增广拉格朗日乘子法罚函数模型推导
乘子法
2012-2013（1）专业课程实践论文乘子法葛禹泽，0818180109，R数学08-1班李元东，0818180107，R数学08-1班王岳，0818180108，R数学08-1班一、算法理论乘子法是Powell 和Hestenes 于1969年针对等式约束优化问题同时独立提出的一种优化算法,后于1973年经Rockfellar 推广到求解不等式约束优化问题。
其基本思想是从原问题的拉格朗日函数出发,再加上适当的罚函数,从而将原问题转化为求解一系列的无约束优化子问题。
由于外罚函数法中的罚参数+∞→k σ ,因此增广目标函数变得“越来越病态”。
增广目标函数的这种病态性质是外罚函数法的主要缺点, 而这种缺陷在乘子法中由于引入拉格朗日函数及加上适当的罚函数而得以有效的克服。
我们考虑同时带有等式和不等式约束的优化问题的乘子法:()()(),,,1,0,,,1,0..,min m i x g l i x h t s x f i i =≥==其基本思想是把解等式约束优化问题的乘子法推广到不等式约束优化问题,即先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束,然后再利用最优性条件消去辅助变量。
为叙述的方便计,我们先考虑如下只带有不等式约束的最优化问题()(),,,1,0..,min m i x g t s x f i =≥引进辅助变量(),,,1m i y i =，可以将上面的优化问题化为等价的等式约束优化问题：()(),,,1,0..,min 2m i y x g t s x f i i ==-利用外发函数法求解，此时增广拉格朗日函数为()()()[]()[]212212,,,~∑∑==-+--=mi iiiimi i y x g y x g x f y x σλσλψ 为了消去辅助变量y ，可考虑ψ~关于变量y 的极小化，由一阶必要条件，令()0,,,~=∇σλψy x y 可得()[],,,1,0222m i y x g y y i i i i i ==--σλ即()()[],,,1,02m i x g y y i i i i ==--λσσ故当()0>-i i x g λσ时，有()[]()i i i i i x g x g y λσλσσ112-=-=否则，由()[]02≥-+x g y i i i σλσ可推得0y i =。
拉格朗日乘子法
拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。
举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。
我们可以画出f的等⾼线图，如下图。
此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。
显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。
因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。
于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。
想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。
⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。
如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。
假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。
当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。
不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。
梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。
罚函数之乘子法
罚函数之乘⼦法外罚函数主要⽤于对于等式约束问题的求解，内点法主要是对于不等式问题的求解，⼀般问题中包含等式约束以及不等式约束，故需要使⽤乘⼦法解决问题。
1、乘⼦法概述（1）等式约束乘⼦法描述：min f(x)s.t. g i(x) =0⼴义乘⼦法是拉格朗⽇乘⼦法与罚函数法的结合，构造增⼴函数：φ (x,λ,σ)=f(x)+λT g(x)+1/2σg T(x)g(x)在罚函数的基础上增加了乘⼦项，⾸先在σ⾜够⼤的基础上，获得ϕ的极⼩值，然后在调整λ获得原问题的最优解。
（2）包含等式约束以及不等式约束问题描述：min f(x)s.t. h i(x) =0,i=1,...,lg i(x)≥0,i=1,...m其基本思想是：先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束，然后利⽤最优性条件消去辅助变量，主要是通过构造增⼴拉格朗⽇函数，进⾏外迭代与内迭代综合，带⼊乘⼦迭代公式，进⽽得出得出，故针对上述⼀般问题构造拉格朗⽇函数为：4、其代码实现为function [x,mu,lambda,output]=multphr(fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,x0)%功能：⽤乘⼦法解⼀般约束问题：min f(x),s.t. h(x)=0.g(x)>=0%输⼊：x0是初始点，fun，dfun分别是⽬标函数及其梯度；%hf，dhf分别是等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%gf，dgf分别是不等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%输出：x是近似最优点，mu，lambda分别是相应于等式约束和不等式% 等式约束的乘⼦向量；output是结构变量，输出近似极⼩值f，迭代次数，内迭代次数等%%%%%%c初始化相关参数%%%%%%%%%%%maxk=500; %最⼤迭代次数sigma=2.0; %罚因⼦eta=2.0; theta=0.8; %PHR算法中的实参数k=0; ink=0; %k,ink分别是外迭代和内迭代次数epsilon=1e-5;%终⽌误差值x=x0;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%he=feval(hf,x)=hf(x)n=length(x);l=length(he);m=length(gi);%选取乘⼦向量的初始值mu=0.1*ones(1,1);lambda=0.1*ones(m,1);%ones为⽣成m*n的全1矩阵btak=10; btaold=10; %⽤来检验终⽌条件的两个值while (btak>epsilon & k<maxk)%%%%%%c先求解⽆约束问题%%%%%%%%%%%%调⽤BFGS算法程序求解⽆约束⼦问题[x,v,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);%%其中x为最优点，val为最优值，ik为迭代次数 ink=ink+ik;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%%%%%%%%%%计算btak%%%%%%%%%%%btak=0.0;for(i=1:l),btak=btak+he(i)^2; endfor(i=1:m)temp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);btak=btak+temp^2;endbtak=sqrt(btak);if btak>epsilon%%%%%%%%%%%更新罚参数%%%%%%%%%%%if(k>=2 & btak>theta*btaold)sigma=eta*sigma;end%%%%%%%%%%%更新乘⼦向量%%%%%%%%%%%%for(i=1:l),mu(i)=mu(i)-sigma*he(i);endfor(i=1:m)%lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i));lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-gi(i));endend%%%%%%%%%%%迭代%%%%%%%%%%%%k=k+1;btaold=btak;x0=x;endf=feval(fun,x);output.fval=f;output.iter=k;output.inner_iter=ink;output.bta=btak;BFGS算法部分：function [x,val,k]=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%功能：⽤BFGS算法求解⽆约束问题：minf（x）%输⼊：x0是初始点，fun，gfun分别是⽬标函数及其梯度%varargin是输⼊的可变参数变量，简单调⽤bfgs时可以忽略，其他程序调⽤则尤为重要%输出：x为最优点，val为最优值，k时迭代次数maxk=500;%给出最⼤迭代次数rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;k=0;n=length(x0);Bk=eye(n);%Bk=feval('Hess',x0)while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0,varargin{:});%计算梯度if(norm(gk)<epsilon),break;end%检验终⽌准则dk=-Bk\gk;%解⽅程组，计算搜索⽅向m=0;mk=0;while(m<20)%搜索求步长newf=feval(fun,x0+rho^m*dk,varargin{:});oldf=feval(fun,x0,varargin{:});if(newf<oldf+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break;endm=m+1;end%bfgs校正x=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0;yk=feval(gfun,x,varargin{:})-gk;if(yk'*sk>0)Bk=Bk-(Bk*sk*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk'*sk);endk=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0,varargin{:});主函数部分为：%⽬标函数⽂件function f=f1(x)f=(x(1)-2.0)^2+(x(2)-1.0)^2;%等式约束条件function he=h1(x)he=x(1)-2.0*x(2)+1.0;%不等式约束条件function gi=g1(x)gi=-0.25*x(1)^2-x(2)^2+1;%⽬标函数的梯度⽂件function g=df1(x)g=[2.0*(x(1)-2.0),2.0*(x(2)-1.0)]';%等式函数的Jacobi（转置）矩阵⽂件function dhe=dh1(x)dhe=[1.0,-2.0]';%不等式约束函数的Jacobi矩阵（转置矩阵）function dgi=dg1(x)dgi=[-0.5*x(1),-2.0*x(2)]';命令⾏指令为：x0=[3,3]'[x,mu,lambda,output]=multphr('f1','h1','g1','df1','dh1','dg1',x0)输出结果如下：。
配气凸轮优化设计的惩罚函数法和增广拉格朗日乘子法
１ 内燃 机 配 气 凸 轮 的优 化 设 计 模 型
内 燃 机 配 气 凸 轮 的 作 用 是 控 制 进 气 和排 气 过
收 稿 日期 ： ０ ２ １—０ ２ ０ —０ ８
燃 机 配 气 凸 轮 采 用 高 次 多 项 式 凸 轮 ； 了得 到 最 为
高 的进 、 气 效 率 ， 改 善 发 动 机 的 经 济 性 能 ， 排 以 采 用 最 优 化 设 计 ， 将 丰 满 系 数 作 为 目标 函 数 ． 并 设
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第 ２ ６卷 第 ３期 ２０ ０ ２年 ６ 月
武汉理工大学学报 鸯 袭 ） （至 差
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｆＷ ｈ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｏ ｏ ｙ
（ ａ ｓ ｏ ｔｔ ｎ Ｓ ｉ ｃ Ｔｒ ｎ ｐ ｒａ ｉ ｃｅ ｅ＆ Ｅ ｇｎ ｅ ｉｇ ｏ ｎ ｎ ｉｅ ｒ ） ｎ
石
英 ： ， ７岁 ， 士 生 ， 要 研 究 领 域 为 动 力 机 械 ＣＡＤ 与 计 算 机 仿 真 女 ２ 博 主
＊交 通 部 重 点 科 技 项 目 （ 准 号 ；５ Ｏ 一 ３３ ） 助 批 ９ 一 ４Ｏ —２ 资
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・３ ６ ・ ６
程 ． 设 计 性 能 良好 的 凸 轮机 构 ， 键 在 于 根 据 工 要 关 作 要 求 ， 择 好 从 动 件 的 运 动 规 律 ， 设 计 出 能 满 选 并 足 这 一 运 动 规 律 的 凸 轮 轮廓 曲 线 ． １ １ 凸轮 轮 廓 曲线 的 主 要 要 求 ． 对 内 燃 机 配 气 凸 轮 来 说 ， 轮 廓 曲 线 设 计 的 其 主 要 要 求 如 下 ［． １ ］ １ ）气 门升 程 曲 线 的 丰 满 系 数 越 大 越 好 ． 满 丰 系 数 越 大 ， 体 流 通 性 能 就 越 好 ， 气 和排 气 效 率 气 进
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法（拉格朗日乘子法）
首先关于φ(x,y)的偏导数：即多元函数对某一变元求导
例如φ(x,y)=
则其对x的偏导数为：=2x+y
其对y的偏导数为：=2y+x
做法：假设限制条件为φ(x,y)=M，目标函数f(x,y)。
则引入新变量使，
则用偏导数方法列出方程：
解出想x、y与，代入目标函数即可得到极值。
那该如何理解：
考虑两个变元的情况，
如上图，当f(x,y)取不同值时，得到一簇曲线，其类似于等高线。
当f(x,y)取不同值时，若f(x,y)和φ(x,y)=M有且只有一个交点时，取得最大值，在该点的法向量共线。
上面的方法就是求这个交点的方法。
原理我也不太清楚。
例题：设x,y为实数，若=1,则2x y的最大值是令f(x,y)= 2x y，φ(x,y)=
F(x,y,)= 2x y+()
求偏导数：=2+(8x+y)=0
=1+(2y+x)=0
两方程联立：可得2x=y，代入方程
解得：y=
则：2x y
令f(x,y)=, φ(x,y)=
F(x,y,)=+()
偏导数：=2x+(8x-5y)
=2y+(8y-5x)
显然易得=时方程成立
解得，==。
优化设计-8
第8章 约束优化问题的间接法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来进行求解的方法。
拉格朗日乘子法、罚函数法和增广乘子法虽约束优化问题的间接解法可利用无约束优化问题的求解方法进行求解，但由于增加了拉格朗日乘子和罚因子，因此求解过程与常规无约束优化问题有所不同。
8.1 罚函数法罚函数法针对约束函数构造适当的中间函数，并引入罚因子将约束条件引入到目标函数中构成无约束目标函数。
罚函数的一般形式∑∑==++=Lu u M v v x g r x h r x f r r x l 121121)]([)]([)(),,(min ψϕ (8.1)式中（8.1）)]([x h v ϕ和)]([x g u ψ分别为根据等式约束)(x h v 和不等式约束)(x g u 够造的中间函数，恒为非负。
r 1和r 2为罚因子或罚参数，r 1和r 2是大于0的实数，根据中间函数的特性，罚因子的值在迭代过程中不断发生变化。
当按一定的规则取值使罚函数),,(21r r x l 与目标函数)(x f 值趋于相等时，所得解就是原约束问题的解。
中间函数与罚因子的乘积称为惩罚项，在设计变量取值接近边界过程中，罚因子与中间函数朝相反的方向变化，但在无限逼近的过程中惩罚项趋于0。
因此罚函数法的一般求解过程是：定义)]([x h v ϕ和)]([x g u ψ的形式，根据一定的规则，每选定一次r 1和r 2的值就得到一个无约束优化问题，求解得到一个无约束最优解。
随着罚因子的不断调整，得到无约束最优解的点列{x (k)}，不断逼近有约束的最优解。
罚函数法需要多次迭代求解，因此是一种序列无约束极小化方法，简称SUMT 法。
根据中间函数的形式及设计变量的取值区域，罚函数法分为内点罚函数法、外点罚函数法和混合点罚函数法3种，简称内点法、外点法和混合点法。
1 内点罚函数法构造：中间函数为各个约束函数的倒数之和，即∑=-=Lu u u x g x g 1)(1)]([ψ 或构造为各个约束函数倒数的自然对数之和，即∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=L u u u x g x g 1)(1ln )]([ψ 转化以后的罚函数形式为 ()∑=-=L u u x g r x f r x l 1)(1)(, （8.2）或 ()[]∑=--=Lu ux g r x f r x l 1)(ln )(, （8.3） 式（8.2）、式（8.3）对应的优化问题的数学模型为Lu x g t s R x x f u n,...,2,1,0)(..),(min =≤∈ 如果不等式约束为0)(≥x g u 的形式，则将式（8.2）、式（8.3）中的负号做相应调整。
拉格朗日方程的三种推导方法
拉格朗日方程的三种推导方法 1 引言拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。
2 达朗贝尔原理推导达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。
达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。
即：δW = F i +I i ∙δr i =0i(1)其中I i 为惯性力，I i=−m i a i 。
F i 为粒子所受外力，δr i 为符合系统约束的虚位移。
设粒子 P i 的位置 r i 为广义坐标q 1,q 2,⋯,q n 与时间 t 的函数：r i =r i (q 1,q 2,⋯,q n ,t )则虚位移可以表示为：δr i = ðr iðq jj δq j(2)粒子的速度v i=v i (q 1,q 2,⋯,q n ,q 1,q 2,⋯,q n ,t ) 可表示为：取速度对于广义速度的偏微分：(3)首先转化方程 (1) 的加速度项。
将方程 (2) 代入：应用乘积法则：注意到的参数为，而速度的参数为，所以，。
因此，以下关系式成立：(4) 将方程(3) 与(4) 代入，加速度项成为代入动能表达式：，则加速度项与动能的关系为(5) 然后转换方程(1)的外力项。
代入方程(2) 得：(6) 其中是广义力：将方程(5) 与(6) 代入方程(1) 可得：(7) 假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。
由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(7) 成立：(8) 这系统的广义力与广义位势之间的关系式为代入得：定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：3哈密顿原理推导哈密顿原理可数学表述为：21ttLdtδ=⎰在等时变分情况下，有()dq q dt δδ∙=2211()0t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有LLL q qq qδδδ∙∙∂∂=+∂∂ (2)其中第一项可化为：()()()LL d d L d Lq q q q dt dt dt q q q q δδδδ∙∙∙∙∙∂∂∂∂==∙-∂∂∂∂(3)将(3)代入(2)得()()d L d L LL q q qdt dt qq q δδδδ∙∙∂∂∂=∙-+∂∂∂ (4)将(4)代入(1)得2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt qqq δδδ∙∙∂∂∂∙+-+=∂∂∂⎰(5)在12,t t 处0q δ=，所以(5)变为21(())0t t d L Lq q dt dt qq δδ∙∂∂-=∂∂⎰(6)即21[(())]0t t d L Lq dt dt qq δ∙∂∂-+=∂∂⎰(7)q 是独立变量，所以拉格朗日方程：4欧拉-拉格朗日方程推导欧拉-拉格朗日方程可以表述为：设有函数和：其中是自变量。
基于增广拉格朗日乘子法的水平井射孔密度分布研究
化 问题来逼 近原 问题 的最 优解 ， 避免 了单 纯使 用 罚 函数 外点 法 或拉 格 朗 日乘 子法 的缺点 。本 文采 用 Ｌ ｎ — ａ ｄ ｍａ ｎ油藏 渗流模 型 ， 虑井筒 内摩擦 压 降和加 速压降 的影 响 ， 用增 广拉 格 朗 日乘 子法 ， 考 应 以获 取最 大产 量 或 最 小生产 压差为研 究 目标 ， 水平井 射孑 密度分 布规 律进行研 究 。 对 Ｌ
射孔 水平 井 的产 量低 。
关 键词 ： 水平井 ； 孔 密度 ；优化模 型 ； 射 增广 拉格 朗 日乘 子法
中 图 分 类 号 ： Ｅ ５ Ｔ ２７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
射孔 水平 井作 为开发油 气 田提高采 收率 的一项 重要技 术 ， 国内外 得 到广泛应 用 ， 在现场 得到 不断 的 在 并 发 展 和完 善 ， 油气井 的开 采起 着举足 轻重 的作用 。合理地 改变水 平井 段上 的射孔 密度 分布 ， 对 调节沿水 平井 入 流剖 面 ， 能起 到稳 油控水 的 目的 ， 提高 水平井 开发效 果 。Ｌ ｎ ｍａ ａ ｄ ｎ等＿ 和 周 生 田等 ］ 射孑 水平 井看 作 】 把 Ｌ
收 稿 日期 ： ０ ０ ３—１ ２ １ —０ ９
基 金 项 目 ：山东 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ８ １ ） Ｙ２ ０ Ｆ ７
作 者简 介 ：刘冰 （９ ２一 ， ， １ ７ ） 男 山东 临 沭 人 ， 教 授 ， 士 研 究 生 ， 副 博 主要 从 事 计 算 物 理 、 流 力 学 研 究 。 Ｅ ｉｌ ｂ ｕ ｃｅ ｕ ｃ 渗 ｍａ ：ｕ ＠ ｐ． ｄ ．ｎ ｌｉ
文章 编 号 ： Ｏ ６ ７ ８ ２ Ｌ ） ２ ０ ０— ７ ｌ Ｏ —９ ９ （ Ｏ Ｏ ０ —０ ７ ０
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增广拉格朗日乘子法罚函数模型推导
增广拉格朗日乘子法是一种常用的优化方法，它可以有效地解决约束优化问题。
在实际应用中，我们经常会遇到约束条件不好处理的问题，而增广拉格朗日乘子法可以将约束条件转化为目标函数的形式，从而使问题更易于求解。
增广拉格朗日乘子法的核心思想是引入一个罚函数（penalty function），它可以将不满足约束条件的解惩罚，并将其转化为一个
无约束优化问题。
具体而言，我们可以将原始的目标函数和约束条件合并成一个新的目标函数，即罚函数。
罚函数的形式通常是原目标函数加上一个“惩罚项”，惩罚项的大小与约束条件的违反程度有关。
增广拉格朗日乘子法的目标就是最小化这个罚函数。
下面我们以一个简单的例子来说明如何使用增广拉格朗日乘子法。
假设我们的目标是最小化一个函数f(x)，同时有一个约束条件
g(x)<=0。
我们可以将罚函数定义为：
P(x) = f(x) + λg(x)^2
其中λ是拉格朗日乘子。
当g(x)<=0时，罚函数等于f(x)，否
则罚函数会增加。
我们的目标就是最小化罚函数P(x)。
为了求解这个问题，我们可以使用增广拉格朗日乘子法的步骤如下：
1. 定义罚函数P(x)；
2. 求解无约束问题：min P(x)；
3. 通过最优解x*确定λ的值，使得g(x*)=0；
4. 重复步骤2和步骤3，直到收敛。
需要注意的是，增广拉格朗日乘子法的收敛性并不总是保证的。
当存在多个约束条件时，罚函数的收敛速度也会受到影响。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的优化方法。
总之，增广拉格朗日乘子法是一种简单而有效的优化方法，能够帮助我们解决约束优化问题。
通过引入罚函数，它将原始问题转化为一个无约束优化问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。