拉格朗日中值定理在导数中的应用
拉格朗日中值定理在极限的应用
拉格朗日中值定理在极限的应用拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了一个函数在某个区间内的平均变化率与该函数在该区间内的某个点上的导数之间的关系。
在许多数学问题中，拉格朗日中值定理是一种非常有用的工具，可以帮助我们更好地理解函数的性质和解决各种数学难题。
一、拉格朗日中值定理的基本概念拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）在18世纪提出的。
它的基本思想是：如果一个函数在某个区间内的平均变化率等于该函数在该区间内的某个点上的导数，那么在该区间内一定存在一个点，使得该函数在该点上的导数等于该函数在该区间内的平均变化率。
具体来说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且a<b，则存在一个点c∈(a,b)，使得：f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)其中，f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数，也就是函数在该点上的切线斜率。
该式子描述了函数在该区间内的平均变化率与函数在该区间内某个点上的导数之间的关系，即平均变化率等于导数。
这就是拉格朗日中值定理的基本概念。
二、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在数学中有着广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的例子。
1、证明函数单调性在证明一个函数的单调性时，我们可以利用拉格朗日中值定理来帮助我们进行推导。
具体来说，如果我们要证明一个函数在某个区间内单调递增，那么我们可以利用拉格朗日中值定理来得到该函数在该区间内的导数的正负性。
如果导数恒大于零，则该函数单调递增；如果导数恒小于零，则该函数单调递减。
例如，对于函数f(x)=x^2，在区间[0,1]上，我们可以利用拉格朗日中值定理来证明该函数在该区间内单调递增。
具体来说，我们有： f(1)-f(0)=f'(c)(1-0)即1-0=2c因此，c=0.5，即在区间[0,1]内存在一个点0.5，使得f'(0.5)=2*0.5=1>0。
拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索
㊀㊀㊀㊀㊀拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索Һ陆华勇㊀（盐城生物工程高等职业技术学校，江苏㊀盐城㊀２２４０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ从微积分来看，拉格朗日中值定理是一块非常重要的内容，它在导数和函数之间架起了桥梁，并且该定理已被应用于各个领域．本文采取举例的方式对该定理如何被应用于高等数学进行了展示．ʌ关键词ɔ拉格朗日中值定理；应用；证明引㊀言从微分学来看，微分中值定理是基本定理之一，学生要想把微分学这块内容学好，最重要的是对该定理的成立条件及其证明过程形成深刻的认识．在高等数学这门课中，微分学是其中的重要知识之一，该门课研究的是以实数集为定义域的函数具有哪些性质，在对函数性质进行探究的过程中，微分中值定理就是其中的一个不可或缺的重要工具．作为有效工具之一的微分中值定理，探讨的是如何根据导数具有的性质推断函数具有哪些性质，将导数知识用到了函数性质的探究中，在两者之间起到了桥梁作用．微分学中最为基础的是拉格朗日中值定理，对其进行推广得到了柯西中值定理，而取其特殊情况又得到了罗尔定理，所以说拉格朗日中值定理充当着核心角色．对函数具有的包括最值㊁单调性以及极值等性质进行的探究，以及对曲线表现出的凹凸性进行的探讨都是以拉格朗日中值定理为基础的．本文围绕着拉格朗日中值定理展开，对证明这一定理时构造辅助函数的若干种方法进行了介绍，并采取举例的方式对该定理怎样在例题中得到应用展开了分析．一㊁拉格朗日中值定理的概念基本内容：存在一个函数ｆ（ｘ），在闭区间［ａ，ｂ］上为连续函数，在开区间（ａ，ｂ）上为可导函数，那么在该开区间内至少有一点ξ，满足ａ＜ξ＜ｂ，使等式ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ成立．解释如下：（１）该定理也可以叫作有限增量定理，在导数和函数之间搭建起了桥梁，通过导数具有的性质就可以对函数具有的性质展开探究．（２）该定理是基础，进行推广得到了柯西中值定理，特殊化处理则得到了罗尔定理，拉格朗日公式相当于０阶泰勒公式．（３）该定理既能够在不等式以及等式的证明中得到应用，也能够用于对函数具有的连续性㊁单调性以及凹凸性等多项性质展开探究．（４）在对很多定理进行证明时，是否存在ξ是其中的一种理论工具．该定理指出存在至少１个的中值ξ，但是有些时候可能没有办法求解得到．例如，假设将ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ看作一个方程，那么存不存在ξ就等同于方程存不存在根这个问题．该定理的本质是对ξ是（ａ，ｂ）中的一个无法确定位置的点形成深入认识，但是考虑到ξ是有范围的，也就是ａ＜ξ＜ｂ，此时可通过导数ｆᶄ（ｘ）推断得到ｆᶄ（ξ）的取值区间，而后得到分式的取值区间，这样不等式就得证了．（５）使用该定理解题时，其中的难点之一在于辅助函数的构造或者是选取．针对于此，可将等式ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ视为分式，并以之为着手点构造函数ｆ（ｘ），同时将取值区间（ａ，ｂ）确定下来，最后求解得到导数ｆᶄ（ｘ）．为得出ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，作出部分变形处理是很有必要的，如ｌｎｘｘ－１＝ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ－１），ｘ－１＜ξ＜ｘ，当然构造辅助函数Ｌ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）也是可取的．也可构造函数Ｌ（ｘ）＝ｅｇ（ξ）ｆ（ｘ），进行求导操作得到ｅｇ（ξ）［ｆᶄ（ξ）＋ｆ（ξ）ｇᶄ（ξ）］等各种变形，最终达到解题目的．二㊁拉格朗日中值定理的证明从拉格朗日中值定理来看，在对其进行证明时，应用的技巧是以构造辅助函数为主的，而辅助函数是有非常多种构造方法的，最为常见的有行列式法㊁Ｋ值法等，在这些方法中，最易掌握的是倒推法，应用得也相当广泛，下文对倒推法用于辅助函数的构造的具体步骤进行了展示．根据拉格朗日中值定理得到的结论不难发现：∃ξɪ（ａ，ｂ），ｓ．ｔ．ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ．考虑到区间（ａ，ｂ）内该函数为可导函数，因而导数在ξ点的取值就是Ｆᶄ（ξ），可以表示成ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ｘ）｜ｘ＝ξ，但是函数ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ的导数是常数ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，所以待证结论能够改写为：ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）[]ᶄ｜ｘ＝ξ＝０，此时便可构造下述辅助函数：Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）．考虑到ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａｘ－ｆ（ｘ）[]ᶄ｜ｘ＝ξ＝０，所以有Ｆ（ξ）＝０．考虑到区间［ａ，ｂ］上Ｆ（ｘ）为连续函数，（ａ，ｂ）上则是可导函数，而且有Ｆ（ａ）＝ａｆ（ｂ）－ｂｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆ（ｂ），故而根据罗尔定理可知，肯定会有一个ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ξ）＝０，也就是Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ－ｆᶄ（ξ）＝０，等同于ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ．三㊁拉格朗日中值定理的应用１．证明恒等式．考虑到该定理得到的结论实质上为一个等式，所以该定理可在部分等式的证明中得到应用．（１）证明单介值等式命题．从这种命题来看，其题型往往是：肯定会有不少于１个㊀㊀㊀㊀㊀㊀的点ξɪ（ａ，ｂ），Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）以令Ｇ（ξ，ｆ（ξ），ｆ（ｎ）（ξ））＝０成立．在对这种命题进行证明的时候，其中的关键在于辅助函数的选取，辅助函数选取得精确，可将问题化繁为简．通常而言，倒推法用于辅助函数的构造是较为可取的，具体步骤如下：第一步，用ｘ来代替待证等式内的ξ；第二步，进行恒等变换，将等式化简成导数符号易于消除的形式；第三步，仔细观察，得到ｆ（ｘ）．例１㊀假定存在一个函数ｆ（ｘ），在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，试证：（ａ，ｂ）内会存在不少于１个的点ξ，使ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ））＋ａｆ（ａ）成立．思路：针对ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）＋ａｆ（ａ）），用ｘ来代替其中的ξ，这时会有ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ））＋ａｆ（ａ）．对其变形，得到ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ），观察发现，辅助函数选取为Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）．证明：构造函数Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ），那么该函数在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，由拉格朗日中值定理不难发现，势必会有不少于１个的点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆᶄ（ξ）成立，所以ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ），也就是ｂｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ））＋ａｆ（ａ）．（２）证明双介值等式命题．从这种命题来看，其题型往往是：中值共有２个，用ξ，ηξʂη()来表示，且它们存在某种关系．这种命题的证明和单介值命题类似，辅助函数也是要构造的，区别在于这种命题通常需要构造两个函数，题干中已知的仅仅是其中之一，有一个是未知的，这时就需要与结论得到的关于η的关系式相结合进行变换，具体步骤如下：第一步，对待证等式进行变形，得到两个表达式，一个是与ξ相关的，另一个是与η相关的；第二步，仔细观察，得到Ｆ（ｘ）．例２㊀假定存在一个函数ｆ（ｘ），在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，而且有ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝１，试证：（ａ，ｂ）内会存在不少于１个的点ξ和η，使ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１成立．思路：针对待证等式ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１，把ξ和η分开，也就是ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝ｅξ，等同于［ｅｘｆ（ｘ）］ｘ＝η＝（ｅｘ）ｘ＝ξ，此时可构造下述两个辅助函数，一个是Ｆ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ），另一个是Ｇ（ｘ）＝ｅｘ．证明：假定Ｆ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ），那么Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）内为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（ａ，ｂ）内会有不少于１个的点η，使Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）ｂ－ａ＝Ｆᶄ（η）成立，也就是ｅｂｆ（ｂ）－ｅａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］，故而有ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］．（１）假定Ｇ（ｘ）＝ｅｘ，那么Ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为连续函数，在（ａ，ｂ）上为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（ａ，ｂ）内会有不少于１个的点ξ，使Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）ｂ－ａ＝Ｇᶄ（ξ）成立，也就是ｅｂ－ｅａｂ－ａ＝ｅξ．（２）综合（１）和（２）可知ｅη［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝ｅξ，等同为：ｅη－ξ［ｆ（η）＋ｆᶄ（η）］＝１．２．证明不等式．在对不等式进行证明的过程中，拉格朗日中值定理的应用是按照下述步骤展开的：第一步，对辅助函数ｆ（ｘ）进行构造；第二步，选取合理的应用区间（ａ，ｂ）；第三步，确定中值ξ的取值空间．其中的重点在于第一㊁二这两个步骤．从实际应用来看，辅助函数ｆ（ｘ）通常是以待证不等式为依据来确定的，并据此选取合理的应用区间（ａ，ｂ）．下文采取举例的方式对如何构造辅助函数进行了阐述．（１）证明函数不等式命题．在对这种命题进行证明时，如果用到的是拉格朗日中值定理，那么待证命题牵涉的往往只是同一函数在不同点的取值的差异，也就是待证不等式的某端通过变形之后形如ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．解题思路如下：这种命题往往需要结合待证不等式对辅助函数ｆ（ｘ）进行构造，对该函数可以应用拉格朗日中值定理进行验证，即为ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ），而后按需放大或者是缩小，最后把其内的带有ξ的项去掉，此时待证不等式就可得证．例３㊀试证：在ｘ＞０的情况下ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ成立．思路：对ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ进行逆推，ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）ｘ＜１，ｌｎ（１＋ｘ）ｘ可变形成ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，因为ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ，所以１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１（ξ的取值应当合理）．ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－０ｘ－０＜１⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ１ｘ－０＜１⇒１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０．根据ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ这种形式，猜想出ｆ（ｂ）＝ｌｎｎ（１＋ｘ），ｆ（ａ）＝ｌｎ（１＋０），而且有ｂ－ａ＝ｘ－０，也就是ｂ＝ｘ，ａ＝０，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）．构造的辅助函数是ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ），应用区间确定为（０，ｘ）．显而易见的是，从区间（０，ｘ）来看，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）可以应用拉格朗日中值定理，也就是（０，ｘ）内肯定会有１个以上的点ξ，可让ｆᶄ（ξ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０成立．ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ⇒ｆᶄ（ξ）＝１１＋ξ（０＜ξ＜ｘ），１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１也就是１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０＜１．可以看到，辅助函数以及选定的应用区间均合理，下文对证明过程进行了详细的阐述．证明：假定ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ），那么从区间（０，ｘ）来看，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）可以应用拉格朗日中值定理，所以（０，ｘ）内肯定会有１个以上的点ξ，可让ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｘ－０成立，即ｆᶄ（ξ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０．理由是ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ，因而ｆᶄ（ξ）＝１１＋ξ，０＜ξ＜ｘ，所以有１１＋ｘ＜ｆᶄ（ξ）＜１，即１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）ｘ－０＜１，１１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）ｘ＜㊀㊀㊀㊀㊀１，因而在ｘ＞０的情况下，ｘ１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ成立．从上述例题不难发现，若不等式成立的条件是ｘ＞ａ，那么应用区间选取（ａ，ｘ）会较为合理．（２）证明中值不等式命题．这里所说的中值不等式命题指的是不等式关系内存在的中值命题．拉格朗日中值定理用于这种命题的证明时同样要用倒推法，据此得出辅助函数，方法还是以结论为主要着眼点，相较于等式的证明而言，区别在于：一端进行变号处理，转移至另一端，而后观察，得出解题需要用到的辅助函数．例４㊀存在一个函数ｆ（ｘ），在区间［０，１］上为连续函数，在区间（０，１）内为可导函数，而且有ｆ（ｕ）＝ｕ，试证：假定［０，１］上ｆ（ｘ）有非零值，那么在（０，１）内一定存在点ξ，可使ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ成立．思路：此处需证ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ．由于ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＝ｆ２（ｘ）２[]ᶄｘ＝ξ，故而需要构造下述辅助函数：Ｆ（ｘ）＝ｆ２（ｘ）２．证明：假定Ｆ（ｘ）＝ｆ２（ｘ）２，那么Ｆ（ｘ）在区间［０，１］上为连续函数，在区间（０，１）内为可导函数，ｆ（ｕ）＝ｕ，因而存在ａɪ（ｕ，１），可以使得Ｆ（ａ）＝ｆ２（ａ）２成立，这时有Ｆ（ｘ）在区间［０，ａ］上为连续函数，在区间（０，ａ）内为可导函数，即能够应用拉格朗日中值定理，故而存在ξɪ（０，１），会有Ｆᶄ（ξ）＝Ｆ（１）－Ｆ（０）＝Ｆ（１）＞ｕ，等同于：Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ξ）ｆᶄ（ξ）＞ｕ．３．证明根的存在性．例５㊀区间［０，１］上ｆ（ｘ）为可导函数，而且有０＜ｆ（ｘ）＜１，又由于ｘɪ［０，１］时ｆᶄ（ｘ）ʂ－１，试证：区间（０，１）上方程ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０有且仅有一个实根．证明：先通过构造法对存在根进行证明，而后通过拉格朗日中值定理对有且仅有一个根进行证明．（１）根的存在性．假定ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ－１，此时有ｇ（０）＝ｆ（０）－１，ｇ（１）＝ｆ（１）．考虑到ｘɪ［０，１］时有０＜ｆ（ｘ）＜１，由于ｇ（０）＝ｆ（０）－１＜０，ｇ（１）＝ｆ（１）＞０，故而有ｇ（０）㊃ｇ（１）＜０，由根的存在性定理不难发现，区间（０，１）内ｇ（ｘ）必定会有实根．（２）根的唯一性．为证区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０有且仅有一个根，通常会提出区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０共有２个实根的假设，而后得到和已知不符的结论，这样唯一性就可得证．下文对拉格朗日中值定理用于唯一性证明的详细过程进行了说明：先假定区间（０，１）内ｆ（ｘ）＋ｘ－１＝０共有２个实根，用α和β来表示，并且假定α＜β，这样就能够得到ｆ（α）＝１－α，ｆ（β）＝１－β，将拉格朗日中值定理用到［α，β］区间上的ｆ（ｘ）中，可知ｆ（α）－ｆ（β）＝ｆᶄ（ω）（α－β），整理可得ｆ（α）－ｆ（β）α－β＝ｆᶄ（ω），也就是：（１－α）－（１－β）α－β＝－１，与已知条件ｆᶄ（ω）ʂ－１不符．所以唯一性得证．４．求解函数最值．在对函数最值问题进行求解时，只有符合一定形式才能够应用拉格朗日中值定理，例如，能够化简为ｔȡｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２或者ｔɤｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２这种形式，只有这样才能够用拉格朗日中值定理来求解．例６㊀存在一个函数ｆ（ｘ），假定ｋ为一个实数，ｘ１和ｘ２是其定义域中任取的两个点，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜ɤｋ｜ｘ１－ｘ２｜成立，那么函数ｆ（ｘ）（ｘɪＤ）就可以称之为符合利普希茨条件，如果函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘȡ１）符合利普希茨条件，求ｋ的最小值．解：由题意可知，ｋȡｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２，由拉格朗日中值定理有ｆᶄ（ω）＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）ｘ１－ｘ２，所以有ｋȡｆᶄ（ω），这样就能够求出ｆᶄ（ω）的最大值．因为ｆ（ｘ）＝ｘ，所以ｆᶄ（ｘ）＝１２ｘɤ１２，故而ｆᶄ（ｘ）的最大值是１２，即ｋ的最小值是１２．５．求解函数极限．在对函数极限问题进行求解时，拉格朗日中值定理同样可以得到应用．如果待求函数的极限是同种函数的差值，自变量之间的差值只是一个常数，那么拉格朗日中值定理就能够对其进行简化，而后再进行求解．例７㊀试求极限ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]．思路：可以看到，该题是一种０㊃ɕ型未定式．从区间［ｘ，ｘ＋１］来看，ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ可以应用拉格朗日中值定理，有：ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋ξ２，且ξɪｘ，ｘ＋１()．可以看到，ｘң＋ɕ时ξң＋ɕ，而且有ｌｉｍξң＋ɕ１１＋ξ２＝０．考虑到ｌｉｍξң＋ɕｘ２＝ɕ，这时极限ｌｉｍｘң＋ɕｘ２１＋ξ２存在与否取决于ξ的一些细节，意味着对中值点进行的粗糙估计无法得出原极限，通过其他工具的应用进行支持还是很有必要的．第一种解法（对中值点进行精细估计），考虑到ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋（ｘ＋θ）２，且有θɪ（ｕ，１）．这时ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋（ｘ＋θ）２＝１．第二种解法（采取夹逼准则），考虑到ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ＝１１＋（ｘ＋θ）２，且有ξɪ（ｘ，ｘ＋１），所以有ｌｉｍξң＋ɕｘ２ａｒｃｔａｎ（ｘ＋１）－ａｒｃｔａｎｘ[]＝ｌｉｍξң＋ɕｘ２１＋ξ２，可以看到ｘ＜ξ＜ｘ＋１，所以ｘ２１＋（１＋ｘ）２ɤｘ２１＋ξ２ɤｘ２１＋ｘ２，（下转２４页）㊀㊀㊀㊀㊀㊀（５）教师在教学过程中培养学生的数学思想方法．数学思想方法是人们在长期从事数学实践活动过程中智慧的结晶，是学生认知结构不断形成与发展的纽带，是沟通知识能力的桥梁，是促进人们智力及能力发展的重要因素．教师在数学教学过程中渗透数学思想方法，能够使学生对数学知识点以及解决问题有强烈的逻辑思维能力，让学生真正地理解数学内涵，产生对数学研究的欲望，增强学生的数学应用意识，使学生能够持续思考，并提出问题㊁分析问题㊁解决问题．四㊁结束语教学设计是教师教学的指南针，是完成教学目标的依据．教学设计反映了教师对该知识点的理解程度和教学水平，因此教师要高度重视教学设计．本文是在理论情境中和教师探讨设计而成，没有经过实际课堂的操作，在以后的实际教学过程中希望得以实践，再进行深入研究，以期对教师的教学有所帮助．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１７．［２］张乃达，过伯祥．张乃达数学教育：从思维到文化［Ｍ］．济南：山东教育出版社．２００７．［３］过大维，钱军先．高中数学教学中学生的问题意识及其培养［Ｊ］．中学数学月刊，２０１９（０１）：５－８．［４］王红燕，孟丹，胡丹．浅析教学设计在教学中的作用及其能够解决的问题［Ｊ］．新校园（阅读），２０１６（０９）：７１－７２．［５］庞志雷．在翻转课堂中体验数学之美： 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运用拉格朗日中值定理
运用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的表述如下：对于在闭区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)，则在(a,b)内存在一个点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)。
在直观上理解，拉格朗日中值定理可以形象地表示为：在函数f(x)的图像上，通过任意两点连线的斜率必然与曲线上其中一点处的导数值相等。
此定理的证明是通过应用罗尔定理（Rolle’s Theorem）来完成的。
首先，我们可以观察到如果函数f(x)在[a, b]上恒定，即f(a) = f(b)，那么对于所有的c值，f'(c) * (b - a)也会为零。
因此，拉格朗日中值定理在此情况下也成立。
接下来，我们考虑函数f(x)在[a,b]上不恒定的情况。
我们定义一个新函数g(x)，如下：g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)通过计算易得g(a)=g(b)=0。
根据罗尔定理，我们知道在(a,b)内，至少存在一个点c，使得g'(c)=0。
因此，我们可以得到：g'(c)=f'(c)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]=0移项整理后，我们得到：f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在一个点c位于开区间(a,b)内，使得f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)，这就是拉格朗日中值定理的证明过程。
通过拉格朗日中值定理，我们可以推导出一些重要的推论。
例如，通过令a=x，b=x+h，其中h为非零常数，我们可以得到：f(x+h)-f(x)=f'(c)*h这个推论表明，在任意小的自变量变化范围内，函数f(x)的变化量与导数f'(c)成正比。
这一点对于衡量函数的局部变化率及其斜率的变化趋势非常有用。
另外一个有趣的应用是通过拉格朗日中值定理来证明柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式。
柯西-施瓦茨不等式是线性代数中经常用到的一个重要不等式，它描述了两个向量的内积的上界。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析和物理学等领域具有广泛的应用。
拉格朗日中值定理的证明基于罗尔定理，也是微积分中的一个重要定理。
拉格朗日中值定理可以分为一元函数和多元函数两种形式。
先来看一元函数的形式。
一元函数的拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在这个开区间内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。
证明思路如下：我们定义一个辅助函数F(x)，公式为：F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a) * (x-a)。
该函数满足以下条件：F(a) = f(a)，F(b) = f(b)。
接下来，我们看一下多元函数的拉格朗日中值定理的证明。
多元函数的拉格朗日中值定理：设函数f(x1, x2, ..., xn)在闭包区域D上连续，在D的内部可导，那么对于D内部的任意两个点P(x1, x2, ..., xn)和Q(y1, y2, ..., yn)，存在系数α属于(0, 1)，使得f(y1, y2, ..., yn) - f(x1, x2, ..., xn) =(dy1-dx1)∂f/∂x1(P+α(Q-P)) + (dy2-dx2)∂f/∂x2(P+α(Q-P)) + ... +(dyn-dxn)∂f/∂xn(P+α(Q-P))，其中∂f/∂xi表示对xi的偏导数。
证明多元函数的拉格朗日中值定理可以类似地用到辅助函数的方式。
具体证明过程比较复杂，涉及到多元函数的导数和偏导数的概念。
有兴趣的读者可以参考相关的微积分教材或数学分析的资料。
拉格朗日中值定理的应用非常广泛。
它可以用来证明其他定理，如柯西中值定理、洛必达法则等。
在物理学中，拉格朗日中值定理可以用于分析物体运动的速度、加速度等问题。
在经济学中，拉格朗日中值定理可以用于分析边际效应、边际利润等问题。
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要工具，可以帮助我们深入理解函数的性质和解决实际问题。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。
这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。
拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。
具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。
拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。
拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。
在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。
1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。
在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。
拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。
这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。
拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。
通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。
拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用
拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，它是微积分中的一个基本工具，在解决问题时经常会用到。
拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的，用来研究函数在某个区间上的平均变化率与函数的导数之间的关系。
在理解和应用拉格朗日中值定理时，首先需要了解函数的导数和连续性的概念。
函数的导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线的切线斜率。
函数在某一点的导数可以用极限的概念来定义，即函数在该点的导数等于函数在该点附近的一个小区间上的平均变化率的极限。
连续性是函数的一个重要性质，一个函数在某一点连续，意味着这个函数在该点的极限等于该点的函数值。
拉格朗日中值定理的表述是：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在(a, b)内的每一个点都有一个导数，则这个函数在(a, b)内至少存在一个点c，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换言之，拉格朗日中值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间上连续且在开区间内可导，那么在这个开区间内至少存在一个点，该点的导数等于函数在闭区间上的平均变化率。
拉格朗日中值定理在微积分解题中具有广泛的应用。
它可以用来证明一些函数的性质，以及求解一些特殊问题。
1. 证明函数的性质：拉格朗日中值定理可以用来证明函数的单调性。
如果在闭区间上连续的函数f(x)在开区间内可导，且在该区间内导数恒大于零或者恒小于零，那么可以根据拉格朗日中值定理，证明函数在该区间内是严格单调递增或者递减的。
2. 求解特殊问题：拉格朗日中值定理可以用来求解函数的近似值或者极限。
对于一个连续且可导的函数f(x)，可以根据拉格朗日中值定理，找到一个点c，使得函数在该点附近的变化率等于在整个区间上的平均变化率，进而可以用这个点的函数值近似表示整个区间上的函数值。
浅谈拉格朗日中值定理的推广和应用
浅谈拉格朗日中值定理的推广和应用邓敏(湖南长沙干杉湖南交通职业技术学院湖南·长沙410132)中图分类号：G712文献标识码：A文章编号：1672-7894（2013）18-0055-02摘要拉格朗日中值定理是微分学中的重要的基本定理之一，也是三大微分中值定理中的核心定理，本文应用拉格朗日中值定理及推论证明等式、举例说明Lagrange 中值定理在求解极限中的应用、就拉格朗日中值定理的一个推广进行了浅要说明，其中在拉格朗日中值定理推广上证明了拉格朗日中值定理在开区间有连续右导数的情况也能使用，这一推广大大拓宽了拉格朗日中值定理的使用范围。
关键词拉格朗日中值定理推广应用A Brief Discussion on the Popularization and Application of Lagrange Mean Value Theorem //Deng MinAbstract Lagrange mean value theorem is one of the basic theo-rems in differential calculus,and also the core theorem of the three mean value theorems.This paper briefly interprets the pop-ularization and application of Lagrange mean value theorem,and introduces the application expansion of this theorem.Key words Lagrange mean value theorem;popularization;appli-cation1Lagrange 中值定理定理1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f （x ）满足如下条件：(i)f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续；(ii)f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点整=f （b ）-f （a ）b-a(1.1)当f （a ）=f （b ）时，这个定理的结论其实就是罗尔定理的结论，这也表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
拉格朗日中值定理在高中数学中的应用
应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理在高中数学中的应用一、定理与推论拉格朗日中值定理设函数ｆ(ｘ)满足如下条件:(１) ｆ(ｘ)在闭区间［ａ,ｂ］上连续;(２) ｆ(ｘ)在开区间(ａ,ｂ)内可导,则在(ａ,ｂ)内至少存在一点ξ,使得 = ｆ(ξ),其中b ＞ a.推论１若在(ａ,ｂ)内, ｆ(ｘ) ≡ 0,则在(ａ,ｂ)内f(ｘ)为一常数、推论２若在(ａ,ｂ)内, ｆ′(ｘ) = ｇ′(ｘ),则在(ａ,ｂ)内ｆ(ｘ) = ｇ(ｘ) + c(ｃ为常数).二、应用举例以下从应用的角度说明在解题中如何运用拉格朗日中值定理及其推论.１、运用拉格朗日中值定理证明不等式例１试证当x∈［1,+∞)时,ln1 +x ≥ ln2 .分析与说明这类题原本在高等数学中就是常见题型,求解这类题的通常思路就是先将一边移到另一边,构造一个函数,然后对它求导. 近些年来,这类题倍受高考命题者青睐.证明令ｆ(ｘ) = ln1 +x - ln2,对函数ｆ(ｘ)求导,得ｆ′(ｘ) = xln1 +′ =［ｌｎ(１＋ｘ) －ｌｎｘ］－、令函数ｇ(ｔ) = ｌｎ(ｔ),则ｇ(ｔ)在［ｘ,ｘ + 1］上满足拉格朗日中值定理,于就是对ln(1 + x) - ln x应用拉格朗日中值定理得到ln(1 + x)-ln x = ξ∈(ｘ,ｘ + 1),所以有f′(x) = - ＞ 0 (x ＞ 0 ),因此,由上面的结论推出ｆ(ｘ)在ｘ∈［1,+∞)上单调递增,所以ｆ(ｘ)≥ｆ(１),即 ln1 +x -ln2 ≥ ｆ(１) = 0 ?圯ln1 +x ≥ln2、２. 运用拉格朗日中值定理证明恒等式例２若x ≥ 1,求证:arctan x +arccos=、分析在三角函数部分解题中见到过这种题型,应用公式tan(α ± β) =,解得tan(α ± β) = 1, α ± β的值可能为. 但此种解法较繁琐,在这里用推论１证明.证明设ｆ(ｘ)=arctan x +arccos - ,则ｆ′(ｘ)≡0,即f(ｘ) = c (ｃ为常数)、又因为ｆ(１)=arctan1-arccos1 - = 0,所以c = 0,故ｆ(ｘ) = 0,即arctan x +arccos=.３、运用拉格朗日中值定理求极限例３求 (cos -cos )、分析观察函数特征容易想到:若令ｆ(ｔ)=cos ,则ｆ(ｔ)在［ｘ,ｘ + 1］(x ≥ ０)上显然满足拉格朗日中值定理的条件.解令ｆ(ｔ)=cos ,显然ｆ(ｔ)在［ｘ,ｘ + 1］(x ≥０)上满足拉格朗日中值定理,得cos -cos =(-sin ξ) ,其中x ＜ξ ＜ x + 1,所以 (cos -cos ) ＝(－ｓｉｎξ)＝０、4.运用拉格朗日中值定理证明方程根的存在唯一性例４设ｆ(ｘ)在[0,1]上可导,且0 ＜ｆ(ｘ) ＜ 1,又对于(０,１)内的所有点x有ｆ′(ｘ)≠-1,证明方程ｆ(ｘ) + x - 1 = 0在(０,１)内有唯一实根.分析证明方程根的存在性就有可能用到介值定理、在用介值定理证明问题时,选取合适的辅助函数可收到事半功倍的效果、而在证明唯一性的时候较常用的方法就就是反证法,所以本题证明思路就就是先证存在性,再证唯一性.证明先证存在性.令?准(ｘ) = ｆ(ｘ) + x - 1,则?准(ｘ)在［０,１］上可导.因为0 ＜ｆ(ｘ) ＜ 1.所以?准(0) = f(0) - 1 ＜ 0,?准(1) = f(１)＞0、由介值定理知?准(x)在 (0,1)内至少有一个零点, 即方程ｆ(ｘ) + x - 1 = 0在(０,１)内至少有一个实根.再证唯一性(反证法). 设方程ｆ(ｘ) + x - 1 = 0在 (0,1)内有两个实根x1,x2,不妨设0 ＜ x1 ＜ x2 ＜ 1有f(ｘ１)=1 - x1,ｆ(ｘ２) = 1 - x2,对ｆ(ｘ)在［ｘ１,ｘ2］上应用拉格朗日中值定理,有ξ∈(x1,x2),使f′(ξ) ＝ = = -1 、这与题设f′(x)≠-1矛盾,唯一性得证.拉格朗日中值定理在高中数学中应用非常广泛,远不止以上这些,如利用导数来研究函数的某些性质、描绘函数的图像、解决极值、最值等问题非常简捷,在此就不一一列举了、【参考文献】［１］华东师范大学数学系.数学分析(第三版下册)［Ｍ］.北京:高等教育出版社,２００１、［２］贾俊芳.拉格朗日中值定理的应用.雁北师范学院学报［Ｊ］.２００４.(５):２５－２８、［３］李艳敏,叶伯英.关于微分中值定理的两点思考,高等数学研究［Ｍ］.北京:高等教育出版社,２００１、。
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拉格朗日中值定理在导数中的应用
拉格朗日中值定理
如函数)(x f 满足如下条件：
①)(x f 在区间[a,b]上连续；
②)(x f 在开区间(a,b)上可导
则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得a
b a f b f f --=)()()('ξ 题型设计 题型一、证明a x x f >)(或a x
x f <)(成立，0>x 例题：设函数x x e e x f --=)(
（1）证明：2)('≥x f ；
（2）证明：若对所有0≥x ，都有ax x f ≥)(，则a 的取值范围是]2,(-∞。
题型二、)()2
(2)()(a b b a g b g a g -<+-+λ，)(a b > 例题：已知函数x x x f -+=)1ln()(，x x x g ln )(=。
（1）求函数)(x f 的最大值；
（2）设a b a 40<<<，证明：2ln )()2
(
2)()(a b b a g b g a g -<+-+
题型三、证明|)(||)()(|2121x x x f x f ->-λ 例题：已知函数x a x
x x f ln 2)(2
++=，对任意两个正数21,x x ，证明： （1）当0≤a 时，)2(2)()(2121x x f x f x f +>+； （2）当4≤a 时，|||)(')('|2121x x x f x f ->-
例题：设函数x
x x f cos 2sin )(+=。
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）如果对任何0≥x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围。
题型四、证明0)(>x f ，)(a x >成立，其中0)(=a f
例题：设0≥a ，)0(ln 2ln 1)(2
>+--=x x a x x x f 。
（1）令)(')(x xf x F =，讨论)(x F 在),0(+∞内的单调性并求其极值；
（2）求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x 。
题型五、证明λ>--2
121)()(x x x f x f 例题：已知函数1,ln )1(2
1)(2>-+-=a x a ax x x f 。
（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）证明：若5<a ，则对任意),0(,21+∞∈x x ，21x x ≠，有1)()(2121->--x x x f x f。