2022版新高考数学一轮总复习课后集训：4+不等关系与不等式+Word版含解析

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新高考数学一轮复习课时规范练4 不等关系及简单不等式的解法新人教A版高三全册数学试题

课时规范练4 不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.条件甲:a>b>0,条件乙:1a <1a,则甲是乙成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合A={x|x2-4x<5},则()A.-1.2∈AB.30.9∉AC.log230∈AD.A∩N={1,2,3,4}3.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系为()A.a<b≤cB.b≤c<aC.b<c<aD.b<a<c4.(2019山东济宁一模,1)设集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|y=ln(x-1)},则A∩B=()A.[1,3]B.(1,3]C.[2,3]D.[-1,+∞)5.若函数f(x)=√1-aa-aa2的定义域为R,则实数m的取值范围为()A.[-4,0]B.[-4,0)C.(-4,0)D.(-∞,4]∪{0}6.不等式a -2a 2-1<0的解集为( )A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x ≠1}C.{x|-1<x<2,且x ≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx 2+2mx-4<2x 2+4x 对任意x 都成立,则实数m 的取值范围是( )A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,2]8.(2019上海虹口区高三一模,2)不等式aa -1>2的解集为 .9.已知关于x 的不等式ax 2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a 2+b 2-2b 的取值范围是 .综合提升组10.(2019山东菏泽一模,5){a +a >5,aa >6是{a >2,a >3的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.若关于x 的不等式f (x )=ax 2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f (-x )的图象为( )12.(2019广东揭阳一模,10)如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,记正方形为区域Ⅰ,图中阴影部分为区域Ⅱ,在△ABC上任取一点,此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为p1,p2,则()A.p1=p2B.p1<p2C.p1≤p2D.p1≥p213.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.14.设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M⊆[1,4],求实数a的取值范围.创新应用组15.设函数f(x)={(a+1)2(a≤-1),2a+2(-1<a<1),1a-1(a≥1),已知f(a)>1,则a的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(-12,+∞)B.(-12,1 2 )C.(-∞,-2)∪(-12,1)D.(-2,-12)∪(1,+∞)16.若ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>3},则对于函数f(x)=cx2+bx+a应有()A.f(5)<f(0)<f(-1)B.f(5)<f(-1)<f(0)C.f(-1)<f(0)<f(5)D.f(0)<f(-1)<f(5)17.(2019北京怀柔模拟,8)某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A元,购买3支康乃馨所需费用为B元,则A,B的大小关系是()A.A>BB.A<BC.A=BD.A,B的大小关系不确定参考答案课时规范练4 不等关系及简单不等式的解法1.A 条件乙:1a<1a,即为1a−1a<0⇔a -aaa<0,若条件甲:a>b>0成立,则条件乙一定成立;反之,当条件乙成立不一定有条件甲:a>b>0成立,所以甲是乙成立的充分不必要条件,故选A .2.C 由x 2-4x<5,得-1<x<5,所以A={x|-1<x<5},0<log 230<log 232=5,所以log 230∈A.3.A 由c-b=4-4a+a 2=(2-a )2≥0,得b ≤c ,再由b+c=6-4a+3a 2,c-b=4-4a+a 2,得b=1+a 2,因为1+a 2-a=(a -12)2+34>0,所以b=1+a 2>a.所以a1},∴A ∩B={x|1<x ≤3}=(1,3].故选B .5.A 由题意知对任意的x ∈R ,有1-mx-mx 2≥0恒成立,所以m=0或{-a >0,a 2+4a ≤0,故-4≤m ≤0,故选A .6.D 因为不等式a -2a 2-1<0等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A 原不等式等价于(m-2)x 2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x 不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,解得-2<m<2,综上,得m ∈(-2,2].8.(1,2) 由aa -1>2,得aa -1-2>0,即-(a -2)a -1>0,等价于(x-2)(x-1)<0,所以1<x<2.9.[-45,+∞) ∵不等式ax 2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b 2-4a 2≤0.∴b 2≤4a 2.∴a 2+b 2-2b ≥a 24+b 2-2b=54(a -45)2−45≥-45.∴a 2+b 2-2b 的取值范围是-45,+∞.10.B 由{a >2,a >3,可得{a +a >5,aa >6,当x=1,y=7,满足{a +a >5,aa >6,不满足{a >2,a >3,故为必要不充分条件,故选B .11.B (方法一)由根与系数的关系知1a =-2+1,-aa =-2,解得a=-1,c=-2.所以f (x )=-x 2-x+2.所以f (-x )=-x 2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x 轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f (x )的大致图象,如图.又因为y=f (x )的图象与y=f (-x )的图象关于y 轴对称,所以y=f (-x )的图象如图.12.C设△ABC两直角边的长分别为a,b,其内接正方形的边长为x,由aa =a-aa得x=aaa+a,则p1=2aa(a+a)2,p2=1-p1=1-2aa(a+a)2=a2+a2(a+a)2≥2aa(a+a)2(当且仅当a=b时取等号).13.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-a-42=4-a2.当4-a2<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在;当-1≤4-a2≤1,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f(4-a2)=(4-a2)2+(a-4)×4-a2+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当4-a2>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.14.解M⊆[1,4]有两种情况:其一是M=⌀,此时Δ<0;其二是M≠⌀,此时Δ=0或Δ>0,分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2-2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a+1)(a-2).(1)当Δ<0时,-1<a<2,M=⌀⊆[1,4].(2)当Δ=0时,a=-1或2.当a=-1时,M={-1}⊈[1,4];当a=2时,m={2}⊆[1,4].(3)当Δ>0时,a<-1或a>2.设方程f (x )=0的两根x 1,x 2,且x 1<x 2,那么M=[x 1,x 2],M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔{a (1)≥0,且a (4)≥0,1≤a ≤4,且a >0,即{-a +3≥0,18-7a ≥0,a >0,a <-1或a >2,解得2<a ≤187,∴M ⊆[1,4]时,a 的取值范围是(-1,187].15.C 由f (x )及f (a )>1可得{a ≤-1,(a +1)2>1①或{-1<a <1,2a +2>1②或{a ≥1,1a-1>1,③ 解①得a<-2,解②得-12<a<1,解③得x ∈⌀,∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(-12,1).16.D 由题意可知,-1,3是ax 2+bx+c=0的两个实数根,且a<0,∴-1+3=-aa ,-1×3=aa ,∴aa=-2,a a=-3.∴f (x )=cx 2+bx+a=a (-3x 2-2x+1)=-3a (a +13)2+43a.∵a<0,抛物线开口向上,且对称轴为x=-13,∴离对称轴越近,函数值越小.又|5-(-13)|=163,|0-(-13)|=13,|-1-(-13)|=23.∴f (0)<f (-1)<f (5).17.A 由题意得{2a +a >8,4a +5a <22,2x=A ,3y=B ,整理得x=a 2,y=a 3,{a +a3>8,2a +5a3<22,将A+a 3>8乘以-2与2A+53B<22相加,解得B<6,将B<6代入A>8-a3中,解得A>6,故A>B ,故选A .。

2022版新高考数学一轮复习教师用书：第1章第4节不等关系与不等式

不等关系与不等式[考试要求] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a－b＞0⇔a＞b(a，b∈R)，a－b＝0⇔a＝b(a，b∈R)，a－b＜0⇔a＜b(a，b∈R)；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b(a∈R，b＞0)，ab＝1⇔a＝b(a∈R，b＞0)，ab＜1⇔a＜b(a∈R，b＞0).2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒n a>n b(n≥2，n∈N)．(单向性)提醒：同向不等式可相加，不能相减．[常用结论]1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒；(2)a＜0＜b⇒；(3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒.2．分数性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)真分数性质：(b－m＞0)；(2)假分数性质：(b－m＞0)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac2＞bc2.()(2)若ac2＞bc2，则a＞b.()(3)若ab＞1，则a＞b.()(4)若a＋c＞b＋c，则a＞b.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材习题衍生1．设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bc B．1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则()A．ad＞bc B．ad＜bcC．ac＞bd D．ac＜bdD[c＜d＜0⇒－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故选D.] 3．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是()A．a－c＜b－d B．ac＜bdC．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋cC[由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故选C.]4．设a＝7＋10，b＝3＋14，则a与b的大小关系为()A．a＝b B．a＞bC．a＜b D．无法判断B[a2＝17＋270，b2＝17＋242，由270＞242，知a2＞b2，又a＞0，b＞0，所以a＞b，故选B.]考点一比较两个数(式)的大小比较两个数或代数式的大小的三种方法(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．[典例1](1)若0＜x＜1，p，q∈N*，则M＝1＋x p＋q与N＝x p＋x q的大小关系为()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不确定(2)若a＝ln 22，b＝ln 33，则a________b．(填“＞”或“＜”)(1)A(2)＜[(1)(1＋x p＋q)－(x p＋x q)＝(1－x p)＋x q(x p－1)＝(1－x p)(1－x q)，∵0＜x＜1，p，q∈N*，∴1－x p＞0,1－x q＞0，∴(1－x p)(1－x q)＞0，∴1＋x p＋q＞x p＋x q，即M＞N，故选A.(2)法一：(作商法)易知a＞0，b＞0，ba＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log89＞1，所以b＞a.法二：(作差法)b－a＝ln 33－ln 22＝16(2ln 3－3ln 2)＝16(ln 9－ln 8)＞0.所以b＞a.][跟进训练]1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N，故选A.]2．(多选)(2020·山东潍坊期中)若x≥y，则下列不等式中正确的是()A．2x≥2y B．x＋y2≥xyC．x2≥y2D．x2＋y2≥2xyAD[对于A，由函数y＝2x为增函数，可知A正确；对于B，当x＝－1，y＝－3时，x＋y2＝－2，xy＝3，故B不正确；对于C，当x＝－1，y＝－3时，x2＝1，y2＝9，故C不正确；对于D，因为x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0，所以x2＋y2≥2xy 成立，D正确．综上，选AD.]考点二不等式性质的应用1.判断不等式是否成立的方法(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．2．利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．判断不等式是否成立[典例2－1] (1)(多选)(2020·山东德州高三期中)对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＜bcB ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －bD ．若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0 (2)(2019·全国卷Ⅱ)若a ＞b ，则( ) A ．ln(a －b )＞0 B ．3a ＜3b C ．a 3－b 3＞0D ．|a |＞|b |(1)BCD (2)C [(1)若c ＞0，则由a ＞b 得ac ＞bc ，A 错；若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ，ab ＞b 2，a 2＞ab ＞b 2，B 正确；若c ＞a ＞b ＞0，则c －b ＞c －a ＞0，∴1c －a＞1c －b ＞0，∴a c －a ＞b c －b ，C 正确；若a ＞b ，且a ，b 同号，则有1a ＜1b ，因此由a ＞b ，1a ＞1b 得a ＞0，b ＜0，D 正确．故选BCD.(2)由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0＜a －b ＜1时，ln(a －b )<0，故A 错误；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 错误；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3＞0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 错误．故选C.]点评：本例第(1)题也适合用特殊值法求解．求代数式的取值范围[典例2－2] (1)已知－1＜x ＜4,2＜y ＜3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．(2)已知－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． (1)(－4,2) (1,18) (2)(3,8) [(1)∵－1＜x ＜4,2＜y ＜3， ∴－3＜－y ＜－2， ∴－4＜x －y ＜2；由－1＜x ＜4,2＜y ＜3得－3＜3x ＜12,4＜2y ＜6， ∴1＜3x ＋2y ＜18.(2)设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )，则 2x －3y ＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ， ∴⎩⎨⎧λ＋μ＝2λ－μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．由－1＜x ＋y ＜4得－2＜－12(x ＋y )＜12，由2＜x －y ＜3得5＜52(x －y )＜152. ∴3＜2x －3y ＜8.]点评：x ＋y ，x －y,2x －3y 看作三个整体，整体中x ，y 相互制约． [跟进训练]1．(多选)(2020·山东泰安期末)已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是( )A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＞0C ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －cD ．若a ＞b ，c ＞d ＞0，则a d ＞bcBC [若a ＞0＞b,0＞c ＞d ，则ac ＜0＜bd ，故A 错；若ab ＞0，bc －ad ＞0，则bc －ad ab ＞0，化简得c a －db ＞0，故B 对；若c ＞d ，则－d ＞－c ，又a ＞b ，所以a －d ＞b －c ，故C 对；取a ＝－1，b ＝－2，c ＝2，d ＝1，则a d ＝－1，b c ＝－1，a d ＝bc ，故D 错．故选BC.]2．已知－1＜x ＜y ＜3，则x －y 的取值范围是________． (－4,0) [由－1＜x ＜y ＜3得，－1＜x ＜3，－3＜－y ＜1.∴－4＜x －y ＜4，又x ＜y . ∴x －y ＜0. ∴－4＜x －y ＜0.]3．已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．(－π，2π) [设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)，则 3α－β＝(m ＋n )α＋(n －m )β. ∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝3n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2n ＝1， ∴3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)．由－π2＜α－β＜π2得－π＜2(α－β)＜π， ∴－π＜3α－β＜2π.]莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第六章不等式第1讲不等关系与不等式 Word版含答案

学问点考纲下载不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性规划问题，并能加以解决．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0) 1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．第1讲不等关系与不等式,)1．实数大小挨次与运算性质之间的关系a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ．2．不等式的基本性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．1．辨明两个易误点(1)在应用传递性时，留意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；(2)在乘法法则中，要特殊留意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．不等式中的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b；(2)a <0b >0，0<c <d ⇒a c >b d； (4)0<a <x 0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0. (2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.1.教材习题改编若a 1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2A 由a 1a不成立． 2.教材习题改编设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小为( )A ．A ≥B B ．A >BC ．A ≤BD ．A <BB A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1>0，所以A >B .故选B. 3.教材习题改编若a >b ，则下列不等式肯定成立的是( ) A ．ac 2>bc 2B ．c 2a <c 2bC ．ac 2≥bc 2D ．c 2a ≤c 2bC 当c ＝0时，A 、B 错误；当a >0，b <0时，D 错误，故选C. 4.教材习题改编下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D 对于①，由于a >b ，c <d ，所以－c >－d ，所以a －c >b －d .对于③，a >b >0，则3a >3b >0.5.教材习题改编若不等式－x 2＋2x ＋m >0的解集是∅，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－1 B ．m ≥－1 C ．m ≤1D ．m ≥1A －x 2＋2x ＋m >0，即为x 2－2x －m <0.由题意得Δ＝(－2)2－4×1×(－m )≤0，即4＋4m ≤0，所以m ≤－1.故选A.不等式的性质(1)已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a d ，所以c －d >0.又a >b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )>b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd >bc ＋ad ，则a (c －d )>b (c －d )，也可能a b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．(2)由于1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，由于b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.【答案】 (1)A (2)C(1)推断不等式命题真假的方法①推断不等式是否成立，需要逐一给出推理推断或反例说明．常用的推理推断需要利用不等式性质． ②在推断一个关于不等式的命题真假时，先把推断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质推断命题真假．(2)充要条件的推断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解．1．已知a 0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．2．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋b c<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 由于a >0>b ，c <d <0，所以ad <0，bc >0，所以ad <bc ，故①错误．由于a >0>b >－a ，所以a >－b >0，由于c <d <0，所以－c >－d >0，所以a (－c )>(－b )(－d )，所以ac ＋bd <0，所以a d ＋b c ＝ac ＋bd cd<0，故②正确．由于c <d ，所以－c >－d ，由于a >b ，所以a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确．由于a >b ，d －c >0，所以a (d －c )>b (d －c )，故④正确，故选C.比较两个数(式)的大小(1)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“>”或“<”)．【解析】 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又由于a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，所以a 1－1<0，a 2－1<0. 所以(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.所以M >N . (2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89>1，所以b >a .【答案】 (1)B (2)<比较两个数(式)大小的两种方法1．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a<a 1＋1a ；④a1＋a>a 1＋1a.其中成立的是( ) A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③D ．②与④D 当0<a <1时，(1＋a )－⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ＝（a ＋1）（a －1）a<0，则1＋a <1＋1a，因此②④成立，故选D.2．设a >b >0，m >0.试比较b a 与b ＋ma ＋m的大小．由于b a －b ＋m a ＋m ＝（b －a ）ma （a ＋m ），a >b >0，m >0.所以a (a ＋m )>0，(b －a )m <0.所以（b －a ）m a （a ＋m ）<0，即b a －b ＋m a ＋m <0，所以b a <b ＋m a ＋m.不等式的恒成立问题(高频考点)不等式的恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题或填空题，有时也消灭在解答题中，属中档题．高考对不等式的恒成立问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)由f (x )≥0(x ∈R )恒成立，求参数的取值范围； (2)由f (x )≥0(x ∈)恒成立，求参数的取值范围； (3)由f (x )≥0(m ∈)恒成立，求x 的取值范围．(1)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2]B ．(－2，2)C ．(－∞，－2)∪(2)设f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<－m ＋5，对于x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，所以－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2，2]．选A.(2)法一：要使f (x )<－m ＋5在x ∈上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈．当m >0时，g (x )在上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．法二：要使f (x )<－m ＋5在x ∈上恒成立，即m (x 2－x ＋1)－6<0在上恒成立．由于x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又由于m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.由于函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是{m |m <67}．【答案】 (1)A (2)(－∞，67)不等式恒成立问题的求解方法(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分别参数法求最值．(2)解决恒成立问题肯定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．角度一由f (x )≥0(x ∈R )恒成立，求参数的取值范围1．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．B ．(－∞，－2]∪∪A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.角度二由f (x )≥0(x ∈)恒成立，求参数的取值范围2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax对任意x ∈ 由于x ∈ (－3，＋∞)角度三由f (x )≥0(m ∈)恒成立，求x 的取值范围3．已知a ∈时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)C 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立不等式解得x <1或x >3.,)——特值法推断不等式若a >b >0，c <d <0，则肯定有( ) A ．a d >bc B ．ad b dD ．a c －d >0，所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a－d >b－c，所以a d 0c <d <0⇒c cd <dcd <0⇒⎭⎪⎬⎪⎫1d <1c <0⇒－1d >－1c >0 a >b >0 ⇒－a d >－b c ⇒a d <b c . 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd＝－1，排解选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <bc，所以选项A 错误，选项B 正确．故选B. 【答案】 B本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形推断，易出错，而法三接受特值法验证，简化了过程，提高了精确率．(2021·四川绵阳中学模拟)下列四个命题中正确命题的个数为( )①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④若a >b >0，则c a >c b. A ．3 B ．2 C ．1D ．0C 易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a >b >0，则1a <1b ，当c >0时，c a <cb，故④错误．所以正确的命题只有1个．,)1．设a ，b ∈ 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－mD 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n <0⇒m ＜－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立． 3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a c ＞bc⇒a ＞bC ．⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1bD ．⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1bC 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2，故A 项错误；当c ＜0时，a c ＞bc⇒a ＜b ，故B 项错误；由于1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0a ＞b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |D 由于1a <1b<0，不妨令a ＝－1，b ＝－2，可得a 2<b 2，故A 正确．ab ＝2，b 2＝4，故B 正确．a ＋b ＝－3<0，故C 正确．|a |＋|b |＝3，|a ＋b |＝3，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以D 不正确．故选D.5．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1)D ．(0，2)A 由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.6．若关于x 的不等式x 2＋mx －4≥0在区间上有解，则实数m 的最小值是( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4B 由题知，原不等式等价于m ≥4x －x 在区间上有解，令f (x )＝4x－x (x ∈)，则m ≥f (x )min .由于f (x )＝4x－x 在区间上单调递减，所以f (x )在x ＝4处取得最小值－3. 故m 的最小值为－3.7．(2021·扬州模拟)若a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 18．设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c2；②1a <1b；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，则肯定成立的有________．(填正确序号)对于①，1c2>0，故①成立；对于②，a >0，b <0时不成立；对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立；对于④，|c |≥0，故④成立． ①④9．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．由于－π2<α<π，－π2<β<π，所以－π<－β<π2，所以－3π2<α－β<3π2.又由于α<β，所以α－β<0，从而－3π2<α－β<0.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 10．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________．由于1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2. 依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6. 611．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e（b －d ）2.由于c <d <0，所以－c >－d >0，又由于a >b >0，所以a －c >b －d >0.所以(a －c )2>(b －d )2>0. 所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.又由于e <0，所以e （a －c ）2>e（b －d ）2.12．(2021·盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又由于－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 13．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，求a 的最小值．由于x 2＋ax ＋1≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．而f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，满足a ≥f (x )max ＝－52即可，所以a 的最小值为－52.14．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 由于f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。

【全套解析】高三数学一轮复习不等关系与不等式课件理新人教A版

[解法一] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且 x，y满足
x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54.
x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16，即x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
且z＝200x＋150y.
6x＋5y≤60，
5x＋3y≤40，
∴x≥0，
.
y≥0， x，y∈Z
可行域为如右图所示的阴影(含边界)
作直线l：200x＋150y＝0，即直线l：4x＋3y＝0
把直线l向右上方平移至l1的位置时，过交点B，且与原点的距离最大，此时z＝200x＋150y，解方程组
6x＋5y＝60， 5x＋3y＝40，
得到B(270，670)． Nhomakorabea由于点B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y必须都是
整数，所以，可行域内的点B(
20 7
，
60 7
)不是最优解，通过检验，
要求经过可行域内的整点，且使z＝200x＋150y取得最大值，经
过的整点是(0,12)和(3,8)．此时z取最大值1800元．
于是，隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获
[例1] 若S为不等式组 xy≤ ≥00 y－x≤2
表示的平面区域，则当a
从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过S中的那部分区域的面积为________．
[思路探究] 先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应的直线，然后由－2≤x＋y≤1得到要求的平面区域，最后求出面积．
[课堂记录] 如右图所示，直线x＋y＝a扫过S中的区域为四边形AOBC.
(2)∵kOA＝2，kOB＝12，∴12≤yx≤2，所以z的最大值为2，z的最小值为12.

2022版高考数学一轮复习第六章不等式第一讲不等关系与不等式学案含解析新人教版

恒成立的是( C )
A．1<1 ab
C．a>b2
B．1>1 ab
D．a2>2b
(3)(2021·四省八校质检)若 logab<logac，则下列不等式一定成立的是( C )
A．ab<ac
B．a>a bc
C．ab<ac
D．ba>ca
[解析] (1)对于 A，因为 a>b>0，c>d>0，所以 a＋c>b＋d 成立．
x<y<0，∴xy>0，x－y<0.∴－2xy(x－y)>0.∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)aabb＝aa－b·bb－a＝ abba
a b
a－b.当
a>b>0
时，a>1，a－b>0，∴ b
a b
a－b>1，∴aabb>abba；当
b>a>0
a 时，0<a<1，a－b<0，∴ b a－b>1，∴aabb>abba.
b (3)a>b>0，c>d>0⇒a>b.( √ )
dc
(4)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (5)ab>0，a>b⇔1<1.( √ )
ab
题组二走进教材
2．(必修 5P74T3 改编)若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0”是“a2－b2>0”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] a－ b>0⇒ a> b⇒a>b≥0⇒a2>b2，

2022届高考数学一轮复习第四节不等关系与不等式练习(解析版)

1 / 7第四节不等关系与不等式A 组基础达标1.已知a ,b ,c ∈R,那么下列命题中正确的是 ( ) A.若a >b ,则ac 2>bc 2 B.若a c >bc ,则a >bC.若a 3>b 3且ab <0,则1a >1b D.若a 2>b 2且ab >0,则1a <1b2.(多选题)对于实数a ,b ,c ,下列命题是真命题的为 ( ) A.若a >b ,则ac <bc B.若ac 2>bc 2,则a >b C.若a ab >b 2 D.若a >0>b ,则|a |<|b |3.若a ,b ∈R,且a >b ,则下列不等式恒成立的是 ( )A.a 2>b 2B.ab >1 C.2a >2b D.lg(a -b )>04.已知x ,y ∈R,且x >y >0,则下列不等式恒成立的是 ( )A.1x -1y >0 B.sin x -sin y >0 C.(12)x -(12)y<0 D.ln x +ln y >05.(多选题)设b >a >0,c ∈R,则下列不等式中正确的是 ( )A.a 121b -c C.a+2b+2>abD.ac 2<bc 26.(2020河北期末)已知a >c ,b >d ,则下列结论正确的是 ( )A.(a +b )2>(c +d )2B.ab+cd-ad-bc>0C.ab>cdD.a-b>c-d7.(2020河南开封期末)若2x+log2x=4y+2log4y,则()A.x>2yB.x<2yC.x>y2D.x<y28.(2020广东揭阳期末)下列比较大小正确的是()A.(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)B.(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)C.(ac+bd)2≥(a2+b2)(c2+d2)D.(ac+bd)2>(a2+b2)(c2+d2)9.(2020河南模拟)已知正实数p,q,r满足(1+p)(1+q)=(1+r)2,a=√pq,b=p+q2,c=√p2+q22,则下列不等式正确的是()A.r≤aB.a≤r≤bC.b≤r≤cD.r≥cB组能力拔高10.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是()A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|11.已知△ABC的边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则ca的取值范围是() A.(1,+∞) B.(0,2)C.(1,3)D.(0,3)12.已知a>b>0,c<d<0,h<0,求证:ℎ(a-c)2>ℎ(b-d)2.2 / 73 / 713.已知0<a <12,A =1-a 2,B =1+a 2,C =11−a ,D =11+a ,试比较A ,B ,C ,D 的大小.C 组思维拓展14.若a =1816,b =1618,则a 与b 的大小关系为 .15.设f (x )=ax 2+bx ,且1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .(答案用区间表示)答案解析A 组基础达标1.已知a ,b ,c ∈R,那么下列命题中正确的是 ( ) A.若a >b ,则ac 2>bc 2 B.若a c >bc ,则a >bC.若a 3>b 3且ab <0,则1a >1b D.若a 2>b 2且ab >0,则1a <1b 答案 C2.(多选题)对于实数a ,b ,c ,下列命题是真命题的为 ( ) A.若a >b ,则ac <bc B.若ac 2>bc 2,则a >b C.若a ab >b 2 D.若a >0>b ,则|a |<|b | 答案 BC3.若a ,b ∈R,且a >b ,则下列不等式恒成立的是 ( )A.a 2>b 2B.a b >14 / 7C.2a >2bD.lg(a -b )>0 答案 C4.已知x ,y ∈R,且x >y >0,则下列不等式恒成立的是 ( )A.1x -1y >0 B.sin x -sin y >0 C.(12)x -(12)y<0 D.ln x +ln y >0 答案 C5.(多选题)设b >a >0,c ∈R,则下列不等式中正确的是 ( )A.a 121b -c C.a+2b+2>ab D.ac 2<bc 2答案 ABC6.(2020河北期末)已知a >c ,b >d ,则下列结论正确的是 ( )A.(a +b )2>(c +d )2B.ab +cd -ad -bc >0C.ab >cdD.a -b >c -d答案 B 根据a >c ,b >d ,取a =b =0,c =d =-1,则可排除A,C,D.故选B. 7.(2020河南开封期末)若2x +log 2x =4y +2log 4y ,则 ( ) A.x >2y B.x <2y C.x >y 2 D.x <y 2答案 B 根据题意2x +log 2x =4y +2log 4y 变形得2x +log 2x =22y +log 2y , 而22y +log 2y <22y +log 2y +1=22y +log 2(2y ), 则有2x +log 2x <22y +log 2(2y ),令f (x )=2x +log 2x ,由指数函数和对数函数的单调性得f (x )在(0,+∞)内单调递增, ∴2x +log 2x <22y +log 2(2y ),即f (x )<f (2y ), ∴x <2y.故选B.8.(2020广东揭阳期末)下列比较大小正确的是()A.(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)B.(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)C.(ac+bd)2≥(a2+b2)(c2+d2)D.(ac+bd)2>(a2+b2)(c2+d2)答案A∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2.故选A.9.(2020河南模拟)已知正实数p,q,r满足(1+p)(1+q)=(1+r)2,a=√pq,b=p+q2,c=√p2+q22,则下列不等式正确的是()A.r≤aB.a≤r≤bC.b≤r≤cD.r≥c答案B∵(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq≥1+2√pq+pq=(1+√pq)2, ∴1+r≥1+√pq⇒r≥√pq⇒a≤r,又(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq≤1+(p+q)+(p+q2)2=(1+p+q2)2,∴1+r≤1+p+q2⇒r≤p+q2⇒r≤b,故选B.B组能力拔高10.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是()A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|答案C因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0.所以由{x>0,y>z得xy>xz.故选C.11.已知△ABC的边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则ca的取值范围是() A.(1,+∞) B.(0,2)5 / 76 / 7C.(1,3)D.(0,3)答案 B 由已知及三角形的三边关系得{a c,a +c >b,∴{1<ba +ca ≤3,1+b a >c a ,1+c a >b a , ∴{1<ba +c a ≤3,-1<c a -ba <1,将两式相加得0<2·ca <4,∴ca 的取值范围是(0,2).故选B .12.已知a >b >0,c <d <0,h <0,求证:ℎ(a -c)2>ℎ(b -d)2. 证明 ∵c <d <0, ∴-c >-d >0.又∵a >b >0,∴a -c >b -d >0. ∴(a -c )2>(b -d )2>0. ∴0<1(a -c)2<1(b -d)2. 又∵h <0,∴ℎ(a -c)2>ℎ(b -d)2.13.已知0<a <12,A =1-a 2,B =1+a 2,C =11-a ,D =11+a ,试比较A ,B ,C ,D 的大小. 解析因为0<a <12, 所以0<a 2<14,12<1-a <1, 1<1+a <32. 显然A 1,所以A >D ,7 / 7同理BC =(1-a )(1+a 2)=1-a (1-a +a 2)<1,所以B <C , 综上,D <A 0,b >0, ∴a b =181616=(1816)16× 116 =(98)16×(√2)16=(8√2)16,∵8√2∈(0,1),∴(8√2)16<1,∴a <b.15.设f (x )=ax 2+bx ,且1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .(答案用区间表示) 答案 [5,10]解析 f (-1)=a -b , f (1)=a +b , f (-2)=4a -2b. 设f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m 、n 为待定系数), 则4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a -(m -n )b , ∴{m +n =4,m -n =2,解得{m =3,n =1,∴f (-2)=3f (-1)+f (1).∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10, 即5≤f (-2)≤10.故f (-2)的取值范围是[5,10].。

高考数学第一轮复习：《不等关系与不等式》

高考数学第一轮复习：《不等关系与不等式》最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用.【教材导读】1．若a>b，c>d，则a－c>b－d是否成立？提示：不成立，同向不等式不能相减，如3>2,4>1，但3－4<2－1. 2．若a>b>0，则ac>bc是否成立？提示：不成立．当c＝0时，ac＝bc，当c<0时，ac<bc.3．若a>b，则a n>b n，na>nb是否成立？提示：不一定．当a>b>0，n∈N，n≥2时才成立．1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系设a，b∈R，则(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c ⇔可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎪⎬⎪⎫a>bc<0⇒ac<bc同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b . ②a <0b >0，m >0，则 ①真分数的性质b a b －ma －m (b －m >0)． ②假分数的性质a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．1．设a ＋b ＜0，且b ＞0，则( ) (A)b 2＞a 2＞ab (B)b 2＜a 2＜－ab (C)a 2＜－ab ＜b 2 (D)a 2＞－ab ＞b 2答案：D2．若b ＜a ＜0，则下列结论不正确．．．的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab ＜b 2 (C)b a ＋ab ＞2 (D)|a |－|b |＝|a －b | 答案：D3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系是() (A)a>b>c(B)a>c>b(C)b>a>c(D)b>c>aB解析：b＝7－3＝47＋3，c＝6－2＝46＋2.因为7＋3>6＋2，所以47＋3<46＋2，所以b<c.因为2(6＋2)＝23＋2>4，所以46＋2< 2.即c<a.综上可得b<c<a.故选B.4．若P＝a＋2＋a＋5，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系为() (A)P>Q(B)P＝Q(C)P<Q(D)由a的取值确定C解析：因为a≥0，P>0，Q>0，所以Q2－P2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12－(2a＋7＋2a2＋7a＋10)＝2(a2＋7a＋12－a2＋7a＋10)>0.所以P<Q.5．已知a>b，ab≠0，则下列不等式中：①1a<1b；②a3>b3；③a2＋b2>2ab，恒成立的不等式的个数是________．解析：①取a＝2，b＝－1，则1a<1b不成立；②函数y＝x3在R上单调递增，a>b，所以a3>b3成立；③因为a>b，ab≠0，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a2＋b2>2ab成立．综上可得：恒成立的不等式有两个．答案：2考点一用不等式(组)表示不等关系(1)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为________．(2)已知4枝郁金香和5枝丁香的价格最多22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格不小于24元，则满足上述所有不等关系的不等式组为________．答案：(1)(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20 (2)⎩⎨⎧4x ＋5y ≤226x ＋3y ≥24，x ≥0y ≥0【反思归纳】用不等式(组)表示不等关系 (1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y 再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．【即时训练】已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如表：甲乙维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________．解析：x ，y 所满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥62 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0.答案：⎩⎨⎧x ＋y ≤1006x ＋7y ≥5602x ＋y ≥155x ≥0，y ≥0考点二不等式的性质若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) (A)a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) (B)b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b (C)a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a (D)log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a【命题意图】本题考查不等式的应用，同时考查对数的运算．B 解析：根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a .【反思归纳】判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变．【即时训练】 (1)已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab 2＜a 2b(C)1ab2＜1ba2(D)ba＜ab(2)若a，b∈R则1a3＞1b3成立的一个充分不必要条件是()(A)ab＞0 (B)b＞a(C)a＜b＜0 (D)a＞b＞0答案：(1)C(2)C考点三比较大小(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；(2)比较a a b b与a b b a(a，b为不相等的正数)的大小．解析：(1)(x6＋1)－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)＝(x2－1)2(x2＋1)．当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.(2)a a b ba b b a＝a a－b b b－a＝⎝⎛⎭⎪⎫aba－b，当a＞b＞0时，ab ＞1，a－b＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1；当0＜a＜b时，ab ＜1，a－b＜0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1.综上所述，总有a a b b＞a b b a.【反思归纳】比较大小常用的方法(1)作差法一般步骤是①作差；②变形；③判号；④定论．其中变形是关键，常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式．当两个式子都含有开方运算时，可以先乘方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．作商比较大小时，要注意分母的符号避免得出错误结论．(3)特值法对于选择题可以用特值法比较大小．【即时训练】(1)(2017崇明县一模)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()(A)p<q(B)p≤q(C)p>q(D)p≥q(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．解析：(1)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(a＋b)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q<0，此时p<q，综上p≤q.故选B.(2)ab＝18161618＝1816161162＝98161216＝98216，因为982∈(0,1)，所以98216<1，因为1816>0,1618>0，所以1816<1618.即a<b.答案：(1)B(2)a<b不等式变形中扩大变量范围致误设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．解析：法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎨⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎨⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A 32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f (－2)≤10. 答案：[5,10]易错提醒：(1)解决此类问题的一般解法是，先建立待求整体与已知范围的整体关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)此类求范围问题如果多次利用不等式的可加性，有可能扩大变量的取值范围而致误．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件A 解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.2．如果a >b ，则下列各式正确的是( ) (A)a ·lg x >b ·lg x (x >0) (B)ax 2>bx 2 (C)a 2>b 2(D)a ·2x >b ·2xD 解析：两边相乘的数lg x 不一定恒为正，选项A 错误；不等式两边都乘以x 2，它可能为0，选项B 错误；若a ＝－1，b ＝－2，不等式a 2>b 2不成立，选项C 错误．选项D 正确．3．已知1a ＜1b ＜0，给出下面四个不等式：①|a |＞|b |；②a ＜b ；③a ＋b ＜ab ；④a 3＞b 3.其中不正确的不等式的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3C 解析：由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，①不正确；a ＞b ，②不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a 3＞b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C.4．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) (A)M ＜N (B)M ＞N (C)M ＝N (D)不确定答案：B5．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) (A)1a ＞1b (B)1a －b ＞1a (C)|a |＞－b (D)－a ＞－b答案：B6．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞lnb 2.其中正确的不等式是( ) (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④答案：C7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )(A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③答案：D8．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p ＞q ＞0.则提价多的方案是________．解析：设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥((1＋p %)(1＋q %))2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p ＞q ＞0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．答案：乙9．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n (n ∈N ＋，n ＞2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n＜12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1＞12n ＝φ(n )，∴f (n )＜φ(n )＜g (n )．答案：f (n )＜φ(n )＜g (n )10．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为____________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132.答案：－92，132能力提升练(时间：15分钟)11．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，a ＋c ＜b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )(A)d ＞b ＞a ＞c(B)b ＞c ＞d ＞a (C)d ＞b ＞c ＞a (D)c ＞a ＞d ＞bA 解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，∴2a ＞2c ，即a ＞c .因此b ＜d .∵a ＋c ＜b ，∴a ＜b ，综上可得，c ＜a ＜b ＜d .12．若不等式(－1)n a ＜2＋(－1)n ＋1n 对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是( )(A)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (B)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 A 解析：当n 取奇数时，－a ＜2＋1n ，因为n ≥1，故2＜2＋1n ≤3，所以－a ≤2，所以a ≥－2；当n 取偶数时，a ＜2－1n ，因为n ≥2，所以32≤2－1n ＜2，所以a ＜32，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选A.13．若a ，b ，c ，d 均为正实数，且a ＞b ，那么四个数b a ，a b ，b ＋c a ＋c ，a ＋d b ＋d由小到大的顺序是________．解析：∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a ＋d b ＋d ＞1，b a ＜1，b ＋c a ＋c ＜1，则a b －a ＋d b ＋d ＝d (a －b )b (b ＋d )＞0，即a b ＞a ＋c b ＋c ，b a －b ＋c a ＋c ＝c (b －a )a (a ＋d )＜0，即b a ＜b ＋c a ＋c ，所以由小到大的顺序是b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b答案：b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000v v 2＋18v ＋20l. ①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时．解析：①当l ＝6.05时，F ＝76000v v 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v ＋18≤760002v ·121v＋18＝7600022＋18＝1900. 当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．②当l ＝5时，F ＝76000v v 2＋18v ＋100＝76000v ＋100v ＋18≤760002v ·100v ＋18＝7600020＋18＝2000. 当且仅当v ＝10米/秒时，车流量最大为2000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时．15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设原来的窗户面积与地板面积分别为a 、b ，且a b ≥10%，窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有的窗户面积与地板面积分别为a ＋c ，b ＋c .于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，面积均增加c 以后，窗户面积与地板面积之比为a ＋c b ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋c b ＋c的大小，采用作差比较法． a ＋c b ＋c －a b ＝c (b －a )(b ＋c )b. 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，又由题设条件可知a ＜b ，故有a b ＜a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c ＞a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

2022版高考数学一轮复习练案(38理+37文)第六章不等式第一讲不等关系与不等式练习(含

第六章不等式第一讲不等关系与不等式A 组基础巩固一、选择题1．(2021·河北承德第一中学月考）下列命题正确的是（ C ) A ．若a 〉b ，则错误!<错误! B ．若a 〉b ，则a 2〉b 2C ．若a 〉b ，c 〈d ，则a －c 〉b －dD ．若a >b ,c 〉d ，则ac >bd[解析］本题考查不等式的性质．对于A ，若a 〉b ，则错误!〈错误!，取a ＝1，b ＝－1不成立；对于B,若a 〉b ，则a 2〉b 2，取a ＝0,b ＝－1不成立;对于C,若a 〉b ，c 〈d ,则a －c >b －d ,正确；对于D ，若a 〉b ，c 〉d ,则ac 〉bd ,即a ＝1,b ＝－1,c ＝1,d ＝－2不成立．故选C ．2．已知a ，b ，c 均为实数，且a 〉b ，则下列不等式一定成立的是( C ） A ．a 2〉b 2 B ．1a <错误!C ．ln 2a 〈ln 2bD ．ac 2〉bc 2［解析］ ∵a ，b ，c ∈R ，且a >b ,不妨，令a ＝1，b ＝－1，则12＝（－1)2,可排除A ；错误!>错误!＝－1，可排除B ；1×02＝(－1）×02＝0，可排除D;对于C,当a 〉b 时,由指数函数y ＝2x 的单调递增的性质可知,2a 〉2b ，又因为对数函数y ＝ln x 在（0，＋∞）上单调递增,所以ln 2a >ln 2b 成立，故C 正确．3．（2021·重庆南开中学月考)已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立的是（ D ）A ．若a 〉b ，c >d ，则ab 〉cdB ．若错误!>错误!，则a <bC ．若c 〈b 〈a ,且ac <0，则ac 2〈bc 2D ．若｜a ｜d ，但不满足ab 〉cd ,故A 不成立；B 项,不妨令a ＝1，b ＝－1，显然满足错误!〉错误!，但不满足a 〈b ，故B 不成立；C 项，因为ac 〈0,所以c 2>0,又因为b〈a,所以bc2〈ac2,故C不成立；D项,若|a｜<b,则b－|a｜>0,即b〉±a,所以a＋b>0,故D一定成立．故选D．［关键点拨]本题要选择的是一定成立的，因而对于不成立的选项，不必证明,只要找到反例即可．4．（2021·安徽六安省示范高中质量检测）已知实数a，b，c满足a<b〈c,且ab〈0，那么下列各式中一定成立的是（B)A．错误!〉错误!B．a（c－b）〈0C．ac2>bc2D．ab（b－a)>0[解析]本题考查不等式的性质．因为a〈b〈c,且ab〈0，所以a〈0〈b〈c。

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课后限时集训(四) 不等关系与不等式
建议用时：25分钟
一、选择题
1．如果a ＞0＞b 且a 2＞b 2，那么以下不等式中正确的个数是( )
①a 2b ＜b 3；②1a ＞0＞1b ；③a 3＜ab 2.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
C [由a 2＞b 2，b ＜0知a 2b ＜b 3，①正确；
由a ＞0＞b 知1a ＞0＞1b ，②正确；
由a 2＞b 2，a ＞0知a 3＞ab 2，③错误．故选C.]
2．(2020·汉中模拟)若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( )
A ．|a |＞|b |
B ．1a －b ＞1a
C ．1a ＞1b
D ．a 2＞b 2
B [∵a ＜b ＜0，
∴a ＜a －b ＜0，
∴1a －b
＜1a ，因此B 不正确，故选B.] 3．(多选)(2020·山东菏泽线上模拟)已知a ＞1,0＜c ＜b ＜1，则下列不等式正确的是( )
A ．a b ＞a c
B ．c b ＞c ＋a b ＋a
C ．log b a ＜log c a
D ．b b ＋a ＞c c ＋a
ACD[由a＞1,0＜c＜b＜1，可得a b＞a c，故A正确；由a＞1,0＜c＜b＜1，
可得c
b －
c＋a
b＋a
＝
cb＋ca－bc－ba
b(b＋a)
＝
a(c－b)
b(b＋a)
＜0，则c
b
＜
c＋a
b＋a
，故B错误；由a＞1,0
＜c＜b＜1，得log a c＜log a b＜0，则1
log a b ＜1
log a c
＜0，所以log b a＜log c a，故C正
确；由a＞1,0＜c＜b＜1，得b
b＋a －c
c＋a
＝
bc＋ba－cb－ca
(b＋a)(c＋a)
＝
a(b－c)
(b＋a)(c＋a)
＞0，所
以b b＋a ＞c
c＋a
，故D正确．故选ACD.]
4．若a＞0，且a≠7，则()
A．77a a＜7a a7B．77a a＝7a a7
C．77a a＞7a a7D．77a a与7a a7的大小不确定
C[77a a
7a a7
＝77－a a a－7＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫a
7
a－7.
若a＞7，则a
7＞1，a－7＞0，∴
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫a
7
a－7＞1；
若0＜a＜7，则0＜a
7＜1，a－7＜0，∴
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫a
7
a－7＞1.
综上知77a a
7a a7
＞1.又7a a7＞0，∴77a a＞7a a7，故选C.]
5．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()
A．xy＞yz B．xy＞xz
C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z
B[因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定．对于A，因为x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不正确；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正确；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确．故选B.] 6．(2020·湖北荆州期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和
“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )
A ．若ab ≠0且a ＜b ，则1a ＞1b
B ．若0＜a ＜1，则a 3＜a
C ．若a ＞b ＞0，则b ＋1a ＋1＜b a
D ．若c ＜b ＜a 且ac ＜0，则cb 2＜ab 2
B [令a ＝－2，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；若0＜a ＜1，则a 2＜1，a (a 2－1)
＜0，即a 3＜a ，B 正确；若a ＞b ＞0，则ab ＋a －ab －b ＝a －b ＞0，所以b ＋1
a ＋1＞
b a ，
C 错误；若b ＝0，则cb 2＝ab 2，
D 错误．]
7．已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，则a b 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，3 B [由15＜b ＜36得136＜1b ＜115，又12＜a ＜60，
所以1236＜a b ＜6015，即13＜a b ＜4，故选B.]
8．若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是( )
A ．27
B ．12
C ．17
D ．81 A [由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x ＞0，y ＞0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4
y 2≤81，
可得2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.故选A.]
二、填空题
9．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：
①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有________．(填序号)
①④ [因为1a ＜1b ＜0，所以b ＜a ＜0，a ＋b ＜0，ab ＞0，
所以a ＋b ＜ab ，|a |＜|b |，在b ＜a 两边同时乘以b ，
因为b ＜0，所以ab ＜b 2.因此正确的是①④.]
10．若a ＜b ，d ＜c ，并且(c －a )(c －b )＜0，(d －a )(d －b )＞0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为________．
d ＜a ＜c ＜b [因为a ＜b ，(c －a )(c －b )＜0，所以a ＜c ＜b ，因为(d －a )(d －b )＞0，所以d ＜a ＜b 或a ＜b ＜d ，又d ＜c ，所以d ＜a ＜b .综上，d ＜a ＜c ＜b .]
11．若α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π2，π2 [由－π2＜α＜β＜π2得－π＜2α＜π，－π2＜－β＜－α＜π2，
∴－32π＜2α－β＜2α－α＝α＜π2，
即－32π＜2α－β＜π2.]
12．已知三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc ＞ad .若以其中的两个作为条件，
余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
3 [①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
由②得bc －ad ab ＞0，又由③得bc －ad ＞0.
所以ab ＞0，②③⇒①.所以可以组成3个正确命题．]
1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ；且x ＜y
＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )
A ．ax ＋by ＋cz
B ．az ＋by ＋cx
C ．ay ＋bz ＋cx
D ．ay ＋bx ＋cz
B [采用特殊值法验证：令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .故选B.]
2．(多选)(2020·济南外国语学校月考)已知a ，b 为正实数，则下列命题正确的是( )
A ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1
B ．若1b －1a ＝1，则a －b ＜1
C ．若e a －e b ＝1，则a －b ＜1
D ．若ln a －ln b ＝1，则a －b ＜1
AC [对于A ，当a 2－b 2＝1，即(a －b )·(a ＋b )＝1时，∵a ＞0，b ＞0，∴0＜a －b ＜a ＋b ，∴a －b ＝1a ＋b
＜1，故A 正确．对于B ，当1b －1a ＝1时，不妨取a ＝3，b ＝34，则a －b ＝94＞1，∴B 错误．对于C ，由e a －e b ＝1，可得e a －b ＋b －e b ＝e b (e a －b －1)＝1，∵b ＞0，∴e b ＞1，∴e a －b －1＜1，即e a －b ＜2，∴a －b ＜ln 2＜ln e ＝1，故C 正确．对于D ，不妨取a ＝e 2，b ＝e ，则a －b ＝e 2－e ＞1，∴D 错误．故选AC.]。