2018年中考数学试题分类汇编之二次函数
2018中考数学真题复习 二次函数中考真题大题系列加详解(PDF版)
二次函数中考真题系列1．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4 过点B，C 两点，且与x 轴的一个交点为D（﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t 为何值时，∠PBE 和Rt △OCD 中的一个角相等？？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM∥BQ，交CQ 于点M，作PN∥CQ，交BQ 于点N，当四边形PMQN 为正方形时，求t 的值为．2．如图①，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC 的面积与△OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．抛物线y=﹣x+3 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC 的表达式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x 轴上的某个点H 处，最后到达线段BC 的中点F 处停止．求当△PCB 面积最大时，点P 的坐标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB 面积最大时，把抛物线y=﹣x+3 向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△ECB 的面积等于△PCB 的面积．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l：y=﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于点B、C，经过B、C 两点的抛物线y=x2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD∥x 轴交l 于点D，PE∥y 轴交l 于点E，求PD+PE 的最大值；（3）设F 为直线l 上的点，以A、B、P、F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．。
2018中考数学试题二次函数解答题试题汇编(含答案解析)
2018年全国各地中考数学试题《二次函数》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）3．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？5．（2018•张家界）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．6．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？8．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．10．（2018•青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．11．（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．12．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．13．（2018•襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=，n=；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？14．（2018•荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）15．（2018•贵阳）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：cm）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．16．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．18．（2018•邵阳）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．19．（2018•济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．（2018•温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．22．（2018•黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．（2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．24．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？25．（2018•黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？26．（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．27．（2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．28．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．29．（2018•淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．30．（2018•兰州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．32．（2018•巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE 是等腰三角形？33．（2018•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；△AOC若不存在，请说明理由．34．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？35．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C （0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．36．（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？37．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2018•怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2018•黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．40．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？41．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．42．（2018•岳池县三模）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．43．（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．44．（2018•宜宾）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．45．（2018•深圳）已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．46．（2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．47．（2018•岳阳）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m ＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．49．（2018•青海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．50．（2018•日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．51．（2018•湖北）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？52．（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．53．（2018•东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．54．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？。
2018年全国各地中考数学真题汇编：二次函数(含答案)-数学备课大师【全免费】
中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
完整版2018中考二次函数真题
二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2018?泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣52﹣2x﹣3=2xx﹣5，整理得：2﹣4x+2=0则x，2=2），（x﹣2﹣=2，＞3，解得：x=2x+21故有两个正根，且有一根大于3．故选：D．2+bx+c（b杭州）四位同学在研究函数y=x，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有2．（2018?2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为31是方程x；丁发现当x=2时，最小值；乙发现﹣y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．解：假设甲和丙的结论正确，则，【解答】解得：，2﹣2x+4∴抛物线的解析式为y=x．2﹣2x+4=71时，y=x，当x=﹣∴乙的结论不正确；2﹣2x+时，y=x4=4，当x=2∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤﹣3．（2018?潍坊）已知二次函数y=﹣（xh）5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意第1页（共14页）不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．2=﹣）1，2时，有﹣（2﹣h【解答】解：当h＜解得：h=1，h=3（舍去）；212的最大值为0），不符合题意；y=﹣（x﹣h当2≤h ≤5时，2=﹣1，时，有﹣（5﹣h）当h＞5解得：h=4（舍去），h=6．43综上所述：h的值为1或6．故选：B．22+3（其中x是自变量），当x3a≥2时，y随x2018?4．（泸州）已知二次函数y=ax 的增+2ax+大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）．DC2 B．．1或A．1或﹣【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．22+3（其中x是自变量）+2ax+3a【解答】解：∵二次函数y=ax，﹣=﹣1∴对称轴是直线x=，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，2+3=9，+2a+3a∴x=1时，y=a2+3a﹣3a6=0，∴∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为2018?．（滨州）如图，若二次函数y=axx=1，与y轴交于点C，5与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；2﹣4ac＜③b0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）第2页（共14页）4．．3 D．1 B．2 CA轴的交点，进而分别分析得出答案．x【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与2，且开口向下，x=1≠0）图象的对称轴为bx+c（a【解答】解：①∵二次函数y=ax+，故①正确；c+b+b+c，即二次函数的最大值为a∴x=1时，y=a+，故②错误；c=0b+时，x=﹣1a﹣②当2，故③错误；04ac2个交点，故b＞﹣③图象与x轴有，），0A、点B（﹣1④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点，），0∴A（3，故④正确．3x＜0时，﹣1＜故当y＞．B故选：）满足（s（m）与飞行时间t．6（2018?连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h2）24t+1函数表达式h=﹣t．则下列说法中正确的是（+的升空高度相同和点火后13sA．点火后9s火箭落于地面．点火后24sB139m10s的升空高度为C．点火后145mD．火箭升空的最大高度为三个选项，将解析式配方成顶点、CA、B24、10时h的值可判断【分析】分别求出t=9、13、选项．D式可判断的升空13s；所以点火后9s和点火后时，h=136；当t=13时，h=144【解答】解：A、当t=9高度不相同，此选项错误；，此选项错误；1m，所以点火后24s火箭离地面的高度为t=24时h=1≠0B、当，此选项错误；h=141mt=10时C、当22，此选项正确；145m14512）知火箭升空的最大高度为t﹣++24t+1=﹣（t﹣D、由h=．故选：D2）﹣1，下列说法正确的是（．（2018?成都）关于二次函数y=2x4x+7），1y轴的交点坐标为（0A．图象与轴的右侧yB．图象的对称轴在值的增大而减小x时，y的值随C．当x＜03的最小值为﹣．yD从而可以解答本题．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否在成立，【分析】22，﹣+1）3【解答】解：∵y=2x4x+﹣1=2（x错误，A﹣1，故选项y=∴当x=0时，错误，B1，故选项x=该函数的对称轴是直线﹣错误，的增大而减小，故选项C时，y随xx当＜﹣1正确，D3取得最小值，此时y=﹣，故选项y1x=当﹣时，143第页（共页）故选：D．2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x8．（2018?凉州区）如图是二次函数y=ax轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；﹣=1，②∵对称轴x=∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；2+bm+c≤a+1时，有amb+c，≠当m所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．第4页（共14页）2）的顶点坐标是（） +5．（2018?岳阳）抛物线y=3（x﹣29），﹣5 D．（2 C．（2，5）5A．（﹣2，）B．（﹣2，﹣5）2）即可求解．，kk的顶点坐标是（﹣hy=a（x+）h+【分析】根据二次函数的性质2，5）的顶点坐标为（2x﹣2），+5【解答】解：抛物线y=3（．故选：C2P．若点bx的图象开口向下，且经过第三象限的点（2018?宁波）如图，二次函数y=axP+10．）b的图象大致是（﹣b）x+的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a．．CAD．B．的正负情况，从而可以得到一次函数经过ba﹣a、b、【分析】根据二次函数的图象可以判断哪几个象限，本题得以解决．解：由二次函数的图象可知，【解答】，＜0＜0，ba，＜0时，y=a﹣b当x=﹣1的图象在第二、三、四象限，+bb）x∴y=（a﹣．D故选：2轴的交y），与A（﹣1，0（2018?达州）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴交于点11．．，对称轴为直线x=20，3）之间（不包括这两点）点B在（0，2）与（）是函数图象上的两，，点Ny（Mc9a；②+3b+＞0；③若点y（，）0abc下列结论：①＜21．ay；④﹣＜＜﹣＜y点，则21145第页（共页）其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，x=＞0∴对称轴，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；2＜，③由于的对称点的坐标为（，y）关于直线x=2），且（，y22∵，∴y＜y，故③正确，21④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，＜﹣，故④正确∴﹣＜a故选：C．2+bx+ccy=x+的图象如图，则二次函数y=ax在平面直角坐标2018?．12（青岛）已知一次函数系中的图象可能是（）第6页（共14页）．．．CAD．B，由此即可得0、c【分析】＞根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜02轴负正半轴，再对照四yy轴的交点在﹣＞0出：二次函数y=ax，与+bx+c的图象对称轴x=个选项中的图象即可得出结论．，【解答】0解：观察函数图象可知：＜0、c＞2轴负正半轴．﹣＞0x=，与y轴的交点在y∴二次函数y=ax++bxc的图象对称轴．A故选：2，3），（0，a≠0）经过点（﹣1，0y=ax．（2018?天津）已知抛物线）+bx+c（a，b，c为常数，13轴右侧．有下列结论：其对称轴在y；0）①抛物线经过点（1，2有两个不相等的实数根；+c=2+bx②方程ax3b＜＜a+③﹣3）其中，正确结论的个数为（3．．2 D0 A．B．1 C，结论①错0时y＞0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1【分析】①由抛物线过点（﹣1，误；2有两c=2bxx轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax++）作②过点（0，2个不相等的实数根，结论②正确；，进而即可c=33）可得出y轴交于点（0，＞y0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与③由当x=1时，＜3a+b，结合a＜0、c=3可得出c1得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣，0）可得出a+b=2a+，结论③正确．此题得解．3+b＜＜综上可得出﹣3a 轴右侧，y0），对称轴在【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，，结论①错误；0y＞∴当x=1时轴的平行线，如图所示．x2）作②过点（0，∵该直线与抛物线有两个交点，2有两个不相等的实数根，结论②正确；+axc=2+bx∴方程，0+c＞y=a③∵当x=1时+b．cb＞﹣∴a+2，），0）经过点（03≠为常数，，，（+y=ax∵抛物线+bxcabca147第页（共页）∴c=3，∴a+b＞﹣3．∵当a=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴b=a+c，∴a+b=2a+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a+b＜c=3，∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．故选：C．2）在同一平面直角0a≠ay=ax﹣（a．（2018?德州）如图，函数y=ax是常数，且﹣2x+1和14）坐标系的图象可能是（．D．． C A．B【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．2﹣2x+，此时二次函数y=ax1的图象应、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0【解答】解：A该开口向下，故选项错误；2﹣2x+1的图象应该开口向上，＞a的图象可得：a0，此时二次函数y=axB、由一次函数y=ax﹣﹣＞x=0，故选项正确；对称轴2﹣2x+10，此时二次函数y=ax的图象应该开口向上，aC、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：＞﹣＞0x=，和x轴的正半轴相交，故选项错误；对称轴2﹣2x+1的图象应该开口向上，的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax﹣D、由一次函数y=axa故选项错误．故选：B．2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（威海）抛物线（15．2018?y=ax）第8页（共14页）20＞+b4ac D．＜b C．b2a+8a＞A．abc＜0 B．a+c根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【分析】0a＜解：（A）由图象开口可知：【解答】，＞0由对称轴可知：，＞0∴b，＞0∴由抛物线与y轴的交点可知：c正确；，故Aabc＜0∴，＜01，y（B）由图象可知：x=﹣，＜0b+c∴y=a﹣正确；B＜b，故a∴+c，2（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于，0，a＜∴＞22，b8a＜∴4ac﹣2正确；C4acb，故+8a＞∴，0a＜x=＜1，（D）对称轴错误；，故0D2a+b＜∴．故选：D2）与n，），顶点坐标（1x轴交于点A（﹣1，016．（2018?衡阳）如图，抛物线y=ax+bx+c与；a≤﹣＜0；②﹣1≤3a），2，（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①+b 轴的交点在（y022有两个不相等的实1﹣bx+x+bm总成立；④关于的方程axc=n++③对于任意实数m，ab≥am）数根．其中结论正确的个数为（个．4．3个D21A．个B．个C，b=a，则2a3a+﹣，再由抛物线的对称轴方程得到＜利用抛物线开口方向得到【分析】a0b=149第页（共页）于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③2+bx+c与直线y=axy=n﹣1有两个交点可对④进行判断．进行判断；根据抛物线【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，﹣=1，即b=而抛物线的对称轴为直线x=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，≤﹣，所以②正确；≤a∴﹣1∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，2+bm+≥amc，∴a+b+c2+bm，所以③正确；+b≥am即a∵抛物线的顶点坐标（1，n），2+bx+c与直线y=n∴抛物线y=ax﹣1有两个交点，2+bx+c=n﹣1∴关于x的方程ax有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0y=ax17．（2018?枣庄）如图是二次函数），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0．Ab2﹣4ac＞0可对A进行判断；x【分析】根据抛物线与轴有两个交点有b由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，22＞4ac，所以A0，即b选项错误；∴b4ac﹣＞∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，第10页（共14页）∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．2+bx+c的图象与x轴交于A、B18．（2018?随州）如图所示，已知二次函数y=ax 两点，与y轴2+bx+c交于C、D两点，y=axy=﹣x+c与抛物线D点在x轴下交于点C对称轴为直线x=1．直线方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=次函数有最大值，则ax﹣x+c与抛物线2+bx+c交于C、D两点，D点在y=axx轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，﹣=1x=，∵抛物线的对称轴为直线∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，2+bx+c≤a+∴axb+c，2+bx≤a+∴axb，所以③正确；2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于y=axcxy=∵直线﹣+与抛物线3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，第11页（共14页）即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．2+m﹣1的图象与x轴有交点，则y=xm﹣x的取值范围是（）19．（2018?襄阳）已知二次函数A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．2+m﹣1的图象与x【解答】解：∵二次函数y=x轴有交点，﹣x2×（m﹣1）≥01），﹣4×1∴△=（﹣解得：m≤5，故选：A．2+a与二次函数，且Ly=3x台湾）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=020．（2018?2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．24【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；【解答】解：如图，由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），22+b可得a=﹣5y=﹣2x，b=6，分别代入y=3x+a，∴a+b=1，故选：A．2+ax+b与x轴两个交点间的距离为22018?21．（绍兴）若抛物线y=x，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．第12页（共14页）【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），22﹣1．﹣1）=x）﹣2x=（x（∴该抛物线解析式为y=xx﹣2将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）22﹣4．+1）﹣1﹣3=（x2﹣4=0，+1）﹣3时，y=（x当x=∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．2+bx+c（安顺）已知二次函数y=axa≠0）的图象如图，分析下列四个结论：22．（2018? 222，）b＜0；④（a+bc﹣4ac＞0；③3a+c＞0①abc＜；②其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a ﹣b+c＞0，两22，＜c）b+个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c ＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；2﹣4ac＞0，故②正确；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，22＜0﹣b，+]+ac）﹣b=（ac）（b）+（即[ac+][22，b+c）＜a∴（第13页（共14页）故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．第14页（共14页）。
2018年中考数学真题汇编二次函数(含答案)
中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出以下函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，以下说法正确的选项是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右边C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如下图，以下结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.假设抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.假设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时刻t（s）知足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．那么以下说法中正确的选项是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，假设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），那么①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部份，与轴的交点在点和之间，对称轴是.关于以下说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的选项是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且通过第三象限的点P．假设点P的横坐标为-1，那么一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同窗在研究函数（b，c是常数）时，甲发觉当时，函数有最小值；乙发觉是方程的一个根；丙发觉函数的最小值为3；丁发觉当时，．已知这四位同窗中只有一名发觉的结论是错误的，那么该同窗是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如下图,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数（共40题）1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E 的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．10．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．11．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．12．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x 轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND 交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．16．如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？17．如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．（1）求的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H 且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m 交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．21．如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（0，﹣2）两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F 在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF，当点D的对称点D'落在抛物线上时，求此时点D'的坐标；（3）如图2，在x轴上有一点M（2，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m 的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．24．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A （﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N 是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．25．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．26．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，BC，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD 向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；（3）设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．28．抛物线y=ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足=，求点D的坐标；（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由．29．如图，已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？30．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．31．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x 的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于；（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．33．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B，与直线y=﹣x+1交于点C（4，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC 于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B 的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．34．已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．35．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C 三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A 出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．36．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．37．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线C1：y1=ax2+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．（1）直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标；（2）把抛物线C1绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2（其中m＞0），抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．①当m=1时，求线段AB的长；②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ 的面积．39．已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）图象的顶点G在直线AB上，其中A（﹣，0）、B（0，3），对称轴与x轴交于点E．（1）求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式；（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜x≤时，抛物线y随x增大而增大？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．40．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD 于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．参考答案与试题解析（共40题）1．（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴|﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4|=4，∴m=﹣2或m=2+2或m=2﹣2，∴G（﹣2，4）或（2+2，﹣12﹣12）或（2﹣2，﹣12+12）．（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．2．（2017•贵港）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．【解答】解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．3．（2017•滨州）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴直线解析式为y=x+3；（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA，∴==，设H（m，m+3），则PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+，∴d与x的函数关系式为d=（x﹣）2+，∵＞0，∴当x=时，d有最小值，此时y=﹣（）2+2×+1=，∴当d取得最小值时P点坐标为（，）；（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，∴CE+EF=C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，∵C（0，1），∴C′（2，1），由（2）可知当x=2时，d=×（2﹣）2+=，即CE+EF的最小值为．4．（2017•广安）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵抛物线过A（0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴B点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，∴当t＞0时，OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ==，BQ==|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．5．（2017•宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m的值为7或9；（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，则∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；②当BE为对角线时，∵B（5，0），E（1，8），∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．6．（2017•贵阳）我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（﹣2，0）和（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），且该点在直线y=﹣2x上，∴﹣=﹣2×（﹣），∵a≠0，∴﹣b2=4b，。
二次函数概念、性质和图象(解析版)数学2018全国中考真题-1
2018年数学全国中考真题二次函数概念、性质和图象（试题一）解析版一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ．【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.1或2- B.2-或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性2y ax bx c =++xy -1BOCAx =13. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数(共40题)线于点G .(1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式;(2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标;(3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标;②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求(x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其(1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值；(3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2-6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物F ，H 为AM+CM 它 顶点为D .3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式;(2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标.2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形.② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由.(0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对称轴是直线X =15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A (- 1, 0), B (5, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5, CD=8,将Rt A ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点. 试探究：在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.6 .我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx (a丰0)表示，对于这样的抛物线：(1 )当抛物线经过点(-2，0)和(-1，3)时，求抛物线的表达式；(2 )当抛物线的顶点在直线y=- 2x上时，求b的值；(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点人、A2、…，A n在直线y=- 2x上，横坐标依次为-1，- 2，- 3，…，-n (n为正整数，且n< 12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长.7 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A (- 1, 0),B (4, 0), C( 0,-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点卩，使厶POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△ PBC面积最大，求出此时P点坐标和厶PBC的最大面积.&如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3,若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1).(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△ EDB的形状并加以证明；(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.y 丄x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线y= -_x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B (1) 求抛物线的函数表达式;(2 )点D 为直线AC 上方抛物线上一动点;①连接BC CD,设直线BD 交线段AC 于点E, △ CDE 的面积为 0, △ BCE 的面积为 9 , 求^ 的最大值;②过点D 作DF 丄AC,垂足为点F ,连接CD,是否存在点 D ,使得△ CDF 中的某个角恰好等①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程;③若二次函数的图象与 x 轴交于点A ( x i , 0) , B ( x 2, 点M ,以AB 为直径的半圆恰好过点 M ,二次函数的对称轴I与x 轴、直线BM 、直线AM 分 斗丄，求二次函数的表达式.②若c=- 〒b 2-2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切?0),且x i v X 2,与y 轴的正半轴交于 别交于点D 、E 、F ,且满足请说明理由.10 .已知二次函数 y= - x 2+bx+c+1,点Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ ，请写出点 12•抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 A (1, 0)和点 B (5, 0). (1) 求该抛物线所对应的函数解析式；(2 )该抛物线与直线 y 二x+3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，E直线PM / y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .① 连结PC PD ,如图1,在点P 运动过程中，△ PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求 出这个最大值；若不存在，说明理由；② 连结PB,过点C 作CQ 丄PM ,垂足为点 Q ,如图2,是否存在点 P,使得△ CNQ 与厶PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.\>1iNC,点B 坐标为(6, 0),点C 坐标为(0, 6),点D 是抛物线的顶点，过点 D 作x 轴的垂线,垂足为E,连接BD.当/ FBA=/ BDE 时，求点 F 的坐标; (3) 若点M 是抛物线上的动点，过点 M 作MN // x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上,Q 的坐标. A 和点B ,与y 轴交于点点F 是抛物线上的动点, (2)13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a丰0)与y轴交与点C (0, 3)，与x轴交于A、B两点，点B坐标为(4, 0),抛物线的对称轴方程为x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S,点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△ MBN为直角三角形？若存在，求出t14•如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (- 3, 0)，B (- 2，3)，C ( 0, 3 )，其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1，m)，当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF// ND 交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.15•如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c (0)的图象经过 A (- 1, 0 )、B (4, 0)、C (0, 2) 三占 - 八、、♦(1) 求该二次函数的解析式； (2) 点D 是该二次函数图象上的一点，且满足/ DBA=/ CAO (O 是坐标原点)，求点D 的坐标；(3)点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA 分别交BC 、y 轴于点E 、16•如图，抛物线 y=/+bx+c 经过B (- 1 , 0), D (-2, 5)两点，与x 轴另一交点为 A , 点H 是线段AB 上一动点，过点 H 的直线PQ 丄x 轴，分别交直线 AD 、抛物线于点 Q , P . (1) 求抛物线的解析式;(2) 是否存在点P ,使/ APB=90 ,若存在，求出点 P 的横坐标，若不存在，说明理由; (3) 连接BQ , 一动点M 从点B 出发，沿线段BQ 以每秒1个单位的速度运动到 Q ,再沿线 段QD 以每秒一：个单位的速度运动到 D 后停止，当点Q 的坐标是多少时，点M 在整个运动 过程中用时t 最少?9,求Si -住的最大值.17. 如图1，抛物线C i: y=x2+ax与Q：y=- x2+bx相交于点0、C, C i与C2分别交x轴于点B、A,且B为线段A0的中点.(1)求亘的值；b(2 )若0C丄AC,求厶0AC的面积；(3)抛物线C2的对称轴为I，顶点为皿，在(2)的条件下：①点P为抛物线C2对称轴I上一动点，当△ PAC的周长最小时，求点P的坐标;②如图2，点E在抛物线C2上点0与点M之间运动，四边形0BCE的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由18. 如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A (8, 0) , B ( 0, 4), D (- 1,0),点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC.(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；(2)有一动点E从原点0出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P,交线段CA于点M,连接PA PB,设点E运动的时间为t ( O V t V 4)秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得△ ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.19. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx- 5与x轴交于A (- 1, 0), B( 5,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B, C, D为顶点的三角形与△ ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2, CE// x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC, CE分别相交于点F, G,试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点M (4, m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P, Q,使四边形PQKM的周长最小，求出点P, Q的坐标.20. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a* 0)的图象的顶点坐标是(2, 1),并且经过点(4,2),直线ypx+1与抛物线交于B, D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C,圆C与直线m 交于对称轴右侧的点M (t, 1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式；(2 )证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作BE X m,垂足为E,再过点D作DF丄m,垂足为F,求BE: MF的值.21 •如图1，抛物线y」-/+bx+c经过A (- , 0)、B ( 0,- 2)两点，点C在y轴上,△ ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒(t>0),过点D作DE丄AC于点E,以DE为边作矩形DEGF使点F若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.23 .如图1,点A坐标为(2, 0)，以OA为边在第一象限内作等边△ OAB,点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△ BCD,连接AD交BC于E.如图2,设BC 交抛物线的对称轴于点 F ,作直线CD,点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点 B , F , M , N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 M 的坐标.25 .抛物线y=x 3+bx+c 与x 轴交于A (1, 0) , B ( m , 0),与y 轴交于C.如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ,在对称轴左侧的抛物线上—& ACD,求点E 的坐标；(3) 如图2,设F (- 1, - 4), FG 丄y 于G ,在线段0G 上是否存在点 P ,使/ OBP=/ FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.26. 如图，O M 的圆心M (- 1, 2), O M 经过坐标原点 0,与y 轴交于点A .经过点A 的 一条直线l 解析式为：y=-二x+4与x 轴交于点B ,以M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点D( 2,x 轴交于点E ,第四象限的抛物线上有一点卩，将厶EBP 沿直线 EP 折叠，使点B 的对应点 B'落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标;(3) m=- 3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴;如图1,抛物线的对称轴与(2) (1) 若0)和点C (- 4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线I是O M的切线；(3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线I垂直，垂足为E；PF// y轴，交直线I于点F, 是否存在这样的点卩，使厶PEF的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及厶PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.27. 如图，抛物线y=ax"+bx+4交y轴于点A,并经过B (4, 4)和C (6, 0)两点，点D的坐标为(4, 0),连接AD, BC,点E从点A出发，以每秒甘勺个单位长度的速度沿线段AD 向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t 秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角厶EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E, F, G都与点A重合，点E在运动过程中，当△ BCG的面(2)有一点E，使&AC28.抛物线y=ax2+bx+c过A (2, 3), B (4, 3) , C (6,- 5)三点.(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE丄AB交AC于点E,若满足斗二一, 求点D的坐标；(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线I丄AB,若点P在直线I上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q,使得以B P、Q为顶点的三角形与△ ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△ BPQ的面积；若不存在，请说明理由.29.如图，已知抛物线y=a/+—x+c与x轴交于A, B两点，与y轴交于丁C,且A (2 , 0),5C (0, - 4),直线I: y=-寺x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2^-x+c上的一动点，(1 )试求该抛物线表达式；(2)如图(1),过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图(2),过点P作PH丄y轴，垂足为H,连接AC.①求证：△ ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ ACD相似？30•如图，已知抛物线y=ax2-出ax-9a与坐标轴交于A, B, C三点，其中C ( 0, 3), / BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线I与射线AC, AB分别交于点M , N .(1 )直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴； (2)点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标; (3) 证明：当直线I 绕点D 旋转时， + 丄均为定值，并求出该定值.AM AN【操作】将图①中抛物线在 x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物 线剩余部分的图象组成的新图象记为G ,如图②•直接写出图象 G 对应的函数解析式.【探究】在图②中，过点 B (0, 1)作直线I 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为 点C, D, E , F ,如图③.求图象 G 在直线I 上方的部分对应的函数 y 随x 增大而增大时x 的取值范围.【应用】P 是图③中图象 G 上一点，其横坐标为 m ，连接PD, PE.直接写出厶PDE 的面积32 .如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC 的边0A 、0C 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为(4, t ) (t >0),二次函数y=x 2+bx (b v 0)的图象经过点 B ,顶点为点D . (1 )当t=12时，顶点D 到x 轴的距离等于 __________ ;(2 )点E 是二次函数y=x 2+bx ( b v 0 )的图象与x 轴的一个公共点(点 E 与点O 不重合)， 求OE?EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ,直线I 平行于x 轴，交二次函数y=x 2+bx ( b v 0)31•《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线一个交点为 A ，贝U a= _____ .y=a (x — 2) 2峙经过原点0,与x 轴的另圏① 圏② 图③的图象于点M、N，连接DM、DN,当厶DMN◎△ FOC时，求t的值.y/\OV1P 133.在平面直角坐标系中，直线y=-「x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=-・x2+bx+c4 2经过点B,与直线y=- x+1交于点C (4,- 2).4(1)求抛物线的解析式；(2)如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME// y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时，求△ DEM的周长.(3)将厶AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°得到△ A1O1B1，点A, O, B的对应点分别是点A1, O1, B1，若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1, D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE丄.(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2) 求证：直线DE是厶ACD外接圆的切线；(3) 在直线AC上方的抛物线上找一点P,使ACD,求点P的坐标；2(4) 在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ ACD相似，直接写出点M的坐标.35.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=- +bx+c的图象与坐标轴交于A, B, C 三点，其中点A的坐标为(-3, 0)，点B的坐标为(4, 0)，连接AC, BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点0出发，在线段0B上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空：b= _______ , c= _______ ;(2)在点P, Q运动过程中，△ APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ;若不存在，请说明理由；(4)如图②，点N的坐标为(-£, 0)，线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线36. 如图，已知直线y=- x+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y=- /+bx+c经过A, B两点，点P在线段0A上，从点0出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒.个单位的速度匀速运动，连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，△ APQ为直角三角形；(3)过点P作PE// y轴，交AB于点E,过点Q作QF// y轴，交抛物线于点F,连接EF,当EF// PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP, BM, MQ，问：是否存在t的值，使以B, Q, M为顶点的三角形与以O, B, P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说37. 如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B, C,经过B, C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B, C, Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过S(0, 4)的动直线l交抛物线于M , N两点，试问抛物线上是否存在定点T,使得不过定点T的任意直线I都有/ MTN=90 ?若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明(1 )直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标=ax2+2ax (a>0)与x轴交于点A,顶点为点P.(2 )把抛物线C1绕点M (m , 0)旋转180。
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2018年中考数学试题分类汇编之二次函数（2018山东德州）25. 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于、两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.(1)求、的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与、重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ,连接,试确定△ 面积最大时点的坐标. (3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以、、为顶点的三角形与△ 相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.（2018四川成都）28.如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为、是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值.26．（12018年山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan ∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（2018内蒙古通辽）26．（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．（2018四川资阳）24．（12.00分）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A （0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE ，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（2018四川达州）25．（12分）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．28．（9.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．25．（2018年山东省威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；25．（2018山东省东营市，25，12分） 如图，抛物线13()()y a x x =--（0a >）与x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．（2018 年山东省济宁市）（11.00 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标；（3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2018年山东省淄博市）（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．（11分）（2018•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B （2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．25.（2018年潍坊市）如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与三角形AMG全等,求直线的解析式．25．（2018山东烟台）（14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2018山东聊城）（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（1 0，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD ，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S△OBN的值；（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t 为何值时S有最大值，最大值是多少？24．（2018山东菏泽）（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．23．（2018年广东省）（9分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．(2018年广西玉林)（12.00分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．23．(2018年河南)（11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线B C于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．24．(2018江苏泰州)（10分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．（1）当m=﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线1⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．24．(2018年海南)（15.00分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．25．(2018湖南永州)（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PO N的面积．26.(2018娄底)如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点，是线段的中点.(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;(2) 是抛物线上的动点；①当时，求的面积的最大值；②当时，求点的坐标.25．(2018湖南常德)（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q 为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．25．(2018湖南郴州)如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C 点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDP M是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．28．(2018甘肃定西)（12分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A ，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形A CPB的最大面积．25．(2018四川绵阳)（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P 为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．AOQ(2018四川自贡)如图，抛物线过、，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为，点是线段AD上的动点．求直线AD及抛物线的解析式；过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？在平面内是否存在整点横、纵坐标都为整数，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．25．(2018湖南衡阳)（10分）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．26. (2018贵州安顺) 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.27．(2018贵州遵义)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形C OEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．25．(2018贵州铜仁)如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△B OD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．(2018黑龙江齐齐哈尔)如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．．(2018黑龙江龙东)（6.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．25．(2018湖北黄石)（10分）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．（2018包头）26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD ．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2018嘉兴）23.已知，点M为二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1图象的顶点，直线y=mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B。