正弦定理的变形及应用复习课程
高中数学复习课件-.. 正弦定理(二)
1.1.1 正弦定理
第二课时
复习巩固
正弦定理
内容： 应用
已知两角和一边 已知两边和一对角
面积公式：
1
1
1
SABC
bc sin 2
A
ca sin B 2
ab sin C 2
题型三：解的个数
“已知两边和一对角”
（1） b＝20，A＝60°，a＝11 3 ; （2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ; （3） b＝20，A＝60°，a＝15.
角形的解的情况是( )
A．一个解
B．两个解
Hale Waihona Puke C．无解D．无法确定
题型四：判断三角形形状
A、直角三角形 B、等腰三角形或直角三角形 C、等腰三角形 D、不能确定
本节小结:
1.结构：正弦定理
正弦定理的证明 正弦定理的应用 解三角形
2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，
是解三角形的重要工具;
(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；
(3)注意正弦定理的变式；
(4)注意内角和为180 的应用，以及角之间的转化.
课后作业
2. 在△ABC中，已知a＝3，c＝ ，A＝60°，判断此 三角形解的个数并解三角形.
······
C
b
60°
A
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝11 3 ;
两解
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
一解
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
无解 重要结论：
大边对大角，大角对大边。
C
20
11 3
课件9：1.1.1 正弦定理
则 AC 的长为( )
A．4 3
B．2 3
C． 3 【答案】B
D．
3 2
3．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，∠B＝60°，
那么∠A 等于____________． 【解析】根据正弦定理sina A＝sinb B得sin2A＝sin 630°，
所以 sin A＝
2 2.
又因为 a<b，所以∠A<∠B，
2．判断三角形的形状，有两个途径： (1)化角为边； (2)化边为角．灵活运用正弦定理的变形公式进行边角 互化，是解题的关键．
失误防范 (1)利用正弦定理解“已知两边及其中一边对角，求另 一角”的问题时，由于三角形内角正弦值都为正，而 这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准 出错．做题时结合图形并根据“大边对大角”来进行 判断，作出正确的取舍．
2．在△ABC 中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C， 则△ABC 是________三角形．
【解析】由已知得 sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定 理知 a2－b2＝c2，故 b2＋c2＝a2.所以△ABC 是直角三 角形． 【答案】直角
探究点 4 正弦定理的综合应用 例 4 已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 所对的边分 别是 a，b，c，向量 m＝(1，1－ 3sin A)，n＝(cos A，1)， 且 m⊥n. (1)求∠A； (2)若 b＋c＝ 3a，求 sin(B＋π6)的值．
解：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 得： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 代入coas A＝cobs B＝cocs C中， 得2cRossinAA＝2cRossinBB＝2cRossinCC，
正弦定理和余弦定理复习课件ppt课件PPT课件
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
[知识能否忆起]——上节课知识回 忆
一、正、余弦定理
定理
正弦定理
内
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
容 =2R
a2＝ b2＝ c2＝
余弦定理
b2＋c2－2bccos A ；
a2＋c2－2accos B ；
a2＋b2－2abcosC
.
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
答案：A
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋ c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求A的大小； ②假设sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－12 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ―条―件→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
【典例剖析】 (1)(2013·厦门模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝a2＋bc，且A→C·A→B＝4，则△ABC 的面积等于________．
正弦定理应用ppt课件
小结
(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有 两解、一解或无解．
(3)利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理，结合三角形的内角和定理及三角函数中 的一些公式，可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等变 形，要充分挖掘题目中的隐含条件，通过正弦定理转化为边 的关系或角的关系，看是否满足勾股定理、两边相等或两角 相等、三边相等或三角相等，从而确定三角形的形状．
①a:b:c＝sinA:_s_i_n_B_:sinC . ②sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC . ③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2_R__si_n_C___. ④sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR ⑤A<B⇔a<b⇔2RsinA<2RsinB⇔sinA<sinB .
2× 3
2 2 ＝2
3.故选B.
2
答案：B
3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：由sinA＝sinC知，在△ABC中有A＝C. 答案：B
4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知A:B:C＝1:2:3，则a:b:c＝________.
变式训练 已知方程 x2－(bcosA)x＋acosB＝0 的两根之 积等于两根之和，且 a，b 为△ABC 的两边，A，B 分别为 a， b 的对角，试判断△ABC 的形状．
解：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝ bcosA，x1x2＝acosB.
由题意得bcosA＝acosB， 由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0. ∴sin(A－B)＝0.在△ABC中，A，B为其内角，－π<A－ B<π，所以A＝B. 即△ABC为等腰三角形．
高考数学人教版(理)大一轮复习课件：第3章第5节 正弦定理和余弦定理4
[素材库] 1．(2018·潍坊三模)如图，在△ABC中，∠C＝ π 3 ，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E
为垂足，若DE＝2 2，则cos A＝( C )
22 A. 3
B．
2 4
C.
6 4
D．
6 3
解析：选C.因为DE⊥AB，DE＝2 2，所以AD＝s2in 2A，所以BD＝
第五节 正弦定理和余弦定理
教材细梳理
知识点1 正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理的常见变形 ①a＝___2_R_s_i_n_A____，b＝___2_R_s_in__B____，c＝_____2_R_s_i_n_C__ ②a∶b∶c＝___s_in_A__∶__s_in_B_ ∶sinC ③asin B＝____b_s_in__A____，bsin C＝____c_si_n_B_____，asin C＝ ____c_s_i_n_A____
2．(知识点1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos
C 2
＝
5 5
，BC＝1，
AC＝5，则AB＝( A ) ⇐ 源自必修五P7例4
A．4 2
B． 30
C. 29
D．2 5
解析：选A.∵cosC2＝ 55，∴cos C＝2cos2 C2－1＝2×15－1＝－35， 又∵BC＝1，AC＝5，在△ABC中，由余弦定理，得
故ac的取值范围为(2，＋∞)． π
答案： 3 ；(2，＋∞)
(2)(2018·潍坊模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的 对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC面积的最 大值为________．
6.4.3 第2课时 正弦定理课件ppt
6
=sin 120°cos B-cos 120°sin B=2 + 6 .
6
2× 1
+
2 6
sin
2( 3+ 2)
由正弦定理,得sin = sin,即 c= sin =
=
.
3
3
2
.
探究二
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2在△ABC中,已知a=2,b= 2 ,A=45°,解三角形.
(2)已知两角和任一边,求另外两边和一角.
微练习
(1)在△ABC 中,若
A
a=4b,则 B =
(2)在△ABC
a
中,若
A
答案 (1)4
(2)45°
a
解析(1)因为 A
A
所以 B
a
b
= =
a
(2)因为 A
=
=
=
.
c
,则角
C
C=
b
,
B
4b
求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合
题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出
1
1
1
时,常利用 S= absin C= bcsin A= acsin B 求解面积.
2
2
2
变式训练2(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64 3 ,则c=
(1)化边为角,走“三角变形”之路,常用的转化方式有:①a=2Rsin A,b=
sin sin sin
2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径);② = sin , = sin , = sin ;
2024高考数学基础知识综合复习第17讲正弦定理余弦定理课件
3
AD=___________,sin
3 57
B=___________.
38
解析 在△ADC 中,由余弦定理,知
π
7,CD=2,∠CDA=3 ,则
1
2 + 2 - 2
cos∠CDA= 2· ,即2
=
2 +4-7
,解
4
得 AD=3(负值舍去).在△ADB 中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos
定理
内容
变形
正弦定理
a
A
=
b B=来自c=2R C
2.余弦定理
定理 余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
内容 2 2 2
c =a +b -2abcos C
推论
3.三角形面积公式
1
(1)S△ABC=2ah(h
表示边 a 上的高).
1
(2)S△ABC=2absin
(1)求角A的值;
解 因为 bcos A+acos B=2ccos A,
由正弦定理得 sin Bcos A+sin Acos B=2sin Ccos A,
所以 sin(A+B)=2sin Ccos A.
因为 A+B+C=π,所以 sin(A+B)=sin C.
故 sin C=2sin Ccos A.
线、三角形的面积、周长、三角形的外接圆和内切圆、三角形边上的定比
分点等多个量,需要综合运用解三角形的知识、向量工具以及几何性质求解,
特别是外接圆半径用正弦定理
1
高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第七节 正弦定理和余弦定理及其应用
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.( × )
(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
√
)
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为
3.(2023 全国乙,文 4)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos Bbcos A=c,且
π
C= ,则
5
B=(
π
A.
10
π
B.
5
3π
C.
10
2π
D.
5
答案 C
)
解析由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整
理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或
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正弦定理的变形及应
用
正弦定理的变形及应用
正弦定理的原定理同学们较熟悉．正弦定理的变形形式有：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;（2）R
a A 2sin =，R
c C R b B 2sin ,2sin ==；（3）c b a C B A ::sin :sin :sin =;（3）A c C a B c C b A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin ===，下面结合学习正弦定理的实际，分类例析它的应用。
一、证明三角等式
例１．在△ABC 中，ａ、ｂ、ｃ依次是A 、B 、C 的底边，且a+c=2b ,求证：3
12tan 2tan =•C A 证明：由ａ＝2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 及a+c=2b 得
()C A B C A +==+sin 2sin 2sin sin
∴02C A sin ,2cos 2sin 42cos 2sin
2≠+++=-+又C A C A C A C A ∴2
C sin 2A 2sin 2C cos 2A cos 22C sin 2A sin 2C cos 2A cos 2C A 2cos 2C A cos -=++=- ∴2C cos 2A cos 2C sin 2A 3sin = ∴3
12tan 2tan =•C A 点评：己知中的关系是边，而所求证中的关系是角，正弦定理恰是桥梁作用。
二、判断三角形的形状
例２．在ABC ∆中，cos cos b A a B =，判断ABC ∆的形状. 解：设(0)sin a k k A =≠，由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==得sin a k A =，sin b k B =，代入已知条件得sin cos sin cos .B A A B =即
sin cos cos sin 0B A B A -=，即sin()0B A -=.
又,A B 为ABC ∆的内角，所以A B =，故ABC ∆为等腰三角形.
点评：判断三角形的形状，要么是从角入手，要么是从边入手。
三、确定三角形内边和角的大小
例３．在△ABC 中，已知00120,30,14===B A b 中，求a ，c 及△ABC 的面积S
解：依正弦定理：
A a sin ＝
B b sin ，∴B
A b a sin sin =，代入已知条件，3314120sin 30sin 1400==a ∵0000030)12030(180)(180=+-=+-=
B A
C ，又B b sin ＝C
c sin ， ∴3314120sin 30sin 14sin sin 0
0===B C b c （或因为∠C ＝∠A ，△ABC 为等腰三角形，所以c a =）∴C ab S ABC sin 2
1=∆33430sin 143314210=⨯⨯= 点评：在用正弦定理解决三角形问题时，常与三角形面积公式
==C ab S sin 2
1 A bc B ac sin 2
1sin 21=联系在一起。
四、确定变量的范围
例４．2,.b ABC A B a
∆=15.在中，已知求的取值范围 sin :2sin sin 22sin cos sin 2cos 112060cos 1(,1)22b B A B A B B B a A B b A B B B a =⇒==⇒
=⇒<<⇒<<∴∈o o Q 115.解==.. 点评：求边的关系的取值范围，直接求不能入手，结合己知条件运用正弦定理进行转化能解决问题。