上海师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
上师大附中2015学年第一学期期中考试高二年级数学学科（考试时间：120分钟满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.直线230x y --=关于x 轴对称的直线方程为________．2.向量(3,4)a = 在向量(1,0)b =方向上的投影为______.3.已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥ ，则b ＝________．4.已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．5.若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y +=．6.若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为______．(用弧度制表示)7.若行列式212410139x x =-，则=x ．8.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________.9.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB = ，AN nAD =(0m n ⋅≠),若//MN BE ，则nm=______________.10.已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为.11.下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12.直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．13.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈，定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ．那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有向量a的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15.“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【】（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【】(A)0a b c ++= (B)a b c 、、两两平行(C)a b//(D)a b c 、、方向都相同17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【】（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始（B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【】)(A {}21012、、、、--)(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---2110112、、、、、)(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程；（2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上．（1）求OA OB ；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为3π．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分.已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1)若,,,OA a OB b OC c OH h ==== ，试用a 、b 、c 表示h；(2)证明：AH BC ⊥；(3)若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB ∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N .（1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值；（2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值；（3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且S MON1Δ=，O第23题PNMA Bxy当P 变化时，求||OT 的取值范围．上师大附中2015学年第一学期期中考试高二年级数学学科参考答案（考试时间：120分钟满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.230x y +-= 2.33.4.25.26.4π7.2或3-8.－49.210.31-或311.312.50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．13.5214．①③④二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15.B16.B17.18.D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D ==，则方程组有无穷多组解或无解，又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）由题意，直线210x y -+=的一个法向量(1,2)-是AC 边所在直线的一个方向向量∴AC 边所在直线方程为2x+y－5=0．（2）y=1是AB 中线所在直线方程∴设AB 中点P (,1)p x ，则B (21,1)p x --满足方程210x y -+=∴(21)2(1)10p x --⨯-+=，得1p x =-，∴P(－1,1)则AB 边所在直线方程为20x y -+=．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）1x 、2x 是方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，0)4(8422>--=∆∴a a 解之2222<<-a )4(1221-=a x x ，a x x =+21又A 、B 两点都在直线a x y +-=上，))((2121a x a x y y +-+-=∴22121)(ax x a x x ++-=)4(212-=a 422121-=+=⋅∴a y y x x （2）由题意设2821a a x --=，2822a a x -+=221128x a a a x y =-+=+-=∴，同理12x y =))((22221212y x y x ++=2221x x +=42)(21221=-+=x x x x当OA 与OB 夹角为π时，214=⨯==⋅πOB OA 242=-∴a 解之)22,22(6-∈±=a 6±=∴a 即为所求．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分.解：(1)由平行四边形法则可得：OH OC OD OC OA OB =+=++ ,即h a b c =++；(2) O 是ABC ∆的外心，∴OA OB OC ==，即a b c == ，而AH OH OA h a b c =-=-=+ ，BC OC OB c b =-=- ,∴22()()0AH BC b c c b c b =+-=-= ，∴AH BC ⊥ ；在ABC ∆中,O 为ABC ∆的外心，60,45A B ∠=∠=，∴120,90BOC AOC ∠=∠= ，于是150AOB ∠= ，22222222h a b c a b c a b b c c a=++=+++++ 232cos1502cos902cos120R a b b c c a =+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2(2R =，∴2h R = ．(h == )23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.【解】（1）当1=k 时，OA l :x y =，所以1-=MP k ，又因为⎪⎭⎫⎝⎛1,3P ，所以PM l :⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2123x y ，即02=-+y x ，由⎩⎨⎧=-+=-020y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x ，即)1,1(M ,所以2||=OM ．（2）设),(ka a M ，则),(ka a OM =，)1,2(--=ka a PM ，由OM PM ⊥得0=⋅，即0)1()2(=-+-ka ka a a ，解得0=a （舍去），2ka ++=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++22212,12k k k kk M 22222123211212112100k k k k k k k k +-+=++++，561|)2)(12(|212Δ=++-⋅=k k k S OPM1若21≥k ，则5121)2)(12(2=++-k k k ，化简得0221522=+-k k ，解得2=k 或211；2若210<<k ，则5121)2)(21(2=++-⋅k k k ，化简得0215222=++k k ，解得21-=k 或112-，均不合题意．综上①②可得，k 的值为2或211．（3）设),(y x T ，),(ka a M 、),(kb b N -（0>a ，0>b ，0>k ），根据题意可知：21||k a OM +=，21||k b ON +=其中212sin k kMON +=∠k MON ON OM S MON 1sin ||||21Δ=∠⋅=，即21kab =……（*）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2)(2b a k y b a x ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222)(2b a k b a OT ()()()222212121k ab k b a-+++()()kk ab k ab 112122122=-++≥（当且仅当b a =时，等号成立）所以OT 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1k ．。
上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．已知双曲线22221(0y x a a b-=>，．在直三棱柱111ABC A B C -中，的距离为 .二、单选题13．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．设l 是直线，,a b 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若l ∥a ，l ∥b ，则a ∥bB ．若l ∥a ，l b ^，则a b ^C ．若,l a b a ^^，则l b ^D ．若a b ^，l ∥a ，则l b^15．如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（ ）A ．有极小值点，没有极大值点B ．有极大值点，没有极小值点C ．至少有两个极小值点和一个极大值点D ．至少有一个极小值点和两个极大值点16．如图，斜线段AB与平面a所成的角为60°，B为斜足，平面a上的动点P满足ÐRAB=°，则点P的轨迹是30A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支综上所述，当1x =时，ACF △与BDF V 面积之和取到最小值，即2232p =，由于0p >，得4p =，因此，抛物线的方程为28y x =．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，通过换元法得到面积最值的表达式，利用对勾函数的单调性求出最值的情况，从而得到方程，解出即可.。
2015-2016学年上海中学高二(上)期 中数学试卷
，求： （1）4x﹣3y的最小值； （2） 的取值范围． 20．（10分）在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2， y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表 示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”； （1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪
二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13．（4分）关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D=0是该方程组有解的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件 14．（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的 解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ） A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线 B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上 C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上 D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程 15．（4分）若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则（ ） A． ≥1 B． C．a2+b2≥1 D．a2+b2≤1
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= = ，∴3x=1，x= 故答案为： 【点评】本题考查矩阵的运算，方程思想，属于基础题． 9．（3分）（2012•怀柔区二模）手表的表面在一平面上，整点1，2， …，12这12个数字等间隔地分布在半径为 的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作 ，则 = ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计 算出每个向量的模的平方都是
第2行第1列元素的代数余子式为10，则k= ． 5．（3分）直线l的一个方向向量 ，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为 ．（结果用反三角函数值表示） 6．（3分）增广矩阵 的二元一次方程组的实数解为 ，则m+n= ．
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanαC ．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是αD ．直线的倾斜角022ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，，时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 【答案】D【解析】直线的倾斜角与斜率的关系，即倾斜角存在斜率不一定存在，斜率存在倾斜角一定存在。
【详解】A.直线的倾斜角022ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，，时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故错误，B.当90a =时斜率不存在。
C.只有当[)0,a π∈时，直线的倾斜角才是α 故选：D 【点睛】本题主要考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题。
2．向量（a 1，a 2）与（b 1，b 2）平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在无穷多解的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据向量（a 1，a 2）与（b 1，b 2）平行可得12210a b a b -=，根据方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在无穷多解，可得可得11111112211212121222222200,00,00a b c b a ca b a b c b b c a c c a a b c b a c =⇒-==⇒-==⇒-= 【详解】根据向量（a 1，a 2）与（b 1，b 2）平行可得12210a b a b -=，根据方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在无穷多解，可得11111112211212121222222200,00,00a b c b a ca b a b c b b c a c c a a b c b a c =⇒-==⇒-==⇒-=，所以向量（a 1，a 2）与（b 1，b 2）平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在无穷多解的必要不充分条件。
《解析》上海师大附中2016届高三上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．不等式logx≥2的解集为__________．2．已知复数z=，则z=__________．3．已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=__________．4．若，则行列式=__________．5．函数f（x）=x+的值域__________．6．设g（x）=，则g（g（））=__________．7．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，则不等式f（2x+1）＞f（2﹣x）的解集__________．8．函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于y轴对称，若y=f﹣1（x）是y=f（x）的反函数，则y=f﹣1（x2﹣2x）的单调递增区间是__________．9．将函数y=log2x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m（m＞0）倍，得到图象C，若将y=log2x的图象向上平移2个单位，也得到图象C，则m=__________．10．如果，那么函数f（x）=cos2x+sinx的最小值是__________．11．函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象交点恰为3个，则实数k=__________．12．数列{a n}满足（n∈N*）．①存在a1可以生成的数列{a n}是常数数列；②“数列{a n}中存在某一项”是“数列{a n}为有穷数列”的充要条件；③若{a n}为单调递增数列，则a1的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，2）；④只要，其中k∈N*，则一定存在；其中正确命题的序号为__________．13．已知函数f（x）=，x∈，函数g（x）=ax+2，x∈．若对任意x1∈，总存在x2∈，使f（x1）=g（x2）成立．则实数a的取值范围是__________．14．设表示不超过x的最大整数，如：=1，=﹣2．若集合A={x|x2﹣﹣1=0}，，则A∩B=__________．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是( )A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3D．y=log3x17．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f=( ) A． B． C．﹣D．018．若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）*，则得到一个新数列{（a n）*}．例如，若数列{a n}是1，2，3，…n，…，则数列{（a n）*}是0，1，2，…，n﹣1，…已知对任意的n∈N*，a n=n2，则（（a4）*）*=( ) A．8 B．20 C．32 D．16三、解答题（12+14+14+16+18=74分）19．在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=，b=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求的值．20．（14分）设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x﹣1|+|x ﹣4|≥c对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∪Q；（2）试写出一个解集为P∪Q的不等式．21．（14分）已知复数z0满足|2z0+15|=|+10|，（1）求证：|z0|为定值；（2）设x=，z n=z0x n，若a n=|z n﹣z n﹣1|，n∈N*，求（a1+a2+…+a n）．22．（16分）已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数．若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在上有解，求m的取值范围；（3）若f（x+t）＞2x对于x∈恒成立，求t的取值范围．23．（18分）已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{c n}对任意n∈N*，都有++…+=a n+1成立，求c1+c2+…+c2014的值（3）若b n=（n∈N*），求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．2015-2016学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．（0，]；2． -1-i；3．-；4．；5．（-∞，-3]∪∪[2，+∞）；14．；二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．B； 16．C； 17．B； 18．D；三、解答题（12+14+14+16+18=74分）19．；20．；21．；22．；23．；。
上海师大附中高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程为__________．2．向量在向量方向上的投影为__________．3．已知向量，若，则=__________．4．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=__________．5．若=，则x+y=__________．6．a、b、c是两两不等的实数，则经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点的直线的倾斜角为__________．7．若行列式=0，则x=__________．8．直线Ax+3y+C=0与直线2x﹣3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为__________．9．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=__________．10．已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为__________．11．下面结论中，正确命题的个数为__________．①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2．②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1．③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0．④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为．⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上．12．直线的倾斜角α的取值范围是__________．13．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则=__________．14．设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是__________（写出满足条件的所有向量的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同17．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，1818．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：中国结（个）记事本（本）笔袋（个）合计（元）小组A 2 1 0 10小组B 1 3 1 10小组C 0 5 2 30为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（14分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．21．（14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上．（1）求；（2）a为何值时与夹角为．22．（16分）已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若，试用表示；（2）证明：；（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．23．（18分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．2015-2016学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程为2x+y﹣3=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；构造法；直线与圆．【分析】欲求直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程，只须将原直线方程中的y用﹣y 替换得到的新方程即为所求．【解答】解：∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=﹣f（x），∴直线y=2x﹣3关于x对称的直线方程为：y=﹣2x+3，即2x+y﹣3=0，故答案为：2x+y﹣3=0．【点评】本题考查直线关于点，直线对称的直线方程问题，需要熟练掌握斜率的变化规律，截距的变化规律．2．向量在向量方向上的投影为3．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】计算题．【分析】先求向量，的夹角，再求向量在向量方向上的投影；【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；【点评】此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质，注意向量积公式，是一道基础题；3．已知向量，若，则=．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．【解答】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．4．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=2．【考点】二阶矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，故答案为：2．【点评】本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．5．若=，则x+y=2．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】矩阵和变换．【分析】根据矩阵的乘法运算计算即可．【解答】解：∵=，∴，解得，故答案为：2．【点评】本题考查矩阵的乘法运算，矩阵的相等，注意解题方法的积累，属于基础题．6．a、b、c是两两不等的实数，则经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点的直线的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵直线经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点，∴直线AB的斜率k==1，∴直线AB的倾斜角α=；故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7．若行列式=0，则x=2或﹣3．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先将三阶行列式化为二阶行列式，即可求得结论【解答】解：由题意，﹣2×+4×=0∴x2+x﹣6=0∴x=2或﹣3故答案为：2或﹣3【点评】本题考查三阶行列式，考查学生的计算能力，属于基础题．8．直线Ax+3y+C=0与直线2x﹣3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为﹣4．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点坐标，代入直线Ax+3y+C=0，求出可求C．【解答】解：直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点（0，），代入直线Ax+3y+C=0，可得4+C=0，解得C=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查直线的交点坐标的求法，考查计算能力．9．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=2．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理用和表示和，由向量的共线可得=λ，代入比较系数可得．【解答】解：由题意可得==n﹣m，====，∵∥，∴∃λ∈R，使=λ，即n﹣m=λ（），比较系数可得n=λ，﹣m=λ，解得=2故答案为：2【点评】本题考查向量的平行于共线，涉及平面向量基本定理，属基础题．10．已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为或3．【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】直线与圆．【分析】由条件利用两条直线的夹角公式，求得m的值．【解答】解：由直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，它们的斜率分别为﹣2、m，可得tan=1=||，求得m=或3，故答案为：或3．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．11．下面结论中，正确命题的个数为3．①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2．②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1．③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0．④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为．⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；探究型；运动思想；直线与圆；简易逻辑．【分析】举例说明①②错误；由两直线垂直与系数的关系说明③正确；由点到直线距离公式说明④错误；由点到直线的垂直距离最小说明⑤正确，由点关于直线的对称点的求法说明⑥正确．【解答】解：①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2，错误，l1与l2．也可能重合；②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1，错误，还有是一条直线的斜率为0，而另一条直线的斜率不存在；③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0，正确；④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为，错误，应化直线方程为一般式，由点到直线的距离公式可得距离为；⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，正确；⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上，正确．∴以上正确的命题是③⑤⑥．故答案为：3．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了两直线的位置关系，考查了点到直线距离公式，训练了点关于直线的对称点的求法，是基础题．12．直线的倾斜角α的取值范围是[0，]∪[，π）．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将直线化成斜截式得斜率k=﹣cosα．设直线的倾斜角为θ，由cosα∈[﹣1，1]得﹣≤tanθ≤，结合直线倾斜角的范围和正切函数的单调性加以讨论，可得本题答案．【解答】解：将直线化成斜截式，得y=﹣xcosα﹣．∴直线的斜率k=﹣cosα，设直线的倾斜角为θ，可得tanθ=﹣cosα，由cosα∈[﹣1，1]，得﹣≤tanθ≤当0≤tanθ≤时，0≤θ≤；当﹣≤tanθ＜0时，≤θ＜π．综上所述，直线的倾斜角θ∈[0，]∪[，π）．故答案为：[0，]∪[，π）【点评】本题给出直线的方程，求直线倾斜角的取值范围．着重考查了正弦函数的值域、直线的斜率与倾斜角等知识，属于中档题．13．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则=﹣．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据，将向量的数量积转化为：=，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：由于，∴==如图，根据向量数量积的几何意义得：=﹣3|AE|+2|AF|=﹣×3+2×1=﹣故答案为：﹣．【点评】本小题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题．14．设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是①③④（写出满足条件的所有向量的序号）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；阅读型．【分析】由于①是零向量代入f（x）检验是否满足要求即可；对于一般情况，利用向量的数量积的运算律求出f（x）f（y）；要满足条件得到，再判断②③④哪个满足即可．【解答】解：对于①当时，满足当时，=要满足需∴对于③④故答案为①③④【点评】本题考查向量的数量积的运算律：满足交换量不满足结合律但当向量与实数相乘时满足结合律．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．16．已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同【考点】二元一次方程组的矩阵形式；充要条件．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．17．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18【考点】循环结构；程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，结合各部分的功能即可得出答案．【解答】解：这个程序框图中，①是循环变量初始化，循环将要开始，正确；②为不满足条件n＞10时执行的语句，是循环体，故B正确；③是判断是否继续循环的终止条件，正确；④满足执行程序框图，可得i=1s=2，输出2，i=2s=4，输出4，i=3s=6，输出6，i=4s=8，输出8，i=5s=10，输出10，i=6s=12，输出12，i=7s=14，输出14，i=8s=16，输出16，i=9s=18，输出18，i=10s=20，输出20，i=11满足条件i＞10，退出循环．故D错．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断，是对算法知识点的综合考查，熟练掌握算法的基础知识是解答本题的关键．18．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．【解答】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1，}．故选：D．【点评】考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：中国结（个）记事本（本）笔袋（个）合计（元）小组A 2 1 0 10小组B 1 3 1 10小组C 0 5 2 30为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设列出方程组，由系数行列式D=0，得方程组有无穷多组解或无解，再由D x，D y，D z均不为0，得到该方程组无解．【解答】（本题满分12分）解：设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设有，∵，∴方程组有无穷多组解或无解，又，，，∴该方程组无解．【点评】本题考查行列式知识的应用，是基础题，解题时要注意系数行列式在解线性方程组时的合理运用．20．（14分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】（1）根据AC边的高所在的直线方程，设出AC所在的直线方程，再代入点A的坐标，求参数即可（2）由中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在AC的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB的斜率，又由点A的坐标，即可表示出直线的方程【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1，3）∴2×1+3+c=0∴c=﹣5∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．（2）y=1是AB中线所在直线方程设AB中点P（x P，1），B（x B，y B）∴∴点B坐标为（2x P﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0∴（2x P﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得x P=﹣1，∴P（﹣1，1）∴AB所在的直线的斜率为：∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=0【点评】本题考查直线方程的求法，要熟练应用直线垂直的关系和中点坐标公式．属简单题21．（14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上．（1）求；（2）a为何值时与夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上求得；（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出，与（1）中的结合得到关于a的方程，求解方程得答案．【解答】解：（1）∵x1、x2是方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，∴△=4a2﹣8（a2﹣4）＞0，解得：，且x1+x2=a，，又∵A、B两点都在直线y=﹣x+a上，∴y1y2=（﹣x1+a）（﹣x2+a）==，∴=；（2）求解方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0，得，，∴，同理y2=x1，∴==．当与夹角为时，，∴a2﹣4=2，解得：．∴．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，考查了平面向量的数量积运算，训练了灵活变形能力，是中档题．22．（16分）已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若，试用表示；（2）证明：；（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量（2）要证明向量，只要证明，利用O是三角形的外心，可得，然后用向量表示（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径【解答】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）∵O是△ABC的外心，∴||=||=||，即||=||=||，而，∴．（）=|2﹣||2=0，∴（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°∴∠BOC=120°，∠AOC=90°于是∠AOB=150°||2=（=+2°+2=（）R2∴【点评】本题主要考查向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义，综合运用向量的知识，解决问题的关键是熟练掌握向量的基本知识．23．（18分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程，求出|OT|，即可求|OT|的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴|OP|=，∵OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，∴|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，∴|OM|=，∴△OMP的面积为××=，∴；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得，代入化简得动点T轨迹方程为．∴，当且仅当时，|OT|取得最小值．∴|OT|的取值范围是．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知α,β是两个平面，l,m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若m ⊥α,l ⊥m ，则l ⊥α B. 若m//β,n//β，则m//n C. 若m//α,l ⊥α，则l ⊥mD. 若α//β,m//α，则m//β3.已知两直线l 1:3x +4y−14=0,l 2:(a−2)x +4y +a =0，若l 1//l 2，则l 1与l 2间的距离为( )A. 95B. 125C. 175D. 1954.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )A. 712B. 12C. 512D. 135.在平行四边形ABCD 中，点E,F,G 分别满足DE =EC ,BC =2BG ,AF =2FE ，则FG =( )A. 23AB−16ADB. 23AB +16ADC. 16AB−23ADD. 16AB +23AD6.已知圆M 经过P (1,1),Q (2,−2)两点，且圆心M 在直线l:x−y +1=0，则圆M 的标准方程是( )A. (x−2)2+(y−3)2=5 B. (x−3)2+(y−4)2=13C. (x +3)2+(y +2)2=25D. (x +3)2+(y−2)2=257.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ⊥BC,AB =BC =AA 1=2,P 为线段A 1B 1的中点，Q 为线段C 1P 上一点，则▵BCQ 面积的取值范围为( )A. [2,6] B. [2,5] C. [ 3,5] D. [ 2,5]8.已知点A,B是圆C:(x−2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线l:x+y=0上动点，且PA⋅CA=0,PB⋅CB =0，下列说法正确的是( )A. 圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B. PA长的最小值为2−1C. 四边形ACBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点(32,−12)二、多选题：本题共3小题，共18分。
交大附中2015-2016高二上期中数学卷
→→
原点，G 为△ABC 的重心，则 OG⋅ OC 的最小值为
.
10. 向
→
a
=
(cos y,sin
→
y), b
= (cos x, sin x) →→
，则 a 与 b 的夹角为
.
3
11. 已知数列{an }的通项公式 an = 2n ,
n ∈ N * ，则 a1 a3
a2 + a2 a4 a4
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（1） a12 ， a14 ， a31 ， a113 均是选物化地考试的成绩向 ，顺序均为：语数外物化地，而我们知道高考成绩小三门是
会考合格 40 分 + 等级考分数，全市前 5% 为满分 30 分， 5% ~ 15% 记为 27 分。参照我校以往成绩假定物化地年级前 150 名均可记为 30 分满分，151 ~ 250 名可记为 27 分，余下基本 24 分，个别更低。现已知物化地的满分标准是 48（即 物理成绩大于等于 48 分的可记为等级考满分 30 分） 55 ， 47 分；分标准为 42，47，41。试计算第12，14，31，131 名同学
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交大附中 2015-2016 年高二第一学期期中考试试卷
一、填空题（本大题满分 56 分）
1. 若向
→
→
a = (−1,3), b = (x,
2)
，且
→
a//
→
b
，则
x
=
.
→
2. 直线 l 的一个方向向 是 a = (1,−3) ，其斜率等于
.
10
3. 行列式
的值为
.
23
2x + my = 5
上海华东师范大学第二附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题Word版无答案
华东师大二附中2017届高二期中数学考试试卷满分100分 时间90分钟一、填空题（每题4分，满分40分）1. 计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+= ．2. 关于,x y 的方程组321030ax y x ay +-=⎧⎨++=⎩的增广矩阵是 ．3. 方程02014211111=--x x的解为_________________．4.已知()()2,5,3,2M N -，点P 在直线MN 上，且满足3MP PN =．则点P 的坐标为 ．5.若数列{}*2log (1),n a n N -∈为等差数列,且123,5a a ==,21321111lim()n n na a a a a a →∞++++=---__________. 6.已知无穷等比数列{}n a 的所有项的和为3，则1a 的取值范围为__________. 7.直线过(1,3)-且在,x y 轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为__________.8.在ABC 中，(2,4),(1,3),(2,1)A B C --，则边BC 上的高AD 所在的直线的点方向式方程为__________.9.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是________．10.已知(1c o s ,a b c ααββ=+=-(0,),(,2)απβππ∈∈，a 与c的夹角为1θ， b 与c的夹角为2θ，且2s i n,321βαπθθ-=-求= ．二、选择题（每题4分，满分16分）11.如图（右上方图）给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ） A 、求三个数中最大的数 B 、求三个数中最小的数 C 、按从小到大排列 D 、按从大到小排列12.下列有关平面向量分解定理的四个命题．．．．中： ① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示 该平面所有向量的基；② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面 内所有向量的基；③ 平面向量的基向量可能互相垂直；④ 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内 三个互不平行向量的线性组合。
2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．若排列数，则________6654mP =⨯⨯m =【答案】3【详解】 由，所以，解得.665(61)654m P m =⨯⨯-+=⨯⨯614m -+=3m =2．一个球的体积为，则该球的表面积为______.36π【答案】36π【分析】设球的半径为，由球的体积求出的值，再由球的表面积公式即可求解.r r 【详解】设球的半径为，由题意可得：，所以r 34π36π3r =327r =解得：，3r =所以该球的表面积为,224π4π336πr =⨯=故答案为：.36π3．在空间直角坐标系中，点关于yOz 平面的对称点的坐标是______.()1,2,3A -【答案】()1,2,3--【分析】根据关于yOz 平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变即可求解.【详解】关于yOz 平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变，所以点关于yOz 平面的对称点的坐标是，()1,2,3A -()1,2,3--故答案为:.()1,2,3--4．从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量（单位：）如下：kg 7.8 7.9 8.0 8.3 8.4 8.5 8.5 8.5 8.6 8.9 9.0 9.9，则这组数据的95百分位数是______.【答案】9.9【分析】根据百分位数的概念，即可得出答案.p 【详解】因为，根据百分位数的概念可知，120.9511.4⨯=p 这组数据的95百分位数是.9.9故答案为：.9.95．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有2431_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的63选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，34C 4=6336C 20=故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．120416-=故答案为：.16［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；1224C C 12⋅=若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有2124C C 4⋅=种．12416+=故答案为：.16【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限1制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．6．已知随机变量X 服从正态分布，且，则()22,N σ(2 2.5)0.36P X <≤=____________．( 2.5)P X >=【答案】##．0.14750【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为，所以，因此()22,X N σ ()()220.5P X P X <=>=．()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=故答案为：．0.147．若，则_________．()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++135a a a ++=【答案】【详解】试题分析：令，令501234513x a a a a a x a =⇒+++++=，01234511x a a a a a x a =-⇒-----=-.5135311222a a a +++==【解析】二项式展开式.8．事件A 、B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则______.25()()2P A P B =()P A =【答案】##0.425【分析】根据互斥事件概率的运算性质求解.【详解】因为事件A 、B 都不发生的概率为，25所以,23()()155P A P B +=-=又因为代入上式可得，()()2P A P B =13()()25P A P A +=所以，2()5P A =故答案为: .259．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足1111ABCD A B C D -P ABCD 与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.1D P1CC 6πDP【答案】12π【分析】根据题设描述易知的轨迹是以扫过的P D DP 面积.【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角11//DD CC 1D P 1CC 6π1D P 1DD 的大小为，6π∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以1D P 1DD 6πPD 分之一圆，∴在上扫过的面积为.DP ABCD 21412ππ⨯⨯=故答案为：.12π10．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，1213，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下233525()1,n n n ≥∈N 按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为______.nP {}n P n P =【答案】，1149381519n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭,1n n ∈≥N 【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n 次出现红球的概率，利用全概n 1-率公式计算数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式.{}n P 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D ＝“第n 次出现红球”，1=C n 1-2=C n 1-则，，，，()11n P C P -=()211n P C P -=-()113P D C =()235P D C =由全概率公式得()()()()()1122n P P D P C P D C P C P D C ==+()．()1111343135155n n n P P P ---=⨯+-⨯=-+,1n n ∈≥N 即，，143155n n P P -=-+,1n n ∈≥N 所以，,1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭191911921938P -=-=所以数列是首项为，公比为的等比数列，919n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭138415-所以，即，，1914193815n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭1149381519n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭,1n n ∈≥N 故答案为：，1149381519n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭,1n n ∈≥N 11．定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，{}n a {}n a 2m m m 2k m ≤中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有____个．12,,,k a a a 4m =【答案】14【详解】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：10a =81a=由图可知，不同的“规范01数列”共有14个.故答案为14.二、双空题12．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020则有______%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价______（有或无）差异附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】 95 有【分析】完善列联表，利用公式求得观测值并与临界值比较分析.【详解】由题意可得：满意不满意总计男顾客401050女顾客302050总计7030100则，()2210040203010100 4.7625050703021K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯∵，4.762 3.841,>∴能有%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.95故答案为：95；有.三、单选题13．设，为两个平面，则的充要条件是αβ//αβA ．内有无数条直线与平行αβB ．内有两条相交直线与平行αβC ．，平行于同一条直线αβD ．，垂直于同一平面αβ【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平αβ//αβ行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是//αβαβαβ的必要条件，故选B ．//αβ【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．,,//a b a b αβ⊂⊂//αβ14．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为,所以错；70%75%70%2+>A讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的80%,485%90%正确率的平均数大于,所以B 对；85%讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，100%80%20%-=讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.95%60%35%20%-=>D 故选:B.15．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，01p <<ξp ()0,1ξ12P12p -122p A ．减小B ．增大()D ξ()D ξC ．先减小后增大D ．先增大后减小()D ξ()D ξ【答案】D【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】，111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+ ，2222111111()(0)(1)(22222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++，∴先增后减，因此选D.1(0,1)2∈ ()D ξ【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（ ）A ．26B ．24 ，C ．26，D ．24 1221-【答案】A【分析】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即a 可求解【详解】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面，8881所以共有个面，8881126++++=设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形，a 由图可得，，12aCD -=CE a =因为为等腰直角三角形，所以，即，CDE CE =12a a -=解得：，1a ==-1故选：A.四、解答题17．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一D O ABC P DO 点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得PA PB PC ==PAC △PBC ，即，从而证得平面，即可证得结论；90APC BPC ∠=∠= PB PC ⊥PC ⊥PAB （2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角l r 形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.ABC APC AP Rt APO PO 【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，,,OA OB OC D O OD ∴⊥ABC 在上，，P DO ,OA OB OC PA PB PC ==∴==是圆内接正三角形，，≌，ABC AC BC ∴=PAC △PBC ，即，90APC BPC ∴∠=∠=︒,PB PC PA PC ⊥⊥平面平面，平面平面；,PA PB P PC =∴⊥ ,PAB PC ⊂PAC ∴PAB ⊥PAC（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，l r ,rl rl π==，解得，，2222OD l r =-=1,r l ==2sin 60AC r ==在等腰直角三角形中，APC AP ==在中，Rt PAO PO ===三棱锥的体积为.∴-P ABC 11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.18．若展开式中前三项的系数成等差数列，求：n+(1)展开式中x 项的系数；(2)展开式中系数最大的项．【答案】(1)358(2)或747x 527x【分析】（1）写出前三项的系数即可得到方程，求出，再写出展开式的通项，即可求出项的系n x 数；（2）设设展开式中项的系数最大，即可得到不等式组，求出，即可得解；1r T +r 【详解】（1）解：前三项的系数为：，，，0C 1n=11C 22n n ⋅=2281C (21)n n n ⎛⎫⋅=⎪- ⎝⎭故有，(1)18n n n -+=即解得或（舍去）；2980n n -+=8n =1n =则二项式展开式的通式为．88342441881122C C r r r r r r r r T x x x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅令，解得，所以，故展开式中项的系数为．3414r-=4r =4584152C 38T x x =⋅⋅=x 358（2）解：不妨设展开式中项的系数最大，则，1r T +1881188111C C 2211C C 22rr r r r r rr ++--⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩即，解得，即或，()1812181112r r r r -⎧≥⋅⎪+⎪⎨-+⎪≥⎪⎩23r ≤≤2r =3r =故展开式中系数最大的项为，．35422238272C 1T x x -=⋅⋅=9743444831C 72T x x -=⋅⋅=19．如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1—7分别对应年份2016—2022.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，.719.32i i y ==∑7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈参考公式：相关系数r =回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.ˆˆˆy a bt =+()()()121niii ni i t t y y b t t==--=-∑∑ ˆˆa y bt =-【答案】(1)答案见解析；(2)，预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨.0.1002ˆ.9yt =+ 1.82【分析】（1）根据相关系数的计算公式，直接计算求解即可得到相关系数，根据数据即可说明线性相关性；（2）根据最小二乘法计算出回归方程的系数，进而代入预测值，即可求解.【详解】（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据可得：，，，4t =()72128i i t t =-=∑719.32ii y==∑，，7140.17i ii t y==∑0.55=()()177140.1749.32 2.879i ii iii tty y t y t y ==--==-⨯=-∑∑所以.2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯因为y 与t 的相关系数近似为，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合0.99y 与t 的关系.（2）由及（1）得，9.32 1.3317y =≈()()()71721ˆiii i i t t y y bt t==--=-∑∑ 2.890.10328=≈.1.3310.10340.ˆ92ˆa y bt =-≈-⨯≈所以y 关于t 的回归方程为：.0.1002ˆ.9yt =+因为，将对应的代入回归方程得：.202420159-=20249t =0.1090.9.ˆ2182y=⨯+=所以预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨.1.8220．如图，在三棱柱中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面111ABCA B C -为菱形，点在底面上的投影为AC 的中点D ，且.11AA C C 1A 2AB =(1)若M 、N 分别为棱AB 、的中点，求证：；11B C 1B M CDN 平面(2)求点C 到侧面的距离；11AA B B (3)在线段上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11A B 11AA BB 出的长；若不存在，请说明理由.1A E 【答案】(1)证明见解析(3)存在，且11A E =【分析】（1）由已知利用中位线性质分别得出且，与且MD BC 2MD BC=1MD B N ，证明四边形为平行四边形，即，即可证明结论；1MD B N=1B NDM1B M ND （2）由已知结合投影性质与等腰直角三角形性质，证明直线DB ，DC ，两两垂直，并得出需1DA 要线段长，再建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与，即可代入公式求解答案；11AA B B AC（3）假设存在，并设出关系，得到，再由向量运算得到，即可由线面角公式结合已知列式1A E DE求解.【详解】（1）证明：连接MD ，为AB 的中点，D 为AC 的中点，M 且，MD BC ∴ 2MD BC =为的中点，N 11B C 则在三棱柱中，且，111ABC A B C -1B N BC ∴ 12B N BC =且，1MD B N ∴ 1MD B N =四边形为平行四边形，∴1B NDM ，1B M ND ∴ 平面CDN ，且平面CDN ，ND ⊂ 1B M ⊄；1B M CDN ∴ 平面（2）点在底面上的投影为AC 的中点D ，1A 平面ABC ，1A D ∴⊥且，1A D AC ∴⊥1A D BD ⊥底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，，BD AC ∴⊥侧面为菱形，且，11AA C C 1A D AC ⊥，11A C A A AC ∴==，2AB =，DB DA DC ∴===1DA =直线DB ，DC ，两两垂直，1DA 故以点D 为坐标原点，直线DB ，DC ，分别为x，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，1DA 则，，，，，()0,0,0D ()0,A)B ()C (1A 则，，，)AB =()0,AC =(1AA =设平面的一个法向量为，11AA B B (),,n x y z = 则，即，100AB n AA n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩00x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩取，则，1z=)n=则点C 到侧面的距离为：11AA B Bd =（3）假设存在满足条件的点E，并设，，)111,0A E AB AB λλ=⋅=⋅=[]0,1λ∈则，11DE DA A E =+=直线DE 与侧面11AA B B，,DE 解得，，则，214λ=[]0,1λ∈ 12λ=故存在满足条件的点E ，且，1112A E AB ==21．某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验.n (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？500n =5000n =50000n =(2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多500n =5000n =50000n =少？(3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.【答案】(1)；0.057624(2)见解析；(3)见解析.【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值； 500n =（2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值；（3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明．【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率n 都为，0.02可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数，()~3,0.02X B 恰好抽到1件次品的概率为.()()21231C 0.0210.0230.020.980.057624P X ==⨯⨯-=⨯⨯=（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品X X X 的总数有关，n 所以需要分3种情况分别计算：①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件，500n =5002%10⨯=从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.()1210490350049048910C C 2110.057853500499499C 321P X ⨯⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为5000n =50002%100⨯=4900件，从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.()1210049003500049004899100C C2110.057647500049994998C321P X ⨯⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数50000n =500002%1000⨯=为49000件，从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.()1210004900035000049000489991000CC2110.057626500004999949998C321P X ⨯⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯（3）对超几何分布与二项分布关系的认识：共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．。
上海市上师大二附中2014-2015学年高二下学期期中考试试卷
2014学年第二学期上师大二附中期中考试高二数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.“直线l 与平面α相交于点P ”用集合语言表示为________________.2.倾斜角为3π4且经过点(1,2)P -的直线l 的方程为________________.3.等轴双曲线22213x y b-=（0b >）的焦距为_________.4.已知圆柱的侧面积为3π，底面周长为2π，则它的体积为___________.5.用一个平面去截球所得的截面面积为2πcm 2，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的体积为__________cm 3.6.已知定点(3,2)A ，若点P 为抛物线22y x =上的动点，则当P 到抛物线的焦点F 的距离||PF 与||PA 之和最小时，点P 的坐标为_________.7.已知定点(2,0)A 和圆22(2)1x y ++=上的动点B ，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为______________.8.已知1F 、2F 是双曲线2221y x b -=（0b >）的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若12π6PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为___________.9.不论a 为何实数，直线10ax y ++=与椭圆2214x y m+=总有公共点，则实数m 的取值范围是____________.10.圆锥底面半径为3，母线长为12，B 是母线PA 的中点，则点A 绕圆锥一周到达点B的最短距离为__________.11.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅= ，用1S 、2S 、3S 分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值为____________.12.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、1CC 的中点，设过D 、M 、N 三点的平面与11B C 交于点P ，则PM PN +的值为___________.二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.13.已知a 、b 为异面直线，若//c a ，则c 与b 的位置关系是（）（A ）相交；（B ）异面；（C ）平行；（D ）相交或异面.14.若点P 的坐标为00(,)x y ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“00(,)0F x y =”是“点P 在曲线C 上”的（）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）既不充分又不必要条件.15.若要做一个正六棱锥形的铁皮烟囱帽，底口边长为0.4m ，高为0.5m ，则下列各数中与所需要的铁皮面积数最接近的是（）（A ）0.73m 2；（B ）1.62m 2；（C ）1.78m 2；（D ）2.63m 2.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 为线段11B D 上的两个动点，且2EF =，给出下列四个命题：①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③点B 到平面AEF 的距离为定值；④异面直线AE 与BF 所成的角为定值.其中真命题的个数为（）（A ）4个；（B ）3个；（C ）2个；（D ）1个.三、解答题（本大题满分52分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分.已知直线l ：5230x y ++=.（1）求直线1l ：5210x y +-=与直线l 的距离；（2）求直线2l ：37130x y +-=与直线l 的夹角的大小.18.（本题满分6分）如图，已知圆锥的轴截面SAB 是等腰直角三角形，且该圆锥体积为8π3，求该圆锥的表面积.19.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分.如图，在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==.（1）求该四棱锥的体积；（2）设点E 是侧棱PB 的中点，求异面直线AE 与PC 所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）20.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.已知双曲线C ：1422=-y x ，P 是C 上的任意点.（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为(3,0)，求||PA 的最小值.21.（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分.如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知10AB BC ==，6CD =.（1）求该圆柱的表面积；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积；（3）求点B 到平面ACD 的距离.22.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分.已知椭圆E 经过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点1F 、2F 在x 轴上，焦距与长轴长的比为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.。