山东省中考数学试题及答案版
山东省德州市2024年中考数学真题试题含解析
2024年山东省德州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. -12的倒数是（ ）A. −2B. 12C. 2D. 12. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 据国家统计局统计，我国2024年国民生产总值（GDP ）为900300亿元．用科学记数法表示900300亿是（ ） A. 9.003×1012 B. 90.03×1012 C. 0.9003×1014 D. 9.003×1013 4. 下列运算正确的是（ ）A. (−2a )2=−4a 2B. (a +a )2=a 2+a 2C. (a 5)2=a 7D. (−a +2)(−a −2)=a 2−45. 若函数y =aa 与y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y =kx +b 的大致图象为（ ）A. B.C. D.6. 不等式组{5a +2＞3(a −1)12a −1≤7−32a 的全部非负整数解的和是（ ）A. 10B. 7C. 6D. 0 7. 下列命题是真命题的是（ ）A. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B. 平分弦的直径垂直于C. 对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为（ ）A. {a −a =4.5a −12a =1B. {a −a =4.5a −12a =1C. {a −a =4.512a −a =1D. {a −a =4.512a −a =19. 如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等，若∠ABC =40°，则∠ADC 的度数是（ ）A. 130∘B. 140∘C. 150∘D. 160∘10. 甲、乙是两个不透亮的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个嬉戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b ．若a ，b 能使关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ） A. 23B. 59C. 49D. 1311. 在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），肯定能使a 2−a 1a 2−a 1＜0成立的是（ ）A. a =3a −1(a <0)B. a =−a 2+2a −1(a >0)C. a =−√3a(a >0)D. a =a 2−4a −1(a <0)12. 如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且AF ：FB =1：2，CE ⊥DF ，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG =12BC ，连接CM ．有如下结论：①DE =AF ；②AN =√24AB ；③∠ADF =∠GMF ；④S △ANF ：S 四边形CNFB =1：8．上述结论中，全部正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. |x -3|=3-x ，则x 的取值范围是______． 14. 方程6(a +1)(a −1)-3a −1=1的解为______．15. 如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，假如梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为______米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）16. 已知：[x ]表示不超过x 的最大整数．例：[4.8]=4，[-0.8]=-1．现定义：{x }=x -[x ]，例：{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，则{3.9}+{-1.8}-{1}=______．17. 如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，aa ⏜=aa ⏜，CE =1，AB =6，则弦AF 的长度为______． 18. 如图，点A 1、A 3、A 5…在反比例函数y =aa （x ＞0）的图象上，点A 2、A 4、A 6……在反比例函数y =−aa （x ＞0）的图象上，∠OA 1A 2=∠A 1A 2A 3=∠A 2A 3A 4=…=∠α=60°，且OA 1=2，则A n （n 为正整数）的纵坐标为______．（用含n 的式子表示）三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到才智启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面对社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳实力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分） 20. 先化简，再求值：（2a -1a ）÷（a 2+a 2aa-5aa ）•（a 2a +2a a +2），其中√a +1+（n -3）2=0．21.《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康状况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成果进行分析．成果如下：七年级80 74 83 63 90 91 74 61 82 62 八年级74 61 83 91 60 85 46 84 74 82 （1）依据上述数据，补充完成下列表格．整理数据：优秀良好及格不及格七年级 2 3 5 0八年级 1 4 ______ 1分析数据：年级平均数众数中位数七年级76 74 77八年级______ 74 ______（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康状况更好，并说明理由．22.如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=2√3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）依据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．23.下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．收费方式月通话费/元包时通话时间/h超时费/（元/min）A30 25 0.1B50 50 0.1C100 不限时（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．（2）填空：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．24.（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请干脆写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转肯定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有改变吗？假如有改变，干脆写出改变后的结果（不必写计算过程）；若无改变，请说明理由．mx-4与x轴交于A（x1，0），B（x2，25.如图，抛物线y=mx2-52．0）两点，与y轴交于点C，且x2-x1=112（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥9时，均有y1≤y2，求a的取值范围；2（3）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：-的到数是-2，故选：A．依据倒数的定义求解即可．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．依据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再依据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，假如把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．3.【答案】D【解析】解：将900300亿元用科学记数法表示为：9.003×1013．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同．当原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】D【解析】解：（-2a）2=4a2，故选项A不合题意；（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；（a5）2=a10，故选项C不合题意；（-a+2）（-a-2）=a2-4，故选项D符合题意．故选：D．依据积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．此题考查整式的运算，驾驭各运算法则是关键，还要留意符号的处理．5.【答案】C【解析】解：依据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，依据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，∴函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，故选：C．首先依据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后依据一次函数的性质确定答案即可．本题考查了函数的图象的学问，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．6.【答案】A【解析】解：，解不等式①得：x＞-2.5，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤4，∴不等式组的全部非负整数解是：0，1，2，3，4，∴不等式组的全部非负整数解的和是0+1+2+3+4=10，故选：A．分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，精确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．7.【答案】C【解析】解：A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；故选：C．A、依据全等三角形的判定方法，推断即可．B、依据垂径定理的推理对B进行推断；C、依据平行四边形的判定进行推断；D、依据平行线的判定进行推断．本题考查了命题与定理：推断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．8.【答案】B【解析】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，故选：B．本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-绳长=1，据此可列方程组求解．此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．9.【答案】B【解析】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．依据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．此题考查了圆内接四边形的性质，娴熟驾驭圆内接四边形的性质是解本题的关键．10.【答案】C【解析】解：（1）画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，∴乙获胜的概率为，故选：C．首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种状况下根的状况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事务；解题时要留意此题是放回试验还是不放回试验．11.【答案】D【解析】解：A、∵k=3＞0∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2∴当x＜0时，＞0，故A选项不符合；B、∵对称轴为直线x=1，∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故B选项不符合；C、当x＞0时，y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故C选项不符合；D、∵对称轴为直线x=2，∴当x＜0时y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2此时＜0，故D选项符合；故选：D．依据各函数的增减性依次进行推断即可．本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，须要结合图象去一一分析，有点难度．12.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADF=∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE=AF；故①正确；∵AB∥CD，∴=，∵AF：FB=1：2，∴AF：AB=AF：CD=1：3，∴=，∴=，∵AC=AB，∴=，∴AN=AB；故②正确；作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=a，由△CMD∽△CDE，可得CM=a，由△GHC∽△CDE，可得CH=a，∴CH=MH=CM，∵GH⊥CM，∴GM=GC，∴∠GMH=∠GCH，∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，∴∠FEG=∠DCE，∵∠ADF=∠DCE，∴∠ADF=∠GMF；故③正确，设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴==，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，∴S△ANF：S四边形CNFB=1：11，故④错误，故选：C．①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可推断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=a，通过计算证明MH=CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出==，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此即可推断．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相像三角形的判定和性质等学问，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13.【答案】x≤3【解析】解：3-x≥0，∴x≤3；故答案为x≤3；依据肯定值的意义，肯定值表示距离，所以3-x≥0，即可求解；本题考查肯定值的意义；理解肯定值的意义是解题的关键．14.【答案】x=-4【解析】解：-=1，=1，=1，=1，x+1=-3，x=-4，经检验x=-4是原方程的根；故答案为x=-4；依据分式方程的解法，先将式子通分化简为=1，最终验证根的状况，进而求解；本题考查分式方程的解法；娴熟驾驭分式方程的解法，勿遗漏验根环节是解题的关键．15.【答案】1.02【解析】解：由题意可得：∵∠ABO=70°，AB=6m，∴sin70°==≈0.94，解得：AO=5.64（m），∵∠CDO=50°，DC=6m，∴sin50°=≈0.77，解得：CO=4.62（m），则AC=5.64-4.62=1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．干脆利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．16.【答案】0.7【解析】解；依据题意可得：{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7，故答案为：0.7依据题意列出代数式解答即可．此题考查解一元一次不等式，关键是依据题意列出代数式解答．17.【答案】485【解析】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE=BE=AB=3，设⊙O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，在Rt△OAE中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，∵=，∴OB⊥AF，AG=FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2=52，①在Rt△ABG中，AG2+（5-OG）2=62，②解由①②组成的方程组得到AG=，∴AF=2AG=．故答案为．连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE=BE=3，设⊙O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，依据勾股定理得到32+（r-1）2=r2，解得r=5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG=FG，则AG2+OG2=52，AG2+（5-OG）2=62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．18.【答案】（-1）n+1√3（√a−√a−1）【解析】解：过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1=2，∠OA1A2=∠α=60°，∴△OA1E是等边三角形，∴A1（1，），∴k=，∴y=和y=-，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF=∠A1A2A3=60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，-），则A2D2=，Rt△EA2D2中，∠EA2D2=30°，∴ED2=，∵OD2=2+=x，解得：x1=1-（舍），x2=1+，∴EF====2（-1）=2-2，A2D2===，即A2的纵坐标为-；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3=，Rt△FA3D3中，∠FA3D3=30°，∴FD3=，∵OD3=2+2-2+=x，解得：x1=（舍），x2=+；∴GF===2（-）=2-2，A3D3===（-），即A3的纵坐标为（-）；…∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（-1）n+1（）；故答案为：（-1）n+1（）；先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，-），依据OD2=2+=x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发觉点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（-1）n+1来解决这个问题．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．19.【答案】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2=608化简得：4x2+12x-7=0∴（2x-1）（2x+7）=0，∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128×278=432＜500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】 （1）先分别表示出其次个月和第三个月的进馆人次，再依据第一个月的进馆人次加其次和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解； （2）依据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．20.【答案】解：（2a -1a ）÷（a 2+a 2aa -5a a ）•（a 2a +2a a +2） =2a −a aa ÷a 2+a 2−5a 2aa •a 2+4a 2+4aa 2aa=2a −a aa •aa (a +2a )(a −2a )•(a +2a )22aa=-a +2a 2aa ．∵√a +1+（n -3）2=0．∴m +1=0，n -3=0，∴m =-1，n =3．∴-a +2a 2aa =-−1+2×32×(−1)×3=56．∴原式的值为56．【解析】先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m 和n 的值，最终代回化简后的分式即可．本题是分式化简求值题，须要娴熟驾驭通分和因式分解及分式乘除法运算．21.【答案】74 78【解析】解：（1）八年级及格的人数是4，平均数=，中位数=；故答案为：4；74；78；（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×人；（3）依据以上数据可得：七年级学生的体质健康状况更好．（1）依据平均数和中位数的概念解答即可；（2）依据样本估计总体解答即可；（3）依据数据调查信息解答即可．本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，驾驭众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键．22.【答案】解：（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD =120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠PAC =30°，AC =2√3，过A 、C 分别作PB 、PD 的垂线，它们相交于O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，求证：PB 、PC 为⊙O 的切线；证明：∵∠BPD =120°，PAC =30°，∴∠PCA =30°，∴PA =PC ，连接OP ，∵OA ⊥PA ，PC ⊥OC ，∴∠PAO =∠PCO =90°，∵OP =OP ，∴Rt △PAO ≌Rt △PCO （HL ）∴OA =OC ，∴PB 、PC 为⊙O 的切线；（3）∵∠OAP =∠OCP =90°-30°=60°，∴△OAC 为等边三角形， ∴OA =AC =2√3，∠AOC =60°，∵OP 平分∠APC ，∴∠APO =60°，∴AP =√33×2√3=2，∴劣弧AC 与线段PA 、PC 围成的封闭图形的面积=S 四边形APCO -S 扇形AOC =2×12×2√3×2-60⋅a ⋅(2√3)2360=4√3-2π． 【解析】（1）过A 、C 分别作PB 、PD 的垂线，它们相交于O ，然后以OA 为半径作⊙O 即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP ，先证明Rt △PAO ≌Rt △PCO ，然后依据切线的判定方法推断PB 、PC 为⊙O 的切线；（3）先证明△OAC 为等边三角形得到OA=AC=2，∠AOC=60°，再计算出AP=2，然后依据扇形的面积公式，利用劣弧AC 与线段PA 、PC 围成的封闭图形的面积进行计算． 本题考查了作图-困难作图：困难作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟识基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把困难作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．23.【答案】0≤x ≤853 853≤x ≤1753 x ＞1753【解析】解：（1）∵0.1元/min=6元/h ，∴由题意可得，y 1=， y 2=，y 3=100（x≥0）；（2）作出函数图象如图：结合图象可得：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为：0≤x≤，若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为：≤x≤，若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为：x＞．故答案为：0≤x≤，≤x≤，x＞．（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，∴结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y=80分别代入y2=，可得6x-250=80，解得：x=55，∴小王该月的通话时间为55小时．（1）依据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；（2）依据题意作出图象，结合图象即可作答；（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y=81代入y2关于x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题须要的条件．24.【答案】解：（1）连接AG，∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，∴∠GAE=∠CAB=30°，AE=AH，AB=AD，∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，∴HD=EB，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，∴GC ⊥MN ，∠NGO =∠AGE =30°， ∴aa aa =cos30°=√32，∵GC =2OG ，∴aa aa =1√3，∵HGND 为平行四边形，∴HD =GN ，∴HD ：GC ：EB =1：√3：1．（2）如图2，连接AG ，AC ，∵△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，∴AD ：AC =AH ：AG =1：√3，∠DAC =∠HAG =30°，∴∠DAH =∠CAG ，∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ：GC =AD ：AC =1：√3，∵∠DAB =∠HAE =60°，∴∠DAH =∠BAE ，在△DAH 和△BAE 中， {aa =aa∠aaa =∠aaaaa =aa∴△DAH ≌△BAE （SAS ）∴HD =EB ，∴HD ：GC ：EB =1：√3：1．（3）有改变．如图3，连接AG ，AC ，∵AD ：AB =AH ：AE =1：2，∠ADC =∠AHG =90°，∴△ADC ∽△AHG ，∴AD ：AC =AH ：AG =1：√5，∵∠DAC =∠HAG ，∴∠DAH =∠CAG ，∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ：GC =AD ：AC =1：√5，∵∠DAB =∠HAE =90°，∴∠DAH =∠BAE ，∵DA ：AB =HA ：AE =1：2，∴△ADH ∽△ABE ，∴DH ：BE =AD ：AB =1：2，∴HD ：GC ：EB =1：√5：2【解析】（1）连接AG ，由菱形AEGH 的顶点E 、H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD=60°，易得A ，G ，C 共线，延长HG 交BC 于点M ，延长EG 交DC 于点N ，连接MN ，交GC 于点O ，则GMCN 也为菱形，利用菱形对角线相互垂直，结合三角函数可得结论；（2）连接AG ，AC ，由△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，易证△DAH ∽△CAG 与△DAH ≌△BAE ，利用相像三角形的性质及菱形的性质可得结论；（3）连接AG ，AC ，易证△ADC ∽△AHG 和△ADH ∽△ABE ，利用相像三角形的性质可得结论．本题是菱形与相像三角形，全等三角形，三角函数等学问点的综合运用，难度较大．25.【答案】解：（1）函数的对称轴为：x =-a 2a =54=a 1+a 22，而且x 2-x 1=112， 将上述两式联立并解得：x 1=-32，x 2=4，则函数的表达式为：y =a （x +32）（x -4）=a （x 2-4x +32x -6），即：-6a =-4，解得：a =23， 故抛物线的表达式为：y =23x 2-53x -4；（2）当x 2=94时，y 2=2，①当a ≤a +2≤54时（即：a ≤-34）， y 1≤y 2，则23a 2-53a -4≤2，解得：-2≤a ≤-92，而a ≤-34，故：-2≤a ≤−34；②当54≤a ≤a +2（即a ≥54）时，则23（a +2）2-53（a +2）-4≤2，同理可得：-34≤a ≤54，故a 的取值范围为：-2≤a ≤54；（3）∵当∠BDC =∠MCE ，△MDC 为等腰三角形，故取DC 的中点H ，过点H 作线段CD 的中垂线交直线BD 与点M ，则点M 为符合条件的点， 点H （12，-92）， 将点C 、D 坐标代入一次函数表达式：y =mx +n 并解得：直线CD 的表达式为：y =-x -4，同理可得：直线BD 的表达式为：y =53x -203…①，直线DC ⊥MH ，则直线MH 表达式中的k 值为1，同理可得直线HM 的表达式为：y =x -5…②，联立①②并解得：x =52，故点M （52，-52）．【解析】（1）函数的对称轴为：x=-==，而且x 2-x 1=，将上述两式联立并解得：x 1=-，x 2=4，即可求解；（2）分a≤a+2≤、≤a≤a+2两种状况，分别求解即可； （3）取DC 的中点H ，过点H 作线段CD 的中垂线交直线BD 与点M ，则点M 为符合条件的点，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等，其中（2），要留意分类求解，避开遗漏．。
2023年山东省中考数学真题(附答案解析)
（满分：120分；考试时间：120分钟）
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
温馨提示：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上．
【解析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：俯视图是从上面看到的图形，应该是：
故选：D．
【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上边看得到的图形是解题的关键．
4.一元二次方程 根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定
【答案】A
如图，连接 ，则 ， 是等边三角形
∴ ，弓形 的面积相等
∴阴影 的面积＝扇形 的面积
∴图中三个阴影部分的面积之和 ；
故选：C.
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.
8.已知点 是等边 的边 上的一点，若 ，则在以线段 为边的三角形中最小内角的大小为（ ）
A. B. C. D.
所有结果共有36种，其中点数之和等于7的结果有6种，概率为
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率的计算，运用列表或树状图列示出所有可能结果是解题的关键．
14.如图， 分别与 相切于 两点，且 ．若点 是 上异于点 的一点，则 的大小为___________．
【答案】 或
【解析】根据切线的性质得到 ，根据四边形内角和为 ，得出 ，然后根据圆周角定理即可求解．
2024年山东省济宁市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−3的绝对值是( )A. 3B. −13C. −3 D. 132.如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是( )A. 人B. 才C. 强D. 国3.下列运算正确的是( )A. √ 2+√ 3=√ 5B. √ 2×√ 5=√ 10C. 2÷√ 2=1D. √ (−5)2=−54.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( )A. 6B. 8C. 10D. 125.为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查(每名同学只选其中的一类)，依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图(如图所示).下列说法正确的是( )A. 班主任采用的是抽样调查B. 喜爱动画节目的同学最多C. 喜爱戏曲节目的同学有6名D. “体育”对应扇形的圆心角为72°6.如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为( )A. 1B. 2C. √ 2D. √ 37.已知点A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y3<y1<y2 D. y3<y2<y18.解分式方程1−13x−1=−52−6x时，去分母变形正确的是( )A. 2−6x+2=−5B. 6x−2−2=−5C. 2−6x−1=5D. 6x−2+1=59.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F.若∠E=54°41′，∠F=43°19′，则∠A的度数为( )A. 42°B. 41°20′C. 41°D. 40°20′10.如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( )A. 90B. 91C. 92D. 93二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
2024年山东省威海市中考数学真题(含答案)
2024年山东省威海市中考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）A．+7B．﹣5C．﹣3D．102．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）A．1×10﹣5B．1×10﹣6C．1×10﹣7D．1×10﹣83．下列各数中，最小的数是（ ）A．﹣2B．﹣（﹣2）C．−12D．−24．下列运算正确的是（ ）A．x5+x5＝x10B．m+n2•1n=mnC．a6÷a2＝a4D．（﹣a2）3＝﹣a55．下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交AB于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．237．定义新运算：①在平面直角坐标系中，{a ，b }表示动点从原点出发，沿着x 轴正方向（a ≥0）或负方向（a ＜0）平移|a |个单位长度，再沿着y 轴正方向（b ≥0）或负方向（b ＜0）平移|b |个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x 轴负方向平移2个单位长度，再沿着y 轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．②加法运算法则：{a ，b }+{c ，d }＝{a +c ，b +d }，其中a ，b ，c ，d 为实数．若{3，5}+{m ，n }＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2，n ＝7B ．m ＝﹣4，n ＝﹣3C ．m ＝4，n ＝3D ．m ＝﹣4，n ＝38．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x 尺，井深y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．3x−y =44x−y =1B ．3x +4=y4x +1=yC −y =4−y =1D +4=y +1=y 9．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，连接AE ，AF ，EF ，EF 交AC 于点G ．下列结论错误的是（ ）A ．若CE CF =ADAB ，则EF ∥BDB ．若AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，AE ＝AF ，则EF ∥BD C ．若EF ∥BD ，CE ＝CF ，则∠EAC ＝∠FAC D ．若AB ＝AD ，AE ＝AF ，则EF ∥BD10．同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y （km ）与时间x （h ）的函数关系．下列结论正确的是（ ）A ．甲车行驶83h 与乙车相遇B ．A ，C 两地相距220km C ．甲车的速度是70km /h D ．乙车中途休息36分钟二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11．计算：12−8×6= ．12．因式分解：（x +2）（x +4）+1＝ ．13．如图，在正六边形ABCDEF 中，AH ∥FG ，BI ⊥AH ，垂足为点I ．若∠EFG ＝20°，则∠ABI ＝ .14．计算：4x−2+x 22−x = ．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝ax +b （a ≠0）与双曲线y 2=kx （k ≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ．16．将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝ ．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦•时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦•时．求一盏A型节能灯每年的用电量．18．（8分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．表1：2月份测试成绩统计表个数0136810人数484121表2：本学期测试成绩统计表平均数/个众数/个中位数/个合格率2月 2.6a 120%3月 3.13425%4月44535%5月 4.555540%6月b86c请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a ，b ，c 的值；（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．19．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角成员组长：×××组员：×××，×××，×××测量工具竹竿，米尺测量示意图说明：AC 是一根笔直的竹竿．点D 是竹竿上一点，线段DE 的长度是点D 到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角测量数据…………（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ．20．（9分）感悟如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．21．（9分）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．应用如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB 延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为x秒．（1）求证：BE＝EF；（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：①x1+x2 x3+x4；②x1﹣x3 x2﹣x4；③x2+x3 x1+x4．（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为916，求b的值．2024年山东省威海市中考数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．C2．B3．A4．C5．D6．B7．B8．C9．D10．A二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11．−2312．（x+3）213．50°14．﹣x﹣215．﹣1≤x＜0或x≥216．3 2三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦•时，根据题意得：160002x−32=9600x，解得：x＝96，经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦•时）．答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时．18．（8分）解：（1）6月测试成绩中，引体向上3个的人数为20﹣4﹣1﹣6﹣4＝5（人），补充统计图如下：c =1+6+420×100%＝55%，根据表2可得a ＝1，b =120（4×1+5×3+1×6+6×8+4×10）＝5.65，（2）本次引体向上训练活动的效果明显，理由如下：从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，从中位数看，引体向上个数逐月增加，从众数看，引体向上的个数越来越大（答案不唯一，合理即可）；（3）400×55%＝220（人），答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数约220人．19．（8分）解：（1）需要的数据为：AB ＝a ，AC ＝c ，DE ＝e ，CD ＝f ；（2）过点A 作AM ⊥CB 于点M ，则∠AMB ＝90°，∵DE ⊥CB ，∴DE ∥AM ，∴△CDE∽△CAM，∴DEAM=CDCA，即eAM=fc，∴AM=ecf，∴sinα=AMAB=ecfa=ecaf；（3）∵sinα=ecaf，∴按键顺序为2ndF，sin，0，•，8，6，＝，故答案为：①．20．（9分）解：感悟：过点A作AH⊥BE于点H，∵AB＝AE，BC＝DE，∴∠BAH＝∠EAH，∠CAH＝∠DAH，∴∠BAC＝∠DAE；应用：（1）解：如图2：点D，E即为所求；（2）点D，E即为所求．21．（9分）解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，则：|（﹣3+x）﹣（12﹣2x）|＝3，解得：x＝4或x＝6，答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，则y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|，当x≤3时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝3﹣x+12﹣2x＝﹣3x+15，当x＝3时，y值最小，为6，当3＜x≤6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x+12﹣2x＝﹣x+9，当x＝6时，y值最小，为3，当x＞6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x﹣12+2x＝3x﹣15，当x＝6时，y有极小值，为3，综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．22．（10分）（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BC＝CD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF，∵EH平分∠FEG，∴∠FEH＝∠GEH，∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEH＝∠F+∠BAF，∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，∴∠BAF＝2∠BAC，∴∠F＝2∠H＝90°，∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，∴∠OBC+∠BAC＝90°，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BCE＝∠EAC，∵∠CEB＝∠CAE，∴△BCE∽△CAE，∴BE CE =CE AE =BC AC =24=12，∴CE 2＝BE •AE ，即16＝2AE ，解得AE ＝8，∴AB ＝8﹣2＝6，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC AC =12，∴BC =655，AC =1255，∵∠F ＝∠ACB ＝90°，∠FAC ＝∠BAC ，∴△FAC ∽△CAB ，∴AF AC =ACAB ，∴AF =AC 2AB =245．23．（10分）（1）证明：设CD 与EF 相交于点M ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ﹣＝DC ，∠BCE ＝∠DCE ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠DCF ＝60°，在△BCE 和△DCE 中，BC =DC ∠BCE =∠DCE СЕ=СЕ，∴△BCE ≌△DCE （SAS ），∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，又∵∠DEF＝∠DCF＝60°，∴∠CDE＝∠CFE，∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF；（2）解：过点E作EN⊥BC于N，则∠ENC＝90°，∵BE＝EF，∴BF＝2BN，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴ВС＝АВ＝10cm，∠АСВ＝∠BСD＝60°，即∠ECN＝60°，∵CE＝2x cm，∴EN＝CE•sin60°＝2x•32=3x（cm），CN＝CE•cos60°＝2x•12=x（cm），∴BN＝BC﹣CN＝10﹣x（cm），∴BF＝2（10﹣x）cm，∴у=12ВF•ЕN=12×2（10﹣х）×3х=−3х2+103х，∵0＜2x≤10，∴0＜x≤5，∴y=−3х2+103х（0＜x≤5）；（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，∴DE＝EF，∵∠DEF＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴DE＝DF﹣EF，∴BE＝DF，∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴АВ＝ВС，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AE＝AB＝AC＝10cm，∵BE⊥AC，∴CE=12AC＝5cm，∴x=CE2=52，∴当x=52时，线段DF的长度最短．24．（12分）解：（1）∵y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴x1+x2＝﹣b，且抛物线开口向上，∵y1=x2+bx+c+1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x1＜x4，即y＝x2+bx+c（b＜0）向上平移1个单位，∴x1＜x3＜x4＜x2，且x1+x4＝﹣b，∴①x1+x2＝x1+x4；∵x2﹣x1＞x4﹣x3∴x2﹣x4＞x1﹣x3，即②x1﹣x5＜x2﹣x4；∴x1+x3＞x1+x4，即③x2+x3＞x1+x4，故答案为：＝；＜；＞；（2）∵x1＝1，2＜x2＜3，∴3＜x2+x1＜4∴3＜﹣b＜4，∴﹣4＜b＜﹣3；（3）抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为(−b2，4c−b24)，对称轴为直线x=−b2＞0，当x＝0时，y＝c；当x＝1时，y＝1+b+c；①当在x＝0 取得最大值，在x＝1取得最小值时，有c−(1+b+c)=916，解得b=−25 16；②当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，有c−4c−b24=916，解得b=32（舍去）或b=−32；③当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，有1+b+c−4c−b24=916，解得b=−72（舍去）或b=−12，综上所述，b的值为−32或−12或−2516．。
2024年山东省威海市中考数学试题(含答案)
威海市2024年初中学业考试数学注意事项：1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效．4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、作图题用2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或0.5毫米的黑色签字笔作答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1.一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋．【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．∴∴最接近标准质量的是故选：C．2.据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：百万分之一．故选：B．3.下列各数中，最小的数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解．【详解】解：，∵∴最小的数是故选：A．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则计算即可．【详解】A、，运算错误，该选项不符合题意；B、，运算错误，该选项不符合题意；C、，运算正确，该选项符合题意；D、，运算错误，该选项不符合题意．故选：C5.下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了三视图；分别画出四个选项中几何体的左视图与俯视图，通过比较即可得出答案．【详解】解：A 、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；B 、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；C 、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；D 、主视图为，左视图为，主视图与左视图相同，故该选项符合题意；故选：D ．6.如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解．【详解】解：∵，，∴四边形是矩形，∴∴∵点是的中点∴∴∴∴，，点落在阴影部分的概率是故选：B．7.定义新运算：①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．②加法运算法则：，其中，，，为实数．若，则下列结论正确的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解．【详解】解：∵，∴解得：，故选：B．8.《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键．【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，依题意，得：．故选：C．9.如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（）A.若，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴A.若，即，又，∴∴∴，故A选项正确，B.若，，，∴是的角平分线，∴∵∴∴∴∴四边形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B选项正确，C.∵，∴∵，∴∴∴∵∴∴四边形是菱形，又∵∴，则∴∴∴，故C选项正确；D.若，则四边形是菱形，由，且时，可得垂直平分，∵∴，故D选项不正确故选：D．10.同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（）A.甲车行驶与乙车相遇B.，两地相距C.甲车的速度是D.乙车中途休息分钟【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（）两车行驶了小时，同时到达地，如图所示，在小时时，两侧同向运动，在第2小时，即点时，两者距离发生改变，此时乙车休息，点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发，∴乙车休息了1小时，故D不正确，设甲车的速度为，乙车的速度为，根据题意，乙车休息后两者同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，∵即在时，乙车不动，则甲车的速度是，∴乙车速度为，故C不正确，∴的距离为千米，故B不正确，设小时两辆车相遇，依题意得，解得：即小时时，两车相遇，故A正确故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11.计算：________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：故答案为：．12.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．13.如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则________．【答案】##50度【解析】【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为，即，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】解：∵正六边形的内角和，每个内角为：，，，，，，，，，，．故答案为：．14.计算：________．【答案】##【解析】【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可．【详解】．故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：由图象可得，当或时，，∴满足的的取值范围为或，故答案为：或．16.将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可．【详解】解：在中，，由折叠可得，，又∵是矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，，∴，，设，则，在中，，即，解得：，故答案为．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17.某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．【答案】千瓦·时，过程见详解【解析】【分析】本题考查分式方程，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时，则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时整理得解得经检验：是原分式方程的解．答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时18.为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．2月份测试成绩统计表个数人数表1本学期测试成绩统计表1平均数/个众数/个中位数/个合格率2月3月4月5月6月表2请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．【答案】（1）见解析，（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据总人数减去引体向上为其他个数人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出的值；（2）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析；（3）根据样本估计总体即可求解．【小问1详解】解：月测试成绩中，引体向上个的人数为根据表2可得，；【小问2详解】解：本次引体向上训练活动的效果明显，从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，从中位数看，引体向上个数逐月增加，从众数看，引体向上的个数越来越大，（答案不唯一，合理即可）【小问3详解】解：（人）答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图，统计表，样本估计总体，以及求平均数，众数，中位数的意义；掌握相关的统计量的意义是解题的关键．19.某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角成员组长：×××组员：×××，×××，×××测量工具竹竿，米尺测量示意图说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角．测量数据…………（1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．（2）根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．（3）假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________．【答案】（1），，，；（2），推导见解析；（3）．【解析】【分析】（）根据题意选择需要的数据即可；（）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；（）根据（）的结果即可求解；本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．【小问1详解】解：需要的数据为：，，，；【小问2详解】解：过点作于点，则，∵，∴，∴∴，即∴，∴；【小问3详解】解：∵，∴按键顺序为，故答案为：．20.感悟如图1，在中，点，在边上，，．求证：．应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：证明，即可求得；应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接，；应用（2）：以点为圆心，以长为半径作圆，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接．【详解】∵，∴．在和中∴．∴．应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示．应用（2）：以点为圆心，以长为半径作圆，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示．21.定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．应用如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．【答案】（1）过4秒或6秒（2）3【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：（1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；（2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．【小问1详解】解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据题意，得，解得或6，答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；【小问2详解】解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为，当时，，∵，∴，即，当时，，∵，∴，即，当时，，∵，∴，即，综上，，∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．22.如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，．（1）求证：是切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键．（1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线；（2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果．【小问1详解】证明：连接，则，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵是半径，∴是的切线；【小问2详解】解：设的半径为，则，∵，即，解得，∴，，又∵∴，∴，即，解得．23.如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒．（1）求证：；（2）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（3）求为何值时，线段长度最短．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证；（）过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由，可得自变量的取值范围；（）证明为等边三角形，可得，可知线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，又由菱形的性质可得为等边三角形，利用三线合一求出即可求解；本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【小问1详解】证明：设与相交于点，∵四边形为菱形，∴，，，∵在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴；【小问2详解】解：过点作于，则，∵，∴，∵四边形为菱形，，∴，，即，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；【小问3详解】解：∵，，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，如图，∵四边形是菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴当时，线段的长度最短．24.已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．（1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：①________；②________；③________．（2）若，，求b的取值范围；（3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值．【答案】（1）；；；（2）（3）b的值为或或或．【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．（1）根据根与系数关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③．（2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题；（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．【小问1详解】解：与x轴交点的坐标分别为，，且，，且抛物线开口向上，与x轴交点的坐标分别为，，且．即向上平移1个单位，，且，①；，，即②；，即③．故答案为；；；；【小问2详解】解：，，，，；【小问3详解】解：抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，①当在取得最大值，在取得最小值时，有，解得；②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得（舍去）或，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得或；综上所述，b值为或或或．。
2024年山东省滨州市中考数学试题+答案详解
2024年山东省滨州市中考数学试题+答案详解（试题部分）温馨提示：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 12−的绝对值是（ ）A. 2B. 12 C. 12− D. 2−2. 如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（ ）A. B.C. D.3. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.4. 下列运算正确的是（ ）A. ()336n n =B. 22(2)4a a −=−C. 824x x x ÷=D. 23m m m ⋅=5. 若点()12,N a a −在第二象限，那么a 的取值范围是（ ） A. 12a > B. 12a < C. 102a << D. 102a ≤< 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75．上述结论中正确的是（ ）A. ②③B. ①③C. ①②D. ①②③7. 点()11,M x y 和点()22,N x y 在反比例函数223k k y x−+=（k 为常数）的图象上，若120x x <<，则120y y ，，的大小关系为（ ）A. 120y y <<B. 120y y >>C. 120y y <<D. 120y y >>8. 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，,,AB BC CA 的长分别为,,c a b ．则可以用含,,c a b 的式子表示出ABC 的内切圆直径d ，下列表达式错误的是（ ）A. d a b c =+−B. 2ab d a b c =++C. d =D. |()()|d a b c b =−−第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9. 若分式11x −在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．10.小的整数是___________．11. 将抛物线2y x =−先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____________．12. 一副三角板如图1摆放，把三角板AOB 绕公共顶点O 顺时针旋转至图2，即AB OD ∥时，1∠的大小为____________︒．13. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边,AB AC 上．添加一个条件使ADE ACB ∽，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）14. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形AOCD 是菱形，∠B 的度数是______．15. 如图，四边形AOBC 四个顶点的坐标分别是(1,3)A −，(0,0)O ，(3,1)B −，(5,4)C ，在该平面内找一点P ，使它到四个顶点的距离之和PA PO PB PC +++最小，则P 点坐标为____________．16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A ，B 均在格点上．（1）AB 的长为____________；（2）请只用．．无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB 为边的矩形ABCD ，使其面积为263，并简要说明点C ，D 的位置是如何找到的（不用证明）：____________． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17. 计算：()11222−⎫⎛+−⨯−− ⎪⎝⎭ 18. 解方程：（1）21132x x −+=； （2）240x x −=．19. 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a ，b ，c 为两两不同的数，称()()()()()()()0,1,2,3n n nn a b c P n a b a c b c b a c a c b =++=−−−−−−为欧拉分式． （1）写出0P 对应的表达式；（2）化简1P 对应的表达式．20. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A ：床铺整理，B ：衣物清洗，C ：手工制作、D ：简单烹饪、E ：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；（3）小兰同学从B ，C ，D 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C ，D ，E 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．21. 【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在ABC 中，若AD BC ⊥，BD CD =，则有B C ∠=∠；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB AC =，即知AB BD AC CD +=+，若把①中的BD CD =替换为AB BD AC CD +=+，还能推出B C ∠=∠吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出B C ∠=∠，并分别提供了不同的证明方法．小军小民ADB 与△【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y （单位：张）与售价x （单位：元/张）之间满足一次函数关系（3080x ≤≤，且x 是整数），部分数据如下表所示：（1）请求出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w （单位：元），求w 与x 之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？如图1，ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边BC CA AB ，，上，且满足DF AC DE AB ，∥∥．23. ①求证：四边形AFDE 为平行四边形；②若AB BD AC DC=，求证：四边形AFDE 为菱形； 24. 把一块三角形余料MNH （如图2所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与MNH △的顶点M 重合，另外三个顶点分别在三边MN NH HM ，，上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）25. 【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： ABC 中，）【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中，75B ∠=︒，45C ∠=︒，2BC =，利用以上结论求AB 的长；【推广证明】 进一步研究发现，sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC 外接圆的半径）． 请利用图1证明：2sin sin sin a b c R A B C===．【拓展应用】如图2，四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，4CD =，90B C ∠=∠=︒．求过A ，B ，D 三点的圆的半径．2024年山东省滨州市中考数学试题+答案详解（答案详解）温馨提示：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.12−的绝对值是（）A. 2B. 12C.12− D. 2−【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】解：∵11 22−=，∴12−的绝对值是12，故选：B．2. 如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了物体的三视图，根据三棱柱的表面由2个三角形，1个正方形，2个矩形构成即可判断求解，掌握三棱柱的结构特点是解题的关键．【详解】解：∵三棱柱的表面由2个三角形，1个正方形，2个矩形构成，∴其主视图可能是三角形或正方形或矩形，不可能是圆，故选：A．3. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：B．4. 下列运算正确的是（ ）A. ()336n n =B. 22(2)4a a −=−C. 824x x x ÷=D. 23m m m ⋅=【答案】D【解析】【分析】本题考查了幂的运算．根据幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算逐项验证即可得到答案．【详解】解：A 、()3396n n n =≠，本选项不符合题意；B 、222(2)44a a a −=≠−，本选项不符合题意；C 、8264x x x x ÷=≠，本选项不符合题意；D 、23m m m ⋅=，本选项符合题意；故选：D ．5. 若点()12,N a a −在第二象限，那么a 的取值范围是（ ） A. 12a > B. 12a < C. 102a << D. 102a ≤< 【答案】A【解析】【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组．根据点()12,N a a −在第二象限可得不等式组1200a a −<⎧⎨>⎩，求解即可． 【详解】解：∵点()12,N a a −在第二象限，∴1200a a −<⎧⎨>⎩， 解得：12a >． 故选：A ．6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75．上述结论中正确的是（ ）A. ②③B. ①③C. ①②D. ①②③ 【答案】A【解析】【分析】本题考查了平均数、中位数、众数．根据平均数、中位数、众数的意义求解即可．【详解】解：①这些运动员成绩的平均数是()12 1.53 1.62 1.653 1.74 1.751 1.8 1.615⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，原说法不正确；②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列第8个数为1.70，原说法正确；③这些运动员成绩出现最多的是1.75，则的众数是1.75，原说法正确．故选：A ．7. 点()11,M x y 和点()22,N x y 在反比例函数223k k y x −+=（k 为常数）的图象上，若120x x <<，则120y y ，，的大小关系为（ ）A. 120y y <<B. 120y y >>C. 120y y <<D. 120y y >>【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用配方法可得()2223120k k k −+=−+>，进而得到反比例函数的图象分布在一、三象限，0x >时，0y >，0x <时，0y <，据此即可求解，利用配方法得到()2223120k k k −+=−+>是解题的关键．【详解】解：∵()2223120k k k −+=−+>， ∴反比例函数的图象分布在一、三象限，0x >时，0y >，0x <时，0y <，∵120x x <<，∴120y y <<，故选：C ．8. 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，,,AB BC CA 的长分别为,,c a b ．则可以用含,,c a b 的式子表示出ABC 的内切圆直径d ，下列表达式错误的是（ ）A. d a b c =+−B. 2ab d a b c =++C. d =D. |()()|d a b c b =−−【答案】D【解析】【分析】如图，设E F G 、、为切点，连接OC OD OE OF 、、、，则OE AC ⊥，再结合切线长定理可判定A ，再结合三角形的面积可判定B ，再由d a b c =+−，结合完全平方公式与勾股定理可判断C ，通过举反例可得D 错误.【详解】解：如图，设E F G 、、为切点，连接OC OD OE OF 、、、，则OE AC ⊥，OD BC ⊥，OF AB ⊥，2d OD OE OF ===，由切线长定理得，AE AF =，CE CD =，BD BF =，∵90ACB OEC ODC ∠=∠=∠=︒，CE CD =，∴四边形ODCE 是正方形， ∴2d CE CD OD ===， ∴2d AE b =−，2d BD a =−，∴2d BF a =−， ∴22d d AF c a c a ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭， ∵AE AF =， ∴22d d b c a −=−+， ∴d a b c =+−，故A 正确，不合题意；∵ABC BOC AOC AOB S S S S =++△△△△， ∴11112222222d d d ab a b c =⨯+⨯+⨯， ∴2ab ad bd cd =++ ∴2ab d a b c=++，故B 正确，不合题意； ∵d a b c =+−，∴()22d a b c =+− 222222a b c ab ac bc =+++−−，∵222+=a b c ，222222d c ab ac bc ∴=+−−()()22c c a b c a =−−−()()2c a c b =−−，∵0d >，d ∴=C 正确；令3a =，4b =，5c =，3452d a b c ∴=+−=+−=，而()()()()34541a b c b −−=−⨯−=，|()()|d a b c b ∴≠−−，故D 错误；故选D【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，勾股定理的应用，分解因式的应用，举反例的应用，切线长定理的应用，掌握基础知识并灵活应用是解本题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．9. 若分式11x−在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．【答案】x≠1【解析】【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【详解】∵分式11x−在实数范围内有意义，∴x−1≠0，解得：x≠1故答案为x≠1．【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义．10.小的整数是___________．【答案】2或3【解析】的大小，然后确定范围在其中的整数即可．【详解】2<，323<<<小的整数为2或3，故答案为：2或3【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．11. 将抛物线2y x=−先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____________．【答案】()1,2【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换和二次函数的性质．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．【详解】解：由抛物线2y x =−先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是()212y x =−−+，∴顶点坐标是()1,2故答案为：()1,2．12. 一副三角板如图1摆放，把三角板AOB 绕公共顶点O 顺时针旋转至图2，即AB OD ∥时，1∠的大小为____________︒．【答案】75【解析】【分析】本题考查了的平行线的性质，三角形的外角性质．由AB OD ∥，推出45BOD B ∠=∠=︒，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵AB OD ∥，∴45BOD B ∠=∠=︒，∴1453075BOD D ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：75．13. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边,AB AC 上．添加一个条件使ADE ACB ∽，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）【答案】ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AE AC AB= 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．【详解】解：DAE CAB ∠=∠，∴当ADE C ∠=∠时，ADE ACB ∽．当AED B ∠=∠时，ADE ACB ∽． 当AD AE AC AB=时，ADE ACB ∽． 故答案为：ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AE AC AB =． 14. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形AOCD 是菱形，∠B 的度数是______．【答案】60°##60度【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B +∠D =180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B +∠D =180°，∵四边形OACD 是菱形，∴∠AOC =∠D ，由圆周角定理得，∠B =12∠AOC ， ∴∠B +2∠B =180°，解得，∠B =60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 15. 如图，四边形AOBC 四个顶点的坐标分别是(1,3)A −，(0,0)O ，(3,1)B −，(5,4)C ，在该平面内找一点P ，使它到四个顶点的距离之和PA PO PB PC +++最小，则P 点坐标为____________．【答案】108,99⎛⎫⎪⎝⎭##181,99⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，两点之间线段最短．连接AB OC 、相交于点P ，根据“两点之间线段最短”知PA PO PB PC +++最小，利用待定系数法求得直线AB 和OC 的解析式，联立即可求解．【详解】解：连接AB OC 、相交于点P ，根据“两点之间线段最短”知PA PO PB PC +++最小，设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有331k b k b −+=⎧⎨+=−⎩， 解得12k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为2y x =−+，设直线OC 的解析式为y mx =，则有45m =， 解得45m =， ∴直线OC 的解析式为45y x =， 联立得425x x =−+，解得109x=，则4108599y=⨯=，∴P点坐标为108,99⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：108,99⎛⎫ ⎪⎝⎭．16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．（1）AB的长为____________；（2）请只用．．无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为边的矩形ABCD，使其面积为263，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：____________．【答案】①. ②. 取点,E F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD，即为所求．【解析】【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理直接计算即可求解；（2）取点,E F，得到正方形ABEF，AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接DC，得到矩形ABCD，即为所求．【详解】（1）AB==（2）取点,E F，则AF AB===ABEF，∴正方形ABEF13=，AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接DC ，得到矩形ABCD ，∵DG FH ， ∴23AD AG AF AH ==，∴23AD AF BC ===，∴矩形ABCD 263=， 如图，矩形ABCD ，即为所求．．故答案为：取点,E F ，得到正方形ABEF ，AF 交格线于点D ，BE 交格线于点C ，连接DC ，得到矩形ABCD ，即为所求．三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．17. 计算：()11222−⎫⎛+−⨯−− ⎪⎝⎭ 【答案】0【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据实数的运算法则和运算律即可求解，掌握据实数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】解：原式13122=+−， 13122=−+， =11−+，0=．18. 解方程：（1）21132x x −+=； （2）240x x −=．【答案】（1）5x =（2）10x =，24x =．【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤，准确计算．（1）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解；（2）用因式分解法，解一元二次方程即可．【小问1详解】 解：21132x x −+=， 去括号得：()()22131x x −=+，去括号得：4233x x −=+，移项合并同类项得：5x =；【小问2详解】解：240x x −=，分解因式得：()40x x −=，∴0x =或40x −=，解得：10x =，24x =．19. 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a ，b ，c 为两两不同的数，称()()()()()()()0,1,2,3n n nn a b c P n a b a c b c b a c a c b =++=−−−−−−为欧拉分式． （1）写出0P 对应的表达式；（2）化简1P 对应的表达式．【答案】（1）()()()()()()0111P a b a c b c b a c a c b =++−−−−−−（2）10P =【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，利用分式的加减法计算是解题的关键． （1）将0n =代入欧拉公式即可；（2）将1n =代入欧拉公式化简计算即可．【小问1详解】解：当0n =时，()()()()()()0000a b c P a b a c b c b a c a c b =++−−−−−− ()()()()()()111a b a c b c b a c a c b =++−−−−−− 【小问2详解】 ()()()()()()1a b c P a b a c b c b a c a c b =++−−−−−− ()()()()()()a b a c b c a b a c b c a b c =−+−−−−−− ()())()()()(a b c b a c c a b a b a c b c =−−−−−−+− ()()()ab ac ab bc ca b c b c bc a a =−−−−−−++ ()()()ab ac ab bc ca b c b c bc a a =−−−−−−++ 0=．20. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A ：床铺整理，B ：衣物清洗，C ：手工制作、D ：简单烹饪、E ：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．【答案】（1）补充条形统计图见解析；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为72︒；（2）估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；（3）甲乙两位同学选择相同课程的概率为：29．【解析】【分析】（1）根据选择“E”的人数及比例求出总人数，总人数乘以D占的比例求得“D”的人数，总人数减去其他类别的人数求得“A”的人数，据此即可将条形统计图补充完整，再用360度乘以“C”占的比例即为“手工制作”对应的扇形圆心角度数；（2）利用样本估计总体思想求解；（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．【小问1详解】解：参与调查的总人数为：3030%100÷=（人），“D”的人数10025%25⨯=（人），“A”的人数1001020253015−−−−=（人），“手工制作”对应的扇形圆心角度数2036072 100⨯︒=︒，补充条形统计图如图：【小问2详解】解：180030%540⨯=（人），因此估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；【小问3详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同课程的概率为：29． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 21. 【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在ABC 中，若AD BC ⊥，BD CD =，则有B C ∠=∠；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB AC =，即知AB BD AC CD +=+，若把①中的BD CD =替换为AB BD AC CD +=+，还能推出B C ∠=∠吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出B C ∠=∠，并分别提供了不同的证明方法．小军小民 ADB 与△【问题解决】（1）完成①的证明；（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）根据题意利用全等三角形的判定和性质即可证明；（2）小军证明：分别延长,DB DC 至E ，F 两点，使得,BE AB CF AC ==，根据全等三角形的判定和性质得出E F ∠∠=，再由等边对等角及三角形的外角性质即可证明；小民证明：利用勾股定理得出AD ==，AD ==AB BD AC CD −=−，然后求和得出AB AC =，即可证明．【小问1详解】证明：∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠∠==︒， 在Rt ADB 与Rt ADC 中，90AD AD ADB ADC BD CD ∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴()SAS Rt ADB Rt ADC ≌，∴B C ∠=∠；【小问2详解】小军证明：分别延长,DB DC 至E ，F 两点，使得,BE AB CF AC ==，如图所示：∵AB BD AC CD +=+，∴BE BD CF CD +=+即DE DF =，∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠∠==︒，在Rt ADE 与Rt ADF 中，90AD AD ADB ADC ED FD ∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴()SAS Rt ADE Rt ADF ≌，∴E F ∠∠=，∵,BE AB CF AC ==，∴E EAB F FAC ∠∠∠∠===，∴,E EAB ABC F FAC ACB ∠∠∠∠∠∠+=+=，∴ABC ACB ∠∠=；小民：证明：∵AD BC ⊥．∴ADB 与ADC △均为直角三角形，根据勾股定理，AD ==，AD ==∵AB BD AC CD +=+①，∴AB BD AC CD −=−②，+①②得：AB AC =，∴B C ∠=∠．22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y （单位：张）与售价x （单位：元/张）之间满足一次函数关系（3080x ≤≤，且x 是整数），部分数据如下表所示：（1）请求出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w （单位：元），求w 与x 之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）()43243080y x x =−+≤≤（2）()2432420003080w x x x =−+−≤≤ （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元【解析】【分析】本题是一次函数与二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质． （1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，根据待定系数法代入求解即可；（2）“利润=票房收入-运营成本”可得函数解析式；（2）将函数解析式配方成顶点式，由3080x ≤≤，且x 是整数，结合二次函数的性质求解可得．【小问1详解】解：设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，则1644012450k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得4324k b =−⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式()43243080y x x =−+≤≤；【小问2详解】由题意得：22000(4324)200043242000w xy x x x x =−=−+−=−+−，即w 与x 之间的函数关系式为：()2432420003080w x x x =−+−≤≤.【小问3详解】()2281432420004()456130802w x x x x =−+−=−−+≤≤， x 是整数，且 3080x ≤≤，∴ 当40x =或41时，w 取得最大值，最大值为4560.价格低更能吸引顾客，定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元．如图1，ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边BC CA AB ，，上，且满足DF AC DE AB ，∥∥．23. ①求证：四边形AFDE 为平行四边形；②若AB BD AC DC=，求证：四边形AFDE 为菱形； 24. 把一块三角形余料MNH （如图2所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与MNH △的顶点M 重合，另外三个顶点分别在三边MN NH HM ，，上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）【答案】23. ①见解析；②见解析24. 见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、尺规作图，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．（1）①DF AC DE AB ，∥∥，即可证明四边形AFDE 为平行四边形；②由DF AC DE AB ，∥∥，可得DF BD AC BC =，DE CD AB BC=，即DF BC AC BD ⋅=⋅， DE BC AB CD ⋅=⋅，再由AB BD AC DC=，得AB DC AC BD ⋅=⋅，因此DF DE =，进而即可证明四边形AFDE 为菱形； （2）作NMH ∠的角平分线，交NH 于点P ，作MP 的垂直平分线，交MN 于点D ，交MH 于点E ，则四边形MDPE 是菱形．【23题详解】①证明：DF AC DE AB ∥，∥，∴四边形AFDE 为平行四边形；②DF AC ∥，DF BD AC BC∴=， 即DF BC AC BD ⋅=⋅DE AB ∥，DE CD AB BC∴=， 即DE BC AB CD ⋅=⋅， 又AB BD AC DC =， AB DC AC BD ∴⋅=⋅，DF DE ∴=，由①知四边形AFDE 为平行四边形，∴四边形AFDE 为菱形；【24题详解】如图，菱形MDPE 即为所求．∵MP 平分NMH ∠，∴DMP EMP ∠=∠，∵DE 是MP 的垂直平分线，∴DM DP =，EM EP =，∴DMP DPM ∠=∠，=EMP EPM ∠∠，∴DPM EMP ∠=∠，EPM DMP ∠=∠，∴DP ME ∥，EP DM ∥，∴四边形MDPE 是平行四边形，∵DM DP =，∴平行四边形MDPE 是菱形．25. 【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： ABC 中，）【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中，75B ∠=︒，45C ∠=︒，2BC =，利用以上结论求AB 的长；【推广证明】 进一步研究发现，sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC 外接圆的半径）． 请利用图1证明：2sin sin sin a b c R A B C===．【拓展应用】如图2，四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，4CD =，90B C ∠=∠=︒．求过A ，B ，D 三点的圆的半径．【答案】教材呈现：见解析；基础应用：AB =；推广证明：见解析；拓展应用：R =． 【解析】。
2024年山东省青岛市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米.将60000用科学记数法表示为( )A. 6×103B. 60×103C. 0.6×105D. 6×1042.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是( )A. aB. bC. cD. d4.如图所示的正六棱柱，其俯视图是( )A. B. C. D.5.下列计算正确的是( )A. a+2a=3a2B. a5÷a2=a3C. (−a)2⋅a3=−a5D. (2a3)2=2a66.如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是( )A. (−1,−2)B. (−2,−1)C. (2,1)D. (1,2)7.为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE 和正方形CDFG 中，CF ，DG 的延长线分别交AE ，AB 于点M ，N ，则∠FME 的度数是( ) A. 90° B. 99° C. 108° D. 135°8.如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，半径OA =3，AB ⏜=CD ⏜，∠DBC =25°，连接AD ，则扇形AOB 的面积为( ) A. 54π B. 58π C. 52π D.512π9.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x =−1，则过点M(c,2a −b)和点N(b 2−4ac,a −b +c)的直线一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
2024年山东省东营市中考数学真题试卷及答案
2024年山东省东营市中考数学真题试卷第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题:本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来．每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1. 3-的绝对值是（ ） A. 3B. 3-C. 3±D.2. 下列计算正确的是（ ） A. 236x x x ⋅= B. ()2211x x -=-C. ()2224xyx y =D. 2142-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3. 已知,直线a b ∥,把一块含有30︒角的直角三角板如图放置,130∠=︒,三角板的斜边所在直线交b 于点A ,则2∠=（ ）A. 50︒B. 60︒C. 70︒D. 80︒4. 某几何体的俯视图如图所示,下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（ ）A. B. C. D.5. 用配方法解一元二次方程2220230x x --=时,将它转化为2()x a b +=的形式,则b a 的值为（ ） A. 2024-B. 2024C. 1-D. 16. 如图,四边形ABCD 是矩形,直线EF 分别交AD ,BC ,BD 于点E,F,O,下列条件中,不能证明BOF DOE △△≌的是（ ）A. O 为矩形ABCD 两条对角线的交点B. EO FO =C. AE CF =D. EF ⊥BD7. 如图,四边形ABCD 是平行四边形,从①AC BD =,①AC BD ⊥,①AB BC =,这三个条件中任意选取两个,能使ABCD 是正方形的概率为（ ）A.23B.12C.13D.568. 习近平总书记强调,中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动,小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图,20cm OA =,5cm OB =,纸扇完全打开后,外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角120AOC ∠=︒．现需在扇面一侧绘制山水画,则山水画所在纸面的面积为（ ）2cm ．A.25π3B. 75πC. 125πD. 150π9. 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示,则下列结论正确的是（ ）A. 0abc <B. 0a b -=C. 30a c -=D. 2am bm a b +≤-(m 为任意实数)10. 如图,在正方形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,H 为AB 延长线上的一点,且BH BD =,连接DH ,分别交AC ,BC 于点E,F,连接BE ,则下列结论:①CF BF =;①tan 1H ∠;①BE 平分CBD ∠;①22AB DE DH =⋅．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共8小题,其中11-14题每小题3分,15-18题每小题4分,共28分．只要求填写最后结果．11. 从2024年一季度GDP 增速看,东营市增速位居山东16市“第一方阵”,一季度全市生产总值达到957.2亿元,同比增长7.1%,957.2亿用科学记数法表示为_______．12. 因式分解:2a 3−8a =______．13. 4月23日是世界读书日,东营市组织开展“书香东营,全民阅读”活动,某学校为了解学生的阅读时间,随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间,统计结果如下表所示．在本次调查中,学生每天的平均阅读时间的众数是_______小时．14. 在弹性限度内,弹簧的长度(cm)y 是所挂物体质量(kg)x 的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm,当所挂物体的质量为2kg 时,弹簧长13.5cm ．当所挂物体的质量为5kg 时,弹簧的长度为_______cm15. 如图,将DEF 沿FE 方向平移3cm 得到ABC ,若DEF 的周长为24cm ,则四边形ABFD 的周长为_______cm ．16. 水是人类赖以生存的宝贵资源,为节约用水,创建文明城市,某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨原价的14．小丽家去年5月份的水费是28元,而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少33m ．设该市去年居民用水价格为3/m x 元,则可列分式方程为_______．17. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少．割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416,如图,O 的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计O 的面积,可得π的估计值为2若用圆内接正八边形近似估计O 的面积,可得π的估计值为_________．18. 如图,在平面直角坐标系中,已知直线l 的表达式为y x =,点1A 的坐标为,以O 为圆心,1OA 为半径画弧,交直线l 于点1B ,过点1B 作直线l 的垂线交x轴于点2A ;以O 为圆心,2OA 为半径画弧,交直线l 于点2B ,过点2B 作直线l 的垂线交x 轴于点3A ;以O 为圆心,3OA 为半径画弧,交直线l 于点3B ,过点3B 作直线l 的垂线交x 轴于点4A ;……按照这样的规律进行下去,点2024A 的横坐标是_______．三、解答题:本大题共7小题,共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19. （1）计算0(π 3.14)|22sin60-︒+-;（2）计算:2443111a a a a a -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭．20. 某学校举办“我参与,我劳动,我快乐,我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况,学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位:小时）,并进行整理和分析（劳动时间x 分成五档:A 档:01x ≤<;B 档:12x ≤<;C 档:23x ≤<;D 档:34x ≤<;E 档:4x ≤）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下:根据以上信息,回答下列问题:（1）本次调查中,共调查了_______名学生,补全条形统计图;（2）调查的男生劳动时间在C 档的数据是:2,2.2,2.4,2.5,2.7,2.8,2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．（3）学校为了提高学生的劳动意识,现从E 档中选两名学生作劳动经验交流,请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．21. 如图,ABC 内接于O ,AB 是O 的直径,点E 在O 上,点C 是BE 的中点,AE CD ⊥,垂足为点D,DC 的延长线交AB 的延长线于点F ．（1）求证:CD 是O 的切线;（2）若CD =60ABC ∠=︒,求线段AF 的长．22. 如图,一次函数y mx n =+（0m ≠）的图象与反比例函数ky x=（0k ≠）的图象交于点(3,)A a -,()1,3B ,且一次函数与x 轴,y 轴分别交于点C,D ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式; （2）根据图象直接写出不等式kmx n x+>的解集; （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得4=△△OCP OBD S S ,求点P 的坐标．23. 随着新能源汽车的发展,东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A 型和B 型两种车型,若购买A 型公交车3辆,B 型公交车1辆,共需260万元;若购买A 型公交车2辆,B 型公交车3辆,共需360万元．（1）求购买A 型和B 型新能源公交车每辆各需多少万元？（2）经调研,某条线路上的A 型和B 型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A 型,B 型两种新能源公交车,总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大,请设计购买方案,并求出年均载客总量的最大值．24. 在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,1AC =,3BC =．（1）问题发现如图1,将CAB △绕点C 按逆时针方向旋转90︒得到CDE ,连接AD ,BE ,线段AD 与BE 的数量关系是______,AD 与BE 的位置关系是______; （2）类比探究将CAB △绕点C 按逆时针方向旋转任意角度得到CDE ,连接AD ,BE ,线段AD 与BE 的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若AD 交CE 于点N,请结合图2说明理由; （3）迁移应用如图3,将CAB △绕点C 旋转一定角度得到CDE ,当点D 落到AB 边上时,连接BE ,求线段BE 的长．25. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -,(2,0)B 两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式;（2）当点D 在直线BC 下方的抛物线上时,过点D 作y 轴的平行线交BC 于点E ,设点D 的横坐标为t,DE 的长为l ,请写出l 关于t 的函数表达式,并写出自变量t 的取值范围;（3）连接AD ,交BC 于点F ,求DEFAEFS S △△的最大值．2024年山东省东营市中考数学真题试卷答案一、选择题．二、填空题． 11.【答案】109.57210⨯ 12.【答案】2a (a +2)(a −2) 13.【答案】1 14.【答案】15 15.【答案】3016.【答案】2824.5354x x -=17.【答案】18.【答案】10122 三、解答题．19.【答案】（1）1;（2）22a a -+． 20.【答案】（1）50 （2）2.5 （3）1621.【答案】（1）略 （2）6 22.【答案】（1）3y x=,y =x +2 （2）30x -<<或1x >（3）点P 坐标为3,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭23.【答案】（1）购买A 型新能源公交车每辆需60万元,购买B 型新能源公交车每辆需80万元;（2）方案为购买A 型公交车8辆,B 型公交车2辆时．线路的年均载客总量最大,最大在客量为760万人．24.【答案】（1）3BE AD =;AD BE ⊥ （2）一致;理由略 （3）BE = 25.【答案】（1）2y x x 2=--（2）()2202l t t t =-+<< （3）1()3DEFAEF S S =最大。
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绝密★启用前 试卷类型：A山东省二○○八年中等学校招生考试数 学 试 题注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷4页为选择题，24分；第Ⅱ卷8页为非选择题，96分；全卷共12页，满分120分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD 】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．4．考试时，不允许使用科学计算器．第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．只用下列图形不能镶嵌的是 A ．三角形B ．四边形C ．正五边形D ．正六边形2．下列计算结果正确的是 A ．4332222y x xy y x -=⋅- B ．2253xy y x -=y x 22- C ．xy y x y x 4728324=÷ D ．49)23)(23(2-=---a a a3．在平面直角坐标系中，若点P (m －3，m ＋1)在第二象限，则m 的取值范围为 A ．－1＜m ＜3B ．m ＞3C ．m ＜－１D ．m ＞－１4．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是5．若关于x 的一元二次方程023(2=+--m m 的常数项为0，则m 的值等于A ．1B ．2C ．1或2D ．06．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是A ．10B ．16C ．18D ．20 7．若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<8．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个图 1图 2BEDA COA ．B ．C ．D ．绝密★启用前 试卷类型：A山东省二○○八年中等学校招生考试数 学 试 题第Ⅱ卷（非选择题 共96分）注意事项：1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共8小题，每小题填对得4分，共32分．只要求填写最后结果． 9．在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学计数法表示为__________帕（保留两位有效数字）．10．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ， ∠CDE ＝150°，则∠C ＝__________．11．分解因式:ab b a 8)2(2+- =____________．12．为1面积是 ．13．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为 ．14．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：所剪次数 12 3 4 … n 正三角形个数 4710 13 … a n则a n ＝ （用含n 的代数式表示）．15．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是 “上升数”的概率是 ．16．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD =BE ； ② PQ ∥AE ；BCDEABCE DO PQ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分6分) 先化简，再求值：11a b a b ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭÷222b a ab b -+，其中21+=a ，21-=b ． 18．(本题满分8分)振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．（1）他们一共调查了多少人？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？19．(本题满分8分)为迎接2008年奥运会，4盒和3盒，5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 20．(本题满分10分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点．求证：CE ⊥BE ． 21． (本题满分10分)如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB ＝2km ，∠DAC ＝15°．（1）求B ，D 之间的距离； （2）求C ，D 之间的距离． 22．(本题满分10分) （1）探究新知： 如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等， 试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xk y =k 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．/元A CB D E ABC 中山路文化路D 和平路45° 15°30° 环城路 EF A B D C试证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 23．(本题满分12分)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分．一、选择题(本大题共二、填空题 (本大题共9．8106.4⨯；10．120°；11．2)2(b a +；12．2π；13．28元；14．13+n ；15．5216．①②③⑤．三、解答题 (本大题共7小题，共64分)： 17．(本题满分6分)解：原式＝222))(()()(bab a bb a b a b a b a +-÷+---+ ……………………………2分 ＝b b a b a b a b 2)())((2-⋅+- …………………………………………3分＝ba b a +-)(2． ……………………………………………………………4分当21+=a ，21-=b 时，原式＝222222=⨯． …………………6分B D图 2B图 1图 3图 318．(本题满分8分) 解：（1）设捐款30元的有6x 人，则8x +6x =42．∴ x =3． ……………2分 ∴ 捐款人数共有：3x +4x +5x +8x +6x =78（人）． ………3分 （2）由图象可知：众数为25（元）；由于本组数据的个数为78，按大小顺序排列处于中间位置的两个数都是25（元），故中位数为25（元）．……6分(3) 全校共捐款：（9×10+12×15+15×20+24×25+18×30）×781560=34200（元）．…………8分19．(本题满分8分)解：设生产奥运会标志x 套，生产奥运会吉祥物y 套．根据题意，得⎩⎨⎧=+=+②00300103①0020054.y x ,y x …………2分①×2－②得：5x =10000．∴ x =2000． …………………………6分把x =2000代入①得：5y =12000．∴ y =2400．答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．……8分20．(本题满分10分)证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．……………… 1分∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， ∴ ∠D ＝∠A ＝∠CFA ＝90°． ∴四边形AFCD 是矩形． AD=CF, BF=AB -AF=1． (3)分 在Rt △BCF 中，CF 2=BC 2-BF 2=8， ∴ CF=22．∴ A D =C F =22．……………………………… 5分 ∵ E 是AD 中点，∴ D E =A E =21A D =2． (6)分在Rt △ABE 和 Rt △DEC 中， EB 2=AE 2+AB 2=6， EC 2= DE 2+CD 2=3， EB 2+ EC 2=9=BC 2．∴ ∠C E B ＝90°．………………………… 9分∴ EB ⊥EC ． …………………………………………………… 10分 21．(本题满分10分) 解：（1）如图，由题意得，∠EAD ∴ ∠EAC =∠EAD +∠DAC ∵ AE ∥BF ∥CD ，∴ ∠FBC =∠EAC =60°． ∴ ∠DBC =30°． 又∵ ∠DBC =∠DAB +∠ADB ，和A CB DE F∴ ∠ADB =15°．∴ ∠DAB =∠ADB ． ∴ BD =AB =2．即B ，D 之间的距离为2km ．… ………………………5分 （2）过B 作BO ⊥DC ，交其延长线于点O ， 在Rt △DBO 中，BD =2，∠DBO =60°． ∴ DO =2×sin60°=2×323=,BO =2×cos60°=1．………………8分 在Rt △CBO 中，∠CBO =30°，CO =BO tan30°=33， ∴ CD =DO －CO =332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332k m ． ………………………10分22．(本题满分10分)（1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．……1分∴ CG ∥DH ．∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，∴ CG ＝DH ． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD 为平行四边形．∴AB ∥CD ． (3)（2）①证明：连结MF ，NE ． 设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（∵ 点M ，N 在反比例函数xky =（k ＞0∴ k y x =11，k y x =22． ∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE ＝y 1，OF ＝x 2．∴ S △EFM ＝k y x 212111=⋅， ………………5S △EFN ＝k y x 212122=⋅． ..................6∴S △EFM ＝S △EFN ． (7)分 由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ………8② MN ∥EF ． …………………10（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．） 23．(本题满分12分) 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．A BDC 图 1 G HB图 1∴ AN ＝43x ． ……………2分∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） …………3分（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC =，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==．在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BCAC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．……………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………8分② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形，∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．D图 2图 4P图 3又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-． (10)分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………11分综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………12分。