成都市2010年—2015年中考数学试题考点分析
成都市2010年—2015年中考数学试题考点分析
A卷2010年2011年2012年2013年2014年2015年
序号分值考点年级考点年级考点年级难度考点年级难度考点年级难度考点年级难度选1 3分有理数比较大小初一平方根初一绝对值初一基础相反数初一基础有理数大小比较初一基础倒数初一基础选2 3分乘方的意义初一三视图初一函数自变量的取值范围初二基础简单几何体的三视图初一基础三视图初一基础三视图初一基础选3 3分科学计数法初一函数自变量的取值范围初二三视图初一基础分式有意义的条件初一基础科学记数法初一基础科学记数法初一基础选4 3分立体图形的三视图初一科学记数法初一同底数幂的除法乘法；合并同
类项；
初一基础等腰三角形的性质初二基础同底数幂初一基础同底数幂初一基础
选5 3分二次函数图形的平移初三同底数幂的除法乘法；合并
同类项；初一科学记数法初一基础负整数指数幂；有理数的
减法乘法；零指数幂
初一基础轴对称图形初二基础平行线段初一基础
选6 3分平行线的性质初一根的判别式初二轴对称的点的坐标初二基础科学记数法初一基础函数自变量的取值范围初二基础一次函数初二基础选7 3分中位数和众数初二圆周角定理初三圆与圆的位置关系初三基础矩形的性质初二基础平行线的性质；余角和补角初一基础实数和数轴，绝对值初一基础
选8 3分两圆的位置关系初三实数与数轴初一解分式方程初二基础二次函数、一次函数、
反比例函数；初三
初二
基础众数；中位数初二基础一元二次方程初三基础
选9 3分一次函数的图象初二众数；条形统计图；中位数初一菱形的性质初二基础根的判别式初二基础二次函数的三种形式初三基础二次函数初三基础选10 3分平行四边形的判定初二直线与圆的位置关系初三一元二次方程初三基础圆周角定理初三基础扇形面积的计算初二基础多边形初二基础填114分平面直角坐标系特点初二因式分解-运用公式法初二因式分解-提公因式法初二基础解一元一次不等式；初一基础实数的性质初一基础因式分解初二基础
填124分绝对值、算术平方根的意
义、非负性、有理数的乘方初一
初二
三角形中位线定理初二平行四边形的性质初二基础众数；条形统计图初一基础三角形中位线定理初二基础三角形初二基础
填134分三角形内角和定理，圆周角
定理初二分式方程的解初二众数；中位数初二基础平行线的性质初二基础一次函数图象上点的坐标
特征
初二基础中位数初二基础
填144分分式方程的实际应用扇形面积的计算；勾股定理；
旋转的性质初二垂径定理；勾股定理初三
初二
基础解直角三角形的应用-坡
度坡角问题
初二基础切线的性质；圆周角定理初三基础四边形初二中档
解15A6分圆锥的侧面展开图初三
初二特殊角的三角函数值；零指
数幂；
初三实数的运算；零指数幂；特殊
角的三角函数值
初二
初三
基础实数的运算；特殊角的三
角函数值
初一
初三
基础实数的运算；零指数幂；特
殊角的三角函数值
初一基础实数的运算；初一基础
解15B6分三角函数值、与幂有关的计
算、二次根式的化简初二解一元一次不等式组；一元
一次不等式组的整数解
初一解一元一次不等式组初二基础解二元一次方程组；初二基础解一元一次不等式组；初一基础解二元一次方程组；初二基础
解16 6分一元二次方程根的判别式、
一元一次不等式的解初二解直角三角形的应用-方向
角问题
初二分式的混合运算初二基础分式的混合运算初二基础解直角三角形的应用-仰角
俯角问题
初三基础分式的化简求值初二基础
解17 8分切线的性质、等腰三角形、
三角函数、勾股定理初二
初三
分式的化简求值初二解直角三角形的应用-仰角俯
角问题
初三基础作图-旋转变换；扇形面积
的计算
基础分式的化简求值初二基础直角三角形的边角关
系
初三基础
解18 8分反比例、一次函数的表达
式；取值范围；初二列表法与树状图法初一反比例函数与一次函数的交点
问题；
初三
初二
基础频数（率）分布表；列表
法与树状图法
初一基础概率公式；列表法与树状图
法
初三基础统计与概率初三基础
解19 10分条形图、扇形图、用树形图
或列表法求概率初一反比例函数综合题初二分布直方图；用样本估计总体；
列表法与树状图法；
初三基础反比例函数与一次函数
的交点问题；
初二反比例函数与一次函数的
交点问题；
初二反比例函数与一次函
数
初二基础
解20 10分菱形的性质、全等三角形、
直角三角形、勾股定理、三
角函数、相似三角形、动点初二
初三
相似三角形的判定与性质；
角平分线的性质
初二三角形的判定与性质初二
初一
中档三角形的判定与性质初二中档四边形综合题初二中档三角形和圆和综合运
用
初二
初三
中档
B填21 4分分解因式、完全平方公式、
一元二次方程；初二一次函数图象上点的坐标特
征；点的坐标
初二代数式求值初一基础一次函数图象上点的坐
标特征
初二基础用样本估计总体；条形统计
图
初一基础实数初一基础
B填22 4分直角三角形、割补法求几何
图形面积、二次函数初二
初三
用样本估计总体；加权平均
数
初一圆锥的计算；圆柱的计算初三中档概率公式初二基础分式方程的解初二基础不等式组的解法初二中档
B填23 4分概率初二二次根式的化简求值初二二次函数图象上点的坐标特
征；根的判别式；概率公式初三中档反比例函数与一次函数
的交点问题；一元一次不
等式组的整数解
初二中档规律型：图形的变化类；三
元一次方程组的应用
初二中档规律题初三中档
B填24 4分反比例函数的图象和性质初二翻折变换（折叠问题）初二反比例函数综合题初三中档二次函数综合题初三难题菱形的性质；翻折变换难题几何综合运用初二三中档
B填25 4分圆、圆内接四边形、直角三
角形的勾股定理、动点、相
似三角形、一元二次方程初三
初二
反比例函数与一次函数的交
点问题
初二图形的剪拼；三角形中位线定
理；矩形的性质；旋转的性质
初一
初二
很难圆的综合题初三难题反比例函数与一次函数的
交点问题
初二难题一元二次方程判断初三难题
B解26 8分一元二次方程和不等式的
实际应用初二二次函数的应用；相切两圆
的性质
初三一次函数的应用：1）函数表达
式；2）求最值；
初二中档一次函数的应用初二难题二次函数的应用；一元二次
方程的应用．
初三难题一元一次方程、不等
式的应用
初一基础
B解27 10分圆的垂径定理、外心、圆周
角定理、三角函数、三角形初三三角形的判定与性质；初二
初三
切线的性质；勾股定理；垂径
定理；圆周角定理；三角形：
初三
初二
难题圆的综合题初三难题圆的综合题初三难题几何综合题初二
初三
难题
B解28 12分一次函数、二次函数的图形
及性质、圆、相似三角形；初二
初三
二次函数综合题初三二次函数综合题初三难题二次函数综合题初三难题二次函数综合题初三难题一次、二次函数综合
题
初二
初三
难题
1
2。
几何证明题解题思路研究——以近五年成都市中考数学试题为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １４几何证明题解题思路研究几何证明题解题思路研究㊀㊀㊀ 以近五年成都市中考数学试题为例Һ魏迎萍㊀（西华师范大学，四川㊀南充㊀６３７００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ基础教育数学课程改革中，几何学作为数学的重要组成部分，成为人们备受关注的问题之一．文章主要是以近五年成都市中考试卷几何证明题为例，结合学生目前对于几何证明所遇到的问题，就几何证明题的解题思路进行研究．回看近五年来成都市中考试卷，其中平面几何每年都会以选择㊁填空㊁解答或证明题形式出现，题型灵活多变．文章归纳总结了几何证明题的一般解题思路和解题技巧，将 理论用于实践 ，从未知到已知，进一步提升学生解决几何证明题的能力．ʌ关键词ɔ平面几何；几何证明题；解题思路；成都市中考试题引㊀言一直以来，几何学作为中学数学的重要部分，在课程改革中，几何学的改革早已成为人们非常关注的问题．几何证明题难度较大，很多学生会因为 节约时间 合理利用时间 等原因在未认真阅读题目的情况下放弃该题目，因此几何证明题也就成为拉开学生差距的题目．但几何证明题并不是非常高深的题型，如果学生能够掌握正确的解题思路，使用行之有效的解题技巧，不仅可以降低几何证明题的难度，也能够提高几何证明题的准确率．此外，学生对自己能够解决几何证明题的信心不足，也容易产生放弃的念头，如果教师在讲解几何证明题时能帮助学生整理解题思路，归纳解题技巧，长而久之，学生的解题能力自然会得到提升．下面笔者以成都市近五年中考真题为例，对几何证明题解题思路进行梳理．一㊁读已知信息，从题目中提取有效信息想要解几何证明题，审题非常重要．很多学生在拿到题目以后，没有标记的习惯，也没有分析所给已知信息的目的，这样不仅可能会导致审题错误，而且可能会导致无效审题．因此，学生在拿到一道题目后，首先要做的就是根据已知信息尽可能多地推测出与其相关的知识点．例如，题目中给出 ＲｔәＡＢＣ绕某点旋转得到әＡᶄＢᶄＣᶄ ，学生便可以推测出：әＡＢＣɸәＡᶄＢᶄＣᶄ，әＡＢＣ中有一角等于９０ʎ等信息，同时要考虑到初中所学过的所有与三角形有关的知识，如全等㊁相似㊁三角形外角和定理㊁中位线㊁等腰三角形的三线合一等，这些都是常考的知识点．因此，有效读题，并不仅是读题目中的已知信息，而是要尽量根据已知信息，快速推测出相关知识点．二㊁读题干，从题干中获取有效信息题干中的信息是学生最容易忽略的地方，很多学生在阅读题目时更在乎需要解决的问题．而很多难度比较大的题目，关键条件都隐藏在题干之中，需要结合已知信息进行延伸，找到解题思路．学会引申最有效的方法就是学生平时多多积累，需要对定理㊁知识点非常熟悉．对于特殊的图形，学生在平时要记忆，在读题干㊁审题时也一定要加以标注，要做到从隐藏条件中提取相关知识点．在图形中进行标注，不仅可以帮助学生区分已知和未知信息，也可以帮助学生进一步思考，获取有效信息．总之，读题时要做到以下几点，其一，细心读题，不要被陷阱给迷惑；其二，读题时要标记和记忆；其三，读题时要注意深度思考，很多信息不是题干直接给出的．下面以成都市中考真题进行说明：例１㊀（成都市２０２１年中考Ａ卷第２０题）如图１，ＡＢ为☉Ｏ的直径，Ｃ为☉Ｏ上的一点，连接ＡＣ，ＢＣ，Ｄ为ＡＢ延长线上的一点，连接ＣＤ，且øＢＣＤ＝øＡ．图１（１）求证：ＣＤ是☉Ｏ的切线；（２）若☉Ｏ的半径为５，әＡＢＣ的面积为２５，求ＣＤ的长；㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １４（３）在（２）的条件下，Ｅ为☉Ｏ上的一点，连接ＣＥ交线段ＯＡ于点Ｆ，若ＥＦＣＦ＝１２，求ＢＦ的长．分析㊀这个题目一眼便可以看出第三小问和第二小问有极大的关联，第一小问要求证切线．初中求证切线时，往往会利用切线定理，即圆的切线垂直于过其切点的半径．实际上，当题目是求证某一问题时，我们可以将此问题当做已知．如在求解第一小问时，我们可以直接认为ＣＤ就是☉Ｏ的切线，那么，过点Ｃ的半径ＣＯ一定和ＣＤ垂直，根据逆向思维，我们只需要找出符合该条件信息即可．在阅读第二小问的题干时，可以将第一小问已经证明出的结论作为已知，对第二小问进行分析．分析第二题的题干，给出的条件是☉Ｏ的半径长为５，әＡＢＣ的面积为２５，我们知道三角形的面积公式为１２ａｈ，题目中给出了әＡＢＣ的面积，那么我们需要找到三角形的底和高，而在这个时候，很多学生只会从最明显的底和高去分析，往往会忘记三角形对应的有三组底和高，所以会忽略以ＡＢ为底边的一组高．要尽量将两条信息联系在一起，考虑到该条信息出现的目的，结合需要求解的ＣＤ的长度，将三者缩小到一个三角形内，利用两个相似三角形的知识点，让已知条件和未知条件产生联系，便更有利于得到题目的结果．第三小问的题干明确了和第二小问的关联，所以此时，我们完全可以将第二小问作为已知条件．也就是说，实际上，第三小问已知的条件有ＣＤ是☉Ｏ的切线㊁☉Ｏ的半径为５㊁әＡＢＣ的面积为２５㊁ＣＤ的长㊁ＥＦＣＦ＝１２这五个条件，结合题目中需要求解的ＢＦ的长，努力将这五个信息和ＢＦ联系起来．几何证明题中的任何一个已知信息都不是孤立的．把握基本图形的组合，掌握知识点间的常见联系，积累解题经验是很重要的．三㊁合理利用辅助线，降低题目难度作辅助线是解决近五年来成都市数学中考试卷Ｂ卷几何证明题必不可少的一步，也是学生在解几何证明题时最难的一步．几何证明题常常涉及比较复杂的图形，但其实再复杂的图形，也是用常见的基本图形通过一定的组合得到的．基本图形的定义㊁公理㊁定理和推论是我们必须熟悉和掌握的内容，另外还有一些常见组合形式：如角平分线形㊁八字形㊁双垂直图形等．在近五年成都市中考试卷中的几何证明题中，所做的辅助线主要有两种类型，即作某直线的平行线或者垂线．在作平行线时，会涉及平行线的性质，再利用与平行线相关的性质去证明某些图形的相似或者是三角形的全等，从而解决线段之间的关系；在作垂线时，会涉及三线合一或者与角度有关的知识，从而证明线段之间的关系．能否正确作出辅助线，实际上也在于平时的积累，教师在教授几何相关的知识时，可以侧重于使学生感受辅助线的自然生成．在几何证明题中，辅助线的添加也具有一定的规律．在三角形中，遇到中点，添加中位线或中线；遇到角平分线，过角平分线上的点，添线构造全等三角形；遇到中线，延长中线至原长的二倍，构造全等三角形；截长补短构造等长直线等；添加平行线构造全等或相似三角形．在梯形中，作平行线，构造平行四边形；连接对角线，构造三角形；作垂线，构造直角三角形或矩形；遇到中点，作中位线或构造全等三角形．在平行四边形中，有平行线构造平行四边形；有中点构造全等三角形；过交点作垂线；有垂线时，构造矩形或作平行线．四㊁理出思路，正确运用数学几何语言数学学科具有精准性和严谨性，数学语言的合理利用是数学中考着重考查的部分，学生正式接触数学语言便是从几何开始的．教师在教授数学语言时，应促使学生养成正确运用数学语言的习惯．数学语言的正确表达，有助于学生形成数学思维．几何语言有连接实验几何和论证几何的桥梁作用，教师通过对几何语言例题的示范和训练来加强学生对几何知识的使用，真正意义上提升学生运用几何知识的能力，能够帮助学生理解复杂晦涩的数学知识，帮助学生进行清晰㊁有条理的思考，从而引导学生合理㊁正确地解决数学问题，加强对数学学习的认识，不断激发学生的思维能力．五㊁回顾检查，是否有不符题意信息回顾检查是解题的最后一步，也是较为重要的一步，但是很多学生在完成几何证明题以后，并没有检查的习惯，认为只要思路正确，便不会出错．事实恰恰相反．在几何证明题中，学生经常出现看错题目所给角度㊁所给直线，导致在理解错误的基础上反复解题，却一直没有收获，不仅浪费时间，而且影响做题进度㊁解题思路．因此，学生在解题的过程中，没有思路时，也应该注意回顾，检查是否有漏读㊁错读的信息．在近五年成都市中考数学试卷中，关于几何证明题，如果题目㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １４中没有涉及动点问题，所给出的图形一般来说是比较标准的．例如，学生可以根据对比已知直线的长度和所求解出来的直线的长度，判断最终结果是否符合题意信息．六㊁解题思路的应用下面以成都市２０２０年Ａ卷第２０题为例，对解题思路的五个步骤进行应用．㊀图２例２㊀（成都市２０２０年中考Ａ卷第２０题）如图２，在әＡＢＣ的边ＢＣ上取一点Ｏ，以Ｏ为圆心，ＯＣ为半径画☉Ｏ，☉Ｏ与边ＡＢ相切于点Ｄ，ＡＣ＝ＡＤ，连接ＯＡ交☉Ｏ于点Ｅ，连接ＣＥ，并延长交线段ＡＢ于点Ｆ．（１）求证：ＡＣ是☉Ｏ的切线；（２）若ＡＢ＝１０，ｔａｎＢ＝４３，求☉Ｏ的半径；（３）若Ｆ是ＡＢ的中点，试探究ＢＤ＋ＣＥ与ＡＦ的数量关系并说明理由．解题思路㊀根据上述所提供的的解题思路步骤，我们在拿到这道题后，先阅读题干的已知信息，整理有效信息，并且在已知信息的基础上，结合图形，引申出相关知识点，推测所给已知信息的目的．从题干中我们可以知道，所给的已知信息有：ＯＣ是☉Ｏ的半径㊁☉Ｏ与ＡＢ相切于点Ｄ㊁ＡＣ＝ＡＤ，同时，我们可以利用已知信息结合图形推测出ＯＣ＝ＯＥ㊁øＯＤＡ＝９０ʎ．第二步是读问题，前文已经提到，几何证明中，如题目是要求证明某一知识，我们可以直接将该问题看做已知，进行逆向思考．若ＡＣ就是☉Ｏ的切线，那么过Ｃ点的半径一定是和ＡＣ垂直的，结合上段所提取的信息，可以推测出øＯＤＡ＝øＯＣＡ，进行到此时时，便可以看出әＡＯＣɸәＡＯＤ，利用ＳＳＳ定理便可以轻易得证．整理思路以后，再利用几何数学语言将解题过程表达出来即可．在阅读第二小问时，我们可以直接利用第一小问的结论，所以此时的已知条件有ＡＢ＝１０，ｔａｎＢ＝４３，әＡＯＣɸәＡＯＤ，ＯＣ是☉Ｏ的半径，☉Ｏ与ＡＢ相切于点Ｄ，ＡＣ＝ＡＤ．根据要求的☉Ｏ的半径，结合已知信息，可以初步猜想本题可能会利用到相似或者是勾股定理．这只是我们的初步猜想，此时要尽量将所有已知信息整合到一个图形或者两个全等三角形㊁两个相似三角形中．本题所给的ＡＢ的长度，ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ，而ＡＣ＝ＡＤ；ｔａｎＢ＝４３，正切函数一般会涉及直角三角形，我们在引申这一信息时，要考虑到包含øＢ的所有直角三角形，即әＡＢＣ和әＯＢＤ，将所有的已知信息集中到了әＡＢＣ和әＯＢＤ上，接着通过设ＯＤ的长度为ｘ，找到这个两个三角形的线段对应关系，便可以得出答案．第三小问中给出了一个新的信息，Ｆ是ＡＢ的中点，要求探究ＢＤ＋ＣＥ与ＡＦ的关系，这三条线段初看似乎没有任何联系，因此我们要结合已知信息进行分析，ＯＣ是☉Ｏ的半径，☉Ｏ与ＡＢ相切于点Ｄ，ＡＣ＝ＡＣ，Ｆ是ＡＢ的中点，将信息尽量套到同一个图形之中．当我们在图中标注了这三条直线以后，会发现，由于Ｆ是ＡＢ的中点，且Ｂ，Ｄ，Ａ三点在同一条直线上，此时最主要的就是解决ＣＥ和这两条线段的联系．连接ＥＤ，我们可以观察到，ＥＤ和ＦＤ之间似乎是相等的关系，如果可以证明他们两者相等，便把题目中一开始看似毫无关联的三条线段，放在了同一条直线ＡＢ上，题目也就得到了解决．结㊀语总之，对学生几何证明的思路及思维进行训练，有利于培养学生数学逻辑能力以及核心素养．几何证明虽然是初中生普遍认为的难点，但是也仍然有可以破解的方法．作为教师，在教授几何相关知识时，要注意有意识地培养学生的数感，在平时训练时要重视实践．实践是初中数学证明的基本出发点，贯穿于证明教学的全过程．同时，教师应该注意及时对学生进行纠错，特别是数学几何语言，促使学生养成好的数学习惯，端正对于几何证明题的学习态度．ʌ参考文献ɔ［１］秦晓．例谈初中几何证明中 辅助线的自然生成 ［Ｊ］．数学教学通讯，２０１９（１１）：４２－４４．［２］林丽红．初中几何证明题解题技巧探析［Ｊ］．中国培训，２０１５（１０）：２１４．［３］李淑琴．初中数学证明题解题方法探讨［Ｊ］．当代教研论丛，２０１５（０９）：５３．［４］钟万明．浅谈平面几何证明中信息的处理［Ｊ］．数学学习与研究，２０１３（１２）：９４．［５］高长红．几何证明添加辅助线的技巧［Ｊ］．科学大众（科学教育），２０１１（０９）：２８．［６］王锡珠．初中数学几何图形语言的训练策略［Ｊ］．理科考试研究，２０１６，２３（０２）：４．。
2024年四川省成都市中考数学试题+答案详解
2024年四川省成都市中考数学试题+答案详解（试题部分）A 卷（共100分） 第I 卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5B. ﹣5C. 15−D.152. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）A. B. C. D.3. 下列计算正确的是（ ） A. ()2233x x = B. 336x y xy += C. ()222x y x y +=+D. ()()2224x x x +−=−4. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,4P −关于原点对称的点的坐标是（ ） A. ()1,4−−B. ()1,4−C. ()1,4D. ()1,4−5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA ”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ） A. 53B. 55C. 58D. 646. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A. AB AD =B. AC BD ⊥C. AC BD =D. ACB ACD ∠=∠7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x ，琎价为y ，则可列方程组为（ ）A. 142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩B. 142133y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C. 142133y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩D. 142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩8. 如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（ ）A. ABE CBE ∠=∠B. 5BC =C. DE DF =D.53BE EF = 第II 卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9. 若m ，n 为实数，且()240m ++=，则()2m n +的值为______． 10. 分式方程132x x=−的解是____． 11. 如图，在扇形AOB 中，6OA =，120AOB ∠=︒，则AB 的长为______．12. 盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则xy的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO PA+的最小值为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14. （1()02sin60π20242 +︒−−+．（2）解不等式组：2311123xx x+≥−⎧⎪⎨−−<⎪⎩①②15. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有______人，表中x的值为______：（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．16. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺．在夏至时，杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为BC ；在冬至时，杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为BD ．已知73.4ACB ∠=︒，26.6ADB ∠=︒，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan26.60.50︒≈，sin73.40.96︒≈，cos73.40.29︒≈，tan73.4 3.35︒≈）17. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为斜边AB 上一点，以BD 为直径作O ，交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ，DF ．（1）求证：BC DF BF CE ⋅=⋅；（2）若A CBF ∠=∠，tan BFC ∠=，AF =CF 的长和O 的直径．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =−+与直线2y x =相交于点()2,A a ，与x 轴交于点(),0B b ，点C 在反比例函数()0ky k x=<图象上．（1）求a ，b ，m 的值；（2）若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，求点C 的坐标和k 的值；（3）过A ，C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ，点E 与点D 关于y 轴对称．若有且只有一点C ，使得ABD △与ABE 相似，求k 的值．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19. 如图，ABC CDE △≌△，若35D ∠=︒，45ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为______．20. 若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为______． 21. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究．发现：当2n =时，只有{}1,2一种取法，即1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，即2k =；当4n =时，可得4k =；……．若6n =，则k 的值为______；若24n =，则k 的值为______．22. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =______．23. 在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y ______2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A ，B 两种水果共1500kg 进行销售，其中A 种水果收购单价10元/kg ，B 种水果收购单价15元/kg ． （1）求A ，B 两种水果各购进多少千克；（2）已知A 种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A 种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A 种水果的最低销售单价．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =−−>与x 轴交于A ，B 两点（点A在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．（1）求线段AB 的长；（2）当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；（3）延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB ''．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．【初步感知】（1）如图1，连接BD ，CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BDCE的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长．【拓展延伸】（3）在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究C ，D ，E 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE 的面积；若不能，请说明理由．2024年四川省成都市中考数学试题+答案详解（答案详解）A 卷（共100分） 第I 卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5C. 15−D.15【答案】A 【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A ．2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图为，故选：A ．3. 下列计算正确的是（ ） A. ()2233x x = B. 336x y xy += C. ()222x y x y +=+ D. ()()2224x x x +−=−【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可．【详解】解：A ．()2239x x =，原计算错误，故该选项不符合题意；B ．3x 和3y 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；C ．()2222x y x y xy +=++，原计算错误，故该选项不符合题意； D ．()()2224x x x +−=−，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D ．4. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,4P −关于原点对称的点的坐标是（ ） A. ()1,4−− B. ()1,4−C. ()1,4D. ()1,4−【答案】B 【解析】【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．【详解】解：点()1,4P −关于原点对称的点的坐标为()1,4−； 故选：B ．5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA ”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ） A. 53 B. 55C. 58D. 64【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55， 把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数是：5555552+=， 故选：B ．6. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A. AB AD =B. AC BD ⊥C. AC BD =D. ACB ACD ∠=∠【答案】C 【解析】【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AC BD =，AD BC ∥，则ACB DAC ∠=∠， ∴选项A 中AB AD =不一定正确，故不符合题意； 选项B 中AC BD ⊥不一定正确，故不符合题意； 选项C 中AC BD =一定正确，故符合题意；选项D 中ACB ACD ∠=∠不一定正确，故不符合题意， 故选：C ．7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x ，琎价为y ，则可列方程组为（ ）A. 142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩B. 142133y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C. 142133y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩D. 142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为x ，琎价为y ， 根据每人出12钱，会多出4钱可得出1y x 42=−， 每人出13钱，又差了3钱．可得出133y x =+，则方程组为：142133y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故选：B ．8. 如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（ ）A. ABE CBE ∠=∠B. 5BC =C. DE DF =D.53BE EF = 【答案】D 【解析】【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分， ∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确； ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴,,AD BC AB CD AD BC ==， ∵AD BC ∥ ∴AEB CBE ∠=∠， ∴AEB ABE ∠=∠， ∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△， ∴BE AB AE EF DF ED==， ∴332BE EF DF ==， ∴32BE EF =，2DF =，故D 错误； ∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．第II 卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9. 若m ，n 为实数，且()240m ++=，则()2m n +的值为______．【答案】1【解析】【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m 、n 值，进而代值求解即可．【详解】解：∵()240m ++=，∴40m +=，50n −=，解得4m =−，5n =，∴()()22451m n +=−+=，故答案为：1．10. 分式方程132x x=−的解是____． 【答案】x=3【解析】【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x ﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．考点：解分式方程11. 如图，在扇形AOB 中，6OA =，120AOB ∠=︒，则AB 的长为______．【答案】4π【解析】【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．【详解】解：由题意得AB 的长为π120π64π180180n r ⨯==， 故答案为：4π12. 盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则x y的值为______． 【答案】35【解析】【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是38，可得38x x y =+，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是38， ∴38x x y =+，则35x y =， 故答案为：35． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，得到AC A C '=，A A l '⊥，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，再利用勾股定理求A O '即可．【详解】解：取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，则可知AC A C '=，A A l '⊥，∴PO PA PO PA A O ''+=+≥，即当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，∵直线l 垂直于y 轴，∴A A x '⊥轴，∵()3,0A ，()0,2B ，∴3,4AO AA '==，∴在Rt A AO '中，5A O '===，故答案为：5三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14. （1()02sin60π20242+︒−−+．（2）解不等式组：2311123x x x +≥−⎧⎪⎨−−<⎪⎩①②【答案】（1）5；（2）29x −≤<【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：（1()02sin6020242π︒−−−42122=+⨯−+−5=+5=；（2）解不等式①，得2x ≥−，解不等式②，得9x <，∴该不等式组的解集为29x −≤<．15. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有______人，表中x 的值为______：（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．【答案】（1）160，40（2）99︒（3）385【解析】【分析】本题考查统计表和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息 是解答的关键．（1）根据选择“亲子互动慢游线”的人数及其所占的百分比可求得调查总人数，再根据选择“世界公园打卡线”对应的圆心角是90︒可求解x 值；（2）由360︒乘以选择“国风古韵观赏线”所占的百分比可得答案；（3）先求得选择“园艺小清新线”的人数，再由单位总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”所占的比例求解即可．【小问1详解】解：调查总人数为4830160÷%=（人）， 选择“世界公园打卡线”的人数为9016040360⨯=（人）， 故答案为：160，40；【小问2详解】 解：“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为4436099160︒⨯=︒； 【小问3详解】解：选择“园艺小清新线”的人数为16044404828−−−=（人）， ∴该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为282200385160⨯=（人）． 16. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺．在夏至时，杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为BC ；在冬至时，杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为BD ．已知73.4ACB ∠=︒，26.6ADB ∠=︒，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan26.60.50︒≈，sin73.40.96︒≈，cos73.40.29︒≈，tan73.4 3.35︒≈）【答案】9.2尺【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得BC 和BD ，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．【详解】解：∵73.4ACB ∠=︒，杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺． ∴tan ∠=AB ACB BC ，即8 2.393.35BC ≈≈， ∵26.6ADB ∠=︒， ∴tan AB ADB BD∠=，即8160.50BD ≈=， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．∴春分和秋分时日影长度为2.39169.22+≈． 答：春分和秋分时日影长度9.2尺．17. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为斜边AB 上一点，以BD 为直径作O ，交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ，DF ．（1）求证：BC DF BF CE ⋅=⋅；（2）若A CBF ∠=∠，tan BFC ∠=，AF =CF 的长和O 的直径．【答案】（1）见详解；（2．【解析】【分析】（1）先证明EBC DBF ∽，然后利用对应边成比例，即可证明；（2）利用EBC DBF ∽，知道EBC DBF ∠=∠，从而推出CBF EBA ∠=∠，结合A CBF ∠=∠，知道A EBA ∠=∠，推出AE BE =，接下来证明BFC ABC ∠=∠，那么有tan tan BFC ∠=∠即CB AC CF BC==CF x =，代入求得CF 的长度，不妨设EF y =，在Rt CEB △和Rt CFB △中利用勾股定理求得EF 和BF 的长度，最后利用tan tan CEB FDB ∠=∠，求得DF 的长度，然后在利用勾股定理求得BD 的长度．【小问1详解】BD Q 是O 的直径90BFD C ∴∠=︒=∠又CEB FDB ∠∠=EBC DBF ∴∽ EC CB DF FB ∴= BC DF BF CE ⋅=⋅∴【小问2详解】由（1）可知，EBC DBF ∽EBC DBF ∴∠=∠EBC FBE DBF FBE ∴∠−∠=∠−∠CBF EBA ∴∠=∠A CBF ∠=∠A EBA ∴∠=∠AE BE ∴=A CBF ∠=∠9090A CBF ∴︒−∠=︒−∠ABC CFB ∴∠=∠tan BFC ∠=tan tan BFC ∠∴=∠CB AC CF BC∴==不妨设CF x =，那么CB = 4AF ==x ∴=CF ∴=5CB ==不妨设EF y =，那么AE AF EF y BE =−==在Rt CEB △中，CE EF CF y =+=，5CB =，BE y =222(5)y y ∴++=−y ∴=EF ∴=在Rt CFB △中，CF =，5BC =BF ∴===CEB FDB ∠∠=tan tan CEB FDB ∴∠=∠CB BF CE DF∴=DF =DF ∴=BD ∴===∴O 的直径是故答案为：CF =O 直径是 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =−+与直线2y x =相交于点()2,A a ，与x 轴交于点(),0B b ，点C 在反比例函数()0k y k x=<图象上．（1）求a ，b ，m 的值；（2）若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，求点C 的坐标和k 的值；（3）过A ，C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ，点E 与点D 关于y 轴对称．若有且只有一点C ，使得ABD △与ABE 相似，求k 的值．【答案】（1）4a =，6m =，6b =（2）点C 的坐标为()4,4−或()4,4−，16k =−（3）1−【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设(),C t s ，根据平行四边形的性质，分当OA 为对角线时，当OB 为对角线时，当OC 为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可；（3）设点(),0D x ，则(),0E x −，0x <，利用相似三角形的性质得2AB BE BD =⋅，进而解方程得2x =−，则()2,0D −，利用待定系数法求得直线AC 的表达式为2y x =+，联立方程组得220x x k +−=，根据题意，方程220x x k +−=有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可．【小问1详解】解：由题意，将()2,A a 代入2y x =中，得224a =⨯=，则()2,4A ，将()2,4A 代入y x m =−+中，得42m =−+，则6m =，∴6y x =−+，将(),0B b 代入6y x =−+中，得06b =−+，则6b =；【小问2详解】解：设(),C t s ，由（1）知()2,4A ，()6,0B若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况：当OA 为对角线时，则026040t s +=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =−⎧⎨=⎩， ∴()4,4C −，则4416k =−⨯=−；当OB 为对角线时，则062004t s +=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =⎧⎨=−⎩， ∴()4,4C −，则4416k =−⨯=−；当OC 为对角线时，依题意，这种情况不存在，综上所述，满足条件的点C 的坐标为()4,4−或()4,4−，16k =−；【小问3详解】解：如图，设点(),0D x ，则(),0E x −，0x <，若ABD EBA △∽△，则AB BD BE AB =，即2AB BE BD =⋅， ∴()()()()22264066x x −+−=+−，即24x =，解得2x =±，∵0x <，∴2x =−，则()2,0D −，设直线AC 的表达式为y px q =+，则2420p q p q +=⎧⎨−+=⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的表达式为2y x =+， 联立方程组2y x k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得220x x k +−=， ∵有且只有一点C ，∴方程220x x k +−=有且只有一个实数根，∴2402k +==∆，解得1k =−；由题意，ABD ABE ∽V V 不存在，故满足条件的k 值为1−．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19. 如图，ABC CDE △≌△，若35D ∠=︒，45ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为______．【答案】100︒##100度【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出45CED ACB ∠=∠=︒，再利用三角形内角和求出DCE ∠的度数即可．【详解】解：由ABC CDE △≌△，35D ∠=︒，∴45CED ACB ∠=∠=︒，∵35D ∠=︒，∴1801803545100DCE D CED ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：100︒20. 若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为______．【答案】7【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，∴2520n n −+=，5b m n a+=−=， 则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+2m n =++52=+7=故答案为：721. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究．发现：当2n =时，只有{}1,2一种取法，即1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，即2k =；当4n =时，可得4k =；……．若6n =，则k 的值为______；若24n =，则k 的值为______．【答案】 ①. 9 ②. 144【解析】【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n 为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n 值所对应k 值，找到变化规律求解即可．【详解】解：当2n =时，只有{}1,2一种取法，则1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，则2k =；当4n =时，有{}1,4，{}2,4，{}3,4，{}2,3四种取法，则243144k =+==； 故当5n =时，有{}1,5，{}2,5，{}3,5，{}4,5，{}2,4，{}3,4六种取法，则426k =+=；当6n =时，有{}1,6，{}2,6，{}3,6，{}4,6，{}5,6，{}2,5，{}3,5，{}4,5，{}3,4九种取法，则2653194k =++==； 依次类推，当n 为偶数时，()()2135314n k n n =−+−++++=， 故当24n =时，2242321195311444k =++++++==， 故答案为：9，144． 22. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =______．【解析】 【分析】连接CE ，过E 作EF CD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC BEC ∠=∠=∠，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，证明CBE CED ∽，利用相似三角形的性质和勾股定理得到232m x =+；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明CAB FBE ∽得到()()2212m x x =++，进而得到关于x 的一元二次方程，进而求解即可．【详解】解：连接CE ，过E 作EFCD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =， ∴112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC ∠=∠， ∴2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，∵BE BC =，∴BEC ECB ∠=∠，则BEC EDC ∠=∠，又BCE ECD ∠=∠，∴CBE CED ∽， ∴CE CB CD CE=，2CBE CED CAE ∠=∠=∠， ∴()22242CE CD CB x x =⋅=+=+，则222232m EF CE CF x ==−=+；∵AD 是ABC 的一条角平分线，∴2CAB CAE CBE ∠=∠=∠，又90ACB BFE ∠=∠=︒，∴CAB FBE ∽， ∴AC BC BF EF= ∴221m x x m +=+，则()()2212m x x =++， ∴()()()23212x x x +=++，即240x x --=，解得x =，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．23. 在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y ______2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是______．【答案】 ①. > ②. 112m −<< 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由()224123y x x x =−+−=−−+得抛物线的对称轴为直线2x =，开口向下， ∵101x <<，24x >，∴1222x x −<−，∴12y y >；∵12m m m <+<+，11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，∴123x x x <<，∵存在132y y y <<，∴12x <，32x >，且()11,A x y 离对称轴最远，()22,B x y 离对称轴最近， ∴132222x x x −>−>−，即134x x +<，且234x x +>，∵132224m x x m +<+<+，232325m x x m +<+<+，∴224m +<且254m +>， 解得112m −<<， 故答案为：>；112m −<<． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A ，B 两种水果共1500kg 进行销售，其中A 种水果收购单价10元/kg ，B 种水果收购单价15元/kg ．（1）求A ，B 两种水果各购进多少千克；（2）已知A 种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A 种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A 种水果的最低销售单价．【答案】（1）A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克（2）A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，（1）设A 种水果购进x 千克， B 种水果购进y 千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可．【小问1详解】解：设A 种水果购进x 千克， B 种水果购进y 千克，根据题意有：1500101517500x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：1000500x y =⎧⎨=⎩， ∴A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克【小问2详解】设A 种水果的销售单价为a 元/kg ，根据题意有：()()100014%120%100010a −≥+⨯⨯，解得12.5a ≥，故A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =−−>与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．（1）求线段AB 的长；（2）当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；（3）延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB ''．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）4AB =（2）10tan 3ABD ∠= （3）抛物线L '与L 交于定点()3,0【解析】【分析】（1）根据题意可得2230ax ax a −−=，整理得2230x x −−=，即可知()()1,0,3,0,A B −则有4AB =；（2）由题意得抛物线L ：()222314y x x x =−−=−−，则()1,4,C −设()2,23,D n n n −−()03n <<，可求得2246ABD S n n =−++△，结合题意可得直线AD 解析式为()()31y n x =−+，设直线AD 与抛物线对称轴交于点E ，则()1,26E n −，即可求得21ACD S n =−，进一步解得点720,39D ⎛⎫− ⎪⎝⎭，过D 作DH AB ⊥于点H ，则220,39BH DH ==，即可求得tan DH ABD BH ∠=； （3）设()2,23,D n an an a −−可求得直线AD 解析式为()()31y a n x =−+，过点D 作DM AB ⊥，可得21,23AM n DM an an a =+=−++，结合题意得1,EM n =+()2,23,A n an an a −++'()24,23,B n an an a '+−++设抛物线L '解析式为()20y ax bx c a =++>，由于过点A '，B '可求得抛物线L '解析式为()22463y ax an a x an a =+−−++，根据()22232463ax ax a ax an a x an a −−=+−−++解得3x =，即可判断抛物线L '与L 交于定点()3,0．【小问1详解】解：∵抛物线L ：()2230y ax ax a a =−−>与x 轴交于A ，B 两点， ∴2230ax ax a −−=，整理得2230x x −−=，解得121,3,x x =−=∴()()1,0,3,0,A B −则()314AB =−−=；【小问2详解】当1a =时，抛物线L ：()222314y x x x =−−=−−， 则()1,4,C −设()2,23,D n n n −−()03n <<，则()221142324622ABD D S AB y n n n n =⋅=−⨯⨯−−=−++， 设直线AD 解析式为()1y k x =+，∵点D 在直线AD 上，∴()2231n n k n −−=+，解得3k n =−， 则直线AD 解析式为()()31y n x =−+，设直线AD 与抛物线对称轴交于点E ，则()1,26E n −，。
历年四川省成都市中考数学试卷(A卷)(含答案)
2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（）A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×10114．（3分）二次根式中，x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜15．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）下列计算正确的是（）A．a5+a5=a10B．a7÷a=a6C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a67．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：得分（分）60708090100人数（人）7121083则得分的众数和中位数分别为（）A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：9．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）（﹣1）0=．12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．13．（4分）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1y2．（填“＞”或“＜”）．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；（2）解不等式组：．16．（6分）化简求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是．22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=．23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则=．24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=．25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=cm．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex（千米）891011.513y1（分钟）1820222528（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的长．28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•成都）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．故选：B．【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．2．（3分）（2017•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看一层三个小正方形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．（3分）（2017•成都）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（）A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：647亿=647 0000 0000=6.47×1010，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017•成都）二次根式中，x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，∴x≥1，故选（A）【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．5．（3分）（2017•成都）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．（3分）（2017•成都）下列计算正确的是（）A．a5+a5=a10B．a7÷a=a6C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可．【解答】解：A．a5+a5=2a5，所以此选项错误；B．a7÷a=a6，所以此选项正确；C．a3•a2=a5，所以此选项错误；D．（﹣a3）2=a6，所以此选项错误；故选B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等，关键是熟记，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．7．（3分）（2017•成都）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：得分（分）60708090100人数（人）7121083则得分的众数和中位数分别为（）A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．故选：C．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．8．（3分）（2017•成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2=，故选：A．【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．9．（3分）（2017•成都）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k 的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值．【解答】解：将x=3代入﹣=2，∴解得：k=2，故选（D）【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是将x=3代入原方程中，本题属于基础题型．10．（3分）（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．【解答】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0；抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，即b＜0；抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；∴abc＞0，∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线与x轴交点情况，是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）（2017•成都）（﹣1）0=1．【分析】直接利用零指数幂的性质求出答案．【解答】解：（﹣1）0=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．12．（4分）（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为40°．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．13．（4分）（2017•成都）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1＜y2．（填“＞”或“＜”）．【分析】由图象可以知道，当x=2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上右，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．14．（4分）（2017•成都）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD 于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为15．【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为：15．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（2017•成都）（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；（2）解不等式组：．【分析】（1）原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．（2）分别求得两个不等式的解集，然后取其公共部分即可．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣2+2×+4=﹣1﹣2++4=3；（2），①可化简为2x﹣7＜3x﹣3，﹣x＜4，x＞﹣4，②可化简为2x≤1﹣3，则x≤﹣1．不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（6分）（2017•成都）化简求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值．【解答】解：÷（1﹣）=•=，∵x=﹣1，∴原式==．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（8分）（2017•成都）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有50人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是360人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．【分析】（1）用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用总人数乘以“不了解”人数所占的百分比即可得出答案；（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）4÷8%=50（人），1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）=360（人）；故答案为：50，360；（2）画树状图，共有12根可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，∴P（恰好抽到一男一女的）==．【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．18．（8分）（2017•成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2（千米），BD=AB•sin∠BAD=4×=2（千米），∵△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=2（千米），∴BC=BD=2（千米）．答：B，C两地的距离是2千米．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．19．（10分）（2017•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，），则C（m，m），根据△POC的面积为3，可得方程m×|m﹣|=3，求得m的值，即可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得a=﹣4，∴A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得k=8，∴反比例函数的表达式为y=，∵点B与点A关于原点对称，∴B（4，2）；（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，设P（m，），则C（m，m），∵△POC的面积为3，∴m×|m﹣|=3，解得m=2或2，∴P（2，）或（2，4）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．20．（12分）（2017•成都）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则=，求出r的值即可．【解答】证明：（1）连接OD，如图1，∵OB=OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB①，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB②，由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵DH⊥AC，且点A是EH中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，∵AB=AC，∴D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，OD=AC=×3x=，∵OD∥AC，∴∠E=∠ODF，在△AEF和△ODF中，∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，∴△AEF∽△ODF，∴，∴==，∴=；（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，∵EF=EA，∴∠EFA=∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD=∠EAF，则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，∴DF=OD=r，∴DE=DF+EF=r+1，∴BD=CD=DE=r+1，在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，∴BF=BD=r+1，∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，在△BFD和△EFA中，∵，∴△BFD∽△EFA，∴，∴=，解得：r1=，r2=（舍），综上所述，⊙O的半径为．【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）（2017•成都）如图，数轴上点A表示的实数是﹣1．【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为=，则数轴上点A表示的实数是：﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．22．（4分）（2017•成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=．【分析】由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=5，x1•x2=a，由x12﹣x22=10得（x1+x2）（x1﹣x2）=10，若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=25﹣4a=4，∴a=，故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．23．（4分）（2017•成都）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则=．【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1，P2的值即可得出答案．【解答】解：设⊙O的半径为1，则AD=，故S=π，圆O阴影部分面积为：π×2+×﹣π=2，则P1=，P2=，故=．故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．24．（4分）（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=﹣．【分析】设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），由AB=2可得出b=a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．【解答】解：设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB=2，∴b﹣a=2，即b=a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上，∴，解得：k=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．25．（4分）（2017•成都）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=cm．【分析】作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，首先证明△AKC′≌△GFM，可得GF=AK，由AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，推出=，可得=，推出C′K=1cm，在Rt△AC′K中，根据AK=，求出AK即可解决问题．【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，∵GF⊥AA′，∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，∴∠MGF=∠KAC′，∴△AKC′≌△GFM，∴GF=AK，∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，∴=，∴=，∴C′K=1cm，在Rt△AC′K中，AK==cm，∴FG=AK=cm，故答案为．【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex（千米）891011.513y1（分钟）1820222528（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：，解得：，故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，∴当x=9时，y有最小值，y min==39.5，答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．27．（10分）（2017•成都）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的长．【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；②结论：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得=cos30°，由此即可解决问题．【解答】迁移应用：①证明：如图②∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC，②解：结论：CD=AD+BD．理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，。
近11年中考真题之2010年四川省成都市中考数学试卷及答案+附中考数学几何知识点大全
2010年成都市中考数学试题A 卷（共100分）一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（2010年四川成都，1，3分）下列各数中，最大的数是（ ）A ．2-B ．0C ．12D ．3 2．（2010年四川成都，2，3分）3x 表示（ ）A ．3xB ．x x x ++C ．x x x ⋅⋅D ．3x +3．（2010年四川成都，3，3分）上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观．据统计，2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000，这一人数用科学记数法表示为（ ）A ．52.5610⨯B ．525.610⨯C ．42.5610⨯D ．425.610⨯4．（2010年四川成都，4，3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．圆台D ．长方体5．（2010年四川成都，5，3分）把抛物线2y x =向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）A ．21y x =+B ．2(1)y x =+C ．21y x =-D ．2(1)y x =-6．（2010年四川成都，6，3分）如图，已知//AB ED ， 65ECF ∠=，则BAC ∠的度数为（ ）A ．115B ．65C ．60D ．257．（2010年四川成都，7，3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：每天使用零花钱 （单位：元） 1 2 3 5 6 人 数 2 5 4 3 1则这15A ．3，3 B ．2，3 C ．2，2 D ．3，58．（2010年四川成都，8，3分）已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．外离D ．内含9．（2010年四川成都，9，3分）若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是（ ）A ．0,0k b >>B ．0,0k b ><C ．0,0k b <>D ．0,0k b <<10．（2010年四川成都，10，3分）已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ）A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种二、填空题：（每小题3分，共15分）11．（2010年四川成都，11，3分）在平面直角坐标系中，点(2,3)A -位于第___________象限．12．（2010年四川成都，12，3分）若,x y 为实数，且230x y ++-=，则2010()x y +的值为___________．13．（2010年四川成都，13，3分）如图，在ABC ∆中，AB 为O 的直径，60,70B C ∠=∠=，则BOD ∠的度数是_____________度．14．（2010年四川成都，14，3分）甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值是_____________．15．（2010年四川成都，15，3分）若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是___________．三、（第1小题7分，第2小题8分，共15分）16．（2010年四川成都，16（1），7分）解答下列各题：（1）计算：0116tan30(3.6π)12()2-+-． （2）（2010年四川成都，16（2），8分）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.四、（第17题8分，第18题10分，共18分）17．（2010年四川成都，17，8分）已知：如图，AB与圆O相切于点C，OA OB=，圆O的直径为4,8AB=．（1）求OB的长；（2）求sin A的值．18．（2010年四川成都，18，10分）如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x b=+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k-+．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．五、（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（2010年四川成都，19，10分）某公司组织部分员工到一博览会的A B C D E、、、、五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．请根据统计图回答下列问题：（1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；（2）若A 馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小明抽得的数字比小华抽得的数字大，门票给小明，否则给小华．” 请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平．20．（2010年四川成都，20，12分）已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的点时，求证：OP OQ =；（2）如图乙，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠，求AS 和OR 的长．B 卷（共50分）一、填空题：（每小题4分，共20分）21．（2010年四川成都，21，4分）设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．22．（2010年四川成都，22，4分）如图，在ABC ∆中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．23．（2010年四川成都，23，4分）有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数,1k k +（其中0,1,2,.......,19k =）的卡片20张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，则该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14的概率为_________________.24．（2010年四川成都，24，4分）已知n 是正整数，111222(,),(,),......,(,),........n n n P x y P x y P x y 是反比例函数k y x=图象上的一列点，其中121,2,......,,......n x x x n ===．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=......，，......若1A a =（a 是非零常数），则12.....n A A A •••的值是________________________（用含a 和n 的代数式表示）．25．（2010年四川成都，25，4分）如图，ABC ∆内接于圆O ，90,B AB BC ∠==，D 是圆O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则BQ QR的值为_______________．二、（共8分）26．（2010年四川成都，26，8分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．三、（共10分）27．（2010年四川成都，27，10分）已知：如图，ABC ∆内接于O 圆，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是弧AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．（1）求证：P 是ACQ ∆的外心；（2）若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2()FP PQ FP FG +=•．四、（共12分）28．（2010年四川成都，28，12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且:2:3ABP BPC S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）设Q 圆的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在圆Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？中考数学几何知识点大全直线：没有端点，没有长度射线：一个端点，另一端无限延长，没有长度线段：两个端点，有长度一、图形的认知1、余角；补角：邻补角:二、平行线知识点1、对顶角性质：对顶角相等。
成都2012—2015中考数学历年考点分析
12
二次函数综合题
++++
2013年成都市中考数学考点分析表
题型
题号
分值
考点
难度
A卷选择
30分
1
3
相反数
+
2
3
三视图
+
3
3
分式有意义的条件
+
4
3
等腰三角形性质
+
5
3
有理数运算
+
6
3
科学计数法
+
7
3
矩形对角线折叠
+
8
3
已知函数的图像上的点的判定
+
9
3
已知一元二次方程的根的情况的判定
+
10
3
由圆周角定理求圆中角的度数
+
19
10
函数图像上的点，待定系数法求解析式；一次函数与反比例函数与不等式组解集
++
20
10
相似、勾股定理，锐角三角形函数
+++
B卷填空
20分
21
4
点在直线上的意义，求代数的值
++
22
4
枚举法求概率
++
23
4
不等式组的整数解(一次函数与反比例函数)
+++
24
4
直角坐标系下的几何证明
+++++
25
4
圆
待定系数法求反比例函数解析式
++
2009-2017年最新四川省成都市历年中考数学真题及解析汇总【9年真题】【中考直通车】
三、2011 年四川省成都市中考数学真题试卷及解析
四、2012 年四川省成都市中考数学真题试卷及解析
五、2013 年四川省成都市中考数学真题试卷及解析
六、2014 年四川省成都市中考数学真题试卷及解析
七、2015 年四川省成都市中考数学真题试卷及解析
八、2016 年四川省成都市中考数学真题试卷及解析
2 1 11.分式方程 的解是_________ 3x x 1
B A E A′ C D
12．如图，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′ =_____． 13．改革开放 30 年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳 定的发展态势．据统计，到 2008 年底，成都市中心五城区(不含高新
8． 若一个圆锥的底面圆的周长是 4πcm，母线长是 6cm，则该圆锥 的侧面展开图的圆心角的度数是 (A)40° (B)80° (C)120° (D)150°
9．
某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 x (kg)与其运费
y (元)由如图所示(A)20kg (C)28kg (B)25kg (D)30kg
三、 （第 15 题每小题 6 分，第 16 题 6 分，共 18 分） 15.解答下列各题： （1）计算： 8 2( 2009) 0 4sin 45。 (1) 3
（2）先化简，再求值： x 2 (3 x) x( x 2 2 x) 1 ，其中 x 3 。
3 x 1 2( x 1)， 16.解不等式组 并在所给的数轴上表示出其解集。 x3 1， 2
1 3 1 2
(B) l
(C)一 2
(D) 2
1 中，自变量 x 的取值范围是 3x 1 1 1 1 (B) x (C) x (D) x 3 3 3
2015年四川省成都市中考数学试题及解析
2015年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）（2015?成都）﹣3的倒数是（）2．（3分）（2015?成都）如图所示的三视图是主视图是（）3．（3分）（2015?成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用和，D2，AB=的长为．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（2015?成都）（1）计算：﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．（2）解方程组：．16．（6分）（2015?成都）化简：（+）÷．17．（8分）（2015?成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）18．（8分）（2015?成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．19．（10分）（2015?成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B 20．（10D，成都）比较大小：．（填22．（41～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为的不等式组有解的概率为23．（4的边长为2，∠A B C=60°为坐标原点，分别以OA11C1D1，再以A2C224．（4A作AP的垂25．（4③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）（2015?成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？27．（10分）（2015?成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）28．（12分）（2015?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点）的倒数是﹣．3．（3分）（2015?成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（）4．（3分）（2015?成都）下列计算正确的是（）根据平行线分线段成比例可得∴即7．（3分）（2015?成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（）8．（3分）（2015?成都）关于x的一元二次方程kx+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）和的长分别为，，D，OM=2==π二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）2AB=，AE==三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（2015?成都）（1）计算：﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．（2）解方程组：．=2+9则方程组的解为成都）化简：（+）÷．==?=．BD=AB=100mBD=AB=100m18．（8分）（2015?成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．=．y=（y=，，，，，=﹣=2=1.5CF=BF BF BF=，EF= EF=中，，CF=AF=CF=AB+BF=1+BF=BF=EF==∴HF=EF=∴=2+．．（填首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出的大小关系即可．解：﹣==∵4∴∴＜∴．﹣22．（4分）（2015?成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为．的不等式组，，的不等式组∴的不等式组有解的概率为：．故答案为：=1=，==324．（4分）（2015?成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，或．利用相似三角形的性质，AB=4∴∴∴，即PB=，∴，CP=BP==∴∴∴t=t=，，．y=的图象上，则关于．﹣，得到==的图象上，得到，，故∴x====﹣∴=y=﹣，==，=+10=，27．（10分）（2015?成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）均为正方形，可得，∠中，根据余弦定理，可得；∴，，，又∵，∴，∴=EF=，CE=，∵=AC=，CE==，∴，∠ACE=∠BCF，△ACE和△∠BCF中，，∴△ACE∽△∠BCF，∴，∠CAE=∠CBF，又∵AE=2，∴，BF=，∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，EF2=BE2+BF2=1，∵，∴=EF=1∴±∵=k=．=2=，∴∴∴，28．（12分）（2015?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．=（）﹣∴=∴=得，解得，则，解得：=（）﹣∴有最大值﹣a=，；，，a=﹣（舍），﹣）（舍）。
成都数学中考考点分析
中考数学复习建议1 中考数学复习经过本人对成都历年中考的分析以及解剖觉得，若要在中考数学轻松的高分，以及对高中数学打下牢实的基础，一下几个过程不可少。
无论你来自成都市还是成都附近的，都有自己的梦想的高中学校：四七九中、成外、实外、新都实验一中、新津一中、棠湖中学。
希望这个小小的总结能帮你实现梦想。
一、近年成都市中考试题分析为了更好地做好中考复习，首先应对近年成都市中考试题作必要的分析.1．整体特点（1）主要考查重点知识点，无偏题怪题；（2）试卷结构、题型保持较平稳，但在不断寻求变化，推陈出新；（3）A卷除最后一题（20题）外，整体较简单、运算量也较小；B卷难度较大，区分度明显，充分体现选拔功能.2．考点分布及分值统计按国家初中数学学业考试命题指导研究组的要求：初中数学学业考试整卷应涉及全部二级知识点，即数与式、方程与不等式、函数、图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明、统计、概率．三级知识点（共45个）的覆盖率不能低于85%．下表是近三年成都市中考数学试题中，“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”三大板块分值占比情况的统计：3、考点分析从上表不难看出很多考点每年都考，且题型大体不变●选择、填空题常见考点：(1)科学计数法；(2)整式（幂）的运算；(3)函数自变量取值范围；(4)三视图；(5)几何变换与坐标；(6)与圆有关的角度或长度计算；(7)与圆锥有关的计算；(8)众数与中位数.●计算题常见类型：(1)实数运算(含特殊角三角函数)；(2)分式运算；(3)整式运算；(4)解不等式组；(5)解方程.●解答题常见题型：(1)一次函数与反比例函数的综合；(2)用列表法或树状图求概率；(3)解直角三角形的应用；(4)以四边形为基架，结合全等或相似的证明与计算；(5)现实情景应用题；(6)以圆为基架的综合题；(7)以二次函数为基架的综合题.4．命题趋势（1）淡化纯概念和文字命题的考查（2）渗透参数思想，强化符号运算二、复习建议1．处理好三个关系（1）基础与能力比如，评讲卷子老师容易忽视A卷，而恰恰评讲A卷更具实效性，通过对细节的点评可以让大面积学生得到提高，而且用时较少. B卷的评讲重点应放在讲思路，讲方法，讲改错要求上，不必完整讲评，而且有些内容学生还可以互助.（2）数量与质量（3）讲解与过手2．落实阶段复习计划和目标我校中考复习一般分为三个阶段：第一阶段：（2月——4月中旬）知识梳理、夯实双基第二阶段：（4月下旬——5月中旬）专题强化、提升能力第三阶段：（5月下旬——6月上旬）综合训练、查漏补缺3．专题设计与分析●A卷专题（1）计算题专题①实数运算；②分式运算；③解不等式组；④解方程（重点是分式方程）．（2）反比例函数与一次函数专题①用待定系数法求函数解析式；②联立解析式求交点坐标；③面积问题；④根据图象比较两函数的大小关系；⑤与几何的简单结合．（3）解直角三角形应用专题①测山高，塔高，楼高类；（仰角，俯角）②航海类；（方位角）③加固大坝，拓宽沟渠类．（坡度，坝长）（4）A卷压轴题专题①以三角形为基架；②以四边形为基架；③以圆为基架．命题方式：建立在全等基础上的证明与计算；建立在相似基础上的证明与计算；简单的几何变换；简单的动点问题．（5）统计与概率专题（6）与圆锥有关的计算专题●B卷专题（1）B卷填空专题①代数式化简或求值；②一元二次方程判别式与根系关系；③分式方程增根问题；④探索规律；⑤综合型概率问题；⑥动点问题；⑦多项判断问题；⑧双解或多解问题；⑨含字母参数的问题；⑩较难的几何问题．（2）应用题专题按问题背景分:①工程问题；②行程问题；③增长率问题；④销售问题或利润问题；⑤方案设计问题；⑥调度问题．按涉及知识分:①一元二次方程；②二元一次方程组；③分式方程；④不等式（组）；⑤一次函数；⑥二次函数；⑦反比例函数；⑧分段函数．（3）几何压轴题专题①以四边形为基架；②以圆为基架．（4）二次函数压轴题专题①二次函数与面积；②二次函数与特殊三角形；③二次函数与相似形；④二次函数与特殊四边形；⑤二次函数与圆；⑥二次函数与几何变换．4．教学中的具体做法（1）回归课本、回归课标、回归基础；（2）精心编写每一份试卷，做到有的放矢；（3）淡化特殊技巧，注重通性通法；（4）注重基本图形的归纳，如相似中的A型、X型、斜A型、斜X型、母子型、K型等；（6）不要一讲到底，应给学生留足纠错和消化的时间；（7）加强分层辅导，增强针对性，重视小考与过关；（8）注重知识的纵横联系、相互交汇，以利于学生知识网络的构建和思维品质的提升；（9）适度加强压轴题(1)、(2)小问的训练，消除学生对压轴题的恐惧心理，提高整体成绩；（10）加强考题研究，预测可能的命题方式.5．两点注意（1）不要忽略近年未考的知识点，如代数中的因式分解，几何中的几何变换作图、投影等；（2）不要局限于去年或近年考题的模式，形成思维定势，防止题型的突变.三、补充内容说明1．一元二次方程根系关系（韦达定理）去年的要求是“了解”，今年的要求是“理解”；难度要求到平方关系，三次以上不作要求；2．补充分母有理化，要求到形如“131”的化简；3．射影定理可使用，但需注明“由射影定理得”的字样；4．平行线分线段成比例定理，有两边平行的两个三角形相似都可直接使用，但需写出由哪两条平行线得出的；5．可补讲两点间距离公式和中点坐标公式，及两一次函数图象垂直的等价条件是121kk，为学生解题多提供一种思路；6．作图要作要求；7．不必补讲圆幂定理，但还不能弱化圆，学生需对如“证切线”一类的问题要熟练； 8．不必补讲余切和0、90的三角函数值.四、其他事项1．今年中考可能实行网上阅卷，教师应指导学生书写答题卡，如何写出关键得分点，有哪些注意事项，多进行板书示范；2．今年中考可能倾向于2009年的中考模式，因此一诊按成都市2009年的结构命题，同时实行网上阅卷.。
成都市中考数学试题分析
成都市近年中考数学试题分析及教学建议第一部分：试卷概况总体评价：A卷紧扣双基、B卷突出衔接基本描述：近年成都市中考数学试题，遵循《数学新课程标准》及《中考说明》中相关评价，在全面考查课程标准规定的数学核心内容的基础上，更加注重基础知识、基本技能、基本思想方法及基本活动经验的考查，继续突出学生的数学能力的考查．试题紧扣双基，贴近生活，题目起点低，难度分布有序，区分度恰当。
问题基础、灵活、巧妙、新颖．既着眼于熟悉的题型和在此基础上的演变，又着眼于情景创新，有利于考查考生真实的数学水平，充分发挥中考数学试题的测评、选拔和导向功能．进一步引导教学回到“回归基础、回归教材、回归通性通法，关注后续学习”的正确轨道上来．试卷结构：试题为A、B卷，总分150分．考试时间120分钟．全卷共28个题，A卷20个题，共100分；B卷8个题，共50分．A卷10个选择题，每小题3分，共30分；4个填空题，每小题4分，共16分；6个解答题，共54分．B卷5个填空题，每小题4分，共20分；3个解答题，共30分．考点分析：整个初中知识可以分为三大板块：数与代数，空间与几何，统计与概率。
其中考试所占比重最多的是数与代数，50%左右。
其次是空间与几何约为38%，统计与概率是最少也是最简单的一个板块，约为12%。
具体分值情况参看下表第二部分：试题分析一、试题特色：1．基础知识与技能考查上降低起点，突出核心内容考查每年在A卷选择题、填空题必考的内容有实数的运算、代数式的化简求值、解不等式组、解方程或方程组等；在每年的解答题中，统计与概率实际应用、解直角三角形、求函数解析式、平面图形的简单论证和计算等是考查的重点。
整个A卷体现了“考查基础”的命题指导思想．试卷的起点题以及每种题型的起点题都属基础知识,．2．基本思想方法及基本活动经验考查贯穿全卷《标准修订稿》强调数学教学过程中的两个新任务：感悟数学思想及积累数学活动经验．数学基本思想方法是数学学习的灵魂。
成都市中考核心考点 - 第十二讲 几何类综合压轴题(27题)(B卷)
成都中考核心考点（成都版）简介--只要抓住核心考点，就能拿到卷子上80%的分数在历年的成都中考数学试题中，核心考点虽然只占总考点的20%，却占总分值的80%。
掌握了核心考点，相当于用20%的时间来把握80%的分数，在最短的时间内实现快速提分。
本文共分两轮复习：第一轮过关核心考点聚焦常考考点，五年真题回顾，三年诊断精选。
本文分13讲，由成都市中考数学A卷和B卷难度区分度较大，A卷1-19题较基础，大部分学生都容易掌握，选题主要以中考题和诊断题为主，20题-28题有一定综合性，选题除了中考题和诊断题外，还选择了大量的模拟题和改编题。
第一讲:考点1-考点6，第二讲:考点7-考点10，第三讲:考点11-考点14，第四讲:考点15-考点19，第五讲:考点20，第六讲:考点21，………第十三讲:考点28.（从考点20开始，每个考点一讲）。
第二轮过关B卷攻略专攻B卷重难，五年考点扫描，专题考向攻略。
暂定：B填空7-8讲，应用题1讲，几何综合3讲，抛物线综合5讲考点27、几何图形综合（压轴）命题方向：主要以三角形和四边形为基架，从全等过渡到相似，从定点过渡到动点，求线段、比例、探究数量关系； 五年真题1. (18成都)在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，7AB =，2AC =，过点B 作直线//m AC ，将ABC ∆绕点C 顺时针得到A B C ∆′′（点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′）射线CA ′，CB ′分别交直线m 于点P ，Q . （1）如图1，当P 与A ′重合时，求ACA ∠′的度数；（2）如图2，设A B ′′与BC 的交点为M ，当M 为A B ′′的中点时，求线段PQ 的长；（3）在旋转过程时，当点,P Q 分别在CA ′，CB ′的延长线上时，试探究四边形PA B Q ′′的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA B Q ′′的最小面积；若不存在，请说明理由.2．(16成都)如图①，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，点D 在AH 上，且DH ＝CH ，连接BD . (1)求证：BD=AC ；(2)将△BHD 绕点H 旋转，得到△EHF （点B ，D 分别与点E ，F 对应），连接AE .ⅰ）如图②，当点F 落在AC 上时（F 不与C 重合），若BC ＝4，tanC =3,求AE 的长；ⅱ）如图③，当△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转30°得到时，设射线CF 与AE 相交于点G ，连接GH ，试探究线段GH 与EF 之间满足的等量关系，并说明理由。