级数及其应用
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第四讲 级 数
一、级数的概念及收敛级数的性质
1）级数和的定义：对于级数
1
n
n u
∞
=∑，n S 是其前n 项的和，我们定义
1
lim n
n n n u
S ∞
→∞
==∑。
例1：设()2112,11,2,
n n
n u u u u n +==-+=，求级数
11
n n
u ∞
=∑的和。 解：因为()2
1111111111111
n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u ++++=-+⇒-=-⇒
==+--- 所以1111111111
11
1111n
n k k k n n S u u u u u =+++⎛⎫=
-=-=- ⎪-----⎝⎭∑
11
lim 1n n n n
S u ∞
→∞===∑。 2）收敛级数的性质
性质：（柯西收敛准则）如果级数1
n n u ∞
=∑收敛，n S 是其前n 项的和，则对任意的正数p 有
()lim 0n p n n S S +→∞
-=。
例2：设{}n p 是单调增加的正数数列，证明：级数1
1
n n p ∞
=∑
与级数112n n
n p p p ∞
=++
+∑同敛散。
证明：（1）因为
121
n n n n
n p p p np p >=++
+，所以级数112n n
n p p p ∞
=++
+∑收敛则
级数
1
1
n n
p ∞
=∑
一定收敛； （2）又因为
1221221
222n n n n
n n n
p p p p p p p +++<
<
+++++
+
122112211
21222
n n n n n n n p p p p p p p +++++++<<++++++
由收敛级数的性质，如果级数
1
1
n n p ∞
=∑
收敛，则级数11
2n n p ∞
=+∑也收敛，由比较判别法级数
1
1
1221221221,
n n n
n n
n p p p p p p ∞
∞
==++++++++∑
∑
收敛，因此级数112n n
n
p p p ∞
=++
+∑
收敛。 例3：判别级数2
111n n
n e n ∞
-=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭∑的敛散性。
解：因为
222
2221111ln 1111222
1lim 1lim lim
lim 0n n n n n n
n n n n n
n n n n e e
e e
e
n e e
οο⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-++ ⎪
⎪ ⎪
⎛⎫
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭-+-
⎪-⎝⎭
→∞→∞→∞
→∞
⎛⎫
+====≠ ⎪⎝⎭
所以级数
2
111n n n e n ∞
-=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭∑发散。
二、常数项级数
1）正项级数敛散判别法：比较判别法、比之判别法、根式判别法。
定理1：（拉贝判别法）对于正项级数
1n
n u ∞=∑，如果1lim 1n n n u n r u +→∞⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，则当 （1）1r >时，正项级数
1n
n u
∞
=∑收敛；
（2）1r <时，正项级数
1
n
n u
∞
=∑发散；
（3）1r =时，不能确定正项级数
1
n
n u
∞
=∑的敛散性。
证明：我们证明2）如果1lim 11n n n u n r u +→∞
⎛⎫
-
=< ⎪⎝⎭
取0ε>使得1r ε+<，由极限的定义，存在自然数00N >，当0n N ≥时，有 11111n n n n u u n r r n r u u εεε++⎛⎫
⎛⎫-
-<⇒-<-<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 11
1
111
n n u n u n
n +>-=-
()0101
1n N u N u n
+>-
因为11
n n ∞
=∑发散，由比较判别法，可得级数1
n n u ∞
=∑发散。
例4：判别正项级数0!
n
n n n e n ∞
=∑的敛散性。
解：利用拉贝判别法，因为
()()1
1
1111!1lim 1lim 112!n n n n n n n n e n n n n n e e n ++→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭ ⎪-=-=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以正项级数0!
n
n n n e n ∞
=∑发散。下面是以上极限的算法
用x 替换
1
n
，则n →∞时，0x →+ ()()()()1
12
00ln 11111lim
lim x
x
x x x x x x x e x xe
e
→+→+⎛⎫
+-+-+ ⎪+-+⎝⎭=
()()()()()2
200
ln 11ln 11
lim lim 11x x x x x x x x x x x →+→+⎛⎫+++-=-
=
⎪
⎪++⎝
⎭
()()()1
20001ln 1ln 1ln 11lim lim lim 2323232
x x x x x x x x x x x x →+→+→++++====+++
所以
()()1
1
1111!1lim 1lim 12!n n n n n n n n e n n n n n e e n ++→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2）一般项级数审敛法：莱布尼茨判别法、条件收敛和绝对收敛。
例5：判别下列级数的敛散性
（1）
1n
n ∞
=- （2）
2
1n
n ∞
=- 解：（1
(
)
()()12
111111112n
n n
n
n n n n n ο-
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫------ ⎪=
+
=
-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭⎝⎭