2018年11月重庆南开中学高2020级高二上半期数学理科

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重庆十一中高二上数学(理)期中试题及答案

重庆十一中高2018级高二（上）半期考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ； ③ 平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( ) A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（）A.31,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.61,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.622,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.221,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________.14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。

重庆市南开中学2018届高三数学上学期期中试题文

重庆南开中学高2018级高三（上）中期考试文科数学试题卷本卷共4页，满分150分. 考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则（） {}{}|||3,,31A x x x N B x x =<∈=-<<()R A C B = A ． B ．C ．D ．{}1,0,1,2-{}1,2{}0,1,2,3{}1,0,1,2,3-2.已知直线和平面,且，则“”是“”的（）条件 ,a b αb α⊂a b ⊥a α⊥ A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 3.已知为虚数单位，且，则在复平面上对应的点坐标为,,x y R i ∈(2)1x y i i +-=+1x yii+-（）A. B. C. D. (1,1)--(1,1)-11(,)22-11(,)224.已知向量、满足，，则向量与的夹角是（）r a r b 3a =rb =r ()a a b ⊥-r r r r a r b A.B.C.D. 6π3π23π56π5.若满足约束条件，则的最大值为（）,x y 20201x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩2z x y =+A ． B. C. D.1-2346.已知，且，则（）12log ,02()12,22x x f x x x <≤⎧⎪=⎨⎪-+>⎩()3f a =(2)f a += A ．B. C. D.516151658787.已知向量，其中，且，则的最小值为(2,1),(1,)AB x CD y =-=- 0>xy //AB CD 24x y+( )A ．B ．C ．D ．161825278.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，255问这女子每天织布多少？”根据上述的已知条件，若要织布的总尺数不少于尺，则该女子50所需织布的天数至少为（）A ．B ．C ．D ． 789109．函数的大致图像是（） ()x xxf x e e-=+A ．B ．C ．D ．10.已知某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为的等边2三角形，则该几何体的体积为（） A ． B ． 3322+π3342+πC ． D ． 332+π334+π11.已知函数，对，有，()sin()(0,(0,2f x x πωϕωϕ=+>∈x R ∀∈()()66f x f x ππ+=-且当满足时，的最小值为。

重庆市南开中学高二上学期半期考试理科数学(教师版)

2016-2017学年重庆市南开中学高二上学期半期考试理科数学一、选择题：共12题1．双曲线x2−y23=1的渐近线方程为A.y=±3xB.y=±3xC.y=±13x D.y=±33x【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的渐近线方程.由双曲线的方程x2−y23=1可得渐近线方程为y=±3x2．命题“∀x∈R，均有x2+sin x+1<0”的否定为A.∀∈R，均有x2+sin x+1≥0B.∃x∈R，使得x2+sin x+1<0C.∃x∈R，使得x2+sin x+1≥0D.∀x∈R，均有x2+sin x+1>0【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由全称命题否定的定义可知，答案为C.3．椭圆x216+y212=1的左顶点到右焦点的距离为A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质.由椭圆的方程x216+y212=1可得a=4，c=2，所以椭圆x216+y212=1的左顶点到右焦点的距离为a+c=64．“方程x22−n +y2n+1=1表示焦点在x轴的椭圆”是“−1<n<2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、圆锥曲线的方程，考查了逻辑推理能力.由方程x22−n +y2n+1=1表示焦点在x轴的椭圆可得2−n>n+1>0,所以−1<n<1，所以当n=1时，方程x22−n +y2n+1=1表示焦点在y轴的椭圆,故答案为A.5．已知点P(−1,3)在抛物线C:y2=2px的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是A.−23B.−32C.−2D.−13x=−p2【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的方程、直线的斜率.抛物线的准线方程为x=−p2,由题意可得−p2=−1，则p=2，焦点F的坐标为(1,0),所以直线PF的斜率是k PF=3−0−1−1=−326．直线l:y=kx与双曲线C:x2−y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是A.(0,1)B.(−2,2)C.(−1,1)D.−1,1【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线的斜率，考查了数形结合思想.由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为y=±x,又双曲线的焦点在x轴上，所以要使直线l:y=kx与双曲线C:x2−y2=2交于不同的两点，则−1<k<1,故答案为C.7．已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M(3,12)，则|PM|+|PF|的最小值是A.112B.6 C.72D.92【答案】D【解析】本题主要考查抛物线的定义，考查了逻辑推理能力.抛物线的准线为l:x=−32,过P作垂直l的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得PN=|PF|,所以当点P、M、N三点共线时，PM+PF=|PM|+|PN|取得最小值3+32=928．中心在原点的椭圆长轴右顶点为(2,0)，直线y=x−1与椭圆相交于M,N两点，MN中点的横坐标为23，则此椭圆标准方程是A.x22+y24=1 B.x24+y23=1 C.x23+y22=1 D.x24+y22=1【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、中点坐标公式，考查了逻辑推理能力.设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得a=2，A(x1,y1),B(x2,y2)，将y=x−1代入椭圆方程可得b2+4x2−8x+4−4b2=0,则x1+x2=8b2+4=43，所以b2=2，故答案为D.9．已知圆台的下底面周长是上底面周长的3倍，母线长为3，且圆台的侧面积为12π，则该圆台的体积为A.1353π B.13π C.1333π D.135π【答案】A【解析】本题主要考查圆台的表面积与体积，考查了空间想象能力.设上底面半径为r，由题意可知，下底面半径为3r，则π×r+3r×3=12π,则r=1，则圆台的高h=32−(3−1)2=5，所以圆台的体积V=π3×12+1×3+32×5=1353π10．平行四边形ABCD的顶点A为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45∘，则此双曲线的离心率是A.5B.5+32C.5+12D.52【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质，考查了逻辑推理能力.因为平行四边形ABCD的顶点A为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，且∠ABC=45∘，所以点D的坐标为(−c,c)，因为顶点D恰好在该双曲线左支上，所以c2a2−c2b2=1,即c2(b2−a2)=b2a2,即c2c2−2a2=a2(c2−a2),即e4−3e2+1=0,所以e2=3+52=(1+52)2,e=1+5211．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x−4y=0交椭圆E于A,B两点，若AF+BF=4，点M到直线l的距离等于45，则椭圆E的焦距长为A.2B.23C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的定义与性质、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.由椭圆的对称性可知，2a=AF+BF=4，则a=2,令M(0,b),则4b5=45,则b=1，所以c= a2−b2=3,则2c=2312．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，过左焦点F1(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2=4cx于P,Q两点，则|PE|+|QE|的值为A.102aB.10aC.(5+5)aD.122a【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的双曲线的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了逻辑推理能力与计算能力.设P(x1,y1),Q(x2,y2)，因为双曲线的离心率为3，所以c=3a,由题意可得直线F1E的方程为x=2y−3a,代入y2=4cx，即y2=43ax可得y2−46ay+12a2=0,则y1+y2=46a，则P,Q的中点M的坐标为(33a,26a),所以|OM|2=51a2,所以|ME|=|OM|2−a2=52a, 则|PE|+|QE|=2OM=102a二、填空题：共4题13．抛物线x2=−2y的准线方程为________【答案】y=12【解析】本题主要考查抛物线的方程与准线.p=1，抛物线的开口向下，所以抛物线的准线方程为y=1214．已知正四棱锥V−ABCD的底面边长为4，侧棱长为13，则它的表面积为________ 【答案】40【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.因为正四棱锥V −ABCD 的底面边长为4，侧棱长为 13，所以侧面的斜腰= ( 13)2−22=3,所以正四棱锥V −ABCD 的表面积S =4×12×4×3+42=4015．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(−c ,0),F 2(c ,0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则3e 12+e 22的最小值为________ 【答案】2 3【解析】本题主要考查椭圆与双曲线的性质、导数与函数的单调性，考查了转化思想、逻辑推理能力与计算能力.设椭圆方程x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1>0)，双曲线方程x 2a 22−y 2b 22=1 a 2>0,b 2>0 ，因为椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，所以b1c =b2a 2,求解可得e 2=1e 1，且0<e 1<1,令e 12=x ,则0<x <1，所以设f x =3e 12+e 22=3x +1x 、f x =3−1x 2,易得函数f x 在(0, 33)上是减函数，在( 33,1)上是增函数,当 33时，函数f x 取得最小值2 3，即3e 12+e 22的最小值为2 316．如图，抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C (72p ,0)，AF 与BC 相交于点E .若|CF |=3|AF |，且ΔACE 的面积为3，则p 的值为________【答案】2 2【解析】本题主要考查抛物线的定义，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为C (72p ,0)，所以 CF =3p ,则ΔACE 的面积为12· CF · AE =3，所以 AE =2p ,因为|CF |=3|AF |，且|AB |=|AF |，所以 AB = AF =p ，由题意可得AB //CF ,所以 AB|CF |=|AE ||EF |=13,所以 AE =14 AF =14p =2p,则p =2 2lE B A C FO yx三、解答题：共6题17．已知圆C:x2+y2−4x−4y+4=0.(1)求圆C的圆心坐标和半径；(2)直线l过点A(4,0)、B(0,2)，求直线l被圆C截得的弦长. 【答案】(1)圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=4，圆心坐标为(2,2)，半径为r=2.(2)直线l:x4+y2=1，即x+2y−4=0，圆心(2,2)到直线l的距离d=25，所以弦长=2 r2−d2=855.【解析】本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化思想与计算能力.(1)将圆的一般方程化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径r；(2)求出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离d，再利用圆的垂径定理可得弦长=2 r2−d2.18．设命题p：不等式x−x2≤a对∀x≥1恒成立，命题q：关于x的方程x2−ax+1=0在R上有解.(1)若¬p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围.【答案】命题p:x−x2在x∈[1,+∞)单调递减，∴x−x2的最大值为0,故a≥0.命题q:Δ=a2−4≥0,∴a≥2或a≤−2,(1)¬p为假命题，则a<0.(2)“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，等价于p真q假，或者p假q真，则a≥0−2<a<2或a<0a≤−2或a≥2,∴实数a的取值范围为a≤−2或0≤a<2.【解析】本题主要考查逻辑联结词、全称命题，考查了恒成立问题、逻辑推理能力.(1)由恒成立问题，求出x−x2的最大值，即可求出命题p；由Δ≥0求出命题q，由¬p为假命题，可得结论；(2)由题意可得p真q假，或者p假q真，再分这两种情况讨论求解即可.19．双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为−3，求双曲线的离心率.【答案】(1)由题意，ba=1,c=2,a2+b2=c2,∴a2=b2=2，∴所求双曲线方程为x2−y2=2.(2)由题意，设A(m,n)，则k OA=33，从而n=33m，m2+n2=c2，∴A(32c,c2),将A(32c,c2)代入双曲线x2a2−y2b2=1得：3c24a2−c24b2=1,∴c23b2−a2=4a2b2,且c2=a2+b2,∴a2+b23b2−a2=4a2b2,∴3b4−2a2b2−a4=0,∴3(ba )4−2ba2−1=0,∴b2a2=1,从而e2=1+b2a2=2,∴e=2.【解析】本题主要考查双曲线的方程与性质、圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1) 由题意，ba=1,c=2，求解可得结论；(2) 由题意，设A(m,n)，n=33m，m2+n2=c2，联立双曲线方程x2a2−y2b2=1，求解可得可得结论.20．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，且右准线方程为x=5.(1)求椭圆方程；(2)过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点，P为椭圆上一动点，求ΔPAB 面积的最大值.【答案】(1)ca =55,a2c=5,∴a=5,c=1，从而b2=4,所以椭圆方程为x25+y24=1.(2) 法1：右焦点F(1,0)，则直线l:y=x−1与椭圆x25+y24=1联立得：9x2−10x−15=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦|AB|=2|x1−x2|=1659，设P(5cosθ,2sinθ)到直线d=|5cosθ−2sinθ−1|2=|3cos(θ+φ)−1|2max=42，∴SΔPAB max=12|AB|d max=12⋅1659⋅42=16109法2：设l′:y=x+m与椭圆x25+y24=1相切，联立得：9x2+10mx+5m2−10=0,∴Δ=0得：m2=9，当m=3时，即l′:y=x+3时l与l′间的距离d=42即为椭圆上动点P到直线l:y=x−1的最大距离，亦即为ΔPAB取得最大值∴SΔPAB max=12AB d max=12⋅1659⋅42=16109.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了方程思想与逻辑推理能力.(1)由题意可得ca =55,a2c=5，求解可得结论；(2)法一：由题意，求出直线l的方程，联立椭圆方程，由弦长公式求出|AB|；设P(5cosθ,2sinθ)，利用点到直线的距离公式求出点P到l的距离d，结合三角函数的性质求出d的最大值，则可得结论；法二：设l′:y=x+m与椭圆x25+y24=1相切，联立，Δ=0，得m的值，即可求出l′与l的距离的最大值，同法一求出|AB|，即可求出结论.21．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(1,0)，A,B是抛物线上位于x轴两侧的两动点，且OA⋅OB=−4(O为坐标原点).(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB过定点T；(3)过点T作AB的垂线交抛物线于M,N两点，求四边形AMBN的面积的最小值.【答案】(1)抛物线方程为y2=4x.(2)设l AB:x=my+t与抛物线y2=4x联系得：y2−4my−4t=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ>0y1+y2=4my1y2=−4t(*),∴x1x2=y12y2216=t2，由OA⋅OB=−4得：x1x2+y1y2=−4,即t2−4t+4=0,∴t=2，∴l AB:x=my+2，故直线AB过定点T2,0.法2：设A(y124,y1)，B(y224,y2)，由OA⋅OB=−4∴y12y2216+y1y2=−4,∴y1y2=−8,又有k AB=4y1+y2，∴l AB:y−y1=4y1+y2(x−y124)，令y=0得x=−y1y24=2，所以直线AB过定点T2,0.(3)当t=2时，由(*)得:|AB|=1+m216m2+32,同理有l MN:x=−1m y+2，从而|MN|=1+1m216m2+32,∴S AMBN=12AB⋅MN=121+m216m2+32⋅1+1m216m2+32 =8(1+m2)(1+1m2)⋅(m2+2)(1m2+2)=82+(m2+1m2)⋅5+2(m2+1m2)，令u=m2+1m2(u≥2)，则∴S AMBN=8(2+u)(5+2u)，易知(2+u)(5+2u)随着u增加单调递增，故当u=2即m2=1时,∴S AMBN=8(2+u)(5+2u)min=48.【解析】本题主要考查抛物线的方程与性质、平面向量的数量积的坐标表示、弦长公式、函数的性质，考查了转化思想与方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由抛物线的焦点坐标即可求出p的值，则可得抛物线的方程；(2)法一：设l AB:x=my+t，联立抛物线方程，由韦达定理，结合条件OA⋅OB=−4求解即可；法二：设A(y124,y1)，B(y224,y2)，由OA⋅OB=−4，结合直线AB的方程，令y=0，化简可得结论；(3)由(2)，利用弦长公式求出AB，设l MN:x=−1m y+2，同理求出|MN|，则S AMBN=12AB⋅MN=82+(m2+1m2)⋅5+2(m2+1m2)，令u=m2+1m2(u≥2)，换元，再利用函数的性质求解即可.22．如图，椭圆C:x29+y2b2=1(0<b<3)的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为83.(1)求椭圆方程；(2)若PF=2FQ，求直线PQ的方程；(3)M,N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM,PN分别与x轴交于R,S，求证：|OR|⋅|OS|为定值.【答案】(1)由题意得2b2a =83，且a=3,∴b2=4，故椭圆方程为x29+y24=1.(2)设l PQ:x=my+5与4x2+9y2=36联立得：(4m2+9)y2+85my−16=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则Δ>0y1+y2=−85m4m2+9 y1y2=−164m2+9,由PF=2FQ得y1=−2y2，(y1+y2)2y1y2=y1y2+2+y2y1=−12,即−20m24m2+9=−12,∴m2=14,∴l PQ:y=±2 x−5.(3)设M(x0,y0)，N(x0,−y0)，则l PM:y−y0=y0−y1x0−x1(x−x0)，令y=0得x R=−y0(x0−x1)y0−y1+x0,同理l PN:y+y0=−y0−y1x0−x1(x−x0)得x S=y0(x0−x1)−y0−y1+x0,∴OR⋅OS=−y0x0−x1y0−y1+x0⋅y0x0−x1−y0−y1+x0=x12y02−x02y12y02−y12,(#)又x129+y124=1，x029+y024=1,∴x12=9(1−y124)，∴x02=9(1−y024)代入(#)得：∴|OR|⋅|OS|=9.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、平面向量、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了转化思想与方程思想、逻辑推理能力能力与计算能力.(1) 由题意得2b2a =83，求解可得结论；(2) 设l PQ:x=my+5，联立椭圆方程，由韦达定理，结合条件PF=2FQ，即可求出结果；(3)由题意，)设M(x0,y0)，N(x0,−y0)，由直线方程的两点式分别求出直线PM,PN的方程，令y=0即得出R、S的坐标，结合椭圆方程化简OR⋅OS，即可求出结论.。

重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷

重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的（）2．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是（）A ．}21|{<<-x xB ．φC ．RD ．}12|{-<>x x x 或3．若1||||,>+∈b a R b a ，则使成立的充分不必要条件是（） A ．1||≥+b a B ．21||21||≥≥b a 且C ．1||≥aD ．b<－14．若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是（）A ．)4,0(π B ．)1,0[ C ．)43,2(ππ D ．),4(ππ5．已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与，则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是（）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 6．数列1，n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为（）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是（）A ．（3，－2）B ．（1，－2）C ．（419，－2） D ．（9，－2） 8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω，则的取值范围是（）A ．[－1，31] B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[-9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是（）A ．（1）和（3）B ．（1）和（4）C ．（2）和（3）D ．（2）和（4）10．已知xy y x N y x ，则，且19939319*,≤+∈的最大值是（）A ．559B ．560C ．561D ．562二、填空题（每题4分，共24分）11．函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n = 13．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是14．已知圆的方程为1)1(22=++y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有个.16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题（共76分） 17．（13分）解关于x 的不等式：)0(,113)1(><--+a x x a18．（13分）圆822=+y x 内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.（1）求当43πα=时，弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.19．（13分）已知△ABC 的面积为3，且满足60≤⋅≤AC AB ，设AC AB 和的夹角θ. （1）求θ的取值范围；（2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）（n *N ∈）. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值.21．（12分）在沙坪坝交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离m （米）与车速v （千米/小时）须遵守的关系是225001kv m ≥（其中k （米）是车身长，常数），同时规定.2k m ≥ （1）当m=2k时，求机动车的速度变化范围；（2）设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=，此时，应规定怎样的车速，每小时的机动车流量P 最大？22．（12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+，（1）求a 2，a 3的值；（2）是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，若存在，求出μλ,的值；若不存在，说明理由；（3）设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21，证明：当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时，参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解：10．22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ，又，而而561=3×11×17=33×17=51×11，20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ，经检验或满足题意，故5611151=⨯=xy 二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2，4） 12．)1,(-∞ 13．)13(21-n14．),21()21,(+∞+--∞Y 15．64 16．5:4三、解答题（共74分） 17．解：0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当，时，1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时，a 2=1，不等式的解集为φ； ③当a>2时，a 2<1，不等式的解为)1,2(ax ∈时综上，不等式的解为：①0<a<2时，)2,1(a x ∈；②a=2时，φ∈x ；③a>2时，)1,2(ax ∈.18．解：（1）当43πα=时，直线AB 方程为：01=-+y x ，圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+，∴弦AB 的长为：30)22(822=-（2）当弦AB 被点P 平分时，PO ⊥AB ，直线l 的斜率为21，其方程为052=+-y x 19．解：（1）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则由，，可得，1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ （2）θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ，Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时，当时，20．解：（1）由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得：2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ，又即（2）由（1）易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=， ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1<b 2=b 3>b 4>……，∴b n 最大值23,32即b b ，对一切正整数n 都有，t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值，∴t 的最小值是23. 21．解（1）2252500122≤∴≥=Θv kv k m ，故当22502≤<=v km 时，（千米/小时）（2）当231000225k vP v =≤时，P 是v 的一次函数，v=225，P 最大为k3250000，当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时，，当且仅当v=50时，P 最大为k25000， kk 325000025000>Θ∴当v=50（千米/小时）时，每小时机动车流量P 最大. 22．解：（1）10,432==a a（2）设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为，即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列（3）证明：由（1）得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时，35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时，5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=，，而n n n b b S n ，故n=2时不等式成立，当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时，由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得，且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。

重庆市南开中学高2020级高三下学期期中考试数学(理)试题及答案

重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（）A ．1B 5C 6D ．227．函数2()sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为（） A ．2- B ．1- C ．0D ．128．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p -1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导．（一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-），且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i i z x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()() ()81821ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑，$a y bx=-$．20．已知函数()3(1)lnf x x a x=-+，2()4g x x ax=-+．（1）若函数()()y f x g x=+在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()()y f x g x=-的图像与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点,A B均在椭圆Γ上，点C在抛物线212y x=上，若ABC△的重心为坐标原点O，且ABC△的面积为364，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin24πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C的极坐标方程为2sin cosρθθ=．（1）写出直线l和曲线C的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x<且平行于l的直线交曲线C于,A B两点，若||||2PA PB⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B A C A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC = ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，13PA MA ∴==．取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直，以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin 30||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b ≈$，又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，$ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）．20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+，()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+，设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=；（2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+ 由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△==⇒=③ 将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以1,2C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）联立曲线2:C y x =得：22000122022t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：2000032112822y y x y d -+-+==≥，当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求，此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。

重庆市南开中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题

2018-2019学年上学期高二第一次月考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·静宁县一中]若数列的前4项分别是12，13-，14，15-，则此数列的一个通项公式为（） A ．()11n n-- B ．()1nn- C ．()111n n +-+ D ．()11nn -+2．[2018·吉安联考]已知等差数列{}n a ，3710a a +=，88a =，则公差d =（） A ．1B ．12C ．14D ．1-3．[2018·大庆实验]已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或124．[2018·伊春二中]已知ABC △中，1a =，b ，45B =︒，则A 等于（） A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒5．[2018·陆川中学]若ABC △的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足()224a b c +-=，且60C =︒，则ab 的值为（） A ．34B ．23C ．32D ．436．[2018·安康期末]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24a a +=（） A ．3B ．6C ．9D ．127．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，3B π=，2AB =，D 为AB 的中点，BCD △，则AC 等于（） A ．2BCD8．[2018·北京十二中]已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则()12231n n a a a a a a n ++++∈*N 的取值范围是（） A ．328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)8,16C ．[)12,16D ．1632,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．[2018·铁人中学]定义12nnp p p ++ 为n 个正数1p ，2p ，，n p 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项均倒数为121n +，又12n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++= （） A ．511B ．522C ．1011D ．111210．[2018·山东联考]我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何?”（参考译文．．．．：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）．则海岛高度为（） A ．1055步B ．1255步C ．1550步D ．2255步11．[2018·百校联盟]已知数列{}n a 的通项公式为1221,2 1,2n n nn a n -⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，则数列{}37n a n +-的前2n 项和的最小值为（） A ．514-B ．1854-C ．252-D ．1058-12．[2018·凌源二中]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若sin cos 6A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，4b c +=，则ABC △周长的取值范围是（）A ．[)6,8B ．[]6,8C ．[)4,6D ．(]4,6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·樟树中学]数列{}n a 满足前n 项和232n S n n =-+，则数列n a 的通项公式为_____________．14．[2018·德州一中]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos b C c B +=，则ab=__________． 15．[2018·北师附中]在ABC △中，若22tan tan a Ab B=，则ABC △的形状为___________．16．[2018·黑龙江实验]已知数列{}n a 满足11a =，()131n n a a n +=+∈*N ，则数列{}n a 的前n 项和n S =______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）[2018·大庆实验]记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知110a =，324S =，（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最大值．18．（12分）[2018·张家界期末]在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知3c =，3C π=，sin 2sin B A =．（1）求a ，b 的值；（2）求ABC △的面积．19．（12分）[2018·双流中学]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()2,n S =a ，()1,12n =-b 满足条件⊥a b ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（12分）[2018·闽侯二中]已知ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 且cos22cos cos0+++=，a C c A C a b（1）求角C的大小；（2）若4sin△面积的最大值．=，求ABCb B21．（12分）[2018·辽宁实验]如图，一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东10︒的B岛形式，计划到达B岛后停留10分钟后继续以相同的速度驶往C岛．C岛在B岛的北偏西65︒的方向上，C岛也在A岛的北偏西20︒的方向上．上午10时整，该船从A岛出发．上午10时20分，该船到达D处，此时测得C岛在北偏西35︒的方向上．如果一切正常，此船何时能到达C岛？（精确到1分钟）22．（12分）[2018·哈尔滨六中]数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且()2n n S na n n =+∈+N ，（1）求证：{}n a 是等差数列；（2）若22a =，122n nn n n b a a ++=，n T 是{}n b 的前n 项和，求n T ．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由数列的前4项分别是12，13-，14，15-，可知：第n 项的符号为()11n +-，其绝对值为11n +．因此此数列的一个通项公式为()111n n a n +-=+，故选C ．2．【答案】A【解析】已知等差数列{}n a ，3710a a +=，88a =，则375210a a a +==，55a ∴=，故85853a a d -=-=，1d ∴=，故选A ． 3．【答案】C【解析】由题意知：3122a a a =+，21112a q a a q ∴=+，1q ∴=或12q =-，故答案选C ．4．【答案】D【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=1sin A =，所以1sin 2A =，因为b a >，所以B A >，所以045A <<︒，解得30A =︒．故选D ．5．【答案】D【解析】()224a b c +-=，整理可得：22242c a b ab +=++，60C =︒，由余弦定理：222222c o s c a b C a ba b a b =+-=+-，由此解得43ab =，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴()24111132422236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=．故选B ． 7．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，3B π=，1BD =，∴BCD △的面积11sin 122S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯⨯=，解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得：2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴AC B ． 8．【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题可知22a =，514a =，即141=21=4a q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=41=2a q ⎧⎪⎨⎪⎩，128a a = ，∴数列{}1n n a a +是以8为首项，14为公比的等比数列，则122311814321113414n n n na a a a a a +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==- ⎪⎝⎭- ， ()12231n n a a a a a a n +∴+++∈*N 的取值范围为328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选A ．9．【答案】B 【解析】由已知得12121n n a a a n =++++ ，∴()1221n n a a a n n S +++=+= ，2n ≥时，141n n n a S S n ==--﹣，验证知当1n =时也成立，∴41n a n =-，∴122n n a b n +==，∴()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭． ∴12231011111111111115114223101141122b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．故答案为B ． 10．【答案】B 【解析】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则有512312351271271000x y x y =+=++⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1255x =步，即海岛高度为1255步，故选B ． 11．【答案】D【解析】设37n n b a n =+-，则21232111112223111122n n n nS b b b b ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎢⎥ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦=++++=++⎨⎬⎪⎪--⎪⎪⎪⎪⎭⎩()123...214n n ++++- 21912132n n n ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又22131********n n n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，当4n ≥时，213169248n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 是关于n 的增函数，又1912n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦也是关于n 的增函数，81012S S S ∴<<< ，818516S =-，61058S =-，4454S =-，2132S =-，6842S S S S ∴<<<，6S ∴最小，61058S =-，故选D ． 12．【答案】A【解析】∵sin cos 6A A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭1sin sin 2A A A ∴+-=，可得：sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()0,A ∈π ，4,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，233A ππ∴+=，解得3A π=， ∵4b c +=，∴由余弦定理可得()22222cos 2163a b c bc A b c bc bc bc =+-=+--=-， ∵由4b c +=，b c +≥04bc <≤，∴2416a ≤<，即24a ≤<． ∴ABC △周长[)46,8L a b c a =++=+∈．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】0,124,2n n a n n =-≥⎧=⎨⎩【解析】∵数列{}n a 前n 项和232n S n n =-+，∴当2n ≥时，()()22132131224n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，又∵当1n =时，110214a S ==≠⨯-，故0,124,2n n a n n =-≥⎧=⎨⎩．14．【解析】cos cos b C c B +=，利用正弦定理化简可得：sin cos sin cos B C C B B +，即()sin B C B +，()sin sin B C A += ，sin A B ∴=，利用正弦定理化简可得a =，a b∴= 15．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】原式可化为22sin sin cos sin cos sin 2sin 2sin cos sin sin cos A A B A B A B B A B B A=⇒=⇒=， 22A B ∴=或22A B +=π，解得A B =或2A B π+=．故ABC △的形状为等腰三角形或直角三角形．故答案为等腰三角形或直角三角形．16．【答案】()113234n n +-- 【解析】由11a =，131n n a a +=+，可设()13n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得21t =，即12t =，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列，即有113322n n a -+=⋅，即131322n n a --=⋅，可得数列{}n a 的前n 项和()()2113111333323224n n n S n n -+=++++--=- ．故答案为()113234n n +--．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）122n a n =-；（2）211n S n n =-+，当56n =或时，30n S 最大为．【解析】（1）因为110a =，324S =，根据等差数列的通项公式得到122n a n =-．（2）根据等差数列的n 项和公式得到211n S n n =-+，当56n =或时，30n S 最大为．18．【答案】（1）a =b =（2．【解析】（1）因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2b a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得222942a a a =+-，解得23a =，所以a =2b a ==（2）ABC △的面积11sin 22S ab C === 19．【答案】（1）2n n a =；（2）()222n nn T n +=-∈+N ．【解析】（1）∵⊥a b ，∴122n n S +=-，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，12n n n n a S S -=-=，而112a S ==满足上式，∴2n n a =．（2）∵2n nn c =，∴1211212222n n n n n T --=++⋅⋅⋅++，两边同乘12，得231112122222n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++，两式相减得：211111212222221n n n n n n T +++=++⋅⋅⋅+-=-， ∴()222n nn T n +=-∈+N ． 20．【答案】120︒；（2【解析】（1）cos 22cos cos 0a C c A C a b +++= ，22cos 2cos cos 0a C c A C b ∴++=，由正弦定理，22sin cos 2sin cos cos sin 0A C C A C B ++=得，()2cos sin sin 0C A C B ∴++=，2cos sin sin 0C B B +=即， 0180B ︒<<︒ ，sin 0B ∴≠，1cos 2C ∴=-，120C ∴=︒．（2）sin sin b C c B ==由正弦定理，得，由余弦定理，(222222cos1203a b ab a b ab ab =+-︒=++≥得，4ab ∴≤．a b =（当且仅当时等号成立）1sin 2ABC S ab C ∴==≤△ 21．【答案】该船于11时18分到达岛．【解析】在ACD △中，30CAD ∠=︒，135ADC ∠=︒，根据正弦定理得，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠，即sin sin CAD CD AD ACD ∠=∠．在BCD △中，30BCD ∠=︒，105CBD ∠=︒，根据正弦定理得，sin sin sin DB BC CD DCB BDC CBD ==∠∠∠，即sin sin sin DCB BDC DB BC CD CBD∠+∠+=∠．所以()sin sin sin sin sin DCB BDC CAD DB BC AD CBD ACD ∠+∠∠+=∠∠，即()()(sin 30sin 45sin 30sin 30sin 45sin 3011sin105sin15sin 302DB BC AD AD AD ︒+︒︒︒+︒︒+===︒︒︒，从而，此船行驶DB 和BC 共需(201+分钟．故由A 岛出发至到达C 岛全程需要50+分钟．即该船于11时18分到达岛．（说明：11时19分，也正确．）22．【答案】（1）见解析；（2）()1121n n -+．【解析】（1）证明：()21n n S na n n =+≥，()()()12112n n n a n a n -∴-=--≥， ()()1111n n n a na n +∴-=-≥，相减得：()()()11121n n n n n a n a na n a +----=--， ()()()()1121112n n n n a n a n a n -+∴-=-+-≥，112n n n a a a -+∴=+， ∴{}n a 为等差数列．（2）解：112=1S a + ，11a ∴=，22a =，1d =， n a n ∴= ()()121112221n n n n n b n n n n -+∴==-+⋅⋅+， ()()111111111441222121n n n n T n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ．。

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