上海市奉贤区曙光中学2021届高三上学期期中数学试题
上海2020-2021学年奉贤中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷
第1页，共3页上海2020-2021学年奉贤中学高三上学期期中仿真密卷数学学科（满分150分，考试时间100分钟）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 函数()f x =的定义域为 . 2. 函数()2sin 24f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是_______.3. 不等式37922x -≤的解集是 ______________. 4. 方程()()22log 972log 31x x +=++的解为_____________.5. 若集合131|,11,|2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B ⋂= _______ .6. 若数列{}n a 中，11a =，()121n n a a n N *+=+∈，则11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的各项和为 ；7. 已知函数()2,0=1,0x x f x x ⎧≥⎨<⎩，若()()212f a f a ->，则实数a 的取值范围是 .8. 函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M,m ，则M m +=__________．9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()()2lg 33f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为________. 10. 若集合12A A 、满足12=A A A ⋃，则称()12A A ，为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12=A A 时，()12A A ，与()21A A ，为集合A 的同一种分拆，则集合{}123=,,A a a a 的不同分拆种数是________.11. 设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足10i i c c +•<的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和244n S n n =-+，41n nb a =-()n N *∈，则数列{}n b 的变号数为 .12. 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足120n x x x ≤<<⋅⋅⋅<，且()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，则n n x +最小值为___________.二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分，每题有且只有一个正确选项） 13.a ，条件乙：sincos22a θθ+=，则（ ）A. 甲是乙的充分必要条件B. 甲是乙的必要条件C. 甲是乙的充分条件D. 甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 14. 已知函数()cos sin 2f x x x =下列结论中错误的是（ ）A. ()y f x =的图像关于(),0π中心对称B. ()y f x =的图像关于2x π=对称C. ()y f x =D. ()y f x =既是周期函数，又是奇函数 15. 解不等式11022xx ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭时，可构造函数()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()f x 在x R ∈是减函数及()()1f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (]0,1B. ()1,1-C. (]1,1-D. ()1,0-16. 对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立, 则称第2页，共3页()f x 是“控制增长函数”。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
2021-2022年高三(上)期中数学试卷含解析
2021-2022年高三（上）期中数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知i是虚数单位，复数Z=，则等于1﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的除法，求出复数z，再根据共轭复数的定义求出它的共轭复数．解答：解：复数Z==1+i，则复数z的共轭复数等于=1﹣i，故答案为：1﹣i．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）“ac=b2”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；对于充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．解答：解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件故答案为：必要非充分；点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．在应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况，这是解题的关键所在．3．（5分）已知2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差是3，则x1，x2，x3，…，x n的标准差为．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：已知2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差是3，根据方差的计算公式即可求得数据x1，x2，x3，…，x n的方差，从而得出标准差．解答：解：设x1，x2，x3，…，x n的方差为s2，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差为4s2=3，则标准差s=．故答案为：．点评：本题主要考查了方差的计算公式，是需要熟记的内容．4．（5分）（xx•长宁区二模）从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=，故答案为．点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题．5．（5分）如图程序运行结果是13．考点：伪代码．专题：阅读型．分析：根据i的初始值为4，循环条件是i＜6，可知循环次数，于是可以逐步按规律计算出a的值．解答：解：由题设循环体要执行二次，第一次循环结束后a=a+b=3，b=a+b=5，第二次循环结束后a=a+b=8，b=a+b=13，故答案为：13点评：本题考查循环结构，解决此题关键是理解其中的算法结构与循环体执行的次数，然后依次计算得出结果，属于基础题．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为零且a3，a5，a8依次成等比数列，则=2．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列的三项a3，a5，a8依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的性质化简，根据d不为0，得到a1=2d，然后将所求的式子分子利用等差数列的前n项和公式化简，分母利用等差数列的通项公式化简，将a1=2d代入，整理约分后即可求出值．解答：解：∵等差数列{a n}的a3，a5，a8依次成等比数列，∴a52=a3a8，即（a1+4d）2=（a1+2d）（a1+7d），整理得：a1d=2d2，∵d≠0，∴a1=2d，则===2．故答案为：2点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．7．（5分）（xx•上海）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．考点：两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：两直线平行，则方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，接解出m的值．解答：解：∵两直线平行，∴，故答案为﹣．点评：两直线平行时，直线方程中，一次项的系数对应成比例，但此比例不等于对应的常数项之比．8．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c=4，b=7，BC边上的中线AD的长为，则a=9．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：根据余弦定理分在两个三角形△ABD、△ABC中表示出角B的余弦值，将AB=4，AC=7，AD=，代入即可得到答案．解答：解：由题意知，BD=BC，再由余弦定理可得cosB==，将AB=4，AC=7，AD=，BD=BC，一并代入上式，即可求得BC=9，故答案为9．点评：本题主要考查余弦定理的应用，余弦定理在解三角形中应用非常广泛，要熟练掌握，属于中档题．9．（5分）已知数列{a n}是等差数列，O为坐标原点，平面内三点A、B、C共线，且=a1006+a1007，则数列{a n}的前xx项的和S xx=1006．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由已知得a1006+a1007=1，而S xx=1006（a1+a xx）=1006（a1006+a1007），代值即可．解答：解：∵平面内三点A、B、C共线，且=a1006+a1007，∴a1006+a1007=1故S xx==1006（a1+a xx）=1006（a1006+a1007）=1006故答案为：1006点本题为等差数列的性质和向量知识的结合，得出a1006+a1007=1是解决问题的关键，评：属基础题．10．（5分）（xx•南京二模）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x=6cm时，该容器的容积为48cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据图形，在等腰△PAB中算出高PE=5，再由勾股定理得出四棱锥的高PO=4，最后根据锥体体积公式，算出四棱锥P﹣ABCD的体积，即为该容器的容积．解答：解：等腰△PAB中，AB=x=6，高PE=5∴四棱锥的高PO===4由此可得，四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S正方形ABCD×PO=×62×4=48 即得该容器的容积为48cm3故答案为：48点评：本题给出平面图形，求翻折成的正四棱锥的体积，着重考查了正四棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．11．（5分）（xx•洛阳模拟）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则=3．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题．分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB 的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．解答：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则=×2cos=3，故答案为：3．点本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆评：周角为直角，求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏二模）设点F1，F2分别为椭圆的左，右两焦点，直线l为右准线．若在椭圆上存在点M，使MF1，MF2，点M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆离心率e的取值范围是．考点：椭圆的简单性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：欲求椭圆离心率e的取值范围，关键是建立a，c之间的不等关系，设M（x，y）利用MF₁，MF₂，d成等比数列，得出=，由于M在椭圆上，故﹣a≤x≤a，即有﹣1≤x/a≤1，从而得到不等关系﹣1≤≤1；解之即可得到e的取值范围．解答：解：设M（x，y）；l为右准线；故MF₂=r₂=a﹣ex；MF₁=r₁=2a﹣r₂=2a﹣（a﹣ex）=a+ex；MF₁，MF₂，d成等比数列，故有：r2₂=dr₁，即有（a﹣ex）2=（a+ex）（a﹣ex）/e，化简得e（a﹣ex）=a+ex，故=，由于M在椭圆上，故﹣a≤x≤a，即有﹣1≤x/a≤1，∴﹣1≤≤1；由于e﹣1＜0，故只需考虑不等式的左边，即考虑﹣1≤，﹣e（e+1）≤e﹣1，∴e2+2e﹣1≧0，故得e≥，即e的取值范围为．故答案为：．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、等比数列的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．13．（5分）（xx•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．解答：解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．14．（5分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是．考点：等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：等差数列与等比数列．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），再由点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，得到PM与QM垂直，利用圆周角定理得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最大值即为M与圆心A的距离与半径的和，求出即可．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即a﹣2b+c=0，可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），又点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90°，∴M在以PQ为直径的圆上，∴此圆的圆心A坐标为（，），即A（0，﹣1），半径r=|PQ|==，又N（3，3），∴|AN|==5，则|MN|max=5+．故答案为：5+点评：此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a﹣2b+c=0是解本题的突破点．二.解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC 的重心，．由此能够证明C1E∥平面ADF．（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．解答：解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．从而OF∥C1E．…（3分）OF⊂面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF．…（6分）（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC．由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD⊥平面B1BCC1．而CM⊂平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…（9分）因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF．…（11分）DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．CM⊂平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求sinA的值；（2）设，求△ABC的面积．考解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．点：专题：综合题．分析：（1）利用三角形的内角和，及二倍角的余弦公式，可求sinA的值；（2）求a，sinC的值，再利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．解答：解：（1）∵C﹣A=，C=π﹣B﹣A ∴2A=﹣B∴cos2A=cos（﹣B）=sinB=∴1﹣2sin2A=∵C﹣A=，∴sinA=（2）∵b=，sinB=，sinA=∴a=3∵sinC=sin（A+）=cosA=∴S△ABC=absinc==．点评：本题考查二倍角公式，考查三角形面积的计算，考查正弦定理的运用，属于中档题．17．（14分）（xx•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；证明题．分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24=﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．18．（16分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0和l3：x+y﹣1=0，且l1与l2的距离是；（1）求a的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．考点：两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（1）把两直线的方程的一次项系数化为相同的，再利用条件以及两平行线间的距离公式求得a的值．（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，由点到直线距离公式，依据条件②③建立方程组求得m和n的值，即可得到满足条件的点的坐标．从而得出结论．解答：解：（1）∵直线l1：﹣4x+2y﹣2a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，且l1与l2的距离是，∴=，解得a=3．（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，若P点满足条件②，则点P在与l1、l2平行的直线l′：2x﹣y+C=0上，∴，解得C=，或C=，故有2m﹣n+=0，或2m﹣n+=0．若P点满足条件③，由题意及点到直线的距离公式可得，=，化简可得|2m﹣n+3|=|m+n﹣1|，故有2m﹣n+3=m+n﹣1 或2m﹣n+3=﹣（m+n﹣1）．即m﹣2n+4=0，或3m+2=0（舍去）．联立2m﹣n+=0 和m﹣2n+4=0解得，应舍去．联立2m﹣n+=0和m﹣2n+4=0解得，故点P的坐标为（，），故能找到一点P同时满足这三个条件．点评：本题主要考查两平行线间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间；（2）分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数的最值．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=lnx﹣ax，函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数可得f'（x）=﹣2①由f'（x）＞0，x＞0，得0＜x＜②由f'（x）＜0，x＞0，得x＞故函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间是（，+∞）．…（8分）（2）①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a．…（10分）②当2，即a≤时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a．…（12分）③当1＜2，即时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数．又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，∴当时，最小值是f（1）=﹣a；当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a．…（15分）综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是﹣a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2﹣2a．…（16分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，确定分类标准是关键．20．（16分）（xx•闸北区一模）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，a n+1=﹣3n+21），其中λ为实数，n为正整数．S n为数列{b n}的前n项和．（1）对任意实数λ，证明：数列{a n}不是等比数列；（2）对于给定的实数λ，试求数列{b n}的通项公式，并求S n．（3）设0＜a＜b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a ＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）假设存在一个实数，使{a n}是等比数列，由题意知（）2=2，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（2）研究数列相邻两项，看相邻项的关系，以确定数列b n的性质，然后求出其通项公式；最后根据等比数列的求和公式并求S n（3）求出数列的前n项和，然后根据形式结合指数函数的性质求出其最值，则参数的范围易知．解答：证明：（1）假设存在一个实数，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a3，即（）2=2，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（2）因为b n+1=（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）=﹣（﹣1）n•（a n﹣3n+21）=﹣b n当λ≠﹣18时，b1=﹣（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．，当λ=﹣18时，b n=0，S n=0（3）由（2）知，当λ=﹣18，b n=0，S n=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，要使a＜S n＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）…①当n为正奇数时，1＜f（n），∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）．点本题属于数列综合运用题，考查了由所给的递推关系证明数列的性质，对所给的递推评：关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和，再由和的存在范围确定使得不等式成立的参数的取值范围，难度较大，综合性很强，对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高，是一道能力型题．w22317 572D 圭37945 9439 鐹u36521 8EA9 躩34819 8803 蠃27313 6AB1 檱26420 6734 朴34373 8645 虅&32949 80B5 肵38922 980A 頊'。
2020-2021上海奉贤区实验中学高三数学上期中模拟试卷含答案
1) 4n
2 3
，
4
∴ k 2 ．故 k 的取值范围是[ 2 , ) ．选 D．
3
3
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由 ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列，得出 B , A C 2 ,又因为 sin A 、
3
3
sin B 、 sin C 成等比数列，所以 sin2 B sin Asin C 3 ，整理计算即可得出答案. 4
1．D
解析：D 【解析】
设等比数列an的公比为 q ，则 q3
a4 a1
1 8 ，解得 q
1 2
，
∴ an
1 2n1
，
∴ anan1
1 2n1
1 2n
1 22n1
，
∴数列{anan1} 是首项为
1 2
，公比为
1 4
的等比数列，
∴ a1a2
a2a3
anan1
1 2
(1
1 4n
1 1
)
2 (1 3
三、解答题
21．在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sinB sinC msinAmR ,且
a2 4bc 0 ． (1)当 a 2, m 5 时,求 b, c 的值;
4 (2)若角 为锐角,求 m 的取值范围． 22．设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a cos B (2c b)cos A． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a 4 ， BC 边上的中线 AM 2 2 ，求 ABC 的面积．
选项 A 错误， x 可能为负数，没有最小值；
选项 B 错误，化简可得 y 2
2021届上海奉贤区奉贤中学高三上学期开学考试数学试题Word版含解析
2021届上海奉贤区奉贤中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（ ）．A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交D.平行或异面或相交【答案】D【解析】直线a 、b 与直线l 都成异面直线，a 与b 之间并没有任何限制， 所以a 与b 直线的位置关系所有情况都可能．故选D ．2．奇函数()f x 在区间[]1,4上为减函数，且又最小值2，则它在区间[]4,1--上（ ）A.是减函数，有最大值-2B.是增函数，有最大值-2C.是减函数，有最小值-2D.是增函数，有最小值-2【答案】A【解析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，同时对称区间上的最大值和最小值对应相反，由此判断函数()f x 的单调性和最小值.【详解】因为区间[]1,4与区间[]4,1--关于原点对称且()f x 是奇函数，所以()f x 在[]4,1--上递减， 又因为()f x 在区间[]1,4上的最小值为2，所以()f x 在区间[]4,1--上的最大值为2-， 综上可知：()f x 在区间[]4,1--上是减函数，有最大值2-.故选：A.【点睛】奇函数在对称区间上的单调性相同，奇函数在对称区间上的最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，偶函数在对称区间上的最值相同.3．函数y m x =与y = ）A.mB.m >C.1m ≥D.>1m【答案】D 【解析】“函数y=m|x|与y=等价于“方程有实数解”，由此能求出它的充要条件．解答：解：∵方程∴m ≥0，m 2x 2=x 2+1，即（m 2-1）x 2-1=0，当m=1时，方程为-1=0无意义当m ≠1时，有△=4（m 2-1）≥0，∴m ≥1或m ≤-1（舍）．综上知m ＞1故选D ．4．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a a n +=++，则122018111a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ） A.20172019B.40362019C.40342019D.20182019【答案】B 【解析】根据等式：11n n a a a n +=++，采用累加法计算出{}n a 的通项公式，再采用裂项相消法对122018111a a a ++⋅⋅⋅+进行求和. 【详解】因为11n n a a a n +=++，所以11n n a a n +-=+，所以()12n n a a n n --=≥，所以121n n a a n ---=-，......，则有：()()()()()11221......12......2n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=+-+-++，所以()()()12122n n n a a n +--=≥，所以()()122n n n a n +=≥， 又因为1n =时，11a =符合2n ≥的情况，所以()12n n n a +=，11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12201811111111403621 (223)201820192019a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++-= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】采用累加法求解数列的通项公式时，涉及到1n a -时注意标注2n ≥，最后求解出n a 的通项公式后注意验证1n =是否满足条件，如果满足只需要写出整体的通项公式，如果不满足则需要将通项公式写成分段的形式.二、填空题5．设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B =，则A B = __________．【答案】{ 1，2，5}【解析】试题分析：解：∵A ∩B={2}，∴log 2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A ∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}．【考点】并集点评:本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．6．74lim 35n n n →∞+=-______. 【答案】73 【解析】对7435n n +-采用分离常数的方式进行适当变形，使其可以直接计算出极限值. 【详解】 因为()()7473574747733lim lim lim 353533353n n n n n n n n →∞→∞→∞-+⎡⎤+==+=⎢⎥---⎣⎦，所以747lim 353n n n →∞+=-. 故答案为：73. 【点睛】 本题考查极限的简单计算，难度较易.形如lim n an b cn d →∞++形式的极限式可采用“分离常数”的方法去计算极限.7．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________【答案】24y x =【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到12p =，求得p 后即可得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为()1,0设抛物线方程为：22y px =，则12p = 2p ∴= ∴抛物线方程为：24y x = 故答案为：24y x =【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题. 8．二项式的展开式中的常数项为 ．【答案】112 【解析】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112. 【考点】二项式通项。
上海市奉贤区曙光中学2021届高三第一学期期中考试数学试卷Word版
曙光中学2020学年第一学期高三 期中考试试卷数学试题本卷满分150分，用时120分钟一.填空题（本大题共12题 ，1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分） 1.已知集合{}{}|212,1,0A x x =-<≤--，B= ，则A B =__________。
2.函数y ＝x 23的单调递减区间是_________。
3.若3＋2i 是实系数一元二次方程3x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则b ＋c ＝__________。
4.函数f (x )＝x －1的反函数是___________。
5.已知sin α＋cos α＝717，α∈（0，π），则tan α＝________。
6.已知定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f (x )。
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足213n n S a =-，则lim n n S →∞=_________。
8.若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是_______。
9.已知z C ∈，函数()()()13log 312x z f x x x R =++∈为偶函数，则212z z --＝________。
10.已知a ，b ，c ＞0，直线()lg 1y x ac =+与直线()lg 1y x bc =-互相垂直，则ab 的取值范围是__________。
11.已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立，则不等式2sin 222xx xa b π--≥的解集为___________.12.矩形ABCD 最后，AB ＝2，BC ＝1，直线l 交线段AB 于点E ，交线段CD 于点F ，若线段AB 上存在一点P ，P 关于直线l 的对称点Q 旗号在线段DF 上，设∠FEB ＝θ，则tan θ的取值范围是___________.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b >C ．2211a bc c >++ D ．a c b c >14.设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24n na =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅= 成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列15.已知数列{}n a 满足1*a N ∈，1,2+3,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期函数，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个16.已知()()20x f x xλλ-=>，若对于任意()2,4t ∈，总存在正数m ，使得()()0f t m f t m -++=成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．()0,4C ．()0,16D ．(]0,16三、解答题（本大题工5题，满分75分）17.（本题第1小题 6分，第2小题8分，满分14分）已知()1104ln 1 4x f x a x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩（1） 若函数()f x 在21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求a 的值；（2） 若25a =，求不等式()1f x <的解集。
2021年高三数学上学期期中试题(含解析)沪教版
2021年高三数学上学期期中试题（含解析）沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则 . 解析：，.2. 函数的最小正周期为 .解析：()2sin cos sin 2cos2442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期.3. 已知的展开式中，的系数为，那么实数 .解析：，令.4. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 . 解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.5. 在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为 .解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球. 现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 .（结果精确到0.001） 解析：7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为 .解析：很明显，所以，即.8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 .解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 . 解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.10. 已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为 . 解析：,.11. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 . 解析：，所以， 即.12. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 . 解析：为偶函数，，结合图形可知. 13. 设函数的定义域为，其中. 若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为 .解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；综上，应填或14.已知命题“，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.当时，结合函数图像可得，无解；当时，结合函数图像可得，所以，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.16.在钝角中，“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.17. 已知函数，其中，，则下列判断正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得到当时，取到最小值，所以选择C.18. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且仅有一个实数解；④若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C. 3个D.4个解析：，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有①不对；所以选择C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，直三棱锥中，，.⑴求直三棱锥的体积；⑵若是的中点，求异面直线与所成的角. 解析：∵ 且，∴ . ⑴； ⑵如图，取中点，连接、，又是的中点， 所以，所以即为异面直线与所成的角.计算可得，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成的角为. 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin 2sin 22,33f x x x x m x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且的最大值为1.⑴求的值，并求的单调递增区间；⑵在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.解析：⑴∵ ()sin 2sin 22sin 22332sin 23f x x x x m x x mx mπππ⎛⎫⎛⎫=++-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴即；令，得的单调递增区间为； ⑵，∴ ，又，∴21222a cb a bc c c ⇒-=⇒=， 即，故，所以为钝角三角形.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ ⑵要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？C1B A 1CC1B 1C解析：⑴每吨的平均处理成本为22004000040000200400200200y x x x x x x-+==+-≥-= 当且仅当即每月处理量为吨时每吨的平均处理成本最低，最低为200元； ⑵设该单位每月获利为（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．()2230030020040000500400000S x y x x x x x =-=--+=-+-≥解之得：由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.小题满分6分.已知函数，其中常数. ⑴时，求的最小值. ⑵讨论函数的奇偶性.⑶若恒成立，求实数的取值范围. 解析： ⑴时，，当且仅当即时取最小值2. ⑵，，所以当时为偶函数，因为此时有恒成立； 当时为奇函数，因为此时有恒成立. 当时为非奇非偶函数. ⑶由得；()()1122122222x x x x f x f x a a +---+<⇒+⋅<+⋅，令，有，即， 所以.小题满分8分.设函数为定义在上的奇函数，. 当时，. ⑴当时，求的解析式；⑵记，为，求及其反函数的解析式；⑶定义其中，探究方程在区间上的解的个数.解析： ⑴当时，，，即；当时，，有. ⑵()()()()()242f x f x f x f x f x +=-⇒+=-+=，则的周期为； 当时，， ∴ ，， 即.⑶由可得的对称轴为，所以的图像如下：接下来求解在上的解析式：①当为偶数时，为其周期，.所以； ②当为奇数时，为其周期，.所以()()()()()()3322222f x f x k x k f x k x k =-=--=--=--综上，，，所以将向右移动个单位，再向上移动个单位即可得到的图像： 显然，是连续的递增函数，∴ 当时，方程在区间上有一解， 当时，方程在区间上无解.% 28337 6EB1 溱36290 8DC2 跂34057 8509 蔉34865 8831 蠱25489 6391 掑a38884 97E4 韤h,32718 7FCE 翎22810 591A 多F。
上海市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(无答案)
上海市2024-2025学年高三上学期数学期中考试试卷1.已知集合，，则__________.2.不等式的解集为__________.3.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为__________.4.2024年世界杯亚洲区预选赛，中国与日本、澳大利亚、巴林、印尼和沙特分在同一小组，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，则该小组共有__________场比赛.5.若角的终边过点，则__________.6.（为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为__________.7.已知，则__________.8.已知，则的最小值为__________.9.过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是__________.10.已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________.11.在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是__________.12.已知，其中是一个正整数，若对任意实数，函数均满足，则的最小值为_________________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知、、三个社区的居民人数分别为、、，现从中分层抽样抽取一个容量为的样本，若从社区抽取了15人，则（ ）A.33B.27C.21D.1814.已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（ ）A.与异面B.与相交C.与平行D.与异面、相交、平行均有可能15.已知内接于单位圆，则长为、、的三条线段（ ）A.能构成一个三角形，其面积大于面积的{}1,0,1,2M =-()1,1N =-M N = 11x -≤1x =x a >a α()4,3P -3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭n 3sin 125πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭log 1a b =-4a b +()0,1P 22230x y x +--={}n a 92024a =1a a b c 12a b ⋅= a c ⋅= b c ⋅ ()66sin cos 44kx kx f x =+k a ()y f x =()()(){,1}{}y y f x x a a y y f x x =∈+==∈R ∣，∣，k A B C 60012001500n C n =l m n l m l n m n m n m n m n ABC △sin A sin B sin C ABC △12B.能构成一个三角形，其面积等于面积的C.能构成一个三角形，其面积小于面积的D.不一定能构成三角形16.已知函数的导数存在，的图象如图所示，设是由的图象与直线、及轴所围成的平面图形的面积，则在区间上（ ）A.的最大值是，最小值是B.的最大值是，最小值是C.的最大值是，最小值是D.的最大值是，最小值是三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知.（1）求函数的导数；（2）求函数的单调区间和极值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在正三棱柱中，，异面直线与所成的角的大小为.ABC △12ABC △12()y f x =()y f x =()()S t a t b ≤≤()y f x =x a =x t =x [],a b ()f x '()f a '()f c '()f x '()f c '()f b '()S t '()S a '()S c '()S t '()S c '()S b '()3287f x x x x =+-+()y f x =()y f x =111ABC A B C -14AA =1BC 1AA 3π（1）求正三棱柱的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8）如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业.在的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测到与相距31海里的处有一艘海警船巡航，为保护我渔船编队，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里/小时的速度向直线航行，30分钟后到达处，此时观测站测到、间的距离为21海里.（1）求的值：（2）试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛处？20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆，过的右焦点、斜率为的直线交于、两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积：（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）111ABC A B C -1BC 11AAC C A A 20B BC 40 AD B D sin BDC ∠A 22:12x C y +=C F k l C P Q C l POQ △OF (),0M m MP MQ m已知数列，若为等比数列，则称具有性质.（1）若数列具有性质，且，，求的值；（2）若，判断并证明数列是否具有性质；（3）设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式.{}n a {}1n n a a ++{}n a P {}n a P 121a a ==33a =5a ()21nn n b =+-{}n b P 212n c c c n n +++=+ {}n d P 11d =321d d c -=232d d c +={}n d。
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上海市奉贤区曙光中学2021届高三上学期期中数学
试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 已知集合，，则________
2. 函数的单调递减区间为_______
3. 若是实系数一元二次方程的一个根，则
__________.
4. 函数的反函数是______．
5. 已知，，则________.
6. 已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有
，则______．
7. 设数列的前项和为，若，则
__________．
8. 若函数存在零点，则实数的取值范围是______．
9. 已知，函数为偶函数，则＝
________.
10. 已知a，b，c＞0，直线与直线互相垂直，则的取值范围是__________.
11. 已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且
恒成立，则不等式的解集为
___________.
12. 矩形ABCD最后，AB＝2，BC＝1，直线l交线段AB于点E，交线段CD于点F，若线段AB上存在一点P，P关于直线l的对称点Q旗号在线段DF上，设
∠FEB＝θ，则的取值范围是___________.
二、单选题
13. 已知且，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．
D．
14. 设数列，下列判断一定正确的是（）
A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列
D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
15. 已知数列满足，，若为周期数列，则的可能取到的数值有（）
A．个B．个C．个D．无数个
16. 已知，若对于任意，总存在正数，使得
成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
三、解答题
17. 已知
（1）若函数在的最大值为，求的值；
（2）若，求不等式的解集.
18. 已知虚数满足
（1）求；
（2）若，求的值.
19. 已知．
（1）求的最大值及该函数取得最大值时的值；
（2）在中，分别是角所对的边，，是的面积，，比较与的大小．
20. 定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足：存在，使得，我们称函数为函数和函数的“均值函数”.
（1）若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数a的值.
（2）若，，且不存在函数和函数的“均值函数”，求实数k的取值范围；
（3）若，是和的“均值函数”，求的值域.
21. 定义：对于有穷数列，将数列中项后边比小的项记作，（若是的最后一项，则），则称数列是数列的统计数列. （1）若数列为8，3，a，2，4，的“统计数列”为4，2，1，0，0.求实数a的取值范围；
（2）若，其中，且不是常值数列，m＞2且，若，求数列的统计数列；
（3）定义在上的函数满足，且对任意的都有
成立，，，设，记作的统计数列，在所有可能的中，求数列的最大值.。