河北省石家庄市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题及答案
河北省石家庄市2019~2020学年度第一学期期末考试高二数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A ．40B ．30C ．20D ．122.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．4C ．12D ．24.若x ，y 满足010x y x y x −≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．25.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型.清代陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18C ．38D ．3166.已知曲线1y x x =+上一点52,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 处的线方程为（ ） A ．4340x y −+= B ．3440x y ++= C ．3440x y −+=D ．4330x y ++=7.设命题p ：函数1()2x f x −=在R 上为单调递增函数；命题q ：函数()cos2f x x =为奇函数，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝8.正四棱锥P ABCD −ABCD 边长为2，E 为AD 的中点，则BD 与PE 所成角的余弦值为（ ）A ．4B ．13C ．4D ．49.设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x −+<”的（ ） A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1π312+ B ．π112+C ．1π34+ D ．π14+11.设P 是椭圆221259x y +=上一个动点，点M ，N 分别是两圆22(4)1x y ++=和22(4)1x y −+=上的点，||||PM PN +的最小值、最大值分别为（ ） A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212.已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()f x f x '<恒成立，其中e 是自然对数的底，则（ ）A ．(2019) (2020)f e f <B ．(2019)(2020)f f <C ．(2019) (2020)ef e f >D ． (2019)(2020)e f f >第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.函数3()3f x x x =−的极小值为 .14.在集合{2,3}A =中随机取一个元素m ，在集合{1,2,3}B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .15.已知椭圆2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F −，经过点F 且斜率为1的直线l 与该椭圆交于C ，D 两点，则线段CD 的长为 .16.已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1.（计算结果保留小数点后面3位）（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间[75,85]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间[45,65)内的概率.18.已知圆C 过三点(2,4)，直线:20l ax y a ++=. （Ⅰ）求圆C 的方程（Ⅱ）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||AB =l 的方程.19.现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x 与单位成本y 统计数据如下：72（Ⅰ）试确定回归方程y bx a =+；（Ⅱ）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？ （Ⅲ）假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？（参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,()niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xn x ====−−−===−−−∑∑∑∑.） （参考数据11481niji x==∑2179nii x==∑）20.（本小题满分12分）四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，2AB =，BC =PA PB =、侧面PAB ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：PC BD ⊥；（Ⅱ）设与平面PAD 所成的角为45︒，求二面角B PC D −−的余弦值.21.过抛物线2:2(0)C y p x p =⋅>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且||2MN =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y hx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均不与点Q 重合）.设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =−.直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由.22.已知函数()2()sin 2x f x e x ax a e =−+−，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （Ⅰ）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当112a ，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <.石家庄市2019-2020学年第一学期期末考试答案高二数学答案一、选择题1~5 BBADB 6~10 CDDAB 11~12 CB 二、填空题13.-2 14.13 15.2471+ 三.解答题解：（Ⅰ）设区间[75,85]内的频率为x ，则区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x .依题意得(0.0040.0120.0190.030)10421x x x +++⨯+++=. 解得0.05x =.所以区间[75,85]内的频率为0.05.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率依次为0.3，0.2，0.1. 用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本.则在区间[45,55)内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++人，记为1A ，2A ，3A在区间[55,65)内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++人，记为1B ，2B ,在区间[65,75)内应抽取0.16110.30.20.1⨯=++人，记为C .设“从中任意选取2个孩子，这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内”为事件M ，则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}1,B C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种.事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种.所以这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内的概率为102153=. l8解：（1）圆C 的方程228120x y y +−+=.（2）过圆心C 作CD AB ⊥，则根据题意和圆的性质，得2222||||||||21||||2,CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩解得7a =−或1a =−.故所求直线方程为7140x y =+=或20x y =+=.19解：（1）设x 表示每月产量（单位：千件），y 表示单位成本（单位：元/件），作散点图.由图知y 与x 间呈线性相关关系，（不画图不扣分）设线性回归方程为y bx a =+，其中 3.5x =71y =由公式可求得 1.818b ≈−，77.363a ≈，∴回归方程为 1.81877.363y x =−+.（2）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元. （3）当70y =时，70 1.81877.363x =−+， 得 4.050x ≈千件.∴单位成本是70元/件时，产量约为4050件.备注：若学生计算时用分数，答案可见下面情况一：设线性回归方程为y bx a =+，其中 3.5x =71y =由公式可求得10ˆ 5.5b=− ˆ77.364a=， ∴回归方程为10ˆ77.3645.5yx =−+. （2）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元.（3）当ˆ70y=时，107077.3645.5x =−+，得 4.051x ≈千件. ∴单位成本是70元/件时，产量约为4051件.情况二：设线性回归方程为y bx a =+，其中 3.5x =71y =由公式可求得1020ˆ 5.511b=−=− 8514ˆ771111a==， ∴回归方程为20851ˆ1111yx =−+ （2）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降2011元. （3）当ˆ70y=时，20851701111x =−+，得 4.05x =千件， ∴单位成本是70元件时，产量约为4050件. 20.解：（1）证法一：设AB 中点为O ，连接PO ,由已知PA PB =，所以PO AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB 故PO ⊥平面ABCD以O 为原点，OP 为z 轴，OB 为y 轴，如图建立空间直角坐标系，并设PO h =，则(0,0,)P h ，(0,1,0)B ，C ，1,0)D − 所以(2,1,)PC h =−，(2,2,0)BD =−0PC BD ⋅=，所以PC BD ⊥.证法二：设AB 中点为O ，连接PO ，由已知PA PB =，所以PO AB ⊥， 而平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB 故PO ⊥平面ABCD ， 从而BD PO ⊥①在矩形ABCD 中，连接CO ，设CO 与BD 交于M ，则由::CD CB BC BO =知~BCD OBC ∆∆，所以BCO CDB ∠=∠ 所以90BCM CBM CDB CBM ∠+∠=∠+∠=︒，故BD CO ⊥② 由①②知BD ⊥平面PCO 所以PC BD ⊥.（2）由AD AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，可得AD ⊥平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD ，交线为PA过B 作BH PA ⊥，垂足为H ，则BH ⊥平面PADBD 与平面PAD 所成的角即为角BDH ∠所以22BH BD ===从而三角形PAB 为等边三角形，PO =（也可以用向量法求出PO ，(0,0,)P h ，则(0,1,0)A −，(0,1,0)B ，1,0)D −，可求得平面PAD 的一个法向量为(0,,1)p h =−，而(2,2,0)BD =− 由cos ,sin45p BD 〈〉=︒可解得h =设平面BPC 的一个法向量为m ，则0m BP m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(0,BP =−，(2,0,0)BC =，可取(0,3,1)m =， 设平面DPC 的一个法向量为n ，则0n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(DP =−，(0,2,0)DC =，可取=(3,0,n −于是10cos ,10m m 〈〉=−， 故二面角B PCD −−的余弦值为 21.解（1）由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p y x =−代入抛物线方程得：22304p x px −+= 设(),M M M x y ，(),N N N x y ∴3M N x x p += ∴||42M N MN x x p p =++==，解得：12p =∴抛物线方程为：2y x =（2）由（1）知：抛物线2:C y x = ∴(1,1)Q设()11,A x y ，()22,B x y 由2y kx my x=+⎧⎨=⎩得：20ky y m −+=，则140km ∆=−> ∵0k ≠ ∴121y y k +=，12m y y k=∴()()121212221212121111111111112y y y y k k x x y y y y −−−−=⋅=⋅==−−−−−++即：()121230y y y y +++= ∴130mk k ++=，解得31m k =−−当31m k =−−时，21414(31)12410km k k k k −=++=++>∴31(3)1y kx k k x =−−=−−，恒过定点(3,1)−∴直线l 恒过定点(3,1)−22解：（1）当0a =时，()(sin )x f x e x e =−，x R ∈()(sin cos )4x x f x e x x e e x e π⎤⎛⎫'=+−=+− ⎪⎥⎝⎭⎦， ∵当x R ∈4x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()0f x '<，∴()f x 在R 是单调递减的函数.（2）设2()sin 2g x x ax a e =−+−，[0,)x ∈+∞要证()0f x <，即证()0g x <()cos 2g x x ax '=−，()()cos 2h x g x x ax '==−，[0,)x ∈+∞则()sin 2h x x a '=−− 当112a ≤≤时，[0,)x ∈+∞，有()0h x '≤，∴()h x 在[0,)+∞上是减函数，即()g x '在[0,)+∞上是减函数.又∵(0)10g '=>，20422a g πππ⎛⎫'=≤< ⎪⎝⎭，∴()g x '存在唯一的00,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()000cos 20g x x ax '=−=，所以当()000,x x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间()00,x 单调递增； 当()00,x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在区间()0,x +∞单调递减.因此在区间[0,)+∞ ()2max 000()sin 2g x g x x ax a e ==−+−因为00cos 20x ax −=，所以001cos 2x x a=，将其代入上式得 22max 0000111()sin cos 2sin sin 2444g x x x a e x x a e a a a=−+−=+−+− 令00sin ,0,4t x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则0,2t ⎛∈ ⎝⎭，即有211()2,442p t t t a e t a a ⎛⎫=+−+−∈ ⎪⎝⎭ 因为()p t 的对称轴20t a =−<，所以函数()p t在区间0,2⎛⎝⎭上是增函数，112a ≤≤所以1151()20,1228282p t p a e e a a ⎛⎫⎛⎫<=−+−<+−<≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即任意[0,)x ∈+∞，()0g x <， 所以()()0x f x e g x =<，因此任意[0,)x ∈+∞，()0f x <法二：要证()0f x <，可转化为证明2sin 20x ax a e −+−<，即()22sin 0x a x e −+−<， 令()21()2sin ,,12g a x a x e a ⎡⎫=−+−∈⎪⎢⎣⎭，即证max ()0g a <. 即证()()2212sin 0,(1)22sin 0,(2)x x e x x e ⎧−+−<⎪⎨⎪−+−<⎩恒成立. 即证2211sin 0,(1)22sin 0,(2)x x e x x e ⎧+−−<⎪⎨⎪+−−<⎩ 对任意的[0,)x ∈+∞，1sin 2x +≤，易得（1）恒成立在（2）中令2()2sin h x x x e =+−−，0x ≥时，易证sin x x ≤，所以2219()2024h x x x e x e ⎛⎫≤+−−=−+−< ⎪⎝⎭ ∴（2）恒成立.其中sin x x ≤的证明不做要求，不占分值.。
河北省张家口市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2018-2019学年上学期高二期末考试数学（文）试题一，选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．）1，已知全集{}2U 1x x =>,集合{}2430x x x A =-+<,则=A C U （ ）A ．()1,3B ．()[),13,-∞+∞C ．()[),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-+∞ 2，某校为了研究“学生地”和“对待某一活动地态度”是否相关,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算069.7=k ,则认为“学生与支持活动相关系”地犯错误地概率不超过A ．0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9%附：)(02k K P ≥0.1000.0500.0250.0100.001k 02.7063.8415.0246.63510.8283，已知抛物线地焦点()F ,0a （0a <）,则抛物线地标准方程是（ ）A ．22y ax = B ．24y ax = C ．22y ax =- D ．24y ax =-4，命题:p x ∃∈N ,32x x <。
命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞ ,函数()()log 1a f x x =-地图象过点()2,0,则（ ）A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真5，执行右边地程序框图,则输出地A 是（ ）A ．2912 B ．7029 C ．2970 D ．169706，在直角梯形CD AB 中,//CD AB ,C 90∠AB = ,2C 2CD AB =B =,则cos D C ∠A =（ ）A C D7，已知2sin 21cos 2αα=+,则tan 2α=（ ）A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或08，32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中地常数项为（ ）A ．8- B ．12- C ．20- D ．209.已知函数()f x 地定义域为2(43,32)a a --,且(23)y f x =-是偶函数．又321()24x g x x ax =+++,存在0x 1(,),2k k k Z ∈+∈,使得00)(x x g =,则满足款件地k 地个数为( )A ．3 B ．2 C ．4 D ．110，F 是双曲线C :22221x y a b-=（0a >,0b >）地右焦点,过点F 向C 地一款渐近线引垂线,垂足为A ,交另一款渐近线于点B ．若2F F A =B,则C 地离心率是（ ）A B ．2 C 11，直线y a =分别与曲线()21y x =+,ln y x x =+交于A ,B ,则AB 地最小值为（ ）A ．3B ．2C ．3212，某几何体地三视图如图所示,则该几何体地表面积为（ ）A ．4B ．21+C ．12+D 12二，填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．）13，已知()1,3a =- ,()1,b t = ,若()2a b a -⊥,则b = ．14，已知212(1)4k dx ≤+≤⎰,则实数k 地取值范围是_____.15，在半径为2地球面上有不同地四点A ,B ,C ,D ,若C D 2AB =A =A =,则平面CDB 被球所截得图形地面积为 ．16，已知x ,R y ∈,满足22246x xy y ++=,则224z x y =+地取值范围为 ．三，解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17，（本小题满分12分）设数列{}n a 地前n 项和为n S ,满足()11n n q S qa -+=,且()10q q -≠．()I 求{}n a 地通项公式。
2021年河北省石家庄市衡水中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2021年河北省石家庄市衡水中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )A、 B、 C、 D、参考答案：D2. 椭圆的左、右焦点分别是F1（- c,0）, F2 (c,0 )，过点的直线与椭圆交于A , B两点，且，则此椭圆的离心率为（）A B C D参考答案：C3. 用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A）265个（B）24个（C）128个（D）232个参考答案：B4. i是虚数单位，则1+i3等于（）A.iB.-iC.1+iD.1-i参考答案：D略5. 算法的有穷性是指（）A．算法必须包含输出 B．算法中每个操作步骤都是可执行的C．算法的步骤必须有限 D．以上说法均不正确参考答案：C6. 表面积为4π的球O放置在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1上，且与上表面A1B1C1D1相切，球心在正方体上表面的射影恰为该表面的中心，则四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】球O的半径为1，四棱锥O﹣ABCD的底面边长为4，高为5，设四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为R，利用勾股定理，建立方程，即可求出四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径．【解答】解：表面积为4π的球O的半径为1，∴四棱锥O﹣ABCD的底面边长为4，高为5，设四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为R，则R2=（5﹣R）2+（2）2，∴R=．故选：B．【点评】本题考查球的体积的计算，考查学生的计算能力，难度中档．7. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A略8. 如果直线x＋2y－1＝0和kx-y-3＝0互相垂直，则实数k的值为( )．A.－ B．－2 C．2 D．参考答案：C9. 椭圆M：+=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F F P为椭圆M上任意一点，且||·|| 的最大值的取值范围是[2C，3C]，其中C=，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A．[，] B.[，1] C.[，1] D.[，]参考答案：A略10. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14参考答案：B 【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线y=﹣4x+z经过点B时，直线y=﹣4x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，3），此时z=2×4+3=8+3=11，故选：B．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若既是等差数列又是等比数列，则（）；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列.其中正确命题的序号是 .参考答案：①②③略12. 若复数是纯虚数，则实数m的值为____．参考答案：－【分析】由纯虚数的定义，可以得到一个关于的等式和不等式，最后求出的值.【详解】因为复数是纯虚数，所以有，.故答案为.【点睛】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.13. 事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且P (A )＝2P (B )，则P ()＝________． 参考答案：14. 已知，抛物线上的点到直线的最短距离___ 参考答案： 0 略15. 在△ABC 中，A 、B、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b=a+c ，则B 的取值范围是 ．参考答案：（0，]【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形．【分析】由已知等式变形表示出b ，利用余弦定理表示出cosB ，将表示出的b 代入并利用基本不等式变形求出cosB 的范围，即可确定出B 的范围．【解答】解：∵2b=a+c，即b=，∴cosB===≥=，则B 的范围为（0，]．故答案为：（0，] 【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 16. 已知，若函数f （x+m ）为奇函数，则最小正数m 的值为 ．参考答案：【考点】正切函数的图象．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用正切函数是奇函数的性质，列出方程即可求得m 的取值，再求出它的最小值．【解答】解：∵函数f （x ）=tan （2x+），∴f（x+m ）=tan （2x+2m+）；又f （x+m ）是奇函数， ∴2m+=k π，k∈Z；当k=1时，m 取得最小正数值为． 故答案为：．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基本题目．17.= ．参考答案：﹣1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 ．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 +1 ．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 ．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
河北省石家庄二中2023-2024学年高二上学期期末数学试题
河北省石家庄二中2023-2024学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
3
113
B ．直线AB 过点(2,0)
C ．抛物线在A 处的切线和在B 处的切线相交于点M ，则点M 在直线2x =-上
D ．ABO V 与AFO V 面积之和的最小值是3
三、填空题
13．设抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若抛物线上一点0(2,)M y 到点F 的距离为6，则0y =.
14．若函数()2
ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为.
15．已知点(),P x y 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，PA 、PB 是圆:
C 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k =． 16．用()g n 表示自然数n 的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，()99g =，10的正因数有1、2、5、10，
()105g =.记()()()()()1232n S n g g g g =++++L ，则（1）()4S =.（2）()S n =.
四、解答题。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
河北省石家庄市新华区2022-2023学年高三年级上学期期末数学模拟试题及参考答案
河北省石家庄市新华区2022-2023学年高三年级上学期期末模拟数学试题及参考答案一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
下列各题，每小题只有一个选项符合题意。
）1.设集合A 、B 均为U 的子集，如图，()U A B ∩ð表示区域（）A.ⅠB.IIC.IIID.IV2.已知复数1i z =-，则2iz=-（）A.13i 55- B.13i55-- C.13i55-+ D.1355i +3.已知M 为抛物线:C ()220x py p =>上一点，点M 到C 的焦点的距离为7，到x 轴的距离为5，则p =（）A.3B.4C.5D.64.已知函数()y g x =的图象与函数sin 2y x =的图象关于直线x π=对称，将()g x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域为（）A.3322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B.312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C.312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D.[]01，5.著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ，空气温度为0θC ，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ）满足：()010e ktθθθθ-=+-，其中k 是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有42C 的物体放在2C 的空气中冷却，2分钟后物体的温度为22C ，则再过4分钟该物体的温度可冷却到（）A .6CB.7CC.8CD.9C6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在20~80mg 之间为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（）（参考数据：lg 20.3≈，lg 30.48≈）A.6B.7C.8D.97.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上且位于第一象限内的一点，直线PO 交双曲线C 的左支于点A ，直线2PF 交双曲线C 的右支于另一点B ，213PF PF =，23AF B π∠=，则双曲线的离心率为（）A.52B.72C.132D.28.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA ⊥平面ABC ，4SA =，23BAC π∠=，AB =M 是边BC 上一动点，则直线SM 与平面ABC 所成的最大角的正切值为（）A.3B.433C.D.32二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()2(sin |sin |)cos f x x x x =+，给出下列四个命题，其中正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C.()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的值域为[2,2]-10.某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（）A.2020年第四季度的销售额为280万元B.2020年上半年的总销售额为500万元C.2020年2月份的销售额为40万元D.2020年12个月的月销售额的众数为60万元11.已知圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=，直线:l y kx =．下列命题中，正确的命题是（）A.对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点B.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切C.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D.存在实数k 与θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为312.已知函数()2ln 2a f x x x x =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（）A.a 的取值范围为（－∞，1）B.122x x +>C.12112x x +> D.2111x x a->-三.填空题(共4题，总计16分)13.()621x x ++展开式中4x 的系数为______．14.中，D 为的中点，BC=4，，则______．15.已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为3，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为___．16.已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，2AB =，M 是棱AB 延长线上的一点，且AB BM =，若PM =，则动点P 运动轨迹的长为___________.四.解答题(共6题，总计74分)17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()113n n S a =-，n ∈N *．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记πsin2n n n b a =⋅，求数列{b n }的前100项的和100T ．18.在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝2∠ACB ＝4∠BAC ，AB ＝2，BC ，CD （1）求∠ACB 的大小；（2）求四边形ABCD 的面积．19.已知某箱中装有10件产品，其中合格品8件，次品2件．现进行产品质量检测，从中任取一件产品进行检测视为1次质量检测（如果取到合格品，则把它放回箱中；如果取到次品，则不放回箱中且另补放一件合格品到箱中）．在重复n 次这样的质量检测后，记箱中的次品件数为n X ．（1）求2X 的分布列及数学期望()2E X ；（2）设n p 表示“n 次操作后箱中的次品件数为1”的概率，求3p ，并用n p 表示1n p +．20.如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △为等腰直角三角形，PA PC =，2AC =，ABC ∆为正三角形，D 为AC 的中点.（1）证明：平面PDB ⊥平面PAC ；（2）若二面角P AC B --的平面角为锐角，且三棱锥P ABC -的体积为6，求二面角A PB C --的正弦值.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，焦距为，P －3）为椭圆上一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点（0，－12）的直线l 与C 交于A ，B 两点；线段AB 的中点为M ，在y 轴上是否存在定点N ，使得2AMN ABN ∠=∠恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数()e x x f =-(a ∈R )．（1）若()f x 是单调增函数，求a 的取值范围；（2）若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：1212ln ln2x x a <+<-．参考答案一.单项选择题1.【答案】：B 【解析】：由题意可知，()U A B ∩ð表示区域II.2.【答案】：D【解析】：复数1i z =-，则1i z =+则()()()()1i 2i 1i 13i2i 2i 2i 2i 5z ++++===---+3.【答案】：B【解析】：抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为2py =-，因为点M 到C 的焦点的距离为7，到x 轴的距离为5，所以22p=，所以4p =；4.【答案】：C【解析】：设(),x y 为()g x 的图像上一点，则点(),x y 关于直线x π=对称的点为()2,x y π-由题意点()2,x y π-在函数sin 2y x =的图象上，则()sin 22sin 2y x xπ=-=-所以()sin 2g x x =-，则()2sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，则23sin 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦所以()312f x -≤≤5.【答案】：B【解析】：由题设，()2222422ek-=+-，可得k =，再过4分钟，有()ln 4122222e07e2θ-=++⨯-==C .6.【答案】：C【解析】：设该驾驶员至少需经过x 个小时才能驾驶汽车，则()120120%20x-<，所以81106x⎛⎫< ⎪⎝⎭，则8101lg 6lg 2lg 3log 7.86lg 0.83lg 21x --->==≈-，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.7.【答案】：B【解析】：由双曲线定义可知：12||||2PF PF a -=，而213PF PF =，故123,PF a PF a ==，由双曲线的对称性可知||||PO AO =，而12||||F O F O =,故四边形12F AF P 为平行四边形，故由23AF B π∠=得:123F PF π∠=,在12F PF △中，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即222(2)(3)23cos3c a a a a π=+-⨯⨯，即2274a c =，则72c e a ==，8.【答案】：B【解析】：根据题意，将三棱锥S ABC -放入直三棱柱11SB C ABC -，则两者外接球相同，且取底面11,ABC SB C 的外心为12,O O ，连接12O O ，且取其中点为O ，连接1,OA AO 如下所示：因为三棱锥S ABC -外接球的表面积为64π，设外接球半径为R ，则2464R ππ=，解得4R =；对直三棱柱11SB C ABC -，其外接球球心在12O O 的中点O 处，也即4OA =，故在1Rt OO A 中，因为114,22OA OO SA ===，设ABC 外接圆半径1AO 为r ，则22224r +=，解得r =；在ABC 中，因为23BAC π∠=，且r =，故可得22sin 3BCrπ=，即262BC =⨯=，再由正弦定理可得2sin AB r ACB =∠，则1sin 22AB ACB r ∠===，又ACB ∠为锐角，故6ACB π∠=；则6ABC π∠=，即是以BAC ∠为顶角的等腰三角形；因为SA ⊥平面ABC ，故SM 与平面ABC 的夹角即为SMA ∠，则4tan SA SMA AM AM∠==，又AM 的最小值即为BC 边上的高线，设其长度为h ，则1sin 2h ABC AB =∠⨯=⨯=.故当SMA ∠最大时，tan SMA ∠为433，即直线SM 与平面ABC 所成的最大角的正切值为3.二.多选题9.【答案】：BD【解析】：()()()()()2sin sin cos 2sin sin cos f x x x x x x x f x π+=-+⋅-=-⋅≠，所以A 选项错误.2sin sincos 02222f ππππ⎛⎫⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos cos sin 2f x x x x π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，()2cos cos sin 22f x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 选项正确.204222f π⎛⎫⎛⎫-=-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()020010f =+⋅=，所以C 选项错误.()4sin cos ,222sin 2,220,2220,222x x k x k x k x k f x k x k k x k ππππππππππππππ≤≤+≤≤+⎧⎧==⎨⎨+<<++<<+⎩⎩，所以()f x 的值域为[2,2]-，D 选项正确.10.【答案】：AD【解析】：2020年全年的销售额为30010000.3=万元，故第四季度的销售额为100028%280⨯=万元，A 正确；2020年上半年的总销售额为160260420+=万元，B 错误；2020年2月份的销售额为10005%50⨯=万元，C 错误；3、4、12三个月的月销售额均为60万元，D 正确.11.【答案】：AC【解析】：选项A ，圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=恒过原点(0,0)O ，所以A 正确；圆心(cos ,sin )M θθ-到直线l 的距离为d ，|sin()|1d θϕ==+≤∴对于任意实数k ，直线l 与圆相交或相切，所以选项C 正确，选项B 不正确；圆上的点到直线l 距离最大值为12d +≤，所以选项D 不正确.12.【答案】：BCD【解析】：由题设，()ln 1f x x ax =+-'且定义域为(0,)+∞，则1()axf x x-''=，当0a ≤时()0f x ''>，则()'f x 单调递增，不可能存在两个零点，即()f x 不可能存在两个极值点，A 错误；当10x a <<时()0f x ''>，即()'f x 单调递增，当1x a>时()0f x ''<，即()'f x 单调递减，即1()(ln f x f a a''≤=-，当1a ≥时，max 1()ln0f x a'=≤，所以()'f x 至多有一个零点；当01a <<时，max 1()ln0f x a'=>，而(1)10f a '=->，当x 趋向于0时()f x 趋于负无穷大，当x 趋向于正无穷时()f x 趋于负无穷大，综上，01a <<，()'f x 在(0,1),(1,)+∞内各有一个零点1x ，212()x x x <且12101x x a<<<<，B：由1()0f a >且x 趋向于0时()'f x 趋于负无穷大，所以1210x x a <<<，故121x a a->，令221()()()ln()2ln 2((0,g x f x f x x x ax x a a a''=--=---+∈，2112(1)()22(2)ax g x a x x ax x a-'=--+=--，又1(0,x a∈，所以()0,g x '<()g x 单调递减，故当11x a <时，1111()(()(0g x g f f a a a>=-=，又1()0f x '=，所以11111222()ln()()1()()0f x x a x f x g x a a a''-=---+-=>，而2()0f x '=，因此121221222()()2f x f x x x x x a a a''->⇒-<⇒+>>，故正确；C：1ln ()ln 10x f x x ax a x+'=+-=⇒=，令1ln ()xF x x +=，显然有12()()F x F x =，令121211,t t x x ==，显然12t t >，因此有：12112212111ln1ln (1ln )(1ln )11t t t t t t t t ++=⇒-=-，设()(1ln )ln h x x x x x x =-=-，则()ln h x x '=-，当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减，当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，因为12()()h t h t =，所以2101t t <<<，令()()(2)((0,1))x h x h x x ϕ=--∈，即()22()()(2)ln ln 2ln(2)ln[1(1)]x h x h x x x x x x ϕ'''=+-=---=--=---，因为(0,1)x ∈，所以()0,()x x ϕϕ'>单调递增，因为2101t t <<<，所以22222()()(2)(1)0()(2)t h t h t h t h t ϕϕ=--<=⇒<-，而12()()h t h t =，所以12()(2)h t h t <-，因为2101t t <<<，所以221t ->，当1x >时，()h x 单调递减，因此有121222t t t t >-⇒+>，即12112x x +>，正确；D：由12101x x a <<<<，则1210x x a -1<<-，故2111x x a->-，正确.三.填空题13.【答案】：90.【解析】：由于()()662211x xx x ⎡⎤++=++⎣⎦，所以其展开式的通项为()22666rr r k r k k r k r k r r C x x C C x x C C x -++==，其中06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈，为得到()621x x ++展开式中4x 的系数，则4r k +=，当2,2r k ==时，4x 的系数为226215C C =；当3,1r k ==时，4x 的系数为316360C C =；当4,0r k ==时，4x 的系数为406415C C =；所以()621x x ++展开式中4x 的系数为15601590++=.14.【答案】：5【解析】：解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =- ，2DB DC == ,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所以AB AC ⋅=()()AD DB AD DC=+⋅+()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 15.【答案】：5或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分）【解析】：解：某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为3，设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为,k m ，且k m <，则2323333tan 303232333k m --︒==5,5k m ==.故答案为：5或．（注：写出一个或两个正确值均可得满分）16.【答案】：)1π.【解析】：因为2AB =，M 是棱AB 延长线上的一点，且AB BM =，所以2BM =，由勾股定理，可知1MC B M ==因为PM =，所以点P 的轨迹是以M为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如下如所示：所以动点P 运动轨迹在平面ABCD 上的交的弧线是以M为圆心，MC =为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为4π；在平面11A ABB 上的交的弧线是以M为圆心，1MB =为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为4π；在平面11BB C C 上的交的弧线是以B 为圆心，2BC =为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为2π；所以动点P运动轨迹的长为)22142πππ⨯⨯⨯=+.四.解答题17【答案】：（1）12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）99211+552-⨯【解析】：【小问1详解】由()113n n S a =-，得()11113n n S a ++=-，两式相减得111133n n n a a a ++=-，即112n n a a +=-，又当n =1时，()111113a S a ==-，解得：112a =-，所以{}n a 是以12-为首项，12-为公比的等比数列，所以12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）可知,410,42πsin ,4320,44n n n n a n k n k n b a a n k n k =+⎧⎪=+⎪=⋅=⎨-=+⎪⎪=+⎩，所以13579799,,,,,b b b b b b 是首项为12-，公比为14-的等比数列，共有50项，所以501001359797999211+55211124114T a a a a a a ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-+-++-==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭⨯ ．18【答案】：（1）6π（2）43+【解析】：【小问1详解】由题意，设BAC α∠=，则2ACB α∠=，3CAD α∠=，在ABC 中，由正弦定理有sin sin 2BC AB αα=，即6211cos α-=，解得62cos 4α+=.所以22cos cos 22cos 12142ACB αα∠==-=⨯-=，因为0ACB π<∠<，所以6ACB π∠=.【小问2详解】由（1），可知3,44ABC CAD ππ∠=∠=，由正弦定理有sin sin 2AC ABABC α=∠，21222=，解得AC =，在CAD中，由余弦定理有222cos 22AC AD CD CAD AC AD +-∠==⨯⨯，222=，解得5AD =，四边形ABCD 的面积ABCCADS S=+11sin sin 22AC BC ACB AC AD CAD =⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯∠111252222=⨯-⨯+⨯⨯4=+.19【答案】：（1）分布列见解析，1.62（2）217500，10.90.20.8nn n p p +=+⨯【解析】：【小问1详解】依题可知，2X 的可能取值为0，1，2()22110101050P X ==⨯=，()282291711010101050P X ==⨯+⨯=，()288162101025P X ==⨯=2X 的分布列为2X 012P15017501625数学期望()211716012 1.62505025E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】()3329882217110101010500p P X p ===⨯+⨯⨯=；记“n 次质量检测后中的次品件数为1”为事件A ，“n 次质量检测后中的次品件数为2”为事件B ，“第n +1次质量检测取到合格品”为事件C ，“第n +1次质量检测取到次品”为事件D ．则()()()()1n p P A P C A P B P D B+=+()()1n n P A P X p ===，()()()8210nn P B P X ===()910P C A =，()210P D B =，∴()19820.90.20.8101010nn n n n p p p +=⨯+⨯=+⨯．20【答案】：（1）证明见解析（2）7【解析】：【小问1详解】证明：∵PA PC =，D 为AC 中点，∴AC PD ⊥.又ABC 为等边三角形，BA BC =，∴AC BD ⊥.∵BD PD D = ，BD ，PD ⊂平面PDB ，∴AC ⊥平面PDB .∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB .【小问2详解】∵ABC 为正三角形，2AC =，∴ABCP ABC -的底面ABC 上的高为h ，13313362P ABC V h h h -===⇒=，作PO DB ⊥于O ，由(1)PO ⊥平面ABC ,所以12PO =，又1PD =，所以30PDO ∠=°，32DO =所以O 是DB 的中点，记BC 的中点为E ，以OB OE OP ，，为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则3,1,02A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,1,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴1,1,22AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,1,22PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设()1111,,x n y z =是平面PAB的一个法向量111111111131022*******x y z z y z x z ++=⎧=⎪⎪⇒⎨++=⎪-=⎪⎩,取(11n ,=设()2222,,n x y z =是平面PBC的一个法向量22222222221022201022x z z y z x y z ⎧-=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-=⎪⎪⎩-+-=⎪⎩取(2n =u u r 121212|133|1cos ==77n n n n n n ⋅-+⋅=，设二面角A PB C --的平面角为θ，则sin 7θ===.21【答案】：（1）2213x y +=；（2）存在，N （0，1）.【解析】：【小问1详解】由焦距为得c =，又因为P，－33）在椭圆上，所以22221a b ⎛ ⎝⎭+=，即222113a b+=，又因为222a b c =+，所以223,1a b ==，所以椭圆C 的方程为：2213x y +=．【小问2详解】假设在y 轴上存在定点N ，使得2AMN ABN ∠=∠恒成立，设N （0，0y ），A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）.①当直线l 的斜率存在时，设l ：12y kx =-，由221213y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()224121290k xkx +--=，()22144364120k k ∆=++>，12212412kx x k +=+，1229412x x k -=+．因为2AMN ABN ∠=∠，所以||||BNM MBN MB MN ∠=∠⇒=，而点M 为线段AB 的中点，所以||||2AB MN =，则点N 在以AB 为直径的圆上，即0NA NB →→⋅=．因为()()110220,,,NA x y y NB x y y →→=-=-，所以()()()212102012120120x x y y y y x x y y y NA N y B y y →→=+--=+-++⋅()()2212121201201124k x x k x x x x y k x x y =+-+-+-++⎡⎤⎣⎦()()()2220002212012002121448*********y k y y k x x k y x x y y k -++-⎛⎫=+-+++++== ⎪+⎝⎭，∴2020*******y y y ⎧-=⎨+-=⎩解得01y =，即存在N （0，1）满足题意.②当直线l 的斜率不存在时A （0，1），B （0，－1），M （0，0），点N （0，1）满足20AMN ABN ∠=∠= .综上，存在定点N （0，1），使得2AMN ABN ∠=∠恒成立.22【答案】：（1）(,0]-∞；（2）证明见解析.【解析】：【小问1详解】函数()e xx f =-定义域为[0,)+∞，当0x >时，()ex f x ='，因()f x 是单调增函数，则0x ∀>时，()0x a f x ≥⇔≤'，令()x x ϕ=，()2e 0x x ϕ'=>，即有()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，0x ∀>，()(0)0x ϕϕ>=，则0a ≤，所以a 的取值范围是(,0]-∞.【小问2详解】因1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12e x x==显然120,0x x >>，有111ln ln 2x a x =+，221ln ln 2x a x =+，121211ln ln 22x x x x -=-，不妨令120x x >>，设121x t x =>，于是得12ln ln ,2(1)2(1)t t tx x t t ==--，要证12(1)ln 12(1)t t t x x ++=>-，只需证2(1)2(1)ln ln 011t t t t t t -->⇔->++，令2(1)()ln ,11t g t t t t -=->+，22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=>++，则()g t 在(1,)+∞上单调递增，则有()(1)0g t g >=，于是得121x x +>，又121212ln ln 2x x a x x +=+，要证122ln ln2x x a +<-，只需证121ln ln 22x x <-1214x x ⇔<，而2122(ln )4(1)t t x x t =-，即证22(ln )1ln ln 04(1)4t t t t t <⇔<⇔+<-，令()ln h t t=，1t >，21()0h t t '=-=<，从而得()h t 在在(1,)+∞上单调递减，()(1)0h t h <=，即有122ln ln2x x a +<-，综上得：1212ln ln2x x a <+<-.。
河北省保定市2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题
第1页，总18页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………河北省保定市2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题 本大题共12道小题。
1.甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是( )A. 成本最大的企业是丙企业B. 费用支出最高的企业是丙企业C. 支付工资最少的企业是乙企业D. 材料成本最高的企业是丙企业答案及解析：1.C 【分析】先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】三个企业中成本最大的企业是丙企业，故A 正确，三个企业中费用支出分别为甲企业500，乙企业2040，丙企业2250，费用支出最高的企业是丙企业，故B 正确，三个企业中工资支出分别为甲企业3500，乙企业36000，丙企业3750，工资支出最少的企业是甲企业，故C 错误，答案第2页，总18页三个企业中材料支出分别为甲企业6000，乙企业6360，丙企业9000，材料支出最高的企业是丙企业，故D 正确， 故选：C【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理． 2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多( ) A. 5个B. 8个C. 10个D. 12个答案及解析：2.C 【分析】根据分层抽样的定义，计算出丙、乙两地区抽取的销售点的数量，即可得到答案。
2020-2021学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y），则A∩B＝（）A．{（﹣1，﹣1）}B．{（1，﹣1）}C．{（﹣1，1）}D．{（1，1）} 2．（5分）已知，则＝（）A．5B．C．6D．3．（5分）下列函数中与函数值域相同的是（）A．y＝log4x B．y＝2x C．D．y＝x2﹣2x+1 4．（5分）若0＜a＜1，则“log a|x|＞log a|y|”是“a x＞a y”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）的最小值是1D．f（x）的值域为（0，+∞）6．（5分）设a＝log38，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）已知函数f（x）＝|log3x|在上的值域为[0，2]（3m）的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[1，3]D．[0，3]8．（5分）已知函数，函数g（x）＝（m﹣1）x（1≤x≤2）．若任意的x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的取值范围为（）A．B．（1，+∞）C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（）A．1、4B．1、2C．2、1D．2、410．（5分）若函数f（x）＝在R上为单调增函数，则实数b的值可以为（）A．1B．C．2D．311．（5分）如图是三个对数函数的图象，则（）A．a＞1B．0＜b＜1C．2b＜2c＜2a D．c＜b12．（5分）已知函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点，其图象是连续不断的，若f（0），f（1）f（2）f（3）＜0，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（1，2）内B．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（1，2）和（2，3）内C．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（2，3）内D．函数f（x）的两个零点不可能同时在区间（1，2）内三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数，则＝，函数f（x）的定义域为．14．（5分）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x≤a}，则a的取值范围是．15．（5分）若正实数a，b满足，则a+b的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝m•22x+n•2x+n2﹣2n﹣1（m，n∈R）存在最小值，且对于n的所有可能的取值都满足f（0），则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）已知角θ的终边上有一点，且．（1）求实数m的值；（2）求sinθ，tanθ的值．18．（12分）已知．（1）化简f（θ）；（2）若θ为第四象限角，且，求f（θ）的值．19．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝log a x（a＞1），并且它在上的最大值为1（1）求a的值；（2）令，判断函数F（x）的奇偶性（x）的值域．20．（12分）设指数函数f（x）＝（m+2）x，幂函数g（x）＝（m2+m+1）x3．（1）求m；（2）设a＜0，如果存在x1，x2∈[﹣2，2]，使得af（x1）＞g（x2），求a的取值范围．21．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式．22．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）关于x的方程f（﹣x2+ax）＝0恰有三个解，求实数a的取值集合；（3）若f（x1）＝f（x2）＝m，且x2＞2x1＞0，求实数m的取值范围．2020-2021学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y），则A∩B＝（）A．{（﹣1，﹣1）}B．{（1，﹣1）}C．{（﹣1，1）}D．{（1，1）}【分析】解方程组即可得出A∩B的元素，从而得出A∩B．【解答】解：由得，∴A∩B＝{（1，3）}．故选：D．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知，则＝（）A．5B．C．6D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：因为，所以．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）下列函数中与函数值域相同的是（）A．y＝log4x B．y＝2x C．D．y＝x2﹣2x+1【分析】分别求出函数的值域，进行对比即可．【解答】解：函数≥0的值域为[0，A．函数的值域为R．B．函数的值域为（0，不满足条件．C．函数的值域为{y|y≠3}．D．y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2≥6，值域是[0．故选：D．【点评】本题主要考查函数值域的求解，求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．4．（5分）若0＜a＜1，则“log a|x|＞log a|y|”是“a x＞a y”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用对数的性质从必要性和充分性两个方面进行判断即可．【解答】解：因为0＜a＜1，所以当log a|x|＞log a|y|时，|x|＜|y|，所以充分性不成立；当a x＞a y时，x＜y，所以必要性不成立，故“log a|x|＞log a|y|”是“a x＞a y”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了对数性质的理解和应用，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．5．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）的最小值是1D．f（x）的值域为（0，+∞）【分析】画出函数的图象，然后判断选项即可．【解答】解：函数，的图象如图：由图象可知，函数不是偶函数，也不是增函数．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的简单性质，考查计算能力．6．（5分）设a＝log38，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用对数的运算性质及其对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a＝log38∈（4，2），∵b＝log0.40.2＝＝＝＝log23＝，c＝log424＝，∴b＞c＞2．∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质及其对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）＝|log3x|在上的值域为[0，2]（3m）的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[1，3]D．[0，3]【分析】根据对数函数的图象和性质，得到m的取值范围，结合对数函数的单调性进行求解即可．【解答】解：f（）＝|log6|＝|﹣4|＝2，由f（x）＝0，即m∈[3，9]，27]上单调递增，3]．故选：C．【点评】本题主要考查函数值域的应用，结合对数函数的图象和性质是解决本题的关键，是基础题．8．（5分）已知函数，函数g（x）＝（m﹣1）x（1≤x≤2）．若任意的x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的取值范围为（）A．B．（1，+∞）C．D．【分析】由分离变量转化f（x），讨论m＜1和m≥1，结合指数函数和一次函数的单调性，求得f（x），g（x）的最值，由题意可得f（x）的值域为g（x）的子集，解不等式可得所求范围．【解答】解：由，①当m≥5时，函数f（x）单调递减，可得f（x）∈[，]，2m﹣8]，由题意可得m﹣1≤＜≤4m﹣2，解得；②当m＜4时，函数f（x）单调递增，此时，必有2m﹣7≤＜≤m﹣1，解得m∈∅．故实数m的取值范围为．故选：D．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及函数的最值求法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（）A．1、4B．1、2C．2、1D．2、4【分析】设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，然后求出周长以及面积，联立方程即可求解．【解答】解：设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得，解得或，故选：AC．【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式用，考查了运算能力，属于基础题．10．（5分）若函数f（x）＝在R上为单调增函数，则实数b的值可以为（）A．1B．C．2D．3【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得b的取值范围，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则有，解可得1≤b≤6，分析选项可得：b＝1、、2符合题意，故选：ABC．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数单调性的定义，属于中档题．11．（5分）如图是三个对数函数的图象，则（）A．a＞1B．0＜b＜1C．2b＜2c＜2a D．c＜b【分析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，得出结论．【解答】解：ABC由对数函数图象得a＞1，0＜b，令y＝2，由log b b＝log c c＝1，及已知图象得b＜c．而y＝2x是增函数，∴2b＜2c＜2a，故选：ABC．【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的性质，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点，其图象是连续不断的，若f（0），f（1）f（2）f（3）＜0，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（1，2）内B．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（1，2）和（2，3）内C．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（2，3）内D．函数f（x）的两个零点不可能同时在区间（1，2）内【分析】根据函数零点的判断方法，结合题意，利用图形判断即可．【解答】解：对于A，由f（0）＞0，可令f（1）＜0，f（3）＞8得函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（5，A正确；对于B，由f（0）＞0，可令f（1）＞0，f（3）＞5得函数f（x）的两个零点可以分别在区间（1，2）和（3，B正确；对于C，由f（0）＞0，1）和（3，则f（1）＜0，f（2）＜0，所以f（1）f（2）f（3）＞2，如图3所示：所以函数f（x）的两个零点不能分别在区间（0，4）和（2，C错误；对于D，如果函数f（x）的两个零点都在区间（1，如图5所示：由f（0）＞0，则f（1）＞0，所以f（3）＞6，所以函数f（x）的两个零点不能都在区间（1，2）内．故选：ABD．【点评】本题考查了函数零点的判断问题，应考虑全面，结合图形判断求解，是中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数，则＝，函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，2]．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，得，得4＜x＜1或1＜x≤3，即函数的定义域为，（0，2]．．故答案为：，（0，2]．【点评】本题主要考查函数值的计算以及函数定义域的求解，结合函数成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．14．（5分）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x≤a}，则a的取值范围是[2，3）．【分析】利用集合交集的定义结合数轴进行分析求解即可/【解答】解：A＝{1，2，2}，A∩B有两个元素，可得a的取值范围是[2，3）．故答案为：[4，3）．【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．15．（5分）若正实数a，b满足，则a+b的最小值为3+．【分析】利用1的代换以及基本不等式即可求解．【解答】解：因为a+b＝，当且仅当＝2a时取等号，故答案为：2+．【点评】本题考查了基本不等式的应用，涉及到1的代换思想，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）＝m•22x+n•2x+n2﹣2n﹣1（m，n∈R）存在最小值，且对于n的所有可能的取值都满足f（0），则m的取值范围为[1，+∞）．【分析】令t＝2x，t∈（0，+∞），则y＝mt2+nt+n2﹣2n﹣1，由题意可得m+n+n2﹣2n﹣1＞0对任意n＜0恒成立，即m＞﹣n2+n+1，由配方法求得﹣n2+n+1的范围，可得m的取值范围．【解答】解：令t＝2x，t∈（0，+∞）6+nt+n2﹣2n﹣2．∵函数f（x）存在最小值，∴m＞0，，即n＜8．又f（0）＞0，则m+n+n2﹣2n﹣1＞0对任意n＜5恒成立，即m＞﹣n2+n+1＝，得m≥1．∴m的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查二次函数最值的求法，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知角θ的终边上有一点，且．（1）求实数m的值；（2）求sinθ，tanθ的值．【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，进而即可解得m的值．（2）根据m的值，分类讨论利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：（1）由三角函数的定义有，，解得，故实数m的值为．（2）①当时，，，②当时，，．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．（12分）已知．（1）化简f（θ）；（2）若θ为第四象限角，且，求f（θ）的值．【分析】（1）由三角函数诱导公式即可化简得解．（2）由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：（1）由三角函数诱导公式有：．（2）因为θ为第四象限角，且，可得，可得．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝log a x（a＞1），并且它在上的最大值为1（1）求a的值；（2）令，判断函数F（x）的奇偶性（x）的值域．【分析】（1）根据函数的单调性和最值建立方程进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的定义进行判断，结合函数单调性的性质求解值域即可．【解答】解：（1）因为a＞1，则f（x）max＝f（3）＝log a3＝8，则a＝3；（2）∵a＝3，∴＝，由，∴函数F（x）的定义域关于原点对称．∵F（﹣x）＝F（x），∴F（x）为偶函数.，，令，∴．∴F（x）的值域为（﹣∞，﹣2]．【点评】本题主要考查与对数函数有关的单调性和奇偶性的判断，利用对数函数的性质结合函数性质的定义是解决本题的关键．20．（12分）设指数函数f（x）＝（m+2）x，幂函数g（x）＝（m2+m+1）x3．（1）求m；（2）设a＜0，如果存在x1，x2∈[﹣2，2]，使得af（x1）＞g（x2），求a的取值范围．【分析】（1）由题意利用指数函数、幂函数的定义和性质，求得m的值．（2）由题意可得当x1，x2∈[﹣2，2]时，[af（x1）]max＞[g（x2）]min，求得[af（x1）]max和[g（x2）]min，可得a的范围．【解答】解：（1）由指数函数f（x）＝（m+2）x，幂函数g（x）＝（m2+m+6）x3，可得m2+m+5＝1，m+2≠7，求得m＝0．（2）由（1）知f（x）＝2x，g（x）＝x7，∵存在x1，x2∈[﹣4，2]1）＞g（x8），等价于当x1，x2∈[﹣5，2]时1）]max＞[g（x6）]min，又a＜0，所以，，由，得a＞﹣32，所以，a∈（﹣32．【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的定义和性质，求函数的最值，属于中档题．21．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式．【分析】（1）结合奇函数的性质可知f（0）＝0，然后结合奇函数定义得f（﹣1）＝﹣f （1），代入可求a，b，（2）结合（1）中f（x）解析式，代入后，利用指数函数的单调性可求．【解答】解：（1）由题意可知，，整理得，又由f（﹣5）＝﹣f（1），即，整理得，即，解得a＝1，所以，当a＝b＝2时，经检验，所以a＝b＝1；（2）由（1）可知，，不等式时化为，有2⋅（2x﹣2x）+（2x+6）2≤3⋅7x⋅（2x+1）有，得故不等式的解集为．【点评】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数解析式，还考查了利用指数函数的单调性求解不等式，体现了转化思想的应用．22．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）关于x的方程f（﹣x2+ax）＝0恰有三个解，求实数a的取值集合；（3）若f（x1）＝f（x2）＝m，且x2＞2x1＞0，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用换元法，直接解出；（2）换元法直接解，转化成方程的根的问题，即即x2﹣ax+64＝0恰有一解，即可解出；（3）换元法，设log2x1＝t1，log2x2＝t2，即可转化成关于t的函数，再利用根与系数的关系，即可解出．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为x∈（0，+∞）2x＝t∈R，则，所以f（x）的值域为[﹣32，+∞）；（2）设log2x＝t∈R，由（1）可知，令g（t）＝4，解得t1＝﹣2，t4＝6，所以log2x＝﹣4或log2x＝6，解得，因为f（﹣x2+ax）＝8恰有三个解，所以2+ax＝64恰有三个解，即x2﹣ax+64＝4恰有一解，所以Δ＝a2﹣4×64＝4，解得a＝±16，所以a的取值集合为{16，﹣16}；（3）设log2x1＝t8，log2x2＝t7，因为x2＞2x5，所以log2x2＞log4x1+1，即t8＞t1+1，则g（t）＝（7t+4）（t﹣6）＝m的两根为t4，t2，整理得2t3﹣8t﹣m﹣24＝0，所以t7+t2＝4，，所以t8＝4﹣t1＞t4+1，∴，t＝＝﹣，∴解得．【点评】本题考查了函数中常用的换元法，转化与划归思想，属于中档题．。
2021-2022学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知{}n a 是等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则公差d 为（ ） A ．6 B ．6-C ．2-D ．2【答案】C【分析】设{}n a 的首项为1a ，把已知的两式相减即得解.【详解】解：设{}n a 的首项为1a ，根据题意得111111241053599a a d a d a d a d a d ++++=⎧⎨+++++=⎩，两式相减得2d =-. 故选：C2．甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为（ ） A ．0.26 B ．0.28 C ．0.72 D ．0.98【答案】A【分析】依据独立事件同时发生的概率即可求得甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率.【详解】记甲中靶为事件A ，乙中靶为事件B ， 则()0.8()0.2,()0.9()0.1P A P A P B P B ====，，甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中两种情况， 则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为 ()()()()0.80.10.90.20.26P A P B P B P A ⋅+⋅=⨯+⨯=故选：A3．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，则向量MN 可表示为（ ）A ．12a b c ++B ．1144a b c ++C ．131484a b c --D ．313444a b c +-【答案】D【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解. 【详解】解：因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =， 所以()111113132424MN MA A N AD AC AD AC AA =+=-+=-+-()111331331324444444AD AB AD AA AB AD AA a b c =-++-=+-=+-， 故选：D.4．已知F 是椭圆22:11615x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(4,4)，则||||PQ PF +的最大值为（ ） A ．41 B ．13C ．3D ．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示：()42||||||2||2||841413PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+=+-+=，故选：B5．已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．3±B ．3C．D．【答案】A【分析】依据点差法即可求得a b 、的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率. 【详解】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-， 由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=则22620a b -=，即22=3a b ，则3a b 则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为a b ±=故选：A6．若数列{}n b 满足()1233721n n b b b b n ++++-=，则数列{}n b 的通项公式为（ ）A ．2n b n =B ．2n n b =C ．42n nb =D ．121n n b =- 【答案】D【分析】由()1233721n n b b b b n ++++-=，分两步，当1n =求出1b ，当2n ≥时得到()1123137211n n b b b b n --++++-=-，两式作差即可求出数列{}n b 的通项公式；【详解】解：因为()1233721n n b b b b n ++++-=①，当1n =时，11b =，当2n ≥时()1123137211n n b b b b n --++++-=-②，①-②得()211nn b -=，所以121n n b =-，当1n =时121n n b =-也成立，所以121nn b =-； 故选：D7ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，O 是正方形ABCD 的中心，则EOF ∠的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒C ．45︒D ．135︒【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求EOF ∠的大小即可解决. 【详解】由题意可得OC ⊥平面ABD ，OA OB ⊥，则OA OB OC 、、两两垂直 以O 为原点，分别以OB 、OA 、OC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0)O ，11(,,0)22E -，11(,0,)22F ，11(,,0)22OE =-，11(,0,)22OF =222211110012222cos cos ,211112222OE OF EOF OE OF OE OF -⨯+⨯+⨯⋅∠====-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又0180EOF ≤∠≤，则120EOF ∠= 故选：B8．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221231e e +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率1e 和双曲线的离心率2e 的关系式，即可求得221231e e +的值. 【详解】设椭圆的长轴长为2m ，双曲线的实轴长为2n ，令122F F c =， 不妨设12PF PF >则121222n PF PF m PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，解之得12PF m n PF m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩代入()22212122π22cos3c PF PF PF PF =+-⋅， 可得()()()()()2222c m n m n m n m n =++-++-整理得22243c m n =+，即2243m n c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是2212314e e +=故选：C 二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则A 与B 互为对立事件C ．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950D ．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 【答案】CD【分析】根据频率和概率的定义，以及对立事件的定义，即可判断选项.【详解】A.甲胜的概率为35表示甲每次获胜的可能性都是35，但不一定比赛5场，甲胜3场，故A 错误；B. 事件A 与B 都包含“向上的点数为1”这个事件，故不是对立事件，故B 错误；C.由频率的概念可知抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950，故C 正确； D.频率在一定程度上反映了事件发生的可能性，随着实验次数的改变而改变，当实验次数相当大时，频率非常接近概率，而概率是事件本身的属性，不随实验次数的多少而改变，是定值，故D 正确. 故选：CD10．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于AB 、两点，点P 为双曲线C 上异于A B 、的一动点，则下列结论正确的有（ ） A ．22F A F B ⋅的最大值为9B ．若以AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点2F ，则1216F AF S ∆=C ．若17PF =，则有21PF =或13D ．设PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，则221214k k +的最小值为94【答案】BD【分析】求得22F A F B ⋅的最大值判断选项A ；求得12F AF S ∆判断选项B ；求得2PF 的值判断选项C ；求得221214k k +的最小值判断选项D. 【详解】双曲线22:1916x y C -=中1(5,0)F -、2(5,0)F ，焦距210c =，实轴长26a =不妨设111111()()(0,0)A x y B x y x y -->>,、,，22(,)P x y选项A ：211211(5,),(5,)F F A x y B x y =-=---则2222111111(5,)(5,)250F A B F x y x y x y ⋅=-⋅---=--=，又()22111699y x =-，则222125419F F A B x ⋅=- 由13x ≥，可知219x ≥，即212541169x -≤，则22F A F B ⋅的最大值为16.判断错误； 选项B ：以AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点2F ，则有22F A F B ⊥则22222111111125(5,)(5,)254109F A B x y x y x y F x ⋅=-⋅---=--=-=， 解之得2194125x =⨯，则2116925641992525y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则1165y =则1212111161016225F F A F y S F ∆⨯⨯⨯==⨯=.判断正确； 选项C ：若17PF =，由12276PF PF PF -=-=，可得213PF =或21PF =（因为212PF c a =<=-，舍去）.判断错误；选项D ：由2211222219161916x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()212121210916x x x x y y y y -+-+-=即()()()()212121210916x x x x y y y y -⎡--⎤-⎡--⎤⎣⎦⎣⎦-=，则12169k k = 故22121212141299241644k k k k k k +≥⋅==⨯=，（当且仅当122k k == 即221214k k +的最小值为94.判断正确. 故选：BD11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-，数列{}n b 满足1n n n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ） A ．数列{}n a 的通项公式为13-=n n a B ．{}lg n a 为等差数列C ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．数列{}n b 的通项公式()()11233131n n nn b -+⨯=-- 【答案】BCD【分析】根据题目求出{}n a 的通项公式，即可判断A 、B 选项的正误；求出数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C 、D 选项的正误. 【详解】当=1n 时，11312S a =-，则12a =， 当2n ≥时，11312n n S a --=-，两式相减得：()132n n n a a a -=-，则13n na a -=， 所以{}n a 是以首项为2，公比为3的等比数列. 11123n n n a a q --∴==⋅，所以A 错；又因为()()11lg lg 23lg 2lg31lg3lg 2n n n a n --=⋅=+=-+，()+1lg lg lg3lg21lg3lg2lg3n n a a n n ∴-=+---=，所以{}lg n a 是以1lg =lg 2a 为首相，lg 3为公差的等差数列，所以B 对. 11123n n n a a q--==⋅，()2133113n n n S -∴==--,()()()()()()11111313123111133313131313131n nn n n n n n n n b +-+++---⨯⎛⎫==⨯=-⎪------⎝⎭，D 对； 22334111111111133131313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111166331n +=-<-，0n b >，所以，数列{}n T 为单调递增数列，则118n T T ≥=，故1186n T≤<，C 对.故选：BCD.12．设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB 的中点，||AB =确的是（ ）A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上B ．点P 在圆C 外C ．线段PQ 长的最大值为6D ．PA PB ⋅的最小值为15-【答案】BC【分析】两直线互相垂直，分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，可得P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=即可判断选项A ；判断两圆的位置关系可判断选项B ；由垂径定理可得||1CQ =，则有Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆，从而可得线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径即可判断选项C ；由数量积的运算结合选项C 即可判断选项D ．【详解】解：因为直线310mx y m --+=与310x my m +--=，满足1(1)0m m ⋅+⋅-=，所以两直线互相垂直，又两直线分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，所以P 是以MN 为直径的圆，圆的方程为22(2)(2)2x y -+-=，故选项A 错误；圆22(2)(2)2x y -+-=与圆22:(2)(1)9C x y +++=的圆心距为53，所以两圆相离，则点P 在圆C 外，故选项B 正确；因为||AB =Q 为弦AB 的中点，所以||QA =(2,1)C --到弦AB 的距离为||1CQ =，所以弦AB 中点Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆， 所以线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即16选项C 正确； 2()()()PA PB PQ QA PQ QB PQ PQ QA QB QA QB⋅=+⋅+=+⋅++⋅22222||8PQ QA PQ QA PQ =-=-=-，因为||14min PQ所以2()(4810min PA PB ⋅=-=-选项D 错误． 故选：BC. 三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______. 【答案】10,8⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：10,8⎛⎫⎪⎝⎭.14．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为120︒，测得从D ，C 到库底与水坝斜面的交线的距离分别为80m DA =，60m BC =，若40m AB =，则甲，乙两人相距________________．【答案】2041【分析】首先构造二面角的平面角，如图，再分别在CEB △和CDE △中求解. 【详解】作//BE AD ，且BE AD =，连结DE ，EC ，BE AB ⊥，BC AB ⊥，AB ∴⊥平面EBC 且120CBE ∠=，四边形ADEB 时平行四边形，∴//DE AB ，∴DE ⊥平面EBC ，EC ⊂平面CEB ，∴DE EC ⊥CEB △中，22160802608020372EC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,CDE △中，22240148002041DC DE EC =+=+=.故答案为：204115．若椭圆22221y x a b+=的焦点在y 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________． 【答案】2215y x +=【分析】设过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的圆221x y +=的切线为l ，分类讨论求得直线l 分别与圆的切线,A B ，求得直线AB 的方程，从而得到直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【详解】设过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的圆221x y +=的切线分别为1(1)2-=-y k x ，即102kx y k --+=，当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ； 当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l的距离为1||1k d -+==，解得34k =-，此时直线l 的方程为3544y x =-+，此时直线l 与圆221x y +=相切于点34(,)55B ，因此，直线AB 的斜率为14052315k -==--，直线AB 的方程为2(1)y x =--， 所以直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交于y 轴于点(0,2)C ， 椭圆22221y x a b+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)，所以2,1c b ==，可得2225a b c ，所以椭圆的标准方程为2215y x +=.故答案为：2215y x +=.四、双空题16．已知递增数列{}n a 共有2021项，且各项均不为零，20211a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则n a 的范围是________________，数列{}n a 的所有项和2021S =________． 【答案】 (0,1] 1011 【分析】根据题意得到122020202101a a a a <<<<<=，得到202120201a a a -=，202120192a a a -=，，202112020a a a -=，进而得到2020120192120201a a a a a a +=+==+=，从而即可求得2021S 的值.【详解】由题意，递增数列{}n a 共有2021项，各项均不为零，且20211a =， 所以122020202101a a a a <<<<<=，所以n a 的范围是(0,1]，因为i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项， 即20212020202120192021101a a a a a a <-<-<<-<，且上述的每一项均在数列{}n a 中，所以202120201a a a -=，202120192a a a -=，，202112020a a a -=，即2020120192120201a a a a a a +=+==+=，所以2021220211S =+，所以20211011S =. 故答案为：(0,1]；1011. 五、解答题17．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，520S =，且3510,,a a a 成等比数列 (1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2n n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)35n a n =- (2)12372222+=+--n n n n S【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得到方程组，解得1a 、d ，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得(35)2nn b n =-+，再利用分组求和法求和即可；【详解】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意，得()()()123451211151020294a a a a a a d a d a d a d ++++=+=⎧⎪⎨++=+⎪⎩， 解得140a d =⎧⎨=⎩或123a d =-⎧⎨=⎩，因为0d ≠，所以23(1)35n a n n =-+-=-． (2)解：当35n a n =-时，(35)2n n b n =-+，所以()1212212235372221222n n nn n S b b b n n n +--+-=+++=⋅+=+---．18．已知三个条件①圆心C 在直线1y =+上；②圆的半径为2；③圆过点2)M 在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)已知圆C 过点(2,1)A 且圆心在y 轴上，且满足条件________，求圆C 的方程； (2)在（1）的条件下，直线:20l ax y a +--=与圆C 交于P 、Q 两点，求弦长PQ 的最小值及相应的a 值．【答案】(1)条件选择见解析，圆C 的方程为22(1)4x y +-=(2)PQ 的最小值为22，相应1a =【分析】（1）选择条件①或②或③，求得圆心和半径，由此求得圆C 的方程. （2）首先求得直线l 过定点()1,2D ，根据CD PQ ⊥求得最短弦长以及此时a 的值.【详解】(1)若选条件①，由题意知，圆心是方程310y x x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)C ，设半径为r ，则||2r AC ==．则圆的方程为：22(1)4x y +-=．若选条件②，设圆心(0,)C b ，由题意知22||(20)(1)2AC b =-+-=，所以1b =． 圆心()0,1C ，半径为2，所以圆的方程为：22(1)4x y +-=． 若选条件③，设圆心(0,)C b ，由题意知||||=AC MC ， 即有2222(20)(1)(30)(2)b b -+-=-+-，解得1b =， 圆心为()0,1C ，且半径为22(30)(21)2-+-=， 所以圆的方程为： 22(1)4x y +-=．(2)由（1）圆的方程为：22(1)4x y +-=，圆心为()0,1C ，半径2r =. 直线l 过定点(1,2)D ，要使弦长PQ 最短，CD PQ ⊥， 1CD PQ k k ∴⋅=-，21110CD k -==-，1PQ k ∴=-， 直线l 的斜率，也即直线PQ 的斜率为a -，所以1,1a a -=-=.||2CD =，2||24(2)22PQ ∴=-=，所以弦长最小值为22PQ =．19．已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取了n 名学生，成绩分为A （优秀），B （良好），C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14401064++=（人），数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人，已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07．(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求a ，b 的值；(2)已知12a ≥，10b ≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率． 【答案】(1)18a =，12b = (2)49【分析】（1）根据x 与y 均为A 等级的概率是0.07，求得n 值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得a 值，最后利用抽取的总人数求出b 值即可；（2）根据30a b +=，12a ≥，10b ≥，写出满足条件得基本事件(),a b ，找出其中2a b >+的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可. 【详解】(1)由题意知140.07n=，解得200n =， 1428100%30%200a ++⨯=，解得18a =，由已知得1440103628834200a b ++++++++=，解得12b =. (2)由30a b +=，12a ≥，10b ≥，可知1220a ≤≤， 则试验的样本空间{(12,18),(13,17),(14,16),(15,15),(16,14),(17,13),(18,12)(19,11),(20,10)}Ω=，共9个样本点．其中2a b >+包含的样本点有(17,13),(18,12),(19,11),(20,10)共4个， 故所求概率49P =． 20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且2PA =，E 为PD 的中点．(1)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值；(2)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(2)存在，点F 为线段BC 的靠近B 点的三等分点【分析】（1）根据题意证得BC ⊥平面PAB ，进而证得CD ⊥平面PAD ，得到PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面ACE 和平面ABC 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设点(2,,0)(02)F t t ≤≤，求得平面PAF 的法向量为1(,2,0)n t =-，结合向量的距离公式列出方程，求得t 的值，即可得到答案.【详解】(1)解：因为四边形ABCD 为正方形，则BC AB ⊥，CD AD ⊥， 由PB BC ⊥，BC AB ⊥，PB AB B ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ， 因为PA ⊂平面PAB ，所以PA BC ⊥，又由PD CD ⊥，CD AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥，因为BC CD C ⋂=且,BC CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，由PA ⊥平面ABCD ，且AB AD ⊥，不妨以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ， 可得(2,2,0)AC =，(0,1,1)AE =，(2,2,2)PC =-，设平面ACE 的法向量为111(,,)z m x y =，则11112200m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11y =，可得111,1x z =-=-，所以(1,1,1)m =--， 易得平面PAB 的法向量为(0,1,0)n =，则cos ,||||3m n m n m n⋅===⋅⨯由平面PAB 与平面ACE 夹角为锐角，所以平面PAB 与平面ACE (2)解：设点(2,,0)(02)F t t ≤≤，可得(2,,0)AF t =，(0,0,2)AP =， 设平面PAF 的法向量为1(,,)n a b c =，则112020n AF a tb n AP c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取a t =，可得2,0b c =-=，所以1(,2,0)n t =-， 所以点E 到平面PAF 的距离为121||310||4AE n d n t ⋅===+， 解得249t =，即23t =或23t =- 因为0t >，所以23t =故当点F 为线段BC 的靠近B 点的三等分点时，点E 到平面PAF 的距离为310.21．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)1F x y -+=外的点P 在y 轴的右侧运动，且P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离，记P 的轨迹为E ． (1)求E 的方程；(2)过点F 的直线交E 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ，线段DM 交E 于点N ，证明：N 是DM 的中点． 【答案】(1)24(0)y x x => (2)证明见解析【分析】（1）设点(,)P x y ，求得P 到圆F 上的最小距离为||1PF -，根据题意得到||1PF x -=，整理即可求得曲线E 的方程；（2）当直线AB 的斜率不存在时，显然成立；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程(1)y k x =-，联立方程组求得212224k x x k ++=和124y y k +=，得到2222,k D kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合抛物线的定义和方程求得21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212,N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合2M D N x x x +=，即可求解.【详解】(1)解：设点(,)P x y ，（其中0x >），由圆22:(1)1F x y -+=，可得圆心坐标为(1,0)F ，因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为||1PF -， 又由P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离， 可得||1PF x -=，即22(1)1x y x -+-=，整理得24(0)y x x =>，即曲线E 的方程为24(0)y x x =>．(2)解：当直线AB 的斜率不存在时，可得点D 为抛物线的交点，点N 为坐标原点， 点M 为抛物线的准线与x 轴的交点，显然满足N 是DM 的中点； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程(1)(0)y k x k =-≠， 设()00,N x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭， 联立方程组2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222240k x k x k -++=，因为()224224416160k k k ∆=+-=+>，且212224k x x k ++=，则121224()k x y x k y k =+=++，故2222,k D kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义知212244||2k AB x x k +=++=，设(,)M M M x y ，可得2M y k =，所以222||M k MD x k +=-， 又因为||||2AB MD =，所以222222M k x k k+-=+，解得1M x =-，所以21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为02,N x k ⎛⎫⎪⎝⎭在地物线上，所以021x k =，即212,N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2M D N x x x +=，即N 是MD 的中点．22．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(1)M m ，在抛物线上，且2MF =，椭圆22221x y a b +=右焦点也为F ，离心率为12． (1)求抛物线方程和椭圆方程；(2)若不经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），直线与椭圆交于C 、D 两点，求CDF 面积的最大值． 【答案】(1)抛物线方程为24y x =， 椭圆方程为22143x y +=【分析】（1）由212pMF ==+，可得2p =，继而可得(1,0)F ，故1c =，再利用离心率，以及222b a c =-，即得解；（2）设直线l 方程为my x n =+，与抛物线联立，()21212121216y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+，结合韦达定理可得3n =-，再与椭圆联立，11||222CDFC D C D C D SEF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-=入，结合均值不等式即得解 【详解】(1)由题意，212pMF ==+ 解得：2p =，故(1,0)F ， 1c ∴=，12c e a ==，2a ∴=，2223b a c =-=， 所以抛物线方程为24y x =， 椭圆方程为22143x y +=． (2)设直线l 方程为my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩ 因为()22122121212164431616y y n OA OB x x y y y y n n n ⋅=+=+=+=+=-，所以3n =-或1n =-（舍去），所以直线l 方程为3my x =-．由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得，()223418150m y my +++=． 设(),C C C x y ，(),y D D D x ，则22183415,34C D C D m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设直线l与x轴交点为E，则(3,0)E．所以11||222CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-==(0)t t=>，则2253tm+=，所以243()9tS tt tt===++当且仅当3t=时，即m=。
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。