拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用
浅谈极限的求解方法毕业论文
共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。
如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本工具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。
对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理是一个比较有用的数学定理，它的意思是：如果一个函数f在一个定义域内连续，在一个闭区间[a,b]上增加，那么在这一区间内至少存在一个数c，使得函数f在c处取得直线ab上f(a)和f(b)之间的中值。
拉格朗日中值定理的使用有很多，它的用处就在于它能够在较为复杂的问题中把许多复杂的计算简化，帮助我们快速找出求解结果。
比如，我们可以把积分运算归结为二阶多项式，再使用拉格朗日中值定理，从而把积分运算搞定，这样就可以把复杂的求积问题变成表达式计算，简单、快速。
此外，拉格朗日中值定理也被实际应用在非线性方程求解、曲线拟合、曲线分割以及高精度数值积分、极限的求解等等。
总的来说，拉格朗日中值定理的运用极其广泛，它在数学计算中也是有用的，可以大大减轻我们的计算量，为复杂的计算提供直接的解决方案。
待定型极限的求法
待定型极限的求法数学分析是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科,是师范院校数学专业的一门主干基础课。
极限概念是数学分析中最重要的概念之一,数学分析中几乎所有重要的概念,如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。
极限理论是数学分析的基础理论,极限思想贯穿整个数学分析学科。
极限在实际中有很广泛的应用,因此在学习了极限理论之后掌握求极限的方法便显得十分重要。
在学习过程中能采用多种多样的方法准确有效地求解极限是学好数学分析的关键,同时也为学习后续课程打下坚实的基础。
1.待定型极限定义、基本类型及关于其求解方法的研究思考1.1 待定型极限的定义两个无穷小量之比的极限或两个无穷大量之比的极限,有的存在,有的不存在:即使存在,不同的极限其值一般也不相等。
也就是说,我们不能对这样的比的极限的状态作出一般的结论,只有在具体情况下才能确定其结果。
因此,我们称这类极限为待定型或不定式、未定式。
1.2待定型极限的基本类型在求极限的诸多问题中, 待定型极限既是一个重点,也是一个难点。
就待定型极限的类型而言,其类型较多,归纳为七种:型;型; ∞－∞型; 0-∞型; 1型;∞型和0型。
其中以型和型为基本类型,其它类型可通过变形转化为这两种基本类型。
1.3求解方法的研究思考就处理待定型极限的方法而言,不存在一劳永逸的方法,往往需要多种技巧相结合。
洛必达法则虽然是解决待定型的一个行之有效的办法,但在学习实践中发现洛必达法则并不是万能的,也不是最简捷的,仍存在局限性。
首先,洛必达法则是一个充分条件,如果出现求导数之后分母为零的情况, 洛必达法则就失效了。
其次,虽然满足洛必达法则使用条件,求导运算之后若发现极限不存在,但此时并不代表原来极限不存在,例如,对其使用洛必达法则后其极限不存在,但实际上此极限为0。
再次,使用洛必达法则出现无法判定的情况,形如的待定型极限,求导之后分子分母循环出现,仍无法求极限,对于该待定型,我们可以直接对表达式的分子分母同时除以得到极限是1。
拉格朗日中值定理论文
摘要本文主要论述拉格朗日中值定理在函数极限计算、不等式证明以及根的存在性的判别这几个方面的应用.并给出实例进行说明.关键词: 关键词拉格朗日中值定理可导连续Lagrange mean value theorem and some applicationsAbstractThis paper mainly discusses the Lagrange mean value theorem in computing function limit, the inequality proof as well as the root of existence theorem for several aspects of this application and gives examples to illustrate.Key words: Lagrange mean value theorem can be mediated by continuous1 引言拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解决一些问题,下面将论述拉格朗日中值定理在几个方面的应用. 一．预备知识 1. 定理：若函数 f (x) 满足如下条件：（1）在闭区间 [a, b] 上连续, （2）在开区间 (a, b) 上可导, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ ,使得 f ' ( x) = 也可变形为f (b) − f (a ) 成立.定理的结论 b−af (b) − f (a ) = f ' (a + ϕ (b − a )) (0 < ϕ < 1) . b−a2. 拉格朗日中值定理的几何意义：若闭区间 [a, b] 内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线, 则曲线上至少存在一点 M (c, f (c)) , 过点 M 的切线平行于过点 A(a, f (a )).B (b, f (b)) 的直线 AB .3. 拉格朗日中值定理的证明：作辅助函数ϕ ( x) = f ( x) − f (a) −f (a ) − f (b) ( x − a) . b−a已知函数ϕ(x) 在 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 上可导.又ϕ(a ) = ϕ (b) = 0 .根据罗尔定理.在 (a, b) 内至少存在一点 c .使得ϕ ' (c) = 0 .而f (b) − f (a ) f (b) − f (a ) 于是ϕ ' (c) = f ' (c) − = 0 ,即 b−a b−a f (b) − f (a ) f ' (c ) = . b−a 4. 拉格朗日中值定理和洛尔定理：ϕ ' ( x) = f ' ( x) −洛尔定理：若函数 f (x) 满足如下条件：（1）在闭区间 [a, b] 上连续, （2）在开区间 (a, b) 上可导, （3） f (a ) = f (b) 则在 (a, b) 内至少存在一点 c ,使得 f ' (c) = 0 . 通过比较可知洛尔定理是拉格朗日中值定理的当 f (a ) = f (b) 时的特殊形式.5.拉格朗日中值定理和可惜中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中 g ( x ) = x 时的特殊情况. 可惜中值定理：若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件:(1) 在闭区间 [a, b] 上连续, (2) 在开区间 (a, b) 上可导,且对∀x ∈ (a, b) ,有 g ' ( x) = 0 ,则在 (a, b) 内至少存在一点ξ ,使得f ' (c) f (b) − f (a) =g ' (c) g (b) − g (a )二、拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用若计算函数极限时,题目中出现有 f (b) −f (a ) ” “ f (a) −f (b) ” “ 型或型的式子,并且函数f (x ) 在[ a, b] 连续, 在(a, b) 上可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 此时可构造“ ( a − b)f ( a ) − f (b ) a −b”型或“ (b − a )f (b) − f (a)b−a”型,利用拉格朗日中值定理转变为导f (a ) − f (b) a −b数形式进行极限计算,方便快捷;若果其中出现“ 型或“f (a ) − f (b) b−a”型或“f (b ) − f ( a ) b−a””型或“f (b ) − f ( a ) a −b”型,并且f (x) 在[a, b] 上满足拉格朗日中值定理条件,则可直接利用拉格朗日中值定理进行转换计算极限. 例 1.求lim e sin x − e tan x x →0 sin x − tan x0 ”型,可用罗必达法则求解,但是用罗必达法则则须求0 f (a ) − f (b) ”型,只须令函很多次导数之比,非常麻烦,通过观察此极限发现它是“ a−b 分析：此极限满足“数f ( x) = e x ,则f (x) 在区间[sin x, tan x] 上满足拉格朗日中值定理条件,e sin x − e tan x =f (sin x) −f (tan x) = (sin x − tan x) f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) (0< θ < 1)即e sin x − e tan x =f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) (0< θ < 1) ,由于f ( x) = e x 在[sin x, tan x] sin x − tan x e sin x − e tan x = lim f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) = f ' (0) = 1 x →0 sin x − tan x x →0上连续, 所以lim从而有lime sin x − e tan x =1 x →0 sin x − tan x2 2例2.求lim n 4 ( n a − nn →∞+1a ) . (a > 1, 且a ≠ 1)分析：通过观察发现该题所求极限为“ f (b) − f (a ) ”型.故只须令f ( x) =a x .易知f (x) 在区间[ 得1 11 1 ,2 ] 上满足拉格朗日中值定理条件,运用拉格朗日中值定理n +1 n2an2−an 2 +1= a 3 ln(1 1 1 1 −2 )( 2<ξ < 2), 2 n n +1 n +1 n1 1 n2解：原式= lim n (a4 n →∞−an 2 +1) = lim n 4 a ξ ln a(n →∞1 1 −2 ) 2 n n +1= limn4 1 1 a 3 ln a = ln a ( 2 < ξ 2 ). 2 2 n →∞ n ( n + 1) n +1 n例3.求极限lim x →0tan(sin x) − tan(tan x) sin(sin x) − sin(tan x)分析：观察该例题,可以看出,此例题坟墓和分子两部分都是“ f (a) − f (b) ”型. 此时分子分母均可以构造为“ (a − b)f ( a ) − f (b ) a −b”.同时该例题又符合柯西中值定理条件,在该例题中,可设f ( x) = tan x , g ( x) = sin x ,并且f (x) 与g (x) 在[sin x, tan x] 上连续. 于是在(sin x, tan x) 内可导, 并且∀x ∈(sin x, tan x), x ≠ 0 . 于是在(sin x, tan x) 内至少存在一点ξ 使f ' (ξ ) tan ' ξ tan(sin x) − tan(tan x) = = , sin x< ξ < tan x, x ≠ 0g ' (ξ ) sin ' ξ sin(sin x) − sin(tan x)解：lim x →0tan(sin x) −tan(tan x) tan ' ξ 1 =lim = lim = 1 , (sin x < ξ < tan x, x ≠0) sin(sin x) −sin(tan x) x → 0sin ' ξ x → 0 cos 3 x f (b ) −f ( a ) b−af (c) − f (b) ”的形式,并且f (x) 在[a, b] 和c−b三.利用拉格朗日中值定理证明不等式在证明不等式时,出现“ ” “ 和[b, c] 上满足拉格朗日中值定理条件,则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“ f (b) − f (a ) ”型,另一边出现“ b −a ”型,则可将不等式变形为含“f (b ) − f ( a ) b−a”型.若同时 f (x) 在 [a, b] 和 [b, c] 上满足拉格朗日中值定理条件,则利用拉格朗日中值定理条件进行证明.若只出现“ f (b) −f (a ) ” 型，则构造“ (b − a ) 例 3.证明：f (b) − f (a) b−a”型.1 1 < ln( x + 1) − ln( x) < , x > 0 为 x +1 x分析：通过观察,不等式中“ ln( x + 1) −ln( x) ”为“ f (b) − f(a ) ”型, 令 f ( x) = ln x .可知 f (x) 在[0,+∞] 上连续,当 x >0 时, f (x) 在 [ x, x + 1] 上连续, 则f (x) 在区间 [ x, x + 1] 上满足拉格朗日中值定理.证明： ln( x + 1) − ln( x) =1ξ( x + 1 − x) =1ξ( x < ξ < x + 1) ,由于(0 < x < ξ < x + 1) ,则有1 1 1 1 1 < < ,即 < ln( x + 1) −ln( x) < . x +1 ξ x x +1 x例 4.sin x 2 − sin x1 sin x3 −sin x 2 > , 0 ≤ x1 < x 2 < x3 < π . x 2 − x1 x3 − x 2f (b) −f (a ) ”型.令 f ( x) = sin x ,则 f (x) 在 b−a分析：通过观察发现此不等式为“区间 [ x1 , x 2 ] 和 [ x 2 , x3 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件. 证明：sin x3 − sin x 2 sin x 2 −sin x1 = cos ξ1 ( x1 < ξ < x 2 ) , = cos ξ 2 ( x 2 < ξ < x3 ) x 2 − x1 x3 − x 2由于0 ≤ x1 < ξ 1 < x 2 < ξ 2 < x 3 < π ,则可知cos ξ1 > cos ξ 2 ,即sin x 2 − sin x1 sin x3 − sin x 2 > x 2 − x1 x3 − x 2例 5.证明不等式：1 1 1 1 < [ −], p > 1, n ≥2 np p − 1 (n − 1) p −1 n p −1 1 1 − (n − 1) p −1 n p −1分析：例题中出现“” “ f (b) −f (a ) ” ,此时可以考虑 f ( x) = 是型1 , x p −1在区间 [n − 1, n] 上的情况. 证明：设 f ( x) =1 x p −1, 则 f (x) 在区间 [n −1, n], (n ≥ 2) 上连续,在开区间(n − 1, n) 上可导 , 显然 f (x ) 在区间 [n − 1, n] 上满足拉格朗日中值定理条件 , 则有1 1 − 1 1 (n − 1) p −1 n p −1 1 1 − p −1 = = −f ' (ξ ) = −(1 − p) p = ( p − 1) p , (n −1 < ξ < n), p −1 (n − 1) n (n − 1) −n ξ ξ则不等式右边1 1 1 1 1 1 [ − p −1 ] = [( p − 1) p ] = p , (n −1 < ξ < n). p −1 ξ ξ p − 1 (n − 1) n p −11由于 n −1 < ξ < n ,并且n ≥ 2 ,则ξp>1 ,故原不等式成立. np四.利用拉格朗日中值定理判别根的存在性在讨论函数根的存在性问题时,可利用函数与其导数之间的关系,借助拉格朗日中值定理（或罗尔定理）判别某些函数根的存在性.当需要判别某个函数的导函数在某个区间是否有根时,若此函数在该区间上连续,则看该函数在这个区间上是否有两个或者有两个以上的点的函数值相等.若存在, 则其导函数在该区间有根；若不存在,则其导函数在该区间无根.当需要判别某个函数在某个区间上是否有根时,则看起导数在该区间上是否存在导数值为零的点.若存在使其导函数值为零的点,则原来的函数可能有根; 若不存在使其导函数值为零的点,则原来的函数一定不存在根. 这不是一个充要条件,,说明利用拉格朗日中值定理判别根的存在与否有局限性例6.证明：若方程a 0 x n + a1 x n−1 + a 2 x n − 2 + K + a n −1 x = 0 有正根x0 ,则方程na 0 x n −1 + (n − 1)a1 x n−2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 = 0 必存在小于x0 的正根.证明：令f ( x) = a 0 x n + a1 x n −1 + a 2 x n− 2 + K + a n −1 x , 则可知f (0) = f ( x0 ) = 0 且f (x) 在[0, x0 ] 上连续,根据拉格朗日中值定理（或罗尔定理）可知,至少存在一个ξ ∈(0, x0 ) 有f ' (ξ ) = 0 , 且f ' ( x) = na0 x n −1 + (n− 1)a1 x n− 2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 ,则可知方程na 0 x n −1+ (n − 1)a1 x n− 2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 = 0 至少存在一个根ξ , 且0 < ξ < x0 ,故证毕.例7.方程x − 3 x + c = 0 在区间(0,1) 内没有两个不同的根.3证明：运用反证法, 假设x − 3 x + c = 0 在区间(0,1) 内有两个相同的根x1 , x 2 , 且3 3 0 < x1 < x 2 < 1 .令f ( x ) = x − 3 x + c ,则f (x ) 在区间[ x1 , x 2 ] 上连续, 则有f (x ) 在区间[ x1 , x 2 ] 上满足拉格朗日中值定理（或罗尔定理）的条件,则有存在ξ ∈( x1 , x 2 ) 使得f ( x 2 ) −f ( x1 ) = f ' (ξ )( x 2 −x1 ) = 0 即存在ξ ∈( x1 , x 2 ) 使得f ' (ξ ) = 0 .而f ' ( x) = 3 x 2 −3 即3ξ 2 −3 = 0 ,解得ξ = −1,1 ,又−1,1 ∉ (0,1) .则假设不成立, 故原命题得证.五.参考文献[1].同济大学应用数学.高等数学[M].同济大学出版社.2004.132. [2].数学分析讲义(第五版).刘玉琏编.高等教育出版社.2007 年5 月.。
极限问题的特殊解法
极限问题的特殊解法杨芮;杨铁坪【摘要】本文根据教材中与极限概念相关的知识点,结合大量的实例介绍了求解极限问题的几种特殊方法.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(014)001【总页数】4页(P13-16)【关键词】极限理论;计算方法;技巧【作者】杨芮;杨铁坪【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637009;西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637009【正文语种】中文【中图分类】O1711 引言极限是研究数学问题的一种重要工具，在许多领域都有着广泛应用，如：数列极限与函数极限的定义、函数连续的定义、定积分的定义、级数的定义等。
文献[1-8]介绍了许多与极限问题相关的理论，本文结合这些理论给出了一些求解极限问题的特殊方法。
本文首先简单介绍求解相关极限问题的理论，然后结合大量的实例给出求解极限问题的具体方法。
同时一题多解或巧解，从不同角度、多个方向，使读者对与极限相关的理论知识有更清楚的认识和更深刻的理解。
这也体现出求解极限问题的方法灵活多样，具有一定的包容性，我们的思维不应该受到题目本身的局限。
2 求解极限问题的特殊方法2.1 利用和差等价无穷小量公式求极限在极限运算中，对不定式的部分做合理的等价无穷小量替换，可以避免应用洛必达法则做繁琐的求导过程。
但一般的替换法则只限于极限式含有相乘(或相除)的因式中，文[2，8]将这一结论推广到和差极限运算中，并给出了和差等价无穷小量的替换公式。
所以在具体应用和差等价无穷小量公式时，我们只需要验证定理1中的条件即可。
定理1[2] 当x→xo时，设函数f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，(i)若时，则f(x)+g(x)～f1(x)+g1(x)(ii)若时，则f(x)-g(x)～f1(x)-g1(x)例1. 求解注意到当x→0时，且由定理1可知(*).因为极限不定式是关于型的，应用洛必达法则可知原极限注1：若将在x=0处分别泰勒展开，也有(*)式的结果，这与利用和差等价无穷小量公式有殊途同归之感。
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用
精心整理内容概要习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：)5.即为所（2∴f (f '★2.思路 解∴5(01)12,ξ±∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
解：要使(2)(1)()21f f f ξ-'=-，只要3415ξξ=⇒=(12)ξ,=即为满足定理的ξ。
★★4.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为][a,b ，则函数r qx px y ++=2在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导，从而有()()()f b f a f ξb a-'=-，即a b r qa pa r qb pb q ξ-++-++=+)()(222， 解得2ab ξ+=，结论成立。
★5.函数3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
知识点：柯西中值定理。
思路解，所以满★★★6.存在ξ思路，然后再证明)0(F ()()()0F ξf ξξf ξ''=+=，即()()f ξf ξξ'=-。
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使()()f x f x x'=-，只要 ∴只要设辅助函数)()(x xf x F =★★7.若函数)(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f ==)(321b x x x a <<<<，证明：在)(31,x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=。
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。
本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。
关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。
主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。
下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。
1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a 。
对两个重要极限的新认识
Science &Technology Vision 科技视界在“高等数学”或是“数学分析”课程的开头讲“极限”时,都会讲到下面两个重要极限lim x →0sin x x=1或lim x →∞1+1x ()x=e .它们之所以重要是因为推导正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到,而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发,经过有限次的四则运算、复合得到。
再由于积分是微分的逆运算,可以得到微积分学计算的基础,其重要性就不难理解了。
1两个重要极限的新证明1.1第一个重要极限:lim x →0sin x x=1证法1利用几何图形,作一单位圆(如图所示):设∠BOC =x (弧度),对于AB 轴作半径OC ,∠BOD =x ,连接CD ,则BC⌢=x ,CD ⌢=2x ,CD =2sin x 所以sin x x =CD CD ⌢,当x →0时,CD →CD⌢,从而lim x →0sin x x =lim x →0CD CD⌢=1,即lim x →0sin x x=1证法2利用拉格朗日中值定理,选取函数f (x )=sin x ,则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,且f′(x )=cos x ,因而在(0,x )内至少存在一点ξ使得sin x-sin0x-0=cos ξ,即sin x x=cos ξ(0<ξ<x )从而有lim x →0sin x x =lim ξ→0cos ξ=1,即lim x →0sin x x=11.2第二个重要极限:lim x →∞1+1x()x=e证明lim x →∞1+1x()x=e 的关键是通过证明lim n →∞1+1n ()n=e 来实现,而证明lim n →∞1+1n ()n=e 的关键是证明1+1n()n{}是递增有界数列,故先引入下面引理。
引理:设数列a n =1+1n()n,则1+1n()n {}是一个递增有界数列。
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拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用
《拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用》
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中的经典定理之一，广泛应用
于函数的极限运算中。
通过该定理，我们可以更加准确地计算函数的极限，并更好地理解函数的性质和变化。
在极限运算中，我们通常需要求解函数在某一点处的导数。
然而，直接计算导数往往非常困难。
这时，拉格朗日中值定理便提供了一种简便的计算方法。
拉格朗日中值定理表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那
么在这个区间内必然存在一个点c，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率，即：
f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)
从这个公式我们可以看出，函数在区间[a, b]上的变化率与某一点c处的导数是相等的。
通过这
个等式，我们可以利用已知的函数值，来求解导数的值，进而计算函数的极限。
举一个具体的例子来说明应用。
假设我们要计算函数f(x) = 2x + 1在点x = 2处的导数。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c，满足：
f'(c) = (f(2) - f(0))/(2 - 0)
为了找到这个点c，我们需要先计算函数在这两个点上的函数值。
代入函数f(x)，我们可以得到：
f(2) = 2 * 2 + 1 = 5
f(0) = 2 * 0 + 1 = 1
将这些值代入公式，我们可以求解得到c：
f'(c) = (5 - 1)/(2 - 0)
= 4/2
= 2
因此，函数f(x) = 2x + 1在点x = 2处的导数为2。
通过这个简单的例子，我们可以看出拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用。
它提供了一种可行的计算方法，使我们能够更加准确地计算函数的导数，进而帮助我们分析函数的性质和变化。
不仅如此，拉格朗日中值定理还在微积分的其他领域中发挥着重要的作用，如优化问题
和积分学中的定理证明等。
综上所述，拉格朗日中值定理是一个非常有用的工具，在函数极限运算中具有广泛的应用。
通过它，我们能够更好地理解函数的性质，并且更加准确地计算函数的导数和极限。
因此，掌握和应用拉格朗日中值定理对于学习和运用微积分知识来说是非常重要的。
参考资料：
1. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
2. Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2012). Calculus: Early Transcendentals. John Wiley & Sons.。