推荐学习高中数学第一章推理与证明1归纳与类比课后演练提升北师大版选修2_21

2016-2017学年高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比课后演
练提升 北师大版选修2-2
一、选择题
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33
D ．27
解析： ∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，则x －20＝12,47－x ＝15，所以x ＝32，故选B.
答案： B
2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高
2，可推知扇形
面积公式S 扇等于( )
A.r 2
2
B.l 2
2
C.
lr
2
D ．不可类比
解析： 将扇形的弧类比为三角形的底边，半径类比为三角形的高．所以S 扇＝1
2lr ，故
选C.
答案： C
3．下面使用类比推理恰当的是( )
A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”
B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“
a ＋
b
c ＝a c ＋b
c
(c ≠0)” C ．“(ab )n
＝a n b n
”类推出“(a ＋b )n
＝a n
＋b n
”
D．“a(bc)＝(ab)c”类推出“a(bc)＝(ab)c”
答案： B
4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：∵55＝3 125，
56＝15 625,57＝78 125，
58＝390 625,59＝1 953 125，
510＝9 765 625，…
∴5n(n∈N，且n≥5)的末四位数是周期性变化，且最小正周期为4.
记5n(n∈N，n≥5)的末四位数为f(n)，
∴f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，
∴52 011与57的末四位数相同，为8 125，故选D.
答案： D
二、填空题
5．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________________根；第n个图形中，火柴杆有________________根．
解析：观察得递推关系式a n－a n－1＝3(n≥2，n∈N＋)．所以a n＝3n＋1，∴a4＝13.
答案：13 3n＋1
6．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝
1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2
a 2，那么对
于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点
的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________________.
解析： 设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，M (x 0
，y 0
)，则有⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＝x 1
＋x 2
2
y 0
＝y 1
＋y
2
2
(*)
∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22
b
2＝1， ∴两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 2
2
b
2，
即
x 1－x
2
x 1＋x 2
a 2
＝
y 1－y
2
y 1＋y 2
b 2
，
将(*)式代入，得y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝b 2
a 2，
即k OM ·k AB ＝b 2
a 2.
答案： b 2
a
2
三、解答题
7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n
2＋a n ，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式(不需证明)．
解析： a n ＋1＝2a n
2＋a n
，n ∈N ＋，
a 1＝1时，a 2＝
2×12＋1＝2
3
；
a 2＝2
3时，a 3＝2×
232＋23＝12＝24
；
a 3＝1
2时，a 4＝2×122＋12
＝25
，…
猜想{a n }的通项公式为a n ＝
2n ＋1
. 8．从y ＝ax 2
与y ＝a (x －h )2
＋k 的图像变换关系，类比谈谈函数y ＝f (x ＋a )＋b 的图像是由y ＝f (x )的图像如何得到的？
解析： 根据y ＝ax 2
与y ＝a (x －h )2
＋k 的顶点关系，我们可以发现将y ＝ax 2
的图像向右(当h ＞0时)或向左(当h ＜0时)平移|h |个单位长度，再向上(当k ＞0时)或向下(当k ＜0时)平移|k |个单位长度，就得到y ＝a (x －h )2
＋k 的图像．
类比以上结论，函数y ＝f (x ＋a )＋b 的图像是由y ＝f (x )的图像沿x 轴方向向左(当a ＞0时)或向右(当a ＜0时)平行移动|a |个单位长度，再沿y 轴方向向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b |个单位长度所得．
9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)(2)(3)(4)所示为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．
(1)求出f (5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式．
解析： (1)f (5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1。