级数及其应用
泰勒级数和幂级数的定义和应用
泰勒级数和幂级数的定义和应用泰勒级数和幂级数是微积分中经常使用的级数形式，它们可以用于各种函数的逼近和计算。
本文将介绍泰勒级数和幂级数的定义和应用，并且讨论两者的区别和联系。
一、泰勒级数的定义及应用（一）泰勒级数的定义泰勒级数是一类特殊的幂级数，它的一般形式可以写为：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$其中 $f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。
泰勒级数是把一个函数在某一点处展开成无穷项的幂级数，从而能够方便地计算、逼近该函数。
对于某些简单的函数而言，它们的泰勒级数是已知的，因此可以把任意复杂的函数展开成这些简单函数的线性组合，从而方便计算。
（二）泰勒级数的应用泰勒级数可以应用于各种不同类型的函数，例如三角函数、指数函数、对数函数、多项式函数等等，下面列举几个例子：（1）正弦函数的泰勒级数为：$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$可以看出，这个泰勒级数是无穷个奇数指数幂的和，因此可以用来计算任意一个正弦函数。
（2）自然对数函数的泰勒级数为：$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$可以看出，这个泰勒级数是无穷个奇数次幂上符号不同的和，因此可以用来计算自然对数函数。
（3）多项式函数可以展开为幂级数的形式，例如：$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$该多项式函数可以表示为其泰勒级数的有限项之和，从而可以用于函数的逼近。
二、幂级数的定义及应用（一）幂级数的定义幂级数是一类形式简单的级数，其一般形式可以写为：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$其中 $c_n$ 是常数，$a$ 是幂级数的中心，它表示在 $a$ 点展开。
级数在经济学中的应用
级数在经济学中的应用
级数在经济学中有许多应用。
以下是其中一些应用：
1. 货币的时间价值：在经济学中，货币的时间价值是一个重要概念。
它涉及到将未来的现金流与现在的现金流进行比较。
级数可以用来计算未来的现金流的现值，从而帮助人们做出正确的金融决策。
2. 投资分析：级数可以用来分析不同投资方案的收益和风险。
特别是在长期投资方案中，级数方法可以帮助人们估计未来现金流的总值。
3. 财务分析：在公司财务中，级数方法可以用来计算资产的贴现值、负债的未来价值，从而帮助公司做出正确的财务决策。
4. 风险管理：级数可以用来计算各种可能情况下的期望收益和风险。
这对于风险管理非常重要，可以帮助人们进行正确的风险投资。
5. 经济统计：在经济统计学中，级数方法可以用来对经济数据进行建模和预测。
比如可以用级数方法对通货膨胀率、失业率等指标进行预测。
以上就是级数在经济学中的一些应用。
通过应用级数方法，可以更好地理解经济学和金融学理论，并为个人和企业的决策提供更为准确的数据支持。
傅里叶级数及其在信号处理中的应用
傅里叶级数及其在信号处理中的应用傅里叶级数是一种数学工具，用于解析周期性信号，可以将周期性信号分解成无数个正弦和余弦波的叠加。
这种分解方法是由法国数学家傅里叶在18世纪末首次提出，并在信号处理、通信系统、图像处理与声音等方面广泛应用，是多媒体技术和通信技术中不可或缺的数学基础。
一、什么是傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期性函数分解成无数个正弦和余弦波的叠加的数学表达式，也称为周期函数傅里叶展开。
简单的说，周期函数f(x)可以表示为：f(x) = a0 + a1 sin(x) + b1 cos(x) + a2 sin(2x) + b2 cos(2x) + ... + an sin(nx) + bn cos(nx)其中a0、an、bn都是常数，表示分解后每个正弦、余弦波的振幅大小，以及f(x)本身的偏移量。
二、傅里叶级数的应用傅里叶级数几乎融入了所有现代的通信与信号处理技术中。
傅里叶级数的应用范围非常广泛，从基础的音频和视频信号处理，到用于调节机器、诊断疾病、安全加密和经济分析等其他领域。
下面我们将详细介绍一些傅里叶级数的具体应用。
1. 调制解调调制解调是指通过改变信号的频率、幅度或相位等特征，将数字信号转换成模拟信号或将模拟信号转化成数字信号的过程。
在通信系统中，调制解调技术是信号传输的基础。
在频分多路复用(FDM)技术中，每个信道都有一个特定的频带宽度和中心频率，以允许它传输特定的信号。
傅里叶级数可以极大地简化我们对于这些信号的分析和处理过程，因为他们已经被分解成了特定频率的正弦和余弦波。
2. 声音和图像处理傅里叶级数在音频和图像处理方面得到了广泛应用。
在音频信号处理中，将模拟信号进行数字化后可以利用傅里叶级数对其进行频域分析，在消除噪声、音调准备、音乐合成、过滤操作等方面发挥重要作用。
在图像处理中，傅里叶级数被广泛用于图像压缩、图像滤波、图像边缘检测等方面。
例如，在jpeg压缩中，傅里叶级数的频域分析可以有效消除图像中的高频噪声，使图像更清晰并减小文件大小。
傅立叶级数及其应用
傅立叶级数及其应用傅立叶级数是一种用正弦函数和余弦函数构成的三角函数系列来表示各种周期信号的方法。
在数学和工程学中，傅立叶级数广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、控制系统等领域。
本文将从傅立叶级数的基本理论和相关数学原理入手，探讨傅立叶级数的定义、性质以及其在实际应用中的重要性。
1. 傅立叶级数的定义和基本原理傅立叶级数是将任意周期为T的函数f(t)表示为一组正弦函数和余弦函数的线性组合的方法。
具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅立叶级数可以表示为：\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{2n\pi t}{T}) + b_n \sin(\frac{2n\pi t}{T})) \]其中a0、an、bn是待定系数，它们可以通过傅立叶级数的求解公式来计算：\[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \]\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(\frac{2n\pi t}{T}) dt \]\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(\frac{2n\pi t}{T}) dt \]这些系数描述了原始函数f(t)在正弦函数和余弦函数上的投影，通过它们的计算，可以得到原始函数f(t)的傅立叶级数展开。
2. 傅立叶级数的性质傅立叶级数具有许多重要的性质，其中最基本的便是它的线性性质。
对于两个具有傅立叶级数展开的函数f(t)和g(t)，它们的和、差、数乘仍然可以表示为傅立叶级数，而且有很好的数学性质。
傅立叶级数还具有Parseval定理，它描述了傅立叶级数的能量守恒特性，为信号处理和通信系统的分析提供了重要的理论基础。
傅立叶级数还有复数形式和指数形式的表示方法，这些都拓展了傅立叶级数的应用范围。
积分与级数的联系及应用
积分与级数的联系及应用的实际应用情况1. 应用背景积分和级数是数学中的重要概念，它们在多个领域中有着广泛的应用。
积分是微积分的核心概念之一，描述了曲线下面积的大小；级数是数列求和的推广，常用于描述无限求和的情况。
这两个概念在物理、工程、经济等领域中有着重要的实际应用。
2. 应用过程2.1 物理中的应用在物理学中，积分和级数有着广泛的应用。
在力学中，我们可以通过对速度关于时间的积分得到位移；通过对加速度关于时间的积分得到速度。
这样，我们就能够准确描述物体在空间中运动的轨迹。
另一个例子是电磁学中对电场和磁场进行积分。
根据麦克斯韦方程组，电场和磁场满足一些微分方程。
通过求解这些微分方程并进行积分，我们可以得到电场和磁场在空间中随时间变化的具体表达式。
这有助于我们理解电磁波的传播、电磁感应等现象。
2.2 工程中的应用在工程中，积分和级数也有着重要的应用。
在电路分析中，我们可以通过对电流和电压进行积分，得到电荷和能量的关系。
这有助于我们计算电路中的功率、能耗等参数，为工程设计提供依据。
另一个例子是结构力学中对材料应力应变关系的求解。
通过对应力和应变进行积分，我们可以得到材料弹性模量、刚度等参数。
这在工程设计和材料选择时非常重要。
2.3 经济学中的应用在经济学中，积分和级数也有广泛的应用。
在经济增长模型中，我们可以通过对产出函数进行积分，得到总产出与生产要素投入之间的关系。
这有助于我们预测经济增长趋势、制定经济政策等。
另一个例子是金融学中对利息计算的应用。
通过对利率进行积分，可以得到复利计算公式，帮助我们计算存款、贷款等金融产品的利息。
3. 应用效果积分和级数在实际应用中发挥着重要作用，为我们提供了深入理解和解决问题的工具。
通过对物理、工程、经济等领域中的现象进行建模，并应用积分和级数的方法进行分析，我们可以得到更准确的结果和预测。
这些应用不仅帮助我们理解自然界和社会经济的规律，还促进了科学技术的发展。
通过对积分和级数的研究，我们能够更好地优化设计、提高效率、降低成本等。
级数在经济学中的应用
级数在经济学中的应用级数是数学中一个重要的概念，它在经济学中也有着广泛的应用。
级数的概念是指将一列数按照一定的规律相加所得到的数列。
经济学家们运用级数的理论和方法，能够更好地解决经济现象中的问题，提供深入的分析和预测。
本文将从几个方面介绍级数在经济学中的应用。
一、级数在消费者行为模型中的应用消费者行为模型是经济学研究的核心之一，级数在该领域的应用也尤为重要。
在消费模型中，级数可用于描述消费者的收入和支出关系，进一步分析消费者行为。
例如，假设某消费者每年的收入增长率为r，每年的支出也增长相同的比例，而消费者每年的储蓄率为s。
那么通过级数的运算，可以得到累计收入、累计支出和累计储蓄等关键指标，帮助经济学家更好地了解消费者的行为习惯和趋势。
二、级数在投资分析中的应用级数在金融投资领域中也有着广泛的应用。
投资分析中常用的一种方法是现值和未来值的计算。
级数理论可以用来计算未来现金流量的现值，即通过折现法来评估投资项目的经济效益。
级数的运算和推导能够帮助投资者更准确地评估投资项目的投资回报率和风险，从而做出更明智的投资决策。
三、级数在经济增长与发展中的应用经济增长与发展是任何一个国家的经济发展目标。
级数可以用来描述经济增长与发展的趋势和速度。
通过对经济增长的级数进行分析，经济学家可以研究经济增长的规律，为经济政策制定者提供科学的建议。
例如，级数可以用来计算国内生产总值的增长率，帮助政府和企业了解经济的整体发展趋势。
四、级数在经济周期中的应用经济周期是经济学中一个重要的概念，级数理论可以帮助我们更好地理解和解释经济周期的出现和变化。
级数的推导和运算可以用来描述经济指标在不同经济周期下的变化趋势，例如失业率、通货膨胀率等。
通过对级数进行分析，我们可以更好地预测和调控经济周期，从而更好地掌握经济发展的节奏和方向。
综上所述，级数在经济学中有着重要的应用。
它可以帮助我们更好地理解和解释经济现象，为经济政策的制定提供支持和指导。
常数项级数 应用案例
常数项级数应用案例常数项级数是指一个无穷级数中的每一项都是一个常数。
常数项级数在数学和物理学中具有广泛的应用。
下面列举了十个常数项级数的应用案例。
1. 泰勒级数泰勒级数是常数项级数的一种特殊形式，用于近似计算函数的值。
通过将一个函数在某个点展开成幂级数，可以用有限个项来近似计算函数在该点附近的值。
2. 几何级数几何级数是常数项级数的一种特殊形式，其通项为等比数列。
几何级数在金融学中有广泛的应用，例如计算复利的收益和贷款的利息。
3. 物理学中的级数常数项级数在物理学中有许多应用。
例如在牛顿力学中，可以使用级数来描述物体在重力场中的运动。
另外，在电磁学中，可以使用级数来描述电场和磁场的分布。
4. 统计学中的级数在统计学中，常数项级数可以用于描述概率分布。
例如，在离散概率分布中，可以使用级数来计算概率质量函数的值。
5. 计算机科学中的级数在计算机科学中，常数项级数有广泛的应用。
例如，在算法复杂度分析中，可以使用级数来描述算法的运行时间。
另外，在数值计算中，可以使用级数来进行近似计算。
6. 经济学中的级数常数项级数在经济学中有许多应用。
例如，在经济增长模型中，可以使用级数来描述经济增长的趋势。
另外，在财务管理中，可以使用级数来计算现金流的折现值。
7. 生物学中的级数在生物学中，常数项级数可以用于描述生物体的生长过程。
例如，在细胞分裂过程中，可以使用级数来描述细胞数量的增长。
8. 地理学中的级数常数项级数在地理学中有许多应用。
例如，在地球表面的温度分布模型中，可以使用级数来描述温度的变化。
另外，在地震学中，可以使用级数来描述地震的能量释放过程。
9. 化学中的级数常数项级数在化学中有许多应用。
例如，在化学反应动力学中，可以使用级数来描述反应速率的变化。
另外，在化学平衡中，可以使用级数来计算反应的平衡常数。
10. 社会科学中的级数常数项级数在社会科学中也有一些应用。
例如，在人口统计学中，可以使用级数来描述人口的增长和迁移。
高数中的数列与级数的性质及应用
高数中的数列与级数的性质及应用数列和级数是高等数学中的重要概念，其性质以及在实际问题中的应用广泛存在。
本文将介绍数列和级数的定义、性质，以及它们在不同领域中的应用。
一、数列的性质及应用1. 数列的定义与性质数列是由一系列有序数按照一定规律排列而成的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列：在等差数列中，每个数与它前面的数之差都相等。
它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列：在等比数列中，每个数与它前面的数之比都相等。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，前两项为1，之后每一项都是前两项之和。
数列的性质包括有界性、单调性、极限等。
根据不同的性质，我们可以对数列进行分类和研究。
2. 数列在实际问题中的应用数列的研究不仅仅停留在理论层面，还广泛应用于实际问题中。
在物理学中，数列的概念可以用于描述各种运动的定量变化。
例如，自由落体运动中物体的高度变化、声音的频率变化等都可以用数列来表示和分析。
在经济学中，数列可以用来描述人口增长、物价涨跌、投资回报等经济现象的变化规律。
通过对数列的研究，可以帮助人们预测未来的趋势和制定相应的政策。
在计算机科学中，数列可以用来描述算法的时间复杂度。
通过对数列的分析，可以帮助程序员评估算法的效率和性能，并进行相应的优化。
二、级数的性质及应用1. 级数的定义与性质级数是数列的和。
形式上，级数可以表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中an是数列的通项。
级数的性质包括收敛性、发散性、部分和等。
通过对级数的研究，我们可以得到级数的和以及判定级数的敛散性。
2. 级数在实际问题中的应用级数在科学和工程领域中有着广泛的应用。
在电路分析中，级数可以用来描述电源的电压和电流的变化规律。
通过对级数的研究，可以获得电路的稳定性和性能。
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第四讲 级 数一、级数的概念及收敛级数的性质1）级数和的定义：对于级数1nn u∞=∑，n S 是其前n 项的和，我们定义1lim nn n n uS ∞→∞==∑。
例1：设()2112,11,2,n nn u u u u n +==-+=，求级数11n nu ∞=∑的和。
解：因为()21111111111111n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u ++++=-+⇒-=-⇒==+--- 所以1111111111111111nn k k k n n S u u u u u =+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑11lim 1n n n nS u ∞→∞===∑。
2）收敛级数的性质性质：（柯西收敛准则）如果级数1n n u ∞=∑收敛，n S 是其前n 项的和，则对任意的正数p 有()lim 0n p n n S S +→∞-=。
例2：设{}n p 是单调增加的正数数列，证明：级数11n n p ∞=∑与级数112n nn p p p ∞=+++∑同敛散。
证明：（1）因为121n n n nn p p p np p >=+++，所以级数112n nn p p p ∞=+++∑收敛则级数11n np ∞=∑一定收敛； （2）又因为1221221222n n n nn n np p p p p p p +++<<++++++12211221121222n n n n n n n p p p p p p p +++++++<<++++++由收敛级数的性质，如果级数11n n p ∞=∑收敛，则级数112n n p ∞=+∑也收敛，由比较判别法级数111221221221,n n nn nn p p p p p p ∞∞==++++++++∑∑收敛，因此级数112n nnp p p ∞=+++∑收敛。
例3：判别级数2111n nn e n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性。
解：因为2222221111ln 11112221lim 1lim limlim 0n n n n n nn n n n nn n n n e ee een e eοο⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-⎪-⎝⎭→∞→∞→∞→∞⎛⎫+====≠ ⎪⎝⎭所以级数2111n n n e n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。
二、常数项级数1）正项级数敛散判别法：比较判别法、比之判别法、根式判别法。
定理1：（拉贝判别法）对于正项级数1nn u ∞=∑，如果1lim 1n n n u n r u +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当 （1）1r >时，正项级数1nn u∞=∑收敛；（2）1r <时，正项级数1nn u∞=∑发散；（3）1r =时，不能确定正项级数1nn u∞=∑的敛散性。
证明：我们证明2）如果1lim 11n n n u n r u +→∞⎛⎫-=< ⎪⎝⎭取0ε>使得1r ε+<，由极限的定义，存在自然数00N >，当0n N ≥时，有 11111n n n n u u n r r n r u u εεε++⎛⎫⎛⎫--<⇒-<-<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111111n n u n u nn +>-=-()01011n N u N u n+>-因为11n n ∞=∑发散，由比较判别法，可得级数1n n u ∞=∑发散。
例4：判别正项级数0!nn n n e n ∞=∑的敛散性。
解：利用拉贝判别法，因为()()111111!1lim 1lim 112!n n n n n n n n e n n n n n e e n ++→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭ ⎪-=-=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以正项级数0!nn n n e n ∞=∑发散。
下面是以上极限的算法用x 替换1n，则n →∞时，0x →+ ()()()()11200ln 11111limlim xxx x x x x x x e x xee→+→+⎛⎫+-+-+ ⎪+-+⎝⎭=()()()()()2200ln 11ln 11lim lim 11x x x x x x x x x x x →+→+⎛⎫+++-=-=⎪⎪++⎝⎭()()()120001ln 1ln 1ln 11lim lim lim 2323232x x x x x x x x x x x x →+→+→++++====+++所以()()111111!1lim 1lim 12!n n n n n n n n e n n n n n e e n ++→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2）一般项级数审敛法：莱布尼茨判别法、条件收敛和绝对收敛。
例5：判别下列级数的敛散性（1）1nn ∞=- （2）21nn ∞=- 解：（1()()()12111111112nn nnn n n n n ο-⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而级数()222111,,nn nn n n n∞∞∞===⎛⎫---⎪⎪⎝⎭都收敛 所以1nn ∞=-收敛。
（21111111111nnn nn n n ο-⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭而级数2221111,,nnnn n n n ∞∞∞===---⎛⎫ ⎪⎝⎭收敛，级数21n n∞=∑发散所以21nn ∞=-发散。
三、函数项级数1）函数项级数的一般概念2）幂级数：收敛半径、收敛区间、收敛域、幂级数求和、函数展成幂级数。
函数()f x 的麦克劳琳级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x x x n '''=+++++注意运用好幂级数逐项求导、逐项积分的性质 函数展成幂级数常用公式21111n x x x x x=+++++<- 234111112!3!4!!xne x x x x x n =+++++++ ()242111cos 112!4!2!nnx x x x n =-+-+-+()()3521111sin 13!5!21!nn x x x x x n +=-+-+-++()()()()21111112!!m n m m m m m n x mx x x x n ---++=+++++<3）傅立叶级数 例6：设函数()211f x x x=++，求()()0nf 。
解：因为()()33312300011111n n n n n n x f x x x x x x x x ∞∞∞+===-===-=-++-∑∑∑所以()()()()3!3031!31032nm n m f m n m n m ⎧=⎪=-+=+⎨⎪=+⎩例7：设()[]211,0,1nn f x x x n ∞==∈∑（1）证明：()()()21ln ln 16f x f x x x π+-+⋅-≡；（2）计算101ln 2xdx x -⎰。
解：（1）设()()()()1ln ln 1F x f x f x x x =+-+⋅-，因为 ()()()()ln 1ln 11x xF x f x f x xx-'''=--+-- ()()11111111110n n n n n n n n x x x x n n n n ----∞∞∞∞====--=--+=∑∑∑∑所以()F x 在[]0,1上恒为常数。
又因为()()21111n F f n ∞===∑ 函数(),g x x x ππ=-≤≤的傅立叶级数为()()21112cos 2nn g x x nx n ππ∞=⎛⎫-- ⎪==+ ⎪⎝⎭∑ ()()2211cos cos3cos 212321x x n x n ππ⎛⎫4 ⎪=-+++-+⎪-⎝⎭当0x =时，可得()2221113821n π++++=-，设()1222111242S n =++++，则有()()2221111418246F S S S F πππ==+⇒=⇒=.（2）1111100000111ln ln ln 222n n n n n n xdx x xdx x xdx x ∞∞++===-=--∑∑⎰⎰⎰ ()221011112221nn n n f nn ∞∞+==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭+∑∑由（1）可得22221112ln 2ln 2262122f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即212011ln ln 22122xdx x π=--⎰。
例8：证明：12sin 40522xe dx e πππ<<⎰。
证明：利用泰勒公式()2sin 1sin sin 1sin sin 2!!1!n xn xx e ex x n n ξ+=++++++其中ξ在0,sin x 之间， 当3n =时，2322sin 00sin sin 1sin 2!3!xx x edx x dx ππ⎛⎫>+++ ⎪⎝⎭⎰⎰230sin sin 5151sin 2cos 22!3!442x x x dx x dx ππππ-⎛⎫⎛⎫=+++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 取2n m =时，()()12212sin sin 01sin sin 22!21!k m mxxk x e xedx edx dx dx k m ξππππππππ+---===+++∑⎰⎰⎰⎰()()2201422sin 2!21!mk k e xdx k m πππ=≤+++∑⎰ ()()14212331222!22242221!m k k k ek k k m πππ=⎛⎫--=+⋅⋅⋅⋅⋅+⎪ ⎪-+⎝⎭∑ ()()2111222421!!mkk em k πππ=⎛⎫ ⎪=+⋅+ ⎪+⎝⎭∑ 当m →∞时，()12sin 420111114222124!!k x k k k e dxe k k πππππ∞∞==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤+⋅<+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰。
例9：求幂级数0n n a ∞=>的收敛域。
解：因为limlim lim 11n n na→∞→∞→∞===，此幂级数收敛半径为1。
①当1x =时，因为lim 1lim 11n n n a n n→∞→∞⎛⎫ ⎪⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ 当1a >时，1n =+∞>级数n ∞=收敛， 当1a =时，01n =<级数n ∞=发散， 当01a <<时，1n =-∞<级数n ∞=发散； ②当1x =-时，对于级数1nn ∞=-当1a >时，级数1nn ∞=-绝对收敛，当1a =时，级数()111nnn n ∞∞==-=-∑发散，当01a<<时，因为0n =∞≠，级数nn ∞=发散；由以上讨论可得，当1a >时，级数0nn x a ∞=>收敛域为[]1,1-；当01a <≤时，级数0nn a ∞=>收敛域为()1,1-。