九年级数学：切线长定理
华师大版九年级下册数学27.切线长定理课件
(13﹣x)+(9﹣x)=14
x+y=9
Ax
x
F 9﹣y x
E
y+z=14 x+z=13
13﹣zx
O
B
9﹣y x
D
1z3﹣x
C
A
设△ABC的BC=a，AC=b，AB=c，内切 x
x
圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、 F
必须掌握并能灵活应用。
2.你还有什 么收获吗?
A F
OE
B
C
D
B
A
c
b
O
a
C
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角。
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
如图，已知⊙O的半径为3cm.点P和圆心O的距 离为6cm，经过点P有⊙O的两条切线PA 、 PB, 则切线长为_____cm，这两条切线的夹角为 __6_0__°_， ∠ AOB=_1_2_0_°__。
B
。
P
O
A
例1: 如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为
切点，连结BC交AO于D. ⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长； ⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。
九年级数学切线长定理
A
1
O
M
2
B
证明：
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
关键是作辅助 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 线~ 根据你的直观判断，猜想图中 PA是否等于PB？∠1与∠2又 又OA=OB，OP=OP， 有什么关系？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
P
A
O
P
B
• 切线长定理：
•
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
； https:///1/ ； https:///2/ ； https:///3/ ； https:///4/
； https:///5/；
道："屠将你呀の人撤回去吧,等白重炙出关了,俺让他交出神剑与你呀,如何?" "桀桀！你呀の承诺没有任何效用,那个不咋大的畜生不出来,俺就让整个炽火大陆替他殉葬！"屠继续笑一声,而后冷冷传音过来,言语中の寒意将下方数百条大船数万人同时感觉如坠冰窟. "你呀…"九大 人气の浑身一阵颤抖,怒道："你呀这样做炽火大陆迟早会被你呀毁灭,到时候炽火大陆都没人了,你呀这个领主还有用吗?" "桀桀,俺花费数百万神石购买了炽火位面,俺想怎么玩就怎么玩,想让它毁灭就毁灭.再说了全部灭绝又如何,不出数万年,这个位面又会繁衍出数亿人,所以这多 俺来说,没有什么损失！" 神主屠轻飘飘の一句传音,将九大人和在场の无数人以及时刻关注着这里の大陆神级强者,全部一震. 所以人第一时候感觉到只有两种心情,悲哀,愤怒！ 做为位面の领主,可以随意掌控位面の所有人生死.就算毁灭了一些文明,他也可以等待数万年,等待下 一些文明の诞生.他才是炽火位面の神,而炽火位面の所有人包括神级强者都
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
九年级下册数学精品课件24.4 第3课时 切线长定理
12
例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B， 点 C 在⊙O上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度 20 度． 数是________ 解析：如图所示，连接OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝ 140°. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴O，A，B，P四点共圆，OP平分∠APB，∴∠APB＝ 180°－∠AOB＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 故答案为 20.
8
2019/5/17
2. 若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么 新的结论? 请给出证明.
CA=CB 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线，点 A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. A ∴ △PCA ≌ △PCB， C O. ∴CA=CB.
B
2019/5/17
2019/5/17
13
练一练 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， 在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、 PB 于点D、E. 已知△PDE的周长为14，∠P=40°. 则 (1) PA= 7 ； A (2) ∠DOE= 70° . D
P C E B
2019/5/17
问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？ 试着 自己证明.
PA = PB， ∠APO =∠BPO. 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
4
A
O.
B
2019/5/17
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
九年级数学切线长定理
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
B
。
O
1 2
P
A
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，
A、B为切点，直线OP交⊙O E 于点D、E，交AB于C。
N
∴AL=AP， LB=MB, D
NC=MC， DN=DP O
P ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
C M B
例2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4， 求OB的长.
O CD
P
B （1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的相似三角形 （5）写出图中所有的等腰三角形
例1 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O
分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD
由切线长定理得：
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
小 结：
1.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的
切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角。 B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
E
。
OC
D
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
九年级切线长定理知识点
九年级切线长定理知识点九年级切线长定理是数学中的一个重要定理，它在解决几何问题中起到了至关重要的作用。
切线长定理的应用范围非常广泛，涉及到各种与圆相关的数学问题。
本文将从几何概念、切线的定义、切线长定理的推导和应用等方面进行讲解。
首先，我们来回顾一下一些基本的几何概念。
在平面几何中，圆是指平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径决定，其中圆心是指到圆上任意一点的线段的中点，半径是指圆心到圆上任意一点的线段。
而切线是指与圆只有一个公共点的直线。
那么，如何准确地描述切线的定义呢？我们可以从圆的性质出发来定义切线。
对于任意一点P在圆上，过P点与圆心O的直线，称为弦。
如果弦只有一个公共点与圆相交，那么这条弦就是切线。
换言之，切线是与圆只有一个交点的直线。
接下来，我们来探索一下切线长定理的推导过程。
假设已知圆的半径为r，切线与半径的交点为A，切线与圆的切点为B，那么我们要证明切线长与半径和半径所对的圆心角存在相等关系。
首先，我们可以得到△OBA为直角三角形。
通过勾股定理，我们可以得到OB的平方等于OA的平方加上AB的平方，即OB²=OA²+AB²。
运用一些几何性质，我们得到△OBA与△OAB相似。
由于两个三角形的对应边的比例相等，于是可以得到OA的比例等于AB的比例，即OA/AB=AB/OB。
同时，AB/OB等于弦两端的线段的比例，即AB/2r，因为弦被半径平分。
将这个比例代入前面的等式中，我们可以得到OA²=2r×AB。
这就是切线长定理的推导过程。
经过推导，我们可以得出切线长与半径之间的关系。
具体来说，切线长等于半径的平方乘以2，即l=2r。
这意味着在圆上，如果我们知道了圆的半径，就可以直接计算出切线的长度，而不需要知道切线与半径的具体交点位置。
切线长定理在解决几何问题中发挥了重要的作用。
它在很多应用中都展现出了其独特的价值。
例如，当我们需要计算切线的长度时，只需要知道圆的半径即可，无需知道切线与圆的具体交点位置。
24.2.2 第3课时切线长定理
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心 A
和这一点的连线平分两条切线
的夹角.
O
P
书写格式: PA、PB分别切⊙O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理可以用来证明线段相等、角相等。
PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
O
P
B
（1）若AP=4,则OP= 5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP=
6.
问题
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
A
已知：△ABC.
求作：和△A
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O.
N M
O
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆.
C
B
D
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. 4.这个三角形叫做圆的外切三角形. A D F
I
B ┐ E
C
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边 垂直平分线 线的交点
图形
A
性质
OA=OB=OC
B
O
三角形三个内 内心：三 角角平分线的 角形内切 交点 圆的圆心
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
24.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
学习目标
1.掌握切线长定理，会用切线长定理计算与证明.
2.理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
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切 线 长 定 理 胜利中学刘秀峰
学习目标：理解切线长、切线长定理，并会用切线长定理解决实际问题。
培养学生的观察、
分析能力，转化思想。
重点：切线长定理及实际应用。
难点：切线长定理的实际应用。
学习过程：
一、如图：在同一平面内，你能过已知点，作出已知圆的切线吗？
二填空：
1、经过 一点作圆的切线, 和 之间的 叫做这点到圆的
2、如图：(1)直线PA ，PB 叫 。
（2）线段PA 、PB 的长叫 。
3、切线和切线长是两个不同的概念：
（1）、切线是一条与圆相切的 ，不能 ；
（2）、切线长是 ，这条线段的两个端点分别是 和切点，可以 。
4、切线长定理：从 可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角．
5、切线长定理的数学语言是：
∵
∵
6、如图：PA 、PB 是∵O 的两条切线，A 、B 为切点；由切线长定理可以得出哪些结论？
(1) 图中所有的直角三角形是：
(2) 图中所有的等腰三角形是：
(3) 图中所有的全等三角形是：
三、尝试应用（一），我最棒！ 如图：已知∵O 的半径为3cm ，PO ＝5cm ，PA ，PB 分别切∵O 于A ，B ，
（1）PA ＝ ,PB ＝ .
（2）若PO 交∵O 于点Q ，直线CD 切∵O 于点Q ，交PA 、PB 于点C 、D ，则
∵PCD 的周长是______.
· O · O · O ·P ·P ·P O B A P O B A P C Q D Q D C 。
A O C P B
四、如图：有一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮?
五、尝试应用（二）
已知：在∵ABC 中，BC ＝14厘米，AC ＝9厘米，AB ＝13厘米，它的内切圆I 分别和BC ，AC ，AB 相切于点D ，E ，F ，求AF ，BD 和CE 的长
六、小结：
1、本节课你有什么收获？
2、你还有什么不明白的问题吗？
七、课堂检测，我是高手！要求认真读题、回扣知识点！
1、直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm 则其内切圆的半径为______。
2.已知：AB,BC,CD 分别与⊙O 相切于E,F,G 三点，且AB ∥CD ，BO=6cm ，CO=8cm.求BC 的长..
A B C ● I D E F B
A C a b c r A F E D C
B O G。