初中数学圆的阴影部分的面积

初中数学复习（圆）

1、已知：如图，AB为半圆⊙O的直径，C、D为半圆⊙O的三等分点，若AB=12，求阴影部分的面积。

2、如图，已知：∠AOB=90°，AC∥OB，AO=3，分别以O点，A点为圆心，AO、AB为半径画弧，交OB、AC于B、C，求阴影部分的周长和面积。

3、如图，已知半径分别为1和3的⊙O1和⊙O2外切于P，AB切二圆于A、B两点，求图中阴影部

分的面积。

4、如图，已知：⊙O1与⊙O2相交于B、D，AB为⊙O1直径，BC=AD，若AB=12,DE=30，求圆中阴影部分的面积。

6、一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，如果这个扇形的面积与圆的面积相等，则这个扇形的圆心角等于( ) A.180° B.90° C.45° D.22.5°

π，则大圆的面积为，小圆的面积

7、两圆的半径之比为3∶5，面积相差32

为；正三角形的内切圆与外接圆的面积之比为。

8、圆心角为40°，半径为6的扇形的面积为；

半径为3，弧长为4的扇形的面积为；

弧长为2π，面积为4π的扇形的半径为，圆心角为；

圆心角为60°，弧长为6π的扇形的半径为，面积为。

9、如图，四个等圆两两外切，半径均为2cm ，且∠O 2O 1O 4=90°，求图中的阴影部分的面 积

为S 。

10、已知扇形的圆心角为60°，面积为6π，求这个扇形的周长。

11、如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=4，34BD

=，以B 为圆心，BO 为

半径画弧交AB 于E ，交BC 于F ，以D 为圆心，DO 为半径画弧交AD 于G ，交DC 于H ，求阴影部分的面积S 。

12、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠P=60°，AB=12，求阴影部分的面积。

13如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，M 为AB 的中点，分别以A 、B 为圆心，AM 为 半径画弧交AC 于D ，交BC 于E ，求阴影部分的面积。

一、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，

∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠

二、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

三、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =

PO 平分BPA ∠ 四、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅ （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅

D

B

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2

PA PC PB =⋅

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 五、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的

的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B ∴12O O 垂直平分AB 六、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：12Rt O O C ∆

中，221AB CO == （2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。

七、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆

中进行：

:::2OD BD OB =；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆

中进行，::OE AE OA =

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆

中进行，::2AB OB OA =.

八、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180

n R

l π=

； （2）扇形面积公式： 21

3602

n R S lR π==

n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2S S S =+侧表底=222rh r ππ+

（2）圆柱的体积：2

V r h π=

（2）圆锥侧面展开图

（1）S S S =+侧表底=2

Rr r ππ+

（2）圆锥的体积：21

3

V r h π=

l

O

C 1

D 1