2020-2021天津津英中学高中必修二数学下期中试卷(含答案)
想象能力.
5．D
解析：D 【解析】
r
m
试题分析：A.
} r
不正确，以墙角为例，, 可能相交；B.
}l
lm
mr 不正确， l, 有可能平行；C. } m n 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选
（1）求证： AD 平面 BCC1B1 ； （2）求证： EF // 平面 A1B1C1 . 26．如图， AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆 O 的直径，
D、E 分别是 AA1 、 CB1 的中点， DE 平面 CBB1 ．
（1）证明： AC 平面 AA1B1B ； （2）证明： DE / / 平面 ABC.
等，所以球心在对角线 AC 上，且球的半径为 AC 长度的一半，
即 r 1 AC 1
2
2
AB2
BC2
5 2
，所以V
4 r3 3
4 3
5 2
3
125 6
.
故选：C 【点睛】 本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.
7．D
解析：D 【解析】 该几何体为半圆柱，底面为半径为 1 的半圆，高为 2，因此表面积为
nr
D。 考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。 点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为 AC 的中点，即
可求出球的半径，代入体积公式即可得解.
【详解】
因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相
A．
||
B．
m|| l m
l
m||
C．
n||
m||n
m
D．
n
m||n
6．矩形 ABCD中， AB 4 ， BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角
B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积是（ ）
A． 125 12
B． 125 9
C． 125 6
2，
2
所以由圆的弦长公式可得 2 ( 1 a)2 ( 2)2 4 ，解得 a 3，故选 A.
【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，
求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推 理与运算能力.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】
【分析】
依题意由 △A1B1C1 的面积为 2 2 ，解得 B1C1 4 ，所以 BC 8 ， AC 2 ，根据勾股定理 即可求 AB ．
【详解】
依题意，因为 △A1B1C1 的面积为 2 2 ，
所以 2
2
1 2
A1C1 B1C1
A．－3
B．－4
C．－6
D． 3 6
4．已知正四面体 ABCD 中， M 为棱 AD 的中点，设 P 是 BCM （含边界）内的点，若
点 P 到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等，则符合条件的点 P （ ）
A．仅有一个
B．有有限多个
C．有无限多个
D．不存在
5．已知三条直线 m, n,l ，三个平面, , ，下列四个命题中，正确的是（ ）
④“平面 / / 平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等”.
其中正确命题的序号是____________________
14．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列
命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互
G 是线段 BD 的动点，则( )
A．存在点 G ，使 PG EF 成立
B．存在点 G ，使 FG EP 成立
C．不存在点 G ，使平面 EFG 平面 ACD 成立
D．不存在点 G ，使平面 EFG
平面 ABD 成立
10．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M ， N 分别是 BC1 ， CD1 的中点，则下列说
其中正确结论的序号是
．（请把正确结论的序号都填上）
18．将一张坐标纸折叠一次，使点 (10,0) 与点 (6,8) 重合，则与点 (4, 2) 重合的点是______.
19．正四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S、A、B、C、D 都在同一个球
面上，则该球的体积为______．
为 3 2 1 ， SPAB 最大值为 3 2 . 2
【详解】
由题意，圆 x2+y2+kx=0 的圆心（- k ，0）在直线 x-y-1=0 上， 2
∴- k -1=0，∴k=-2,∴圆 x2+y2+kx=0 的圆心坐标为（1，0），半径为 1 2
∵A（-2，0），B（0，2），
∴直线 AB 的方程为 x + y =1，即 x-y+2=0 22
（1）证明：EF∥平面 PAB； （2）若二面角 P－AD－B 为 60°． ①证明：平面 PBC⊥平面 ABCD； ②求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值．
23．在四棱锥 S ABCD 中，平面 SAB 平面 ABCD ，平面 SAD 平面 ABCD .
（Ⅰ）证明： SA 平面 ABCD ； （Ⅱ）若底面 ABCD 为矩形， SA 2AD 3AB ， F 为 SC 的中点， BE 2 BC ，求直
sin
45
1 2
2
B1C1
2 ，解得 B1C1 4 ， 2
所以 BC 8 ， AC 2 ，又因为 AC BC ，
由勾股定理得： AB AC2 BC2 82 22 68 2 17 ．
故选 B． 【点睛】 本题考查直观图还原几何图形，属于简单根据正四面体的对称性分析到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等的点的轨 迹，与 BCM 所在平面的公共部分即符合条件的点 P .
【详解】
在正四面体 ABCD 中，取正三角形 BCD 中心 O ，连接 AO ，根据正四面体的对称性，线 段 AO 上任一点到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等，到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等的点都在 AO 所在直线上， AO 与 BCM 所在平面相交且 交于 BCM 内部，所以符合题意的点 P 只有唯一一个.
3 线 EF 与平面 SCD 所成角的正弦值.
24．已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围；
(2)若 OM ON ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 25．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC1 、 BB1 的中点.
∴圆心到直线 AB 的距离为 3 2 . 2
∴△PAB 面积的最大值是 1 | AB | (3 2 1) 1 2 2 3 2 2 3+ 2
2
2
2
2
故选 D．
【点睛】
主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相
离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为
是与 x 轴平行的线段仍然与 x 轴平行且相等；二是与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行且长
度减半.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆上两点 M , N 关于直线 x y 1 0对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标 与半径，要使得 PAB 面积最大，则要使得圆上点 P 到直线 AB 的距离最大，所以高最大
16．直线
与圆
交于
两点，则
________．
17．如图，以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂
直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
① BD AC 0 ；
②∠BAC＝60°；
③三棱锥 D﹣ABC 是正三棱锥；
④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直．
20．已知棱长等于 2 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，它的外接球的球心为 O﹐点 E 是 AB
的中点，则过点 E 的平面截球 O 的截面面积的最小值为________.
三、解答题 21．如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE,G, H 分别为 AC, BC 的中点．
（Ⅰ）求证： BD / / 平面 FGH ； （Ⅱ）若 CF 平面 ABC , AB BC,CF DE ， BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小． 22．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BA＝BD＝ 2 ，AD＝2，PA＝PD ＝ 5 ，E，F 分别是棱 AD，PC 的中点．
2020-2021 天津津英中学高中必修二数学下期中试卷(含答案)
一、选择题 1．水平放置的 ABC 的斜二测直观图如图所示，若 A1C1＝2 ， △A1B1C1 的面积为 2 2 ， 则 AB 的长为（ ）
A． 2
B． 2 17
C．2
D．8
2．已知 A(2, 0) ， B(0, 2) ，实数 k 是常数， M ， N 是圆 x2 y2 kx 0 上两个不同
点， P 是圆 x2 y2 kx 0 上的动点，如果 M ， N 关于直线 x y 1 0对称，则
2020-2021学年天津三中高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津三中高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分。
）1．（3分）若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或12．（3分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（3分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x 的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（3分）设，是非零向量，“＝||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．6．（3分）如果在△ABC中，a＝3，，c＝2，那么B等于（）A．B．C．D．7．（3分）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（）A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm8．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
）10．（4分）若复数，则|z|＝．11．（4分）若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为．12．（4分）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，A＝45°，则b等于．13．（4分）等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为．14．（4分）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为．15．（4分）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．三、解答题（共4题，第16、17、18题每小题12分，第19题13分，共49分.）16．（12分）已知＝（1，2），＝（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．17．（12分）如图，在▱ABCD中，M，N分别在BC，AB上，且BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝．（1）试用，表示，；（2）若||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，求•的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果a+b＝6，＝4，求c的值．19．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．2020-2021学年天津三中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分。
天津市重点高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于 ()32f x x ax b =-+()()1,1f 34πa A ．2 B ． C ．3D ．2-1-【答案】A【详解】，所以，解得，故选A.()232f x x ax '=-()1321f a =-=-'2a =2．如果记录了，的几组数据分别为，，，，那么y 关于x 的经验回归直x y ()0,1()1,3()2,5()3,7线必过点（ ） A ． B ． C ． D ．()2,2()1.5,2()1,2()1.5,4【答案】D【分析】求出得中心点，即为所求． ,x y 【详解】由已知，， 0123 1.54x +++==135744y +++==所以回归直线必过点． (1.5,4)故选：D ．3．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）()y f x =()'y f x =A ．在内是增函数B ．在内是增函数 ()3,1-()f x ()4,5()f xC ．在时取得极大值D ．在时取得极小值1x =()f x 2x =()f x 【答案】B【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.()'y f x =()f x ()f x 【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上()f x ()33,,2,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()'0,f x f x <()3,2,4,52⎛⎫- ⎪⎝⎭递增.()()'0,f x f x >所以不是的极值点，是的极大值点.1x =()f x 2x =()f x所以ACD 选项错误，B 选项正确. 故选：B4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ，则P (X ＝2)＝（ ）(14,2)A ．B ．C ．D ．323438316【答案】C【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】. ()222411321228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：C5．函数的单调递减区间是（ ） 23()25ln 2f x x x x =-+A ．B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭C ． D ．()1,+∞()0,1【答案】D【分析】根据导数的性质，结合函数的定义域进行求解即可. 【详解】函数的定义域为：， 23()25ln 2f x x x x =-+{}0x x >， 2'5(35)(1)()3(23)25ln 2x x f x x x xf x x x x +-⇒=-+=-=+当时，函数单调递减，因为，所以解得， '()0f x <0x >01x <<故选：D6．已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 ()1nx +A ． B ．C ．D ．12211210292【答案】D【详解】由题设可得，令可得所有项的二项式系数和为，令可得偶数项二项式10n =1x =102=1x -系数的和与奇数项二项式系数的和相等，即展开式奇数项的二项式系数和为，应选答案1091222⨯=D ．7．若函数在上为增函数，则m 的取值范围为（ ） ()ln mf x x x=-[]1,3A ． B ．C ．D ．(],1-∞-[)3,-+∞[)1,-+∞(],3-∞-【答案】C【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m 的范围即可. 0x m +≥[]1,3【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立，()ln mf x x x=-[]1,3()2210m x m f x x x x '+=+=≥[]1,3即在恒成立，则，解得. 0x m +≥[]1,3()max m x ≥-1m ≥-故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．8．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）2()ln 2f x x ax =+-1,22⎛⎫⎪⎝⎭a A ． B ． C ． D ．(,2]-∞-1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,)-+∞【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即212a x >-1(,2)221()2g x x =可求出的范围.a 【详解】∵， 2()ln 2f x x ax =+-∴，1()2f x ax x'=+若在区间内存在单调递增区间，则有解，()f x 1(,2)21()0,(,2)2f x x '>∈故， 212a x >-令，则在单调递增， 21()2g x x =-21()2g x x =-1(,2)2，1()(22∴>=-g x g 故. 2 a >-故选：D.9．已知函数恒有零点，则实数k 的取值范围是（ ）()ln e xf x x x x k -=---A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,1e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦11,1e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦11,0e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据给定条件，利用导数求出的最大值即可求解作答.()f x 【详解】函数的定义域为，求导得：()ln e xf x x x x k -=---(0,)+∞， 1(1)(e )()1(1)e e x xxx x f x x x x ---'=---=令，，则，即在上单调递增，，()e x g x x =-0x >()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞()()01g x g >=因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在01x <<()0f x '>1x >()0f x '<()f x (0,1)上单调递减，(1,)+∞于是得当时，，函数的值域是，1x =max 1()1e f x k =---()f x 1(,1]ek -∞---而函数恒有零点，当且仅当，解得，()ln e xf x x x x k -=---110e k ---≥11e k ≤--所以实数k 的取值范围是.1(,1]e -∞--故选：B【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合求解.二、填空题10．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.11．展开式中的常数项为__________.62x ⎫⎪⎭【答案】60【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求得参数r 的值，即可求得答案.【详解】由题意的展开式的通项为 ，62x ⎫⎪⎭33621662C ()(2)C ,0,1,2,,6rr r r r rr T x r x --+=-=-= 令， 330,22rr -=∴=故展开式中的常数项为，62x ⎫⎪⎭2260C (2)6-=故答案为：6012．某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答） 【答案】16【分析】将符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项的方法，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项的方法，再根据分类加法原理求解.【详解】符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项，其中第一类中含4种不同的报名方法，第二类中的报名方法可分三步完成，第一步从100米，200米中选择一项，第二步从跳高，跳远两项比赛选择一项，第三步从余下的三项比赛中选择两项参赛，故第二类方法共有种，由分类加法原理可得共有16种方法.2322C ´´故答案为：16.13．函数在上的极大值为，极小值为，则__________. ()cos f x x x =+()0,πM N M N +=【分析】直接求导，再判断函数单调性，进而求出极值即可．【详解】因为，令，解得或， ()sin (0)f x x x π'<<()0f x '=3x π=23x π=当时，，单调递增；(0,)3x π∈()0f x '>()f x 当时，，单调递减； (,)33x π2π∈()0f x '<()f x 当时，，单调递增， 2(,)3x ππ∈()0f x '>()f x所以极大值， ()cos 333M f πππ==+极小值， 222()cos 333N f πππ==+则， M N +=． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．14．一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率___．【答案】【详解】试题分析：表示在第一次取出的是一等品的情况下，第二次取出的是一等品的概率．第一取出一等品的概率为，然后还有个一等品和个二等品，所以第二次取出的是一等品的概率为，则条件概率为.【解析】条件概率.【易错点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记相关概念即计算公式．条件概率为事件发生的前提下在发生事件的概率，用公式可表示为，容易与且事件的概率计算混淆，且事件概率为事件的概率与事件的概率直接相乘.15．已知为定义在上的奇函数，且，当时，恒成立，则不()f x R ()20f =0x >()()'0xf x f x +>等式的取值范围是_________ . ()0f x <【答案】()(),20,2-∞- 【分析】令，然后根据条件可得在上单调递增，然后可解出答案.()()g x xf x =()g x ()0,+∞【详解】令，则，()()g x xf x =()()()'g x xf x f x '=+因为当时，，所以在上单调递增，0x >()()'0xfx f x +>()g x ()0,+∞因为，所以，()20f =()20g =所以时，，所以，()0,2x ∈()()20g x g <=()0f x <因为为定义在上的奇函数，所以不等式的取值范围是 ()f x R ()0f x <()(),20,2-∞- 故答案为：()(),20,2-∞-三、解答题 16．已知函数. ()232xf x x a-=+(1)若，求曲线在点处的切线方程；0a =()y f x =()()1,1f(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值. ()f x 4x =()f x ()f x []2,3x ∈-【答案】(1)，450x y +-=(2)的增区间是，，减区间是，在上最大值是1，最小值是()f x (,1)-∞-(4,)+∞(1,4)-()f x [2,3]-． 313-【分析】（1）求出导函数，计算出，，由点斜式得直线方程并化简；()f x '(1)f '(1)f （2）求出，由求得，然后由得增区间，得减区间，从而可得()f x '(4)0f '=a ()0f x '>()0f x '<在上的单调性，求出极值区间端点处的函数值，比较可得最值．()f x [2,3]-【详解】（1）时，，则， 0a =232()x f x x -=24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，又，所以切线方程为，即，(1)4f '=-(1)1f =14(1)y x -=--450x y +-=（2），由题意，， 222262()()x x a f x x a --'=+232242(4)0(16)a f a --'==+4a =所以，， 232()4xf x x -=+222268()(4)x x f x x --'=+222(1)(4)(4x x x +-=+）或时，，时，，1x <->4x ()0f x '>14x -<<()0f x '<所以的增区间是，，减区间是，由此也说明满足题意． ()f x (,1)-∞-(4,)+∞(1,4)-4a =时，在上递增，在上递减， [2,3]x ∈-()f x [2,1)--(1,3)-，又，， ()11f -=7(2)8f -=3(3)13f =-所以在上最大值是1，最小值是． ()f x [2,3]-313-17．某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为. 99100p =（2）X 的分布列为：X 的期望为.【分析】(1) A 中至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中的学生，计算概率后，再用1减，即是所求概率；(2)6名队员中有3男，3女，所以选4人中，X 表示参赛的男生人数，X 的可能取值为1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列分布列和求期望. 【详解】(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－(2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3. P(X ＝1)＝，P(X ＝2)＝，P(X ＝3)＝.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.【解析】1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.18．已知函数，()()2ln ln f x x x a =+()0a >(1)设是的导函数.若对任意的恒成立，求的取值范围； ()f x '()f x ()21f x x '≤0x >a (2)设函数，当时，求在区间上的最大值和最小值. ()ln x h x x x =-1b >()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 0a <≤(2)最小值为，最大值为-11ln b b b--【分析】（1）先得出，化简分离参数得恒成立，构造函()()2ln ln 12f x a x x x++'=2ln 12ln a x x +≤-数，求导得出其最小值计算即可；()()2ln 0g x x x x =->（2）利用导数判定的单调性，再构造函数在和中判定最小值即可.()h x 1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b 【详解】（1）由已知可得：，()()()()2ln ln 2ln ln f x x x a f x x x a x '=+⇒=++()0x >所以原不等式等价于()()2212ln 12l ln ln 1n f x a x x x xx a ++'=≤⇒+≤-令，则，令，即在上单调递增，()()2ln 0g x x x x =->()2x g x x -'=()02g x x '>⇒>()g x ()2,+∞，即在上单调递减，故 ()002g x x '<⇒<<()g x ()0,2()()222ln 2g x g ≥=-即2ln 122ln 20a a +≤-⇒<≤（2），令， ()()22ln 1ln x x x h x x h x x x --'=-⇒=()()21ln 0u x x x x =-->则，即在上单调递减，而()120u x x x'=--<()u x ()0,∞+()10u =故时，，即在上单调递增，同理可得在上单调递减. ()0,1x ∈()0h x '>()h x ()0,1()h x ()1,+∞当时，有，所以在区间上的最大值为，最小值在和1b >101b b <<<()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()11h =-1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b 中取最小即可.令，()()1H b h b h b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1b >则，即在上单调递增，故()()()22111ln ln 0b H b b b b H b b b b b -⎛⎫'=+-+⇒=> ⎪⎝⎭()H b ()1,+∞，所以＜，即在区间上的最小值为.()()10H b H >=1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b ()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11ln h b b b b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭综上：在区间上的最小值为，最大值为-1.()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1ln b b b --19．设函数．()()2ln f x ax x a =--∈R (1)若在点处的切线斜率为，求a 的值；()f x ()()e,e f 1e(2)当时，求的单调区间；0a >()f x (3)若，求证：在时，．()e xg x ax =-0x >()()f x g x >【答案】(1) 2ea =(2)答案见解析 (3)证明见解析【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，分、()1e ef '=a ()()10ax f x x x-'=>0a ≤两种情况讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即0a >()e ln 20xh x x =-->可，利用不等式，即可证明.e 1x x >+ln 1≤-x x 【详解】（1）解：函数，则， ()()2lnf x ax x a =--∈R ()'1f x a x=-因为在点处的切线斜率为，()f x ()()e,e f 1e所以，解得.()11e e ef a =-='2e a =（2）由（1）知：， ()()'10ax f x x x-=>当时，恒成立，所以在上单调递减；0a ≤()'0f x <()f x ()0,∞+当时，令，得，令，得，0a >()'0f x <10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x >1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增.()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3），()()()2ln e e ln 2x xf xg x ax x ax x -=----=--令，则，()e 1xh x x =--()'e 1x h x =-因为，所以，0x >()'0h x >则在上单调递增，又，所以恒成立，即；()h x ()0,∞+()00h =()0h x >e 1x x >+令，，时，，时，，所以()ln 1H x x x =-+()'11H x x=-()0,1x ∈()'0H x >()1,x ∈+∞()'0H x <在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即()H x ()0,1()1,+∞()()max 10H x H ==()0H x ≤，ln 1≤-x x 所以，得证.()()()()e ln 21120xf xg x x x x -=-->+---=。
2020-2021天津华英中学高中必修二数学下期中一模试题(含答案)
2020-2021天津华英中学高中必修二数学下期中一模试题(含答案)一、选择题1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．2732B ．1086+ C ．166+ D ．322166+2．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥3．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32-B ．4C ．6D ．32+ 4．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．307．已知点()1,2-和33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．9．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．110．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．13C ．15D 3211．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16012．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________15．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________. 16．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ．17．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.18．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．19．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.20．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 22．已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=. （1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23实数a 的值.23．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.24．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60°，1AP =，3AD =，求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值.25．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：BD ⊥平面PAC .26．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥； （2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形，故E 为AC 的中点，所以OE ==，设D 到底面ABC 的距离为h ，则h OE R ≤+=所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(114432⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．2．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为12+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是112||(1)2222AB +=⨯= 故选D ． 【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．5．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B6．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．7．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (33,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121, 3.0130PA PB k k ---==-==--∵点(1,−2)和(3,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ<3，tanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.8．C解析：C 【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以,,,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.考点：简单几何体的三视图．9．A解析：A【解析】 【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．11．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-= 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.12．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.14．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平解析：①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两 解析：13【解析】【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果.【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩， 所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离为()224652213-+==，故答案为213.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙. 16．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A ＝120°AB ＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60解析：3 【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O ．在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1．过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求．由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°．在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE ＝32．17．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 18．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====12ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以3h =，因为球心到平面ABC 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力19．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的解析：2271416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(2)y < 【解析】【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解.【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即1=，联立消去a 并由图可知2y <，可得 ()2271()2416x y y +-=<. 故答案为：()2271()2416x y y +-=< 【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题. 20．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】【分析】（1）证明AD BD ⊥，利用平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，可得AD ⊥平面PBD ，从而AD PB ⊥；（2）作//EF BC ，交PB 于点F ，连接AF ，连接DF ，PBD ∆中，由余弦定理求得cos 25BPD ∠=，即可得出结论．【详解】 （1）证明：在ABD △中，2AD =Q ，4AB =，60BAD ∠=︒，∴由余弦定理可得23BD =，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，AD ∴⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBDAD PB ∴⊥.（2）解：作//EF BC ，交PB 于点F ，连接AF ，由////EF BC AD 可知A ，D ，E ，F 四点共面，连接DF ，所以由（1）的结论可知，PB ⊥平面ADE ，当且仅当PB DF ⊥.在PBD △中，由4PB =，23BD =25PD =余弦定理求得cos 25BPD ∠=，∴在Rt PDF V中，cos 3PF PD BPD =∠=， 因此34PE PF PC PB λ=== 【点睛】 本题考查立体几何有关知识，考查线面、面面垂直，考查运算能力，属于中档题．22．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r =.当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=， 由题意得：221k =+，解得34k =-， ∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB 为23，半径为2.圆心到直线40ax y -+=的距离21d a =+，∴22223421a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．23．（1）见解析；（2）26【解析】【分析】（1）连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，易知底面EBCD 是平行四边形，则O 为BD 中点，又M 是BP 中点，可知PD MO P ，则结论可证.（2）先证明ADE V 是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD ⊥平面BCDE ，则由（1）可知MN ⊥平面BCDE ，则MN 为三棱锥M BCE -的高，底面BCE V 的面积容易求得，根据公式求三棱锥M BCE -的体积.【详解】（1）在平面图中，因为12BE AB CD ==且//BE CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形；在立体图中，连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，所以点O 是BD 的中点，又因为点M 为棱PB 的中点，所以//OM PD ，因为PD ⊄平面MCE ，OM ⊂平面MCE ，所以//PD 平面MCE ；（2）在平面图中，因为EBCD 是平行四边形，所以DE BC =，因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AD BC =，所以AD DE =，因为45BAD ∠=︒，所以AD DE ⊥；在立体图中，PD DE ⊥，又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ⋂平面EBCD DE =，PD ⊂平面PDE 所以PD ⊥平面EBCD ，由（1）知//OM PD ，所以OM ⊥平面EBCD ，在等腰直角三角形ADE 中，因为2AE =，所以2AD DE ==所以11222OM PD AD ===，又1BCE ADE S S ∆∆==， 所以1236M BCE BCE V S OM -∆=⋅⋅=. 【点睛】本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.24．（1）见解析；（27 【解析】【分析】（1）连接辅助线构造三角形，利用三角形中位线定理证明线线平行，再通过线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，通过二面角D AE C --为60°，利用平面法向量求出点B 的坐标，再利用法向量求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值.【详解】（1）如图，连接BD ，且BD AC O ⋂=，则在矩形ABCD 中O 为BD 中点，且在PBD △中，E 为PD 的中点，∴//OE PB且OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴//PB 平面AEC ；（2）如图以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，1AP =，3AD BC ==，设AB CD a ==，()0,0,0A ， ()3,0C a ，()3,0D ，31,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ∴()3,0AC a =u u u r ，310,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()3,0AD =u u u r 设平面AEC 、平面AED 和平面ECD 的法向量分别为()1111,,n x y z =u r ，()2222,,n x y z =u u r ，()3333,,n x y z =u u r则有1100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，∴11111020y z ax +=⎨⎪+=⎩，令1x)1n a =-u r ，同理可得()21,0,0n =u u r，()3n =u u r ， ∵二面角D AE C --为60° ∴12121cos 602n n n n ⋅︒==u r u u r u r u u r ，12=， 解得32a =，∴32AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，()3n =u u r ， 设AC u u u r 与3n u u r 所成角为θ，∴33cos n AC n AC θ⋅===u u r u u u r u u r u u u r 即直线AC 与平面ECD. 【点睛】 本题考查用线面平行判定定理证明线面平行，用空间向量求线面所成角，考查推理论证能力、运算求解能力和转化与化归思想，是中档题.25．证明见解析．【解析】试题分析：（1）要证PA 与平面EBD 平行，而过PA 的平面PAC 与平面EBD 的交线为EO ，因此只要证//PA EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD 垂直于平面PAC ，就是要证BD 与平面PAC 内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD 与AC 是垂直的，因此只要再证BD PO ⊥，这由线面垂直的性质或定义可得．试题解析：证明：（1）连接EO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∵E 是PC 的中点，∴OE 是APC ∆的中位线.∴//EO PA ，∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE .（2）∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO BD ⊥，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵PO AC O ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC .考点：线面平行与线面垂直的判断．26．（1）证明见详解（2）存在，95PM =【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理可证AD PH ⊥，再由BD PH ⊥即可求证；（2）要证HM ⊥平面PAD ，即证MH PD ⊥，可作HM PD ⊥，连接AM ，经几何关系验证，恰好满足直线HA 与平面PAD 35，求得95PM =； 【详解】（1）AD ⊥平面PBD ，PH 在平面PBD 上，所以，AD PH ⊥，又BD PH ⊥，AD 交BD 于D ，所以，PH ⊥平面ABCD ，所以，PH CD ⊥（2）由题可知，6BD =，又13BH BD =，所以4HD =，132PH BD ==，5PD =，要证HM ⊥平面PAD ，由题设可知AD ⊥平面PBD ，则AD HM ⊥，即证HM PD ⊥， 作HM PD ⊥，在PHD ∆中，由等面积法可知125PH HD HM PD ⋅==， 2245HA HD AD =+=直线HA 与平面PAD 所成角正弦值即为12355sin 2545HAM ∠==，此时3393555PH PM ==⨯= 【点睛】本题考查线面垂直的证明，由线面垂直和线面角反求满足条件的点具体位置，逻辑推理与数学计算能力，属于中档题。
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足z3−i =i ，则z −=( )A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i2. 已知曲线f(x)=(x +alnx)e x 在点(1,e)处的切线经过坐标原点，则a =( )A. −eB. −2C. −1D. e −23. 若函数，则下列结论正确的是( )A.B.C. 是偶函数D.是奇函数4. 按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为( )A. 108B. 128C. 148D. 1685. 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f′(x)<1(x ∈R)，则不等式f(x)<x +1的解集为( )A. (1,+∞)B. (−∞,−1)C. (−1,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)6. 函数上有最小值，实数a 的取值范围是( )A. (−1,3)B. (−1,2)C.D.7. 设f(x)={x 3,x ∈[0,1]3−2x,x ∈[1,3]，则∫ 02f(x)dx =( )A. 14B. 13C. 34D. 18. 若函数在区间内有一个零点，则实数的取值可以是( )A. B. C. ．D.二、单空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 已知复数z =−12−√32i ，则1z +|z|的共轭复数是______．10. 已知函数，则的极大值为 ．11. 已知函数在(0,3)内递增，则实数的取值范围是_________12. 如图，点A 的坐标为(1,0)，函数y =ax 2过点C(2,4)，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．13. 函数y =(x +1)e 2x 的最小值是______． 14. 一同学在电脑中打出如下若干分圈：…若将此若干个圈依次规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是______ ． 15. 函数f(x)=x ⋅e x 的单调递减区间为______ ．16. 设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个函数，f(x)满足f(x +2)=−f(x)，g(x)满足g(x +2)=g(x)，且当x ∈(0,2]时，f(x)=√−x 2+2x ，g(x)={k(x +2)0<x ≤1−121<x ≤2，若在区间[0,11]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 设n ∈N ∗,f(n)=1+1√2+1√3+⋯+1√n ，试比较f(n)与√n +1的大小并证明．18.已知函数f(x)=ax3+x．(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，函数g(x)=f′(x)(x2+px+q)(其中f′(x)为函数f(x)的导数)的图象关于直线x=1对称，求函数g(x)的最大值．(a>0)．19.已知函数f(x)=9xax2+1(1)若直线y=−x+2a为曲线f(x)的切线，求a的值；,2]，且x1+x2+⋯+x100=100，若不等式m≥f(x1)+(2)当a=2时，设x1,x2,…,x100∈[12f(x2)+⋯+f(x100)，求m的最小值．20.已知函数f(x)=alnx+−1，a≠0．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥b(x−1)在[，+∞)上恒成立，其中a、b为实数，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D=i，解析：解：∵z3−i∴z=i(3−i)=1+3i，∴z−=1−3i，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：解：由f(x)=(x+alnx)e x，+x+alnx)e x，得f′(x)=(1+ax∴f′(1)=(a+2)e，=(2+a)e，由题知e−01−0解得：a=−1．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查两点求斜率公式的应用，是中档题．3.答案：C解析：因为，所以，若，只有，才有单调增，故A，B错误，当时，是偶函数，因此C对，D不对．故正确选项为C．4.答案：A解析：解：第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+(3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，∴第6个图形中包含的点的个数为：a6=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)+(3+6×4)+(3+6×5)=3×6+6(1+2+3+4+5)=108．故选：A．第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+ (3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，由此利用等差数列求和公式能求出第6个图形中包含的点的个数．本题考查第6个图形中包含的点的个数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数求解，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)−x−1，g′(x)=f′(x)−1<0，从而可得g(x)的单调性，结合f(1)=2，可求得g(1)=1，然后求出不等式的解集即可．解：令g(x)=f(x)−x−1，∵f′(x)<1(x∈R)，∴g′(x)=f′(x)−1<0，∴g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又f(1)=2，∴g(1)=f(1)−1−1=0，∴不等式f(x)<x +1的解集⇔g(x)=f(x)−x −1<0=g(1)的解集， 即g(x)<g(1)，又g(x)=f(x)−x −1在R 上单调递减， ∴x >1，即x ∈(1,+∞)． 故选A ．6.答案：D解析：试题分析：由题f′(x)=3−3x 2，令f′(x)>0解得−1<x <1；令f′(x)<0解得x <−1或x >1，由此得函数在(−∞,−1)上是减函数，在(−1,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数故函数在x =−1处取到极小值−2，判断知此极小值必是区间(a 2−12,a)上的最小值.∴a 2−12<−1<a ，解得−1<a <，又当x =2时，f(2)=−2，故有a ≤2，综上知a ∈(−1,2]，故选D ．考点：用导数研究函数的最值7.答案：A解析：解：∫f 20(x)dx =∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx =∫(10x 3)dx +∫(213−2x)dx=14x 4|01+(3x −x 2)|12 =14+6−4−3+1=14． 故选：A分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx ，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：A解析：试题分析：在区间内有一个零点，即方程在区间内有一个根，即函数与在内有一个公共点．如图，当直线经过点时，此时在内无公共点，但当该直线绕着原点逆时针旋转时，则在区间内有公共点，故只需此直线的斜率小于即可.故，故A中可取到．考点：函数的零点，函数的图象．9.答案：12−√32i解析：解：∵z=−12−√32i，∴1z+|z|=z−|z|2+|z|=−12+√32i+1=12+√32i，∴1z +|z|的共轭复数是12−√32i．故答案为：12−√32i．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：对函数求导得，令，得，所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以的极大值为．考点：导数的应用．11.答案：解析：试题分析：根据题意，由于函数，由于在(0,3)内递增，故可知导数恒大于等于零，即可知，故可知答案为考点：函数单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。
2020-2021学年天津市实验中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市实验中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.设a=∫|20x−1|dx，使(ax+1x√x)n(n∈N∗)的展开式中含有常数项的最小的n为()A. 4B. 5C. 6D. 72.命题p：∀x∈[0,+∞)，2x1，则()A. p是假命题，￢p：∃x0∈[0,+∞)，B. p是假命题，￢p：∀x∈[0,+∞)，2x<1C. p是真命题，￢p：∃x0∈[0,+∞)，D. p是真命题，￢p：∀x∈[0,+∞)，2x<13.给出命题p：f(x)=sinx+√3cosx的周期为π；命题q：若数列{a n}前n项和S n=n2+2n，则数列{a n}为等差数列，则下列四个命题“p且q”，“p或q”，“非p”，“非q”中，真命题个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.从5种不同的书(每种书不少于3本)买3本送给3名同学，每人各一本的不同送法有()A. A 53B. 53C. 35D. A 53A 335.设函数，则当x>0时，]表达式的展开式中常数项为()A. B. 20 C. D. 156.一学生通过某种英语听力测试的概率为12，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 437.某班的课桌分4个大组摆放，每大组课桌数相同，甲、乙均为该班学生，则甲、乙两人的课桌在同一大组的概率是()A. 12B. 34C. 14D. 158.下列命题中正确的是()A. “m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行”的充分不必要条件B. “直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为非零向量，则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的充要条件D. p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2013≤0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2013>0二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是____________分． 10. 命题“若x <0，则”的逆否命题是 命题．(填“真”或“假”)11. “a =2”是“直线ax +2y +1=0和直线3x +(a −1)y −2=0平行”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)12. 若，则化简后的最后结果等于__________．13. 设a =∫1xe 21dx ，则二项式(x +a x )(2x −1x )5的展开式中的常数项是______． 14. 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有______ 种不同的坐法．(用数字作答)三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1、2、3、4、5.现从一批该日用品中随机抽以20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值．(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1、x 2、x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1、y 2购买者往往从x 1、x 2、x 3、y 1、y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率16.甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/cm160166172173173182体重/kg445055555664根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89．(1)求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高单位：cm)的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg的频率p，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望(用(1)中的回归方程估测这10位男生的体重)．17.已知椭圆的两个焦点分别是F1(−1,0)和F2(1,0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限内，且∠PF1F2=120°，求cos∠F1PF2．18.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC=120°，PA⊥平面ABC，AB=4，PA=2√3，D是PC的中点，点M是⊙O上的动点(不与A，C重合)．(1)证明：AD⊥PB；(2)当三棱锥D−ACM体积最大时，求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值【答案与解析】1.答案：B解析：解：a=∫|20x−1|=∫(11−x)dx+∫(21x−1)dx=(x−12x2)|01+(12x2−x)|12=1，设(x+x√x )n(n∈N∗)的展开式中的通项Tk+1=C n k x n−k⋅x−32k=C n k x n−52k，令n−52k=0得n=52k，当k=2时，n最小，即n min=5．故选B．先计算定积分，再写出二项式的通项，令x的指数为0，即可求得展开式中的常数项．本题题考查了含有绝对值的定积分的计算和二项式系数的性质，求得n−52k=0是关键，考查分析与运算能力．2.答案：C解析：解：因为函数，当x∈(−∞,+∞)时是增函数，对∀x∈[0,+∞)，，所以命题p：∀x∈[0,+∞)，是真命题，根据全称命题的否定是特称命题可知：，故选C．3.答案：C解析：解：∵f(x)=sinx+√3cosx=2(12sinx+√32cosx)=2sin(x+π3)∵周期T=2πw=2π∴p错，为假命题由S n=n2+2n可得：S n−1=(n−1)2+2(n−1)∴a n=S n−S n−1=2n+1∴a n−a n−1=2(为常数)∴{a n}为等差数列∴q为真命题我们在结合命题判断的真值表，对照四个选项，容易得出：p且q为假命题，p或q为真命题，非q为假命题，非p为真命题故选C先判定p、q命题的真假，再结合判断的真值表判断四个命题的真伪真值判断表如下：本题另外还涉及到三角函数的周期问题和等差数列的定义．这里我们要牢记sin x与cos x的最小周期，其中w为x的系数．等差数列的定都为2π，tan x与cot x的最小周期都为π，周期公式为：T=周期w义就是相邻两项的差是固定的，题目中的n是可以自由变动的，你想要什么值就可以令它等于多少，这也是一般数列题型的突破口．4.答案：B解析：解：分析可得，这是一个分步计数原理问题，根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，则有5×5×5=53种；故选：B．根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列的应用，解题时要首先要分析题意，明确是排列，还是组合问题．5.答案：A解析：本题主要考查二项式展开式的系数．解：由于函数当x>0时，则可知f(x)=，则=−，故可知展开式中的常数项为，则当r=3时，取得常数项为−20，故选A.6.答案：C解析：解：一学生通过某种英语听力测试的概率为12，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为：p=C21⋅12⋅12=12．故选：C．利用n次独立重复试验概率计算公式求解．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用n次独立重复试验概率计算公式的合理运用．7.答案：C解析：解：设4个组分别为A，B，C，D，先分甲再分乙，则甲、乙二人的分组情况为：(AA)，(AB)，(AC)，(AD)，(BA)，(BB)，(BC)，(BD)，(CA)，(CB)，(CC)，(CD)，(DA)，(DB)，(DC)，(DD)，共有16种情况，甲、乙两人的课桌在同一大组的分组情况有：(AA)，(BB)，(CC)，(DD)，共有4种情况，∴甲、乙两人的课桌在同一大组的概率P =416=14． 故选：C ．由已知条件利用列举法先求出甲、乙二人的分组的所有情况，再求出甲、乙两人的课桌在同一大组的分组情况，由此能利用等可能事件概率计算公式求出甲、乙两人的课桌在同一大组的概率． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和等可能事件概率计算公式的合理运用．8.答案：D解析：解：直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行 ⇔{(m +2)2−3m(m −2)=0−3(m +2)−(m −2)≠0，得m =5±√332．∴“m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行”的既不充分也不必要条件，故A 错误；直线l 垂直平面α内无数条直线，不一定有直线垂直平面，∴“直线l 垂直平面α内无数条直线”不是“直线l 垂直于平面α”的充分条件，故B 错误； a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 为非零向量，由“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”不能得到b ⃗ =c ⃗ ， 反之由b ⃗ =c ⃗ 能够得到“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”，∴a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为非零向量，则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的必要不充分条件，故C 错误；p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2013≤0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2013>0，满足命题的否定形式，故D 正确． 故选：D ．由两直线平行与系数的关系列式求得m 判断A ；由线面垂直的判定判断B ；由平面向量数量积的运算判断C ；写出特称命题的否定判断D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查特称命题的否定，是基础题．9.答案：757解析：解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100， 当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P(X=100)=2252=1126，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，P(X=50)=2C54C51252=25126，P(X=0)=1−1126−25126=100126，∴EX=100×1126+50×50126+0×100126=1350126=757，故答案为：757．10.答案：真解析：试题分析：原命题“若x<0，则”显然是真命题，而原命题与逆否命题同真同假，所以该命题的逆否命题为真命题．考点：本小题主要考查命题真假的判断．点评：原命题与逆否命题互为逆否命题，它们同真同假．11.答案：充要解析：解：直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0，当a=0时，两直线等价为2y+1=0和直线3x−y−2=0，此时两直线不平行，当a≠0时，要使直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0平行，则满足3a =a−12≠−21，由3a=a−12得a2−a−6=0，得a=2或a=−3，满足3a=a−12≠−21，即“a=2”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0平行”的充分不必要条件，故答案为：充要根据直线平行的等价条件求出a的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出a的取值范围是解决本题的关键．难度不大．12.答案：2解析：试题分析：∵在行列式展开式中，即为的代数余子式的值元素在第二行第三列，那么化去第二行第三列得到的代数余子式为(−1)2+3=2，解这个余子式的值为2.则化简后的最后结果等于2．考点：本题考查了二阶行列式的定义．点评：解决本题的关键是掌握行列式的计算方法，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．13.答案：120解析：解：∵a =∫1xe 21dx =lnx|1e2=2，则二项式(x +a x )(2x −1x )5=(x +2x )(2x −1x )5=(x +2x )⋅(C 50⋅(2x)5+C 51⋅(2x)4⋅(−1x )+C 52⋅(2x)3⋅(−1x )2+C 53⋅(2x)2⋅(−1x)3+C 54⋅(2x)⋅(−1x )4+C 55(−1x)5,=(x +2x )⋅(32x 5−80x 3+80x −40⋅1x +10⋅1x 3−1x 5)， 故展开式中的常数项为−40+2⋅80=120， 故答案为：120．求定积分得到a 的值，再利用二项式定理把(2x −1x )5展开，可得(x +ax )(2x −1x )5的展开式中的常数项．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.答案：480解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、先让4人全排列，坐在4个位置上，有A 44种排法，②、将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位” 再将2个元素插入4个人形成的5个“空当”之间，有A 52种插法，所以所求的坐法数为A 44⋅A 52=480；故答案为：480．根据题意，分2步进行分析：可先让4人全排列坐在4个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入4个人形成的5个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意人与人之间是不同的，但空位是相同的．15.答案：(1)(2)0.4解析：本题考查的是离散随机变量的分布及概率的求法。
天津市高一下学期第二次适应性测试(期中)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是（ ） m n αm α∥n ⊂αm n A ．平行 B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面【答案】D【分析】利用线面平行的定义及直线的位置关系即得. 【详解】因为，m α∥所以直线与平面没有公共点，又，m αn ⊂α所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面. m n m n 故选：D.2．在中，，，则此三角形（ ）ABC A a 3b =6A π=A ．无解 B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定【答案】C【分析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a 与b的大小关系即可判断作答. sin B 【详解】在中，，，ABC A a =3b=6A π=由正弦定理得，而为锐角，且，sin sin 1b A B a ===<A a b <则或， 3B π=23B π=所以有两解． ABC A 故选：C3．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）A BCD【答案】C【分析】依题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则可得结果.【详解】如图，是边长为2的正的直观图，则，A B C '''A ABC A 2A B''=12C D CD ''==的面积sin 45C E C D '''===A B C '''A 122S =⨯=故选：C.4．下列说法正确的是（ ）A ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥B ．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台C ．棱柱的侧面都是平行四边形D ．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥 【答案】C【分析】根据棱锥、棱台、棱柱、圆锥的定义即可判断.【详解】对于A ，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形构成的几何体是棱锥,所以选项A 错误；对于B ，用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，所以选项B 错误； 对于C ，根据棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，选项C 正确；对于D ，直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥，所以选项D 错误. 故选：C.5．在中，、分别是边、上的点，且，，若，ABC A P Q AB BC 13AP AB =13BQ BC = AB a = ，则（ ） AC b =PQ =u u u r A ．B ．C ．D ．1133a b +1133a b -+1133a b -1133a b --【答案】A【分析】根据向量的数乘和加减法法则即可求解. 【详解】如图所示：.1233PQ BQ BP BC BA =-=- ()1233AC AB AB =-+ 1133AB AC =+1133a b =+ 故选：A.二、多选题6．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论错误的是2R （ ）A ．圆柱的侧面积为B24πR 2R C ．圆柱的侧面积与球的表面积不相等 D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2【答案】ABD【分析】分析出圆柱的底面半径、高一级圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， R 2R R 2R 对于A 选项，圆柱的侧面积为，A 对； 22π24πR R R ⨯=对于B ， =所以，圆锥的侧面积为，B 对；2πR R =对于C 选项，球的表面积为，所以，圆柱的侧面积与球的表面积相等，C 错；24πR 对于D 选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 23π22πR R R ⨯=2312ππ233R R R ⨯=球的体积为， 34π3R 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D 对.3332π4π2π::3:1:233R R R =故选：ABD.三、单选题7．《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为A 处测得C ，D 两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为（注：）（ ）sin 410.66︒≈A ．6.6B ．3.3C ．4D ．7【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由题意知：，491930DAC ︒︒︒∠=-=在中，由余弦定理可得：， ACD A 2222cos30DC AC AD AC AD ︒=+-⋅⋅代入得：，即， 2284812AC AC =+-(2)(10)0AC AC --=因为，故， 90ADC ︒∠>10AC =故. cos 4910sin 41 6.6BC AC ︒︒=⋅=⋅=故选：A.8．下列四个命题中真命题的个数是（ ）①己知非零向量，，，若，，则a b c a b A b c∥a c ∥②已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k 的取值范1e 2e 12e ke +u r u r12ke e + 围是()0,∞+已知向量，，则向量在向量上的投影向量为()2,4a = ()1,2b =- ab 612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭④已知，，，可以作为平面向量的一组基底()12,3e =- ()24,6e =- 1e 2eA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据平面向量的共线定理和所成的角，以及投影向量的定义、基底的定义，对选项中的命题判断真假性即可.【详解】对于①，非零向量，，，若，，则，，，a b c a b A b c∥1λa b =2λb c =12R λλ∈，所以，，所以，命题①正确；12a c λλ= 12R λλ∈，a c∥对于②，，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角， 1e 2e 12e ke +u r u r12ke e + 则，且与不共线，22212122112()()(1)20e ke ke e ke k e e ke k +⋅+=++⋅+=>u r u r u r u r u r u r u r u r 12e ke +u r u r 12ke e + 所以且，所的取值范围是，命题②错误； 0k >1k ≠±k (0,1)(1,)⋃+∞对于③，向量，，()2,4a =()1,2b =- 则向量在向量上的投影向量为，命题③错误； a b 26612(1,2)(,)555a b b b⋅=-=-对于④：，，则，()12,3e =- ()24,6e =- 122e e =-所以，共线，不能作为平面向量的一组基底，故④错误.1e 2e所以真命题只有1个，序号为①. 故选：A.四、填空题9．已知复数z 满足，则________． 42i1iz -=-z =【分析】根据复数的除法法则化简为标准的代数形式再求模即可.【详解】, ()()()()242i 1i 42i 44i 2i 2i 3i 1i 1i 1i 2z -⋅+-+--====+--⋅+所以z ==10．已知，是平面内两个不共线的向量，，，若A ，B ，C 三点共a b2AB ma b =+ 3BC a mb =+线，则________． m =【答案】【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出的坐标，把A ，B ，C 三点共线转AC化为，再根据向量相等可得答案.AC AB λ⋅＝【详解】由题意可得 ，()()()2332AB C ma b a mb m a AC B m b =+=+++=+++∵A ，B ，C 三点共线，∴，AC AB λ⋅＝∴，()()3222m a m b ma b ma b λλλ⎡⎤+++=+=+⎣⎦故有，解得，或322m m m λλ=+⎧⎨=+⎩m λ⎧=⎪⎨=⎪⎩m λ⎧=⎪⎨=⎪⎩故答案为：．11．已知在中，，则等于________. ABC A sin :sin :sin 4:3:2A B C =cos B 【答案】1116【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出 ::4:3:2a b c =4,3,2a m b m c m ===cos B 【详解】因为在中，，ABC A sin :sin :sin 4:3:2A B C =所以正弦定理可得，则令（），::4:3:2a b c =4,3,2a m b m c m ===0m >由余弦定理得，2222222216491111cos 22421616a cb m m m m B ac m m m +-+-====⋅⋅故答案为：111612．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些. 13．已知正三棱柱的底面边长为6111ABC A B C -为________． 【答案】51π【分析】根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半径即可求其表面积.【详解】由正三棱柱的底面边长为6，得底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径， 61sin 602r ︒=⨯=到圆O 的球心距 1O d =根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理,我们易得球半径R 满足：，所以2223124R r d =+=+2514R =所以外接球的表面积 2514π4π51π4S R ==⨯=故答案为：.51π五、双空题14．已知平行四边形的两条对角线相交于点，，，，其中点ABCD M 2AB =1AD = 60DAB ∠=︒在线段上且满足，______，若点是线段上的动点，则的P MD 2516AP CP ⋅=- DP = N AB ND NP ⋅ 最小值为______.【答案】135256【解析】根据题意，利用余弦定理求出，，根据平面向量的线性运算即可得出BD =AC =，，得出，即可求出；AP PA PM MA →→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭CP PM MA →→→⎛⎫=-- ⎪⎝⎭222516AP CP PM MA →→→→⋅=-=-DP →由于点是线段上的动点，可设，则，由平面向量N AB ()02AN x x =≤≤2,22x x AN AB NB AB →→→→-==的三角形加法法则得出，，结合条件且根据向量的数量积2x ND AB AD →→→=-+13424x NP AB AD →→→⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭运算，求得，最后根据二次函数的性质即可求出()2211111351,02816256ND NP x x x x →→⎛⎫⋅=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值.ND NP →→⋅【详解】解：在平行四边形中，，，， ABCD 2AB →=1AD →=60DAB ∠=︒则在中，由余弦定理得：，ABD △2222cos BD AB AD AB AD DAB =+-⋅⋅∠即， 22212122132BD =+-⨯⨯⨯=BD ∴=，则，90,30BDA ABD ∴∠=︒∠=︒120ABC ∠=︒在中，由余弦定理得：， ABC A 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即，22212122172AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AC ∴=，，AP PA PM MA →→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭CP PC PM MC PM MA →→→→→→⎛⎫⎛⎫=-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222516AP CP PM MA PM MA PM MA →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而，12MA AC ==222725416PM MA PM →→→∴-=-=-=由于点是线段上的动点，N AB 可设，则， ()02AN x x =≤≤2,22x x AN AB NB AB →→→→-==，2x ND NA AD AN AD AB AD →→→→→→→∴=+=-+=-+， 23232424x x NP NB BP AB BD AB AD AB →→→→→→→→--⎛⎫∴=+=+=+- ⎪⎝⎭即，13424x NP AB AD →→→⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭132424x x ND NP AB AD AB AD →→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2221117384484x x AB x AB AD AD →→→→⎛⎫⎛⎫=-++-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211173421cos 6084484x x x ⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-⨯⨯⨯︒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2111,028x x x =-+≤≤即，()2211111351,02816256ND NP x x x x →→⎛⎫⋅=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭所以当时，取得最小值，最小值为. 1116x =ND NP →→⋅135256. 135256【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算的实际应用，解题的关键在于利用二次函数的性质求最值，考查转化思想和运算能力.六、解答题15．已知复数.()()21i(R)z m m m m =-+-∈(1)若z 为实数，求m 值： (2)若z 为纯虚数，求m 值；(3)若复数z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)； 1m =(2)； 0m =(3). 1m >【分析】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可； （2）根据纯虚数的定义进行求解即可； （3）根据第一象限点的坐标特征进行求解即可. 【详解】（1）因为z 为实数， 所以； 101m m -=⇒=（2）因为z 为纯虚数，所以； 20010m m m m ⎧-=⇒=⎨-≠⎩（3）因为复数z 对应的点在第一象限，所以. 20110m m m m ⎧->⇒>⎨->⎩16．已知向量．(1,0),(1,2)a b ==-(1)若，且，求；||1c = ()c a b - ∥c(2)若与互相垂直，求实数t 的值．2ta b -3a tb + 【答案】(1)或c =-c æç=-çè (2)或 1t =-32t =【分析】（1）设出，根据模长与平行关系得到方程组，求出；（2）先求出(,)c x y = c，根据垂直关系得到方程，求出实数t 的值.2(21,2),3(3,2)ta b t a t t t -=+-+=-【详解】（1），(2,2)a b -=-因为，设，则 (),||1c a b c -= ∥(,)c x y = 221,22x y y x ⎧+=⎨=-⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故或； c=-c æç=-çè （2）， ()()221,2,33,2ta b t a tb t t -=+-+=- 因为与互相垂直，所以，整理得：， 2ta b - 3a tb+ (21,2)(3,2)0t t t +-⋅-=2230t t --=解得：或.1t =-32t =17．如图，四棱锥中，，，为的中点．P ABCD -//AB CD 2AB CD =E PB(1)求证：平面.//CE PAD (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存AB F //PAD CEF 在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）利用构造平行四边形的方法证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；（2）点为线段的中点，再利用面面平行判定定理证明，即可证明平面平面．F AB //PAD CEF 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．PA H EH DH因为为的中点，E PB 所以，． //EH AB 12EH AB =又，， //AB CD 12CD AB =所以，．//EH CD EH CD =因此四边形是平行四边形，DCEH 所以．//CE DH 又平面，平面，DH ⊂PAD CE ⊂PAD 因此平面．//CE PAD （2）解：如图所示，取的中点，连接，，AB F CF EF所以 12AF AB =又，所以． 12CD AB =AF CD =又，所以四边形为平行四边形，//AF CD AFCD因此．CF //AD 又平面，所以平面． CF ⊂/PAD //CF PAD 由（1）可知平面．//CE PAD 因为，故平面平面．CE CF C = //CEF PAD 18．已知中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且ABC A ()2cos cos a b C c B -=(1)求角C(2)若，，为角C 的平分线，求的长；2a =3b =CD CD (3)若，求锐角面积的取值范围.cos cos 4a B b A +=ABC A 【答案】(1)3π(3)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得1cos 2C =解；（2）设，根据及面积公式得到方程，解得即可；CD x =+=A A A ACD BCD ABC S S S（3）首先利用正弦定理求出，再由正弦定理得到，，再根据c a A =b B =转化为关于的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围； 1sin 2S ab C =A 【详解】（1）解：由及正弦定理得 ()2cos cos a b C c B -=()2sin sin cos sin cos A B C C B -=所以()2sin cos sin sin A C B C A =+=∴，∴ sin 0A ≠1cos 2C =∵，∴0C π<<3C π=（2）解：设由得CD x =+=A A A ACD BCD ABC S S S1111132622222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯解得 x =CD（3）解：设外接圆半径为R ，由ABC A cos cos 4a B b A +=，即，即，∴ 2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=2sin 4R C =42sin sin c R C C==4c =所以的面积 ABCA 1sin 2S ab C ==∵∴， sin sinb a B A ==a A =b B =∴ 2sin 3S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos cos sin 33A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭21cos sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭ 11cos244A A ⎫=-+⎪⎪⎭26A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，，， 02A π<<02B π<<23A B π+=∴， 2032A <-<ππ∴， 62A ππ<<∴，∴， 52666A πππ<-<1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭∴ S ∈19．从①②，这两个条件中任选一个，补222sinsin sin sin sin0B A C B C -+-=sin cos b A B =充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）.在中，分别是角的对边，若__________.ABC A ,,a b c ,,A B C(1)求角的大小：A (2)若是的中点，，求面积的最大值.D BC AD =ABC A(3)若为的外接圆圆心，且，求实数的值. O ABC A cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B += m 【答案】(1) 3A π=【分析】（1）选条件①利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；选条件②利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）依题意可得，根据向量数量积的运算律得到，利用基本不等()12AD AB AC =+ 2212c b bc ++=式求出的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；bc （3）取的中点，则，从而可得，AB D AO AD DO =+ cos cos 2()sin sin B C AB AB AC AB m AD DO AB C B⋅+⋅=+⋅ 从而可得，从而解得的值． cos cos cos sin sin B A C m A C+==m 【详解】（1）解：选条件①时，，222sin sin sin sin sin 0B A C B C -+-=根据正弦定理：， 222b a c bc -+=所以， 2221cos 22b c a A cb +-==由于，0A π<<所以．3A π=选条件②时，，sin cos b A B =利用正弦定理，sin sin cos )B A A B C A B ==+即sin sin cos cos sin B A A B A B A B +即，因为，所以，sin sin sin B A A B =sin 0B >sin A A =所以，tan A =由于，0A π<<所以．3A π=（2）解：依题意，所以， ()12AD AB AC =+ 22242AD AB AC AB AC =++⋅ 即，所以，即，当且仅22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅ 2212c b bc ++=22122c b bc bc +=-≥当时取等号，b c =所以当且仅当时取等号，4bc ≤2b c ==所以当且仅当时取等号， 1sin 2ABC S bc A ==≤△2b c ==即()max ABC S =A （3）解：取的中点，则，AB D AO AD DO =+代入，得，， cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= cos cos 2()sin sin B C AB AC m AD DO C B +=+ ，OD AB ⊥ ，∴0OD AB ⋅= ， ∴cos cos 2()sin sin B C AB AB AC AB m AD DO AB C B⋅+⋅=+⋅ ， ∴22cos cos cos sin sin B C c bc A mc C B +=由，化简可得，， sin sin sin a b c A B C ==22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B C C B C A m C C B+= ()cos cos cos cos cos cos sin sin A C A C B A C m C C -+++∴==cos cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C -++===。
天津市2020〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷第二学期期中考试1
天津市2020年〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷第二学期期中考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知复数i z -=2 (i 是虚数单位)，则=z ▲ ．2. 设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则()U C A B ⋂= ▲ ． 3. 复数2,1z z i=-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ． 5. 已知命题p :,sin 1x R x ∃∈≥, 则p ⌝为▲．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据以上式子可以猜想：<++++2222016131211 ▲ ． 7. 21,z z i i i z -=+已知复数满足()则的虚部为 ▲ ．8.“2a =”是“直线210ax y ++=和直线3(1)10x a y ++-=平行”的▲ 条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个填空）9.若命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2s r l=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径 R ▲．11. 已知复数z 满足243=--i z ，则z 的最大值为▲ .12.sin(2),642y x x A πππ=-≤≤函数的值域为.关于x 的方程210x ax ++=的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，.a B 的取值集合为A B ⋃=则 ▲ ．13.下列命题正确的序号是 ▲ ．①命题“若a b >，则22a b >”的否命题是真命题； ②若命题1:01p x >-“”，则；1:01p x ⌝≤-“”； ③若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；④方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±. 14.已知函数1()3x f x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，则函数()n f x 的值域为▲． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知复数)()65()67(22R a i a a a a z ∈--++-=.（1）复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）复数z 在复平面内的对应点在第四象限，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）已知命题p ：方程210x mx ++=有负实数根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围.17.（本题满分14分）（1）证明：当2a ><；（2）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.18.（本题满分16分）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题的实数m 的取值集合为M .（1）求集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a的取值范围．19.（本题满分16分） 已知椭圆方程是22143x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点,l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点.（1）若P ，求12MF NF ⋅的值；（2）若00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅的值;（3）能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，问12MF NF ⋅是否为定值？证明你的结论.20.（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m ,n ，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--成立⑴求证：数列}a {n 是等差数列；⑵ 探究 ：命题:p “对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--”是命题:q “数列}a {n 是等差数列”的充要条件．．．．吗？请证明你的结论．．．．．．； ⑶若正整数n, m, k 成等差数列，比较k n S S +与m S 2的大小，并说明理由.参考答案 1. 5 2. {}4 3. i -1 4.1 5.,sin 1x R x ∀∈< 6.7. 1 8.充要 9. (,2)(2,)-∞-+∞10. SV 3 11. 7 12. }121,225|{≤≤-<<-x x x 或13. ①③ 14. 2(0,)31n -15. 解：（1）由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-06506722a a a a ………………3分 解之得,a =1……………………………7分（2）由题设知：⎩⎨⎧<-->+-06506722a a a a ………………10分 解之得，⎩⎨⎧<<-><6161a a a 或…………… 12分所以实数a 的取值范围是 -1<a <1 …………14分 16. 解：p ：由题意此方程必为两负根，故2400m m -≥-<且，﹍﹍﹍﹍2分2m ≥解得：﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分q ：方程无实数根∴1＜m ＜3 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题62013140∴p 、 q 一真一假 ∴1＜m ＜2或m ≥3﹍﹍﹍﹍﹍﹍13分所以实数m 的取值范围为1＜m ＜2或m ≥3。
天津市2021版高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
天津市2021版高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，， =c，用a，b，c表示向量为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A . 0B . 2C . 1D . 33. （2分） (2020高一下·宝应期中) 下列命题中，m，n表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．正确的命题是（）若，，则；若，，则；若，，则；若，，，则．A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 若与有两个公共点，则范围为（）A .B .C .D .5. （2分）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A . 0°B . 45°C . 60°D . 90°6. （2分）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .8. （2分）若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣2，2）B . （﹣2，2]C . （﹣∞，﹣2）∪[2，∞）D . （∞，2]9. （2分）(2018·宜宾模拟) 设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·浙江期中) 如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角的平面角为锐角，记二面角的平面角为，直线EC与平面ABFE所成角为，直线EC与直线FB所成角为，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，11. （2分）(2020·锦州模拟) 已知是定义在上的增函数，且恒有，若，，则的最小值为（）A . 0B .C . 1D . e12. （2分）已知双曲线坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为 ,则p= （）A . 1B .C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·临川模拟) 已知的展开式中含项的系数为-14，则________．14. （1分） (2020高三上·宣化月考) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为________．15. （1分） (2016高二上·自贡期中) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为________．16. （1分） (2016高一上·南通期中) 已知函数f（x）= ，则f[f（）]的值是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）(2020·郑州模拟) 如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，和均为等腰直角三角形，且若平面⊥平面（Ⅰ）证明:平面平面ADF（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面若存在，求出此时三棱锥G一ABE与三棱锥的体积之比，若不存在，请说明理由.18. （5分） (2020高一下·南昌期末) 某工厂现有甲、乙两条生产线生产同一种产品，现在需要对这两条生产线生产出来的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从这两条生产线生产出来的产品，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图分别如图：（Ⅰ）求甲生产线生产出产品指标的平均数和中位数（视每组的中点为该组平均指标）；（Ⅱ）从这两条生产线生产出来的产品，甲乙两条生产线生产出来的优等品每件可获利润分别为40元和35元；生产出来的合格品每件可获利润分别为10元和5元，用样本估计总体比较在甲、乙两条生产线生产出来的产品获得的利润更多（两生产线生产出来的产品数量相同）？19. （10分）(2017·惠东模拟) 已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．20. （15分） (2019高一下·乌鲁木齐期末) 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图）. 为中点.（1）求证: 平面；（2）求四棱锥的体积；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21. （5分） (2016高二上·郴州期中) 如图，椭圆C1：和圆C2：x2+y2=b2 ，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．22. （5分）(2017·汉中模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣ax+ ，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e （n∈N* ，n≥2）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
2020-2021天津市南开外国语高级中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题附答案
2020-2021天津市南开外国语高级中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题附答案一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ） A ．1 B ．221- C ．22 D ．22．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥ 4．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-= 5．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．66．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．47．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π 9．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β10．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．3πC ．4πD ．3π 11．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立12．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π二、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．14．直线与圆交于两点，则________．15．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ．16．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.17．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.18．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.19．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________. 20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC =BC AC ⊥，3cos SCB ∠=D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．22．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点.（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ；（2）求直线PF 与直线BE 所成的角.24．已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22（1）求M 的标准方程；（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33l 的方程．25．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内；③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)26．已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=．（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222d == 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.4．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
2020年天津市高二(下)期中数学试卷解析版
16. 定义在（0，+∞）上的函数 f（x）满足
的解集为______． 三、解答题（本大题共 2 小题，共 24.0 分） 17. 已知函数 f（x）=ex（ex-a）-a2x．
（3）证明：1+ + +…+ ＞ln（n+1）+
（n≥1）．
第 2 页，共 12 页
第 3 页，共 12 页
1.【答案】B
答案和解析
【解析】【分析】 本题主要考查复数模长的计算，属于基础题． 根据复数相等求出 x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】 解：∵（1+i）x=1+yi， ∴x+xi=1+yi，
4.【答案】C
【解析】【分析】 考查导数的定义，属于基础题. 根据导数的定义可将原式变成：
即可. 【解答】
解：
故选 C.
=3f′（1），根据 f′（1）的值求解
第 4 页，共 12 页
5.【答案】A
【解析】【分析】 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于 基础题． 求导，令 f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令 f′（x）＜0，求得函数的单调递 减区间，则当 x=e 时，函数有极大值． 【解答】
B. （-1，3）
C. （1，+∞）
D. （-∞，-3）
3. 已知 f（x）=x2+3xf'（1），则 f'（2）=（ ）
A. 1
B. 2
C. 4