椭圆的切线的性质和判定
高考常见椭圆性质及其详细证明
x2 y 2 22．椭圆 2 + 2 = 1 （a＞b＞0）的焦半径公式： | MF1 =| a + ex0 , | MF2 =| a − ex0 ( F1 (−c, 0) , F2 (c, 0) ， M ( x0 , y0 ) ). a b x2 y 2 23．若椭圆 2 + 2 = 1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，左准线为 L，则当 a b 2 − 1 ≤ e < 1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF 1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 2 的比例中项. x2 y 2 24． P 为椭圆 2 + 2 = （a＞b＞0） 上任一点,F 1 ,F 2 为二焦点， A 为椭圆内一定点， 则 2a − | AF2 |≤| PA | + | PF1 |≤ 2a + | AF2 | , 1 a b 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.
椭圆的性质及证明
4．点 P 处的切线 PT 平分△PF 1 F 2 在点 P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1 F 2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设 A 1 、A 2 为椭圆的左、右顶点，则△PF 1 F 2 在边 PF 2 （或 PF 1 ）上的旁切圆，必与 A 1 A 2 所在的直线切于 A 2 （或 A 1 ）.
x2 y 2 + = 1 （a＞b＞0）的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动，记|AB|= l ， M ( x0 , y0 ) 是 AB a 2 b2 c a2 l 2 2 2 a (c= a − b , e = );当 l < ΦS 时，有= 中点，则当 l ≥ ΦS 时，有 ( x0 ) max = − ( x0 ) max 4b 2 − l 2 , ( x0 ) min = 0 . a c 2e 2b 2 2 x y 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 + B 2b 2 ≥ C 2 . 32．椭圆 2 + 2 = 1 与直线 Ax + By + C = a b ( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 + B 2b 2 ≥ ( Ax0 + By0 + C ) 2 . 33．椭圆 + = 1 与直线 Ax + By + C = a2 b2 x2 y 2 （a＞b＞0） 的两个焦点为 F 1 、 F 2 ,P （异于长轴端点） 为椭圆上任意一点， 在△PF 1 F 2 中， 记 ∠F1 PF2 = 34． 设椭圆 2 + 2 = 1 α, a b sin α c ∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ ，则有 = = e. sin β + sin γ a 2 2 2 2 2 2 35．经过椭圆 b x + a y = a b （a＞b＞0）的长轴的两端点 A 1 和 A 2 的切线，与椭圆上任一点的切线相交于 P 1 和 P 2 ，则 2 |P b . 1A 1 |⋅| P 2 A2 |=
椭圆切点弦的几个性质
了万
S
切点 口 面 积
S 一
4a b
`
澎
一
。2
~
.
y
-
o Z
下
白
州 卜
a
丁了 口`
。2
.
3 X 4
寸
石不 少`
一
1
一
办二 万 一
5 1
了了
2 a
外切 口 面 积
S -
谓
+
+
翻
一 1
2 义
3 又 。又
4
,
一
0 4
擂
事
办月
丫万
11 4
由此 得
(e )
卜l
八
’一
厄丫 三 万 平 丁 乎五
,
Za
1 }
。 、
,
.
示 舜几 琢
。-
一
一
a 之 之
b
(e )
代 入 ( b ) 可 得 到 }p
p
:
}一
2
夏 牙万不厂 不
U 沫
一 一 。
卞
一不 二f歹 少
`
V
一万 丁 几 石 人丁 一 一 万 厂次 厂下 。 口 了` 心 护x 。 十 十 “ y
{ 一卜
y
0
Zy
`
一二厂
““
一
而
P
。
为 两 切 线交 点
丈 1 | ! le 1 | e l
,
f X 2 一一 1忿 Z 之 了 一 a a 一 X
。
y
寸
l
y
o
一1
芍 一 口`
数学高考知识点椭圆切线
数学高考知识点椭圆切线椭圆是高考中常出现的一个重要的几何形状，掌握相关知识点对于考生来说是非常关键的。
其中一个重要的概念就是椭圆的切线。
在本文中，我将深入解析椭圆切线的相关内容，帮助读者加深理解。
首先，让我们回顾一下椭圆的定义和性质。
椭圆是一个平面上所有距离两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这两个定点被称为焦点，2a则是椭圆的长轴长度。
对称轴是连接两个焦点并且垂直于椭圆长轴的线段，它的长度被称为椭圆的短轴，记作2b。
此外，焦点之间的距离等于两个焦半径之和的两倍，即F1F2=2c。
根据椭圆的定义，我们可以得到一个重要的性质，即椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
接下来，我们来讨论椭圆的切线。
切线是曲线与其某一点相切的直线。
对于椭圆而言，每一条切线与曲线相切的点都位于椭圆的外部。
这是因为对于椭圆上的所有点，到焦点的距离之和等于常数2a，所以任意一条线如果不与椭圆有交点，那么它就不满足这个条件。
因此，只有位于椭圆外部的点才有可能与椭圆相切。
要求椭圆的切线，我们可以利用椭圆的几何性质来推导。
首先，我们可以通过将椭圆的切线与椭圆的法线相交于一点，来确定椭圆上一点的切线。
椭圆的法线是与切线垂直的直线，通过椭圆上的点，并且与该点的切线相交于一点。
在椭圆上，法线与切线的相交点将构成一个直角。
这是椭圆的一个重要性质，也是我们求解切线的关键。
我们可以根据这个性质得到一个重要的结论：椭圆的切线和法线的斜率互为相反数。
具体来说，设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，点P(x0,y0)为椭圆上的一点，点P处的切线的斜率为k，则椭圆的法线的斜率为-1/k。
这个结论可以通过利用椭圆方程求解导数来得到，但是在此不做详细推导。
利用这个结论，我们可以通过已知椭圆上一点的坐标和斜率，求解该点处的切线方程。
例如，假设我们已知椭圆的方程为x^2/4+y^2/9=1，要求椭圆上点P(2,-3)处的切线方程。
圆的切线 → 椭圆的切线
圆的切线→ 椭圆的切线介绍圆和椭圆是几何学中常见的形状，它们都有切线的概念。
本文将讨论圆和椭圆的切线问题，包括如何确定切点和计算切线的斜率。
圆的切线对于一个圆来说，切线是与圆相切且只与圆的一个点相交的直线。
在圆的切线问题中，有两种情况：内切和外切。
内切当一条直线与圆相切时，这条直线的与圆心连线垂直，此时的切点称为内切点。
假设圆的方程为 x^2 + y^2 = r^2，直线的方程为y = mx + c，则内切点的切线斜率 m 的计算如下：1. 将直线的方程 y = mx + c 代入圆的方程 x^2 + y^2 = r^2 中，得到 x^2 + (mx + c)^2 = r^2。
2. 将这个方程化简，得到 (m^2 + 1)x^2 + 2mcx + c^2 - r^2 = 0。
3. 由于切线只与圆的一个点相交，所以这个方程的判别式为零，即 (2mc)^2 - 4(m^2 + 1)(c^2 - r^2) = 0。
4. 解这个二次方程，得到切线斜率 m = (-2mc ± 2r√(m^2 + 1)) /2(m^2 + 1)。
5. 化简得m = (r√(m^2 + 1) - mc)/(m^2 + 1)。
6. 这个斜率只有一个解，即为内切点的切线斜率。
外切当一条直线与圆相切时，这条直线的垂线通过圆心，此时的切点称为外切点。
外切点的切线斜率等于直线的斜率。
对于圆的切线问题，外切点的切线斜率可以用以下公式计算：1. 将直线的方程 y = mx + c 代入圆的方程 x^2 + y^2 = r^2 中，得到 x^2 + (mx + c)^2 = r^2。
2. 将这个方程化简，得到 (m^2 + 1)x^2 + 2mcx + c^2 - r^2 = 0。
3. 由于切线通过圆心，所以方程的判别式为零，即 (2mc)^2 -4(m^2 + 1)(c^2 - r^2) = 0。
4. 解这个二次方程，得到切线斜率 m = (-2mc ± 2r√(m^2 + 1)) / 2(m^2 + 1)。
九上 椭圆的切线性质与判定的经典题型总结(典藏版)
九上椭圆的切线性质与判定的经典题型
总结(典藏版)
引言
本文档总结了九上椭圆的切线性质与判定的经典题型，旨在帮助同学们更好地理解和应用相关知识。
切线性质
椭圆的切线具有以下性质：
1. 切线与椭圆的长轴和短轴相切。
2. 切线与椭圆的法线垂直。
判定题型
1. 已知椭圆上一点P(x₁, y₁)，求过点P的切线方程。
解题步骤如下：
* 求点P在椭圆上的切线斜率k。
* 利用点斜式或一般式，得出过点P的切线方程。
2. 已知椭圆的焦点F₁和F₂，求椭圆的切线方程。
解题步骤如下：
* 连接F₁F₂并求其中点M。
* 求MF₁和MF₂的距离d。
* 求椭圆的长轴a。
* 求椭圆的焦距c。
* 求切点P(x₁, y₁)的坐标。
* 利用点斜式或一般式，得出切线方程。
3. 已知椭圆的方程，求其切线方程。
解题步骤如下：
* 将椭圆的方程化为标准形式。
* 求出椭圆的长轴a和短轴b。
* 求切点P(x₁, y₁)的坐标。
* 利用点斜式或一般式，得出切线方程。
结论
九上椭圆的切线性质与判定的经典题型总结了椭圆的切线性质以及三种判定题型的解题步骤。
希望本文档对同学们的研究有所帮助，能够更好地掌握和应用相关知识。
注意：本文档中的内容为经典题型的总结，不包含具体题目，具体题目请参考教材或老师提供的习题。
椭圆的切线
椭圆的切线与椭圆有且仅有一个交点的直线，就叫做椭圆的切线。
二者公共点，叫做切点。
经过切点且与切线垂直的直线，叫做该椭圆的法线。
即直线L与椭圆C切于点P。
即P点为切点。
过切点P且与切线L垂直的直线即是法线。
椭圆（Ellipe）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于，F1F2，）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：，PF1，+，PF2，=2a（2a>，F1F2，）。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
扩展资料：切线法线定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。
若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。
（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。
若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将一些焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（一些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。
椭圆切线的几个性质
R2
2∆
2R2
∵ s2 + 4Rr + r2 2R2
≥ 16Rr − 5r2 + 4R2 + r2 = 10r − 2r2 ,
2R2
R R2
又∵ (s2 + 4Rr + r2 ) /(2R2 )
≤ (4R2 + 4Rr + 3r2 + 4Rr + r2 ) /(2R2 )
= 2(1 + r )2 , R
y − y0 = k(x − x0 ), y − y0 = k '(x − x0 ). 又设直线 MN,ST 的方程分别为,
mx + ny + p = 0, qx + ry + s = 0. 由文[2]中引理,得到过 S, M , N,T 四点 的二次曲线系方程为: [ y − y0 − k(x − x0 )] [ y − y0 − k '(x − x0 )] + λ(mx + ny + p)(qx + ry + s) = 0. 整理,得:
=
t2 − p2 −2 pt
,
∴ kMF ⋅ kFP = −1 ,∴ PF ⊥ MF . 性质 2 F1, F2 是椭圆的两个焦点,若 M 是 椭圆上异于长轴两端点的任一点,则 M 点的
切线平分△ F1MF2 的外角.
证明 设椭圆的方程为 x2 + y2 = 1(a > b
a2 b2 y
> 0) ,过椭圆上一点 M (a cosθ , bsinθ ) 的切线为:
切线交准线 l 于 P ,则 PF ⊥ MF .
证明 设抛物线上一点 M (t2 /(2 p),t) (非
椭圆切线的一类性质的探究
⎧ y0 = mx0 + n (1) ， ⎪ （ （2） 性质 1 已证） 依题意，⎨b 2 + am 2 = n 2 (2) ， ⎪ x 2 + y 2 = a 2 (3) ， 0 ⎩ 0 联立 （1） （3） 可得： (1 + m 2 ) x0 2 + 2mnx0 + n 2 − a 2 = 0
椭圆切线的一类性质的探究
张 琪 福建泉州培元中学（362000） （I）求曲线 Γ 的方程； （II）略； （III）设 为曲线 Γ ， 0) 直线 m 是圆 O 所在平面内的一条直线，过点 F (1 ， 做直线 m 的垂线，垂足为 T ，连结 OT ，请根据“线 段 OT 的长度 ” 讨论 “ 直线 m 与曲线 Γ 的公共点个 数”． （直接写出结论，不必证明） 笔者对该题第（III）问给出一般性的推广，得
x2 y 2 + =1相 a2 b2 切于 P 点，过焦点 F 作直线 m 的垂线，直线 OP 与直
推论 4 如图 2， 若直线 m 与椭圆 Γ :
把（2）代入(1)，得 Δ = 0 ，即直线 m 与椭圆 Γ 相 切．显然若 | OT |> a ，则 Δ < 0 ，即直线 m 与椭圆 Γ 相 离；若 | OT |< a ，则 Δ > 0 ，即直线 m 与椭圆 Γ 相交． 对该图形再研究：我们可以得到以下推论： 推论 1 任取圆 x 2 + y 2 = a 2 上的任意一点 T ，连
2
（2）圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线时，统一设其 m ≠ n) ． （对于椭圆，d 不 方程为 mx 2 + ny 2 = 1(mn ≠ 0 ， 超过长轴长，否则弦 AB 不存在） ． A， B 在圆锥曲线上，则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆的切线的性质和判定
切线的定义
首先我们来回顾一下什么是切线。
在几何学中，切线是指与给定曲线相切的直线。
对于椭圆而言，切线是与椭圆相切并且仅在切点与椭圆相交的一条直线。
切线的性质
椭圆的切线具有以下性质：
1. 切线与椭圆的切点处的切线方向与椭圆的切点处的切线方向相同。
2. 切线与椭圆的切点处的切线垂直于椭圆的法线。
法线是指与椭圆切点处切线垂直的直线。
3. 具有相同斜率的直线可以视为同一条切线。
4. 切线与椭圆的切点处的切线与椭圆的对称轴相交于同一点。
切线的判定方法
确定一条直线是否是椭圆的切线可以通过以下方法进行判定：
1. 求解切点坐标：设直线方程为y = kx + b，将其代入椭圆方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到一个关于x的二次方程。
解这个二次方程，得到两个解x1和x2。
将x1和x2带入直线方程中求解出对应的y1和y2。
这样得到的两个点(x1, y1)和(x2, y2)就是直线与椭圆的切点。
2. 验证切线性质：将直线的斜率代入椭圆的导数方程dy/dx = -b^2x/a^2y，如果二者相等，说明这条直线是椭圆的切线。
总结
椭圆的切线具有一些独特的性质，包括与切点处的切线方向相同、与切点处的切线垂直的法线、具有相同斜率的直线视为同一条
切线等。
判定一条直线是否是椭圆的切线可以通过求解切点坐标和验证切线性质来进行。
希望本文对你理解椭圆的切线的性质和判定方法有所帮助！。