8C ．6D ．48．函数()sin f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．10．若直线0x ay -=与函数e ()xf x x=的图象有且只有一个公共点，则a 的取值范围为（ ）A ．24(,0)(,)e-∞+∞ B ．24(,)e +∞ C ．2e (,)4+∞ D ．21e (,)e 411．若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（ ）A B C ．12 D12．已知函数π()sin()(0,02f x x ωϕωϕ=+><<）．若π()8f x -为奇函数，π()8f x +为偶函数，且()2f x =在π(0,) 6至多有2个实根，则ω的最大值为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．18第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知向量,a b ，且()=3,2a -，()=52a b +，，则b =____________. 14．若,x y 满足约束条件0,10,220,x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则32z x y =+的最大值为___________.15．已知直线:(1)10()l mx m y m R +--=∈与圆22:8O x y +=交于,A B 两点，,C D 分别为,OA AB 的中点，则AB CD ⋅的最小值为____________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在棱1AA 上，四棱锥11P BDD B -的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积取值范围是_____________．三、解答题17．记数列{}n a 的前n 项和为n S ．若233n n S a =-.（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设9log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 18．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知cos )cos a C c A =． （1）求b a； （2）求cos A 的最小值．19．如图，MA ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，1CN =，3AM =.（1）证明：//BN 平面ADM ；（2）求三棱锥N ADM -的体积.20．已知抛物线E 的顶点在原点，焦点在y 轴上，过点(1,0)A 且斜率为2的直线与E 相切．（1）求E 的标准方程；（2）过A 的直线l 与E 交于,P Q 两点，与y 轴交于点R ，证明：2AR AP AQ =⋅． 21．已知函数2()(1)ln 2a f x x a x x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，e ()2f x -≥，求a 的取值范围． 22．在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标． 23．已知函数1()||||f x x a x a =++-． （1）证明：()2f x ≥；（2）当12a =时，()f x xb +≥，求b 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再进行集合的补运算，即可得答案.【详解】 因为{}220A x x x =-≥，所以(,0][2,)A =-∞+∞，则(0,2)A =R . 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、补集的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．A【解析】【分析】先对得数进行乘法运算，再利用纯虚数的概念，得到实数a 的值.【详解】复数(2i)(1i)a -+(2)(2)i a a =++-为纯虚数，所以20a +=，解得2a =-.故选：A.【点睛】本题考查复数的四则运算、纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．A【解析】【分析】 先利用倍角公式得到π4sin(2)25α-=-，再利用诱导公式求得cos2α的值. 【详解】 因为ππ1ππ2sin()cos()2sin()cos()442445αααα--=⋅⋅--=-，所以π4sin(2)25α-=-，即4cos 25α=-. 故选：A ．【点睛】 本题考查倍角公式、诱导公式的应用，考查基本运算求解能力，求解时注意符号的正负. 4．D【解析】【分析】对A ，利用频率分布直方图可得比例；对B ，由男女比例构成图可得结论；对C ，由频率分布直方图可估计中位数；对D ，无法判断；故可得答案.【详解】对A ，依题意可得，35岁以下网民群体所占比例为74%，故A 正确；对B ，由男女比例构成图可得男性所占比例为55%，故B 正确；对C ，因为15岁以下所占比例为23%，35岁以下所占比例为54%，故该网民群体年龄的中位数在15～25之间，故C 正确；对D ，答案无法判断，故D 错误．故选：D.【点睛】本题考查统计中的频率分布直方图和丙图，考查数据处理能力和阅读理解能力，求解时要充分提取图中的信息，防止对问题的片面理解.5．C【解析】【分析】由已知条件得,,a b c 的值，从而得到双曲线的方程，再利用渐近线方程的定义，求得答案.【详解】由已知双曲线的焦点在x 轴上，2a =，4c =，所以b ==，所以双曲线E 的渐近线方程为b y x a=±，即y =. 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线方程、渐近线方程，考查基本运算求解能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，将等式36+8a a =化成关于1,a d 的方程，再整体代入，求得式子475+a a 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差d ，则361278a a a d +=+=，所以471156213(27)24a a a d a d +=+=+=.故选：C ．【点睛】本题考查等差数列中的基本量运算，考查整体思想的运用，求解的关键是将1278a d +=整体代入所求的式子，考查运算求解能力.7．C【解析】【分析】根据几何体的三视图可得该几何体为直三棱柱，再利用体积的计算公式求得答案.【详解】由已知可得该“堑堵”是直三棱柱， 所以体积123262V =⨯⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题以数学文化为背景，考查三视图还原几何体的直观图，并求柱体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.8．B【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除两个选项，再根据π[0,]2上的单调性，即可得到正确答案.【详解】因为()sin f x x x =的定义域为R 关于原点对称，且()()[sin()]()f x x x f x -=--=， 所以()f x 为偶函数，故排除C ，D ；因为'()sin cos 0f x x x x =+≥在π[0,]2x ∈恒成立， 所以()sin f x x x =在π[0,]2上单调递增.故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性选择函数图象，考查数形结合思想的运用，求解时要注意排除法的应用.9．C【解析】【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n n a a ----⋅=.故选：C.【点睛】 本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.10．B【解析】【分析】 由0e xx ay y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得2(0)e x x a x =≠，将问题转化为直线y a =与曲线2(0)e x x y x =≠恰有一个公共点，利用导数研究函数2(0)ex x y x =≠的图象，从而求得a 的取值范围. 【详解】 由0e x x ay y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得2(0)e x x a x =≠，则依题意，可知直线y a =与曲线2(0)e x x y x =≠恰有一个公共点， 令2()(0)ex x f x x =≠，则22'22e e 2()(e )e x x x x x x x x f x ⋅-⋅-==， 当'()002f x x >⇒<<；当'()00f x x <⇒<或2x >；所以()f x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递减，在(0,2)单调递增，如图所示，作出y a =与2(0)e x x y x =≠的图象， 因为两个函数图象有且只有一个公共点， 所以24ea >.故选：B【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合思想的运用，求解时要注意利用导数的工具性研究函数的单调性，从而作出函数的草图，考查运算求解能力.11．D【解析】【分析】由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况，作出图形，从而求得椭圆的离心率.【详解】依题意，由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况：（1）如图1，若以顶点D 焦点B 为菱形顶点，C 为中心，则DC BC ⊥，由勾股定理得，2222()()a b a a c ++=+，由222b a c =-化简得220c ac a +-=，两边同除以2a ，得210e e +-=，又因为01e <<，可得e =． （2）如图2，若以焦点A ,B 为菱形顶点，C 为中心，则AC BC ⊥，故45OCB ∠=，易得2c e a ==；（3）如图3，若以焦点B 为菱形的中心，C ,E 为顶点，则CB EB ⊥，易得c e a ==，故选D.【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的对称性性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是画出几何图形，并能进行完整的分类讨论.12．A【解析】先根据函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，求出π4ϕ=后，再利用换元法，求出()f x=在π(0,)6至多有2个实根时，ω的取值范围，从而得到ω的最大值.【详解】由题意，得π(0)8-，为()f x的图象的对称中心，直线π8x=为()f x的图象的一条对称轴，所以1122ππ8,ππ+π82kk kkωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩Ζ（），两式相加得12ππ42k kϕ+=+，又因为π2ϕ<<，所以π4ϕ=，代入2ππ+π82kωϕ+=，得82()k kω=+∈Ζ，因为π(0,)6x∈时，ππππ(,)4464t xωω=+∈+，即由已知可得sin2t=，πππ(,)464tω∈+至多有2个实根，即ππ11π644ω+≤，由此可得015ω<≤，又因为82()k kω=+∈Ζ，所以1k=时ω的最大值为10，故选：A．【点睛】本题考查三角函数的图象和性质的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意三角函数的周期性特点，同时要注意换元法的灵活运用.13．【解析】【分析】先根据向量的坐标运算求得b的坐标，再代入向量模的公式中.【详解】因为()(2,4)b a b a=+-=，所以224b=+=故答案为：本题考查向量坐标运算及模的求解，属于基础题.14．4【解析】【分析】作出约束条件所表示的可行域，再根据直线截距的最大值，求得目标函数的最大值.【详解】不等式组表示的可行域如图所示：由32z x y =+得322z y x =-+在y 轴上的截距越大，z 越大， 所以当直线322z y x =-+过点()0,2A 时，z 取得最大值， 所以z 的最大值为4.故答案为：4【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想的运用，求解时要注意将目标函数的最大值看成直线在y 轴上截距的最大值.15．【解析】【分析】先求出直线l 恒过点(1,1)P ，再观察AB CD ⋅中可转化成只含||AB 的变量，进而研究||AB 的最小值，即可得到答案.【详解】直线l 的方程可化为()10m x y y -+-=，由0,10,x y y -=⎧⎨-=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩，直线l 恒过点(1,1)P ，因为,C D 分别为,OA AB 的中点，所以12CD OB =.当OP AB ⊥时，AB 最小，此时AB =所以AB CD AB ⋅故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想、转化与化归思想的运用，求解的关键是找到以||AB 为变量进行研究最值.16．25π[3π,]8【解析】【分析】设11,O P x O G y ==，根据几何关系得到222R x y =+，22222R y ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到,x y 的关系，再利用消元法，得到222254R x y y =+=+，最后利用一元二次函数的性质，得到2R 的取值范围，从而得到球O 的表面积取值范围.【详解】如图，设球O 的球心为G ，1AA 的中点1O ，1CC 的中点2O ，12O O 的中点O ，且1OO =，OA OB ==因为11,,,B D D B 在球面上，所以球心在线段2OO 上，点P 也在球面上，GP GB R ==.设11,O P x O G y ==.则2OG y =-. 在1Rt O PG △中，222R x y =+…………①在Rt BOG △中，222R y ⎛=+ ⎝⎭⎝⎭…………②,联立①②，得254x =-，因为102x ≤≤，所以28y ≤.所以2222253325([,]424432R x y y y =+=-+=-+∈， 所以球O 的表面积取值范围为25[3π,π]8. 故答案为：25π[3π,]8【点睛】 本题考查四棱锥与球的切接问题、球的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，求解的关键是先确定以什么为变量进行研究. 17．（1）证明见解析；（2）n T =41n n +. 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到()132n n a n a -=≥，从而证明数列{}n a 为等比数列；（2）根据对数运算得到2n n b =，再利用裂项相消法对数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭进行求和. 【详解】（1）由已知，得233n n S a =-，……①当2n ≥时，11233n n S a --=-，……②①—②，得-1-122(33)(33)n n n n S S a a -=---，即-1233n n n a a a =-， 整理，得()132n n a n a -=≥， 又由11233S a =-，得1=30a ≠，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得=3n n a ，所以9log 32n n n b ==， 所以()11411=4()11n n b b n n n n +=-++， 故n T =111111144()+4()++4()4(1)1223111n n nn n ---=-=+++. 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列的定义、裂项相消法求和，考查转化与化归思想的运用， 考查基本运算求解能力.18．（1（2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将等式cos )cos a C c A =进行“边化角”得到sin()A A C =+，再利用三角形的内角及正弦定理进行“角化边”，从而求得b a的值；（2）利用余弦定理求得cos A 的表达式，再利用基本不等式求得最小值.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C ==，从而由cos )cos a C c A =，可得sin cos )sin cos A C C A =，sin cos cos sin A A C A C =+sin()A A C =+，又因为πA B C ++=，所以sin B A =，所以b a=（2）由（1）不妨设b ==11c <<， 在ABC 中，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，所以22222cos ()3A c c ===+≥，当2c c =即c =cos A 取到最小值为3． 【点睛】本题考查正余弦定理、三角形内角和、三角恒等变换的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，求解cos A 的最小值时，要注意基本不等式的运用及取到最值的条件验证.19．（1）证明见解析；（2.【解析】【分析】（1）证明平面//BCN 平面ADM ，从而得到线面平行；（2）由（1）知，//BN 平面ADM ，所以点N 到平面ADM 的距离等于点B 到平面ADM 的距离．取AD 的中点E ，连接BE ，BD ．证明BE ⊥平面ADM ，故所以点N 到平面ADM 的距离为BE ，再将数据代入体积公式求解．【详解】（1）因为MA ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，所以//MA NC ，又MA ⊂平面ADM ，NC ⊄平面ADM ，所以//NC 平面ADM .因为四边形ABCD 是菱形，所以//BC AD ，又AD ⊂平面ADM ，BC ⊄平面ADM ，所以//BC 平面ADM ，又BC NC C =，BC ⊂平面BCN ，CN ⊂平面BCN ，所以平面//BCN 平面ADM ，又BN ⊂平面BCN ，所以//BN 平面ADM .（2）由（1）知，//BN 平面ADM ，所以点N 到平面ADM 的距离等于点B 到平面ADM 的距离．取AD 的中点E ，连接BE ，BD ．因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以ABD △是边长为2的等边三角形，所以BE AD ⊥，且BE =又因为MA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以MA BE ⊥，又MA AD A =，MA ⊂平面ADM ，AD 平面ADM ，所以BE ⊥平面ADM ，故所以点N 到平面ADM 的距离为BE ．所以三棱锥N ADM -的体积11123332N ADM ADM V S BE -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行、面面平行的位置关系、三棱锥体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，在证明平行关系时，注意定理条件的完整性.20．（1）22x y =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由判别式等于0，求得抛物线方程中的参数值，进而得到抛物线的方程；（2）设l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，利用两点间的距离公式，并进行消参，将线段AR AP AQ ，，分别用k 进行表示，从而证明等式成立.【详解】（1）过点(1,0)A 且斜率为2的直线方程为2(1)y x =-，即22y x =-，设E 的方程为2(0)x ay a =≠， 由222,,y x x ay =-⎧⎨=⎩消去y ，得2220x ax a -+=， 因为直线与E 相切，所以2480a a ∆=-=，解得0a =（舍去）或2a =，所以E 的标准方程为22x y =.（2）设l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ．令0x =，得y k =-，即(0,)R k -，由2(1),2,y k x x y =-⎧⎨=⎩消去y ，得2220x kx k -+=， 因为l 与E 相交，所以2480k k ∆=->，解得2k >或k 0<，设，则12122,2x x k x x k +==，11AP =-，21AQ =-， 从而222211212(1)11(1)()11AP AQ k x x k x x x x k ⋅=+--=+-++=+， 又221AR k =+， 所以2AR AP AQ =⋅. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解、考查弦长公式、韦达定理等知识，考查方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，求解时注意变量思想和消元思想的灵活运用.21．（1）答案见解析；（2）1[,)e +∞.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再利用导数对函数进行求导，对参数分0a ≤和0a >两种情况讨论后，得到函数的单调区间；（2）先证当0a ≤不等式在1x ≥不会成立，再进一步证明0a >时，()f x 在1(0,)a单调递减，在1()a +∞，单调递增．再对a 分1a ≥和01a <<两种情况，研究各自的最小值大于等于e 2-，从而求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--==， 当0a ≤时，10ax ，则()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时，令()0f x '>，得1x a >；令()0f x '<，得10x a<<， 故()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1()a +∞，单调递增. 综上，可得当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递减； 当0a >时，()f x 在1(0,)a 单调递减，在1()a +∞，单调递增. （2）①当0a ≤时，因为242e (e )e (1)e 2222a f a =+--<-<-，所以0a ≤不符合题意； ②当0a >时，由（1），知()f x 在1(0,)a 单调递减，在1()a+∞，单调递增． （ⅰ）当11a ≤即1a ≥时，1()(1)()0a x x a f x x-+'=≥，所以()f x 在[1,)+∞单调递增， 故31e ()(1)1222f x f a =->-≥≥，故1a ≥满足题意.（ⅱ）当11a >即01a <<时，()f x 在1[1,)a 单调递减，在1(,)a+∞单调递增， 故min 111()()1ln 2f x f a a a ==--， 当1x ≥时，e ()2f x -≥，当且仅当1e ()2f a -≥， 令1()1ln (0)2g t t t t =-->，则11()02g t t'=--<，故()g t 在(0,)+∞单调递减， 又e (e)2g =-，从而由1e ()2f a -≥即1()(e)g g a ≥，可得1e a ≤，解得11ea <≤， 综上，可得a 的取值范围为1[,)e+∞． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，分类讨论时要做到不重不漏.22．（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）2-或(2 【解析】【分析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……① 将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P到直线OA的距离为d==，所以111222OAPS OA d d=⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP△，此时P的坐标为2-或(2.【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.23．（1）证明见解析；（2）1 (,]2 -∞.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围. 【详解】（1）111()||||||||||2f x x a x a aa a a=++-+=+=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b +≥，当且仅当(2)2f b +≥，解得12b =， 故b 的取值范围为1(,]2-∞．【点睛】 本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。
福建省泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查 理科数学(含答案)
福建省泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查理科数学一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N =A.{- 1,0,1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {-2,- 1,0,1} 2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31i i +-互为共轭复数,则x +y = A.0 B.3 C.-1 D.43.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格:则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是A.1.4,1.4B.1.4,1.5C.1.4,1.6D.1.62,1.64.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-，则6S =A.-14B.-12C.-17D.12 5. (x +3)(x - 2)5的展开式中，4x 的系数为A.10B.38C.70D.2406.已知函数()()()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称。
在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的x =5，y =2，则输出的n 值为A.4B.5C.6D.7 8.若x ∈[0,1]时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为A. [2ln2 - 2,1] .[2,2]B e e -- C.[2-e,1] D.[-1,1]9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3f x f π≤,则下列结论错误的是 .3A a b = .()012B f π= 2.()()515C f f ππ-=- 42.()()155D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(n f n N ∈的前2020项的和为A. 101051+ 100051.4B - 101051.2C - 1010.51D -二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。