线性代数习题[第五章]相似矩阵及二次型

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线性代数答案第四版(高等教育出版社)

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章 行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by

相似矩阵及二次型5-习题课

相似矩阵及二次型5-习题课

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特征值问题
通过相似变换可以求解矩阵的特征 值和特征向量问题。
线性系统
通过相似变换可以将线性系统化为 易于分析的形式。
04 二次型习题解析与解答
习题一解析与解答
总结词:基础题
详细描述:这道题考察了二次型的基本概念和性质,包括二次型的矩阵表示、标 准型和规范型等。通过这道题,学生可以巩固二次型的基本知识点,掌握二次型 的基本运算和变换方法。
相似变换
如果存在一个可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP$为对角矩阵,则称 矩阵A经过相似变换化为对角矩阵。
相似矩阵变换的性质
保持矩阵的特征值不变
相似变换不改变矩阵的特征值。
保持矩阵的行列式值不变
相似变换不改变矩阵的行列式值。
保持矩阵的迹不变
相似变换不改变矩阵的迹。
相似矩阵变换的应用
简化矩阵
通过相似变换可以将复杂的矩阵 化为简单的对角矩阵,便于分析。
ห้องสมุดไป่ตู้详细描述
二次型是多项式中只含有x和y的二次 项的代数和,即形式为$f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$的函数,其中a 、b、c是常数。
二次型的标准型
总结词
二次型的标准型是将二次型转换为另一种形式,以便更好地研究其性质和特征。
详细描述
通过变量替换,将二次型转换为标准型,即$f(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2$的 形式,其中a、b、c是常数,且a不等于0。
相似矩阵及二次型5-习题课
contents
目录
• 相似矩阵的定义与性质 • 二次型的定义与表示 • 二次型的相似矩阵变换 • 二次型习题解析与解答 • 总结与回顾

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

6
1 6
即为单位向量。
7
二, 正交向量组 1.向量的正交:
当x, y 0时,称为向量 x 与 y 正交。
显然,零向量与任何向量正交。
1
1
如:a1
1
,a2
2
1
1
由于:a1,a2 a1a2 1 1
a1 与 a2 正交。
1
1 2
0
1
8
2,正交向量组 ⑴ 定义:一组两两正交的非零向量。 ⑵ 定理 1:正交向量组是线性无关组。 即:若 n 维向量a1, a2,ar 是一组两两正交的非零
x
x2
令:[ x,
y]
x1
y1
x2
y2
xn
yn
xn
[x, y]称为向量 x 与 y 的内积。
y1
y
y2
yn
例 如 :x
1 2
,
3 y 1
1
0
x, y= 1 3 21 1 0 5 x, x = 12 22 (1)2 6
3
内积实际上是一种向量的运算
不难看出:X ,Y X Y Y X
向量(正交向量组),则a1, a2,ar 线性无关。 证明:设有 1, 2 ,r 使
1a1 2a2 r ar 0 以a1与上式做内积,即以a1 左乘上式两端得:
1 a1 2 0 由于 a1 0 1 0 若以a2 与(1.3) 式做内积,则易知2 0 同理可证:3 4 r 0 a1 a2 ar 线性无关。
则a3
应满足齐次方程组:
Ax
O
即:1 1 1 2
1 x1 0
1
x2 x3
0
10
解此方程组:

线性代数第五章(答案)

线性代数第五章(答案)

第五章 相似矩阵与二次型一、是非题〔正确打√,错误打×〕1.若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. <√>2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. <√>3.n 阶正交阵A 的n 个行<列>向量构成向量空间n R 的一个规X 正交基. <√>4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. <√>5.若A 是正交阵,Ax y =,则x y =. <√>6.若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ,则2是n n A ⨯的一个特征值. <×>7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. <×>8.n 阶矩阵A 在复数X 围内有n 个不同的特征值. <×>9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . <√>10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值<其中)(λf 是λ的多项式>.<√>11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值,1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. <×>12.T A 与A 的特征值相同. <√>13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. <×>14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足:B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. <√>15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. <√>16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. <√>17.实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. <√>18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. <√>19.实对称阵A 与对角阵 Λ相似:Λ=-AP P 1,这里P 必须是正交阵. <×>20.已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则Ax x T 不是二次型. <×>21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵. <√>22.二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型.<×>23.任给二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,总有正交变换Py x =,使f 化为规X 型.<×>二、填空题1.向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α,求两向量2α=____,3α=____,使321,,ααα两两正交.Ans:()T 1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α 2.若A 是正交阵,即E A A T =,则=A _____. Ans:1或-13.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121001065A ,则A 的特征值为________.<-1,2,3>4.n 阶方阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ,则=A ___________,=+++nn a a a 2211_____________.5.设二阶行列式A 的特征值为2,3,λ,若行列式482-=A ,则____=λ.<-1>6.设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则=--E A 14_____,=-+*E A A 23______. Ans:-15,97. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-,则=x -1或2 .8. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1,则2008A =E .9.当x =___时,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010110x A 能对角化.<-1,见教材>10.设A 为2阶矩阵,1α,2α是线性无关的二维列向量,01=αA ,2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为_______.提示:由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1200)()(2,12,1ααααA 知A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200相似,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200非零特征值为1.11、设A 为正交矩阵,λ为A 阵的特征值,则λA E -=_____0___.12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若0=A 行列式则A 的秩为_____.<2>13.<3分>二次型32312123222144)(x x x x x x x x x a f +++++=经过正交变换Py x =可化为标准型216y f =,则a =_____.<a =2>14.二次型()222123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++的秩是______; 二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2,则=a .15.已知二次型yz xz xy z y x a f 222)(222-++++=,a 的取值为_____时f 为正定, a 的取值为_____时f 为负定. <1;2- a a >16. 二次型322322214332x x x x x f +++=经过正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ______⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形=f _______,从而1),,(321=x x x f 表示的曲面类型是_________. Ans:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3212121212132100001y y y x x x ,23222152y y y f ++=,椭球面 三、 选择题 1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ,则矩阵12)21(-A 有一特征值为< C >.<A> 22a ; <B>22a - ; <C>22-a ; <D>22--a .2.若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根,则A 对应于λ的 特征向量最多有<A >个线性无关.<A> 3个; <B> 1个; <C> 2个; <D> 4个.3.特征值一定是实数的矩阵是<B ><A>正交矩阵 <B> 对称矩阵<C>退化矩阵 <D>满秩矩阵4. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量,则其对角化矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为< D >.<A>α1-P ; <B>αP ; <C>αT P ; <D>α .5. 若A 为n 阶实对称矩阵,且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定,则下列结论不正确的是< C > .(A) A 的特征值全为正;<B> A 的一切顺序主子式全为正; <C> A 的元素全为正;<D>对一切n 维列向量x ,Ax x T 全为正.6.下列各式中有<A >等于22212136x x x x ++.<A> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21213421,x x x x ; <B> ()112213,23x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; <C> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21213511,x x x x ; <D> ()112211,43x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 7.矩阵〔 C 〕是二次型22212136x x x x ++的矩阵. <A>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111;<B>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421;<C>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3331; <D>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151;8.设A 、B 为同阶方阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21,且BX X AX X T T =,当〔 D 〕时,B A =. <A>)()(B r A r =; <B>A A =T ;<C>B B =T ; <D>A A =T 且B B =T ;9.A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是〔 D 〕. <A>0>A ; <B>存在n 阶矩阵C,使C C A T =; <C>负惯性指标为零; <D>各阶顺序主子式均为正数; 10.1)()()(),,(22221,21--++-+-=n a x a x a x x x x f n n 是< B >. <A>非正定二次型 ;<B>正定; <C>负定; <D>不定;11.正定二次型),,(,21n x x x f 的矩阵应是〔 B 〕.<A>非对称且左右对角线上元素都是正数;<B>对称且各阶顺序子式都是正数;<C> 对称且所有元素都是正数;<D> 对称且矩阵的行列式是正数;12.使实二次型 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x k k k k k z y x 0101),,( 正定的参数k 应该是< C >.<A>0>k ;<B>02>k ;<C>不存在; <D>0<k ;13.阶矩阵A 为正定的充分必要条件是< C >. <A>0>A ; <B> 存在n 阶矩阵,使A=C C T ;<C> A 的特征值全大于0; <D> 存在n 维列向量α≠0,有0>ααA T ;14.次型232221321)2()1()1()(x k x k x k x x x f -+-++=,当< B >时是正定的.<A>k>0; <B> k>2; <C> k>1;<D> k=1;15.设A ,B 为正定矩阵,则< C >.<A>AB 、B A +都正定; <B>AB 正定,B A +不一定正定; <C>AB 不一定正定,B A +正定; <D>AB 和B A +都不一定正定;16.设A ,B 都是n 阶实对称矩阵,且都正定,那么AB 是<C> <A>实对称矩阵 <B> 正定矩阵<C>可逆矩阵 <D>正交矩阵17.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B ,则A 与B<A>合同, 且相似. <B> 合同, 但不相似 .<C>不合同, 但相似. <D> 既不合同, 又不相似.[ B ]18. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A , 则在实数域上与A 合同矩阵为〔 D 〕 <A> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 <B>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 <C> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112<D> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 19.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是<A> 01≠λ <B> 02≠λ <C> 01=λ <D>02=λ [ B ]20.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 < C > <A> 所有k 级子式为正),,2,1(n k = <B>A 的所有特征值非负 <C> 1-A 为正定矩阵 <D>秩<A >=n。

第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案

第五章 相似矩阵及二次型  线性代数  含答案

第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ=2为可逆阵A的特征值,则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证n阶方阵A的满足2A A =,则A的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中,12(111),(121)TTαα==-正交,试求3123,,αααα,使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=,求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,问A 能否化为对角阵?若能对角化,则求出可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---,通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定?5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =,且A 的秩为r ,试求行列式det(2E -A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,问A 能否对角化?若能对角化,则求出可逆矩阵P ,使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,分别求出正交矩阵P ,使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形,并求所作的可逆线性变换.5. 设A,B分别为m阶,n阶正定矩阵,试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵?6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A,B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠,则[][]1223,0,,0αααα==,即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交,即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者,其基础解 系为: 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1)正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2)标准化令1||||i i i ςββ=,则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得,1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0,得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 同理,对3λ=-7,由()3A-λE x=0,求得基础解系()31,2,2Tα=,由于201120112≠,所以123,,ααα线性无关,即A 有3个线性无关得特征向量,因而A 可对角化,可逆矩阵为:123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步,写出对应得二次型矩阵,并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭, ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭,从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

大学-线性代数习题答案05

大学-线性代数习题答案05
|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共 的特征值 有公共的特征向量
证明 设 R(A)r R(B)t 则 rtn 若 a1 a2 anr 是齐次方程组 Ax0 的基础解系 显然它们
17
设矩阵 A142
2 x 2
124

5
4
y
相似
求 x y

求一个正交阵 P 使 P1AP
解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然5 4 y 是
的特征值 故它们也是 A 的特征值 因为4 是 A 的特征值
所以
5 2 4 | A 4E| 2 x 4 2 9(x 4) 0
4 2 5
解之得 x4 已知相似矩阵的行列式相同 因为
2 5 1
1 a b
322 的一个特征向

(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值
解 设是特征向量 p 所对应的特征值 则
(AE)p0

2 5 1
1 a
b
2 3 2
111
000
解之得1 a3 b0
(2)问 A 能不能相似对角化?并说明理由
解由
2 1 2 | AE| 5 3 3 ( 1)3
由①②③解得
x1
1 3
1 2
x6
x2
1 2
x6
x3
2 3
1 4
x6
x4
1 3
1 2
x6
x5
2 3
1 4
x6
令 x60

x1

工程数学线性代数课后答案详解

工程数学线性代数课后答案详解
13 设 A、B 都是 n 阶矩阵 且 A 可逆 证明 AB 与 BA 相

证明 取 PA 则 即 AB 与 BA 相似
P1ABPA1ABABA
14
设矩阵 A432
0 1 0
15x 可相似对角化
求 x
解由
2 0 1 | AE| 3 1 x ( 1)2( 6)
022
x1 x2 x3


0

得特征向量(1 2 2)T
单位化得
p1

(1, 3
2, 3
2)T 3
对于21, 解方程(AE)x0 即

1 2 0
2 0
2
201
x1 x2 x3


0

得特征向量(2 1 2)T
特征值341 的线性无关特征值向量
6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同 证明 因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公 共的特征向量
b1


011

b3

a3

[[bb11,,ab13]]b1

[[bb22,,ab23]]b2

1 3

211

(2) (a1,
a2,
a3)


1 0 1 1
1 1 0
1
11 01

解 根据施密特正交化方法
1
b1

a1

西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第五部分 相似矩阵及二次型(带答案)

西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第五部分  相似矩阵及二次型(带答案)

第五章 相似矩阵及二次型基础练习一、填空1. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。

答案:02. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-α51,则=α_________。

答案:1-=α3. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。

答案:负定4.设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为答案:⎛ ⎝5.设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA答案:A -6.若A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量一定答案:正交7.设2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵1231-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 有一个特征值 等于答案:348.设A 是n 阶正定矩阵,则方程组0=AX 的解的集合是 答案:09.设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211, 则=x答案:3-10.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314120401A 对应的二次型是_______________答案:22212313232382x x x x x x x +++-11.设可逆方阵A 的特征值为λ,则k A -1的特征值为 。

答案:kλ12. 22212312312(,,)2-2f x x x x ax x x x =++为正定二次型,则a 的取值范围为答案:1a >13.与向量组α1= (12,12,12,12)T , α2= (12,12, -12, -12)T , α3= (12,-12,12, -12)T ,都正交的单位向量α4=答案:1111,,,2222T⎛⎫±-- ⎪⎝⎭14、列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ= ,a = ,b = 。

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线性代数练习纸 [
第五章 ] 相似矩阵及二次型
5-1 向量的内积与方阵的特征值
A
1.设
为矩阵 A 的特征值,且 0 ,则

的特征值。

a. 1 A;
b.A * ;
c. A;
d.A 1 ;
2.设 A 为 n 阶实对称阵, x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量,则。

a. x 1T x 2 1
b. x 1 与 x 2 线性相关;
c. x 1 与 x 2 线性无关;
d. x 1 x 2 0
3.设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ,且 x 1 , x 2 分别为对应于
1 ,
2 的特征向量,
则当
满足时,
x k x k x
2 必为 A 的特征向量。

1 1
2
a. k 1 0 且 k 2 0 ;
b. k 1 0 且 k 2 0 ;
c. k 1 0 且 k 2 0 ;
d. k 1 k 2 0
4.设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零,则。

a. r ( A) n;
b. r ( A)
n; c.r ( A) n; d.r ( A) n
2 1 1
5. 设矩阵 A
0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 .
4 1
3
班级:姓名:序号:
111
6.试用施密特法把向量组( a1, a2
011
, a3 )
正交化。

11
110
7.设A与B都为n阶正交阵,证明:AB 也是正交阵。

8.证明:正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。

9.设x为n维列向量且x T x 1 ,而 H E 2 xx T,试证 H 是对称的正交矩阵。

线性代数练习纸[第五章]相似矩阵及二次型
习题 5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化
1n
阶方阵,则A B
是A与B相似的。

.设 A与B为
a. 充分条件;
b.必要条件;
c. 充要条件; d . 无关条件
2.对实对称阵A 1010
,有 A与B
, B
01。

1
a. 互为逆矩阵;
b.相似;
c. 等价;
d. 正交
3.n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是。

a. 矩阵A有n个特征值;
b. 矩阵A有n个线性无关的特征向量;
c. 矩阵A的行列式A0 ;
d. 矩阵A的特征多项式有重根
4.设 n 阶矩阵A与B相似,则
a. A与B正交;
c.A与B等价;。

b. A 与B 有相同的特征向量;
d. A与B相同的特征值。

5.若A与B是相似矩阵,证明A T与 B T也相似。

1245
6.设方阵A2x 2 与y相似,求 x 与y。

4214
班级:姓名:序号:7.设三阶方阵 A 的特征值1,— 2, 2,且B A35A2,求 B 的特征值与 B 。

31
E+ A1的特征值。

8.设矩阵A,①求 A 的特征值,②求
13。

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