第1章 复数与复变函数汇总
第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数总结
若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
26
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
, 3
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1
z2
cos
3
6
i sin
3
6
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
19
例 计算 3 1 i 的值.
解 因为 n 1 所以 1 2 n1 1 n 0. 1
8
例
设
z1
5 5i,
z2
3 4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
复数与复变函数基础
第一章㊀复数与复变函数复变函数的定义域和值域均取自复数域．因此,在展开主要内容之前,有必要系统地学习复数的概念及相关性质．第一节㊀复数及其代数运算㊀㊀一㊁复数的概念定义１．１㊀形如z ＝x ＋i y 或z ＝x ＋y i 的数称为复数,其中x ,y 为两个实数,分别称为复数z 的实部和虚部,并记为x ＝R e (z ),y ＝I m (z )．i 称为虚数单位,满足i ２＝－１显然,当虚部y ＝０时,复数z 就是实数;当实部x ＝０且虚部y ʂ０时,复数z ＝i y 称为纯虚数;两个复数z １＝x １＋i y １与z ２＝x ２＋i y ２相等,当且仅当z １,z ２实部㊁虚部分别对应相等,即x１＝x ２,y １＝y ２;称复数x －i y 为复数x ＋i y 的共轭,记为．㊀㊀二㊁复数的四则运算记z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则两个复数的和、差与乘积的定义如下z １ʃz ２＝(x １ʃx ２)＋i (y １ʃy ２)㊀㊀㊀(１１)z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)(１２)当z ２ʂ０时,可以定义除法z １z ２＝x １＋i y １x ２＋i y ２＝x １x ２＋y １y ２x ２２＋y ２２＋i x ２y １－x １y ２x ２２＋y ２２(１３)㊀㊀三㊁复数的运算性质由复数四则运算的定义,不难验证以下的复数的运算性质:(１)封闭性,即复数的四则运算的结果仍是一个复数;(２)加法交换律,即z １＋z ２＝z ２＋z １;(３)加法结合律,即(z １＋z ２)＋z ３＝z １＋(z ２＋z ３);(４)乘法对加法的分配律,即z １(z ２＋z ３)＝z １z ２＋z １z ３;(５)乘法交换律与结合律,即z １z ２＝z ２z １及(z １z ２)z ３＝z １(z ２z ３)．(６)共轭运算的性质z １ʃz ２＝１ʃ２z １z ２＝１２z １z ２æèçöø÷＝１２()＝z z ＋＝２xz－＝２yi (读者自行证明)例１ １㊀设z １,z ２是两个复数,证明:如果z １＋z ２及z １z ２都是实数,那么z １,z ２或者都是实数,或者是共轭复数．证㊀设z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则z １＋z ２＝(x １＋x ２)＋i (y １＋y ２),㊀z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)由题设知y １＋y ２＝０㊀及㊀x １y ２＋x ２y １＝０(１)当y １＝０时,y ２＝０,这时z １,z ２为实数;(２)当y １ʂ０时,y １＝－y ２,从而由第二式得x １＝x ２,这时z １和z ２为共轭复数．㊀证毕．注㊀当z １＝２时,z １z ２＝x ２１＋y ２１．例１ ２㊀设z ＝１－２i ３＋４i ,求及z ．解㊀z ＝(１－２i )(３－４i )(３＋４i )(３－４i )＝－５－１０i ２５＝－１５－２５i所以＝－１５＋２５i ,㊀z ＝－１５æèçöø÷２＋－２５æèçöø÷２＝１５第二节㊀复数的几何表示㊀㊀一、复平面一个复数x ＋i y 可完全由一对有序数组(x ,y )所确定．因此,我们在平面上可 ２ 复变函数与积分变换(第二版)图１１建立直角坐标系,使得复数x ＋i y 与平面上的点(x ,y )一一对应(图１１)．由于实数x (y ＝０)对应于横坐标轴上的点,纯虚数i y (x ＝０,y ʂ０)对应于纵坐标轴上的点,故将平面直角坐标系中的横坐标轴改称实轴,纵坐标轴改称虚轴,并称这个平面为复平面,或z 平面．㊀㊀二㊁复数的点表示引入复平面后,复数与平面之间建立了一一对应,从而复数的许多结果得到了几何直观的解释．为方便起见,复数z 和复平面上的点z 可等同叙述,如{z |I m z ＞０}㊀与㊀{z |０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１}分别表示上半平面和以０,１,１＋i ,i 为顶点的正方形．图１２㊀I m z ＞０㊀㊀㊀㊀图１３㊀０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１图１４㊀㊀三㊁复数的向量表示如果把复数z ＝x ＋i y 的实部和虚部作为平面向量在两坐标轴上的投影,则复数z ＝x ＋i y 可用平面向量O z ң＝{x ,y }表示(图１４)．向量O z ң的模称为复数z 的模,记为|z |＝r ＝x ２＋y ２(１４)它是点z 到原点的距离,即向量O z ң的长度．由模的定义易得|x |ɤ|z |,㊀|y |ɤ|z |,㊀|z |ɤ|x |＋|y |,㊀z z ＝|z |２(１５)定义１．２㊀当z ʂ０时,以实轴正向为始边,以复数z 对应的向量O z ң为终边的角称为复数z 的辐角,记为A r g z ．令A r g z ＝θ,则由向量的性质可得x ＝|z |c o s θ,㊀y ＝|z |s i n θ,㊀t a n θ＝y x (１６) ３ 第一章㊀复数与复变函数需要指出的是,任何一个不为０的复数均有无穷多个辐角,若θ１为z 的一个辐角,则A r g z ＝θ１＋２k π㊀(k ɪZ )(１７)都是z 的辐角．在复数z (ʂ０)的辐角中,满足－π＜θ０ɤπ的辐角θ０称为复数z 的辐角主值,记为θ０＝ar g z ．当z ＝０时,O z ң表示零向量,其辐角不定．非零复数z ＝x ＋i y 的辐角主值ar g z 可以由下式确定a r g z ＝a r c t a n y x ,当x ＞０π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＞０－π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＜０π当x ＜０,y ＝０π２当x ＝０,y ＞０－π２当x ＝０,y ＜０ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１８)将复数视为向量时,复数的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则(图１５)．㊀图１５从三角形法则,可以得到以下的三角不等式|z １＋z ２|ɤ|z １|＋|z ２|㊀(１９)|z １－z ２|ȡ||z １|－|z ２||(１１０)㊀㊀四、复数的乘方与开方设z 为一个复数,由(１４)和(１６)式可知,z 可以表示为４ 复变函数与积分变换(第二版)z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)(１１１)其中r 表示复数z 的模,θ为复数z 的辐角,(１１１)式称为复数z 的三角表达式．利用欧拉公式e i θ＝c o s θ＋i s i n θ(１１２)我们可以把复数z 表示为z ＝r e iθ(１１３)这称为复数的指数表达式,易知此时＝re －i θ．利用复数的指数表达式,我们很容易计算出复数z 的乘除法公式和乘方公式:设z １＝r １(c o s θ１＋i s i n θ１),z ２＝r ２(c o s θ２＋i s i n θ２),则㊀z １z ２＝r １r ２[c o s (θ１＋θ２)＋i s i n (θ１＋θ２)]㊀或㊀z １z ２＝r １r ２e i (θ１＋θ２)(１１４)z ２z １＝r ２r １[c o s (θ２－θ１)＋i s i n (θ２－θ１)]㊀或㊀z １z ２＝r ２r １e i (θ２－θ１)(r １ʂ０)(１１５)z n ＝z z ︸n 个＝r e i θ r e i θ r e i θ n 个＝r n e i nθ(１１６)或z n ＝r n (c o s n θ＋i s i n n θ)(１１７)如果定义z －n ＝１z n ,那么当n 为复整数时,(１１６)和(１１７)式也是成立的．由(１１１)和(１１７)式,当r ＝１时可以导出著名的棣莫弗公式(c o s θ＋i s i n θ)n ＝c o s n θ＋i s i n n θ(１１８)将此式的左端展开,再分为实部和虚部,就可以得到n 倍角公式．例如,令n ＝３,由于㊀(c o s θ＋i s i n θ)３＝[c o s ２θ－s i n ２θ＋i (c o s θs i n θ＋c o s θs i n θ)](c o s θ＋i s i n θ)＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θ＋i (３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ)所以有c o s ３θ＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θs i n ３θ＝３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ再来考虑开方运算．对于一个复数z １,如果有另一个复数z ２及一个正整数n,使得z n ２＝z １,则z ２称为z １的一个n 次方根．下面给出求z １的n 次方根公式．设已知５ 第一章㊀复数与复变函数z １＝r (co s θ＋i s i n θ)其n 次方根z ２＝ρ(c o s φ＋i s i n φ),下面来计算ρ和φ．由于z n ２＝z １,所以有[ρ(c o s φ＋i s i n φ)]n ＝r (c o s θ＋i s i n θ)即得ρn (c o s n φ＋i s i n n φ)＝r (c o s θ＋i s i n θ)所以ρ＝r １n ,㊀n φ＝θ＋２k π(k ɪZ )故知z ２＝r １n c o s θ＋２k πn ＋i s i n θ＋２k πn æèçöø÷(１１９)注意到当k 取连续的n 个整数,例如１,２, ,n 时,可以得到φ的n 个值,其中任意两个值相差不超过２π．因此,z ２至少可以取n 个值．当k 的取值超过n 个时,必有φ的两个值,其差为２π的整数倍．因此,z ２至多取n 个值．因此,当z １ʂ０时,z２可以恰好取n 个值,且z ２＝|z １|１n c o s a r g z １＋２k πn ＋i s i n a r g z １＋２k πn æèçöø÷(k ＝０,１, ,n －１)(１２０)例１ ３㊀设z １＝１＋i ,z ２＝１＋３i ,求A r g z １z ２æèçöø÷．解㊀z １＝１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷＝２e π４i z ２＝１＋３i ＝２c o s π３＋i s i n π３æèçöø÷＝２e π３i 所以A r g z １z ２æèçöø÷＝A r g ２e π４i ２e π３i æèçöø÷＝A r g ２２e －π１２i æèçöø÷＝－π１２＋２k π㊀(k ɪZ )例１ ４㊀求:(１)４－１;㊀㊀㊀㊀㊀(２)５１＋i ．解㊀(１)因为－１＝c o s π＋i s i n π,所以４－１＝c o s π＋２k π４＋i s i n π＋２k π４㊀(k ＝０,１,２,３) ６ 复变函数与积分变换(第二版)即４－１有４个不同的值,分别为ω０＝co s π４＋i s i n π４＝２２(１＋i )ω１＝co s π＋２π４＋i s i n π＋２π４＝２２(－１＋i )ω２＝co s π＋４π４＋i s i n π＋４π４＝２２(－１－i )ω３＝c o s π＋６π４＋i s i n π＋６π４＝２２(１－i )(２)因为１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷,所以５１＋i ＝１０２æèççc o s π４＋２k π５＋i s i n π４＋２k π５öø÷÷㊀(k ＝０,１,２,３,４)即５１＋i 有５个不同的值,分别为ω０＝１０２c o s π２０＋i s i n π２０æèçöø÷ω１＝１０２c o s ９π２０＋i s i n ９π２０æèçöø÷ω２＝１０２c o s １７π２０＋i s i n １７π２０æèçöø÷ω３＝１０２c o s ２５π２０＋i s i n ２５π２０æèçöø÷ω４＝１０２c o s ３３２０π＋i s i n ３３２０πæèçöø÷它们是内接于以原点为中心㊁１０２为半径的圆的内接正五边形的５个顶点．注意:在复数范围内,方程z ３－１＝０有３个不同的根,分别为１,㊀－１２＋３２i ,㊀－１２－３２i 第三节㊀无穷远点和复球面㊀㊀一、无穷远点为了使复数运算在许多情况下是可以进行的,我们不但要讨论有限复数,还要７ 第一章㊀复数与复变函数讨论一个特殊的 复数 无穷大,记为ɕ,它是由下式ɕ＝１０来定义的,它和有限数的四则运算定义如下:a ＋ɕ＝ɕ＋a ＝ɕ㊀㊀㊀㊀㊀(a ʂɕ)ɕ－a ＝ɕ,㊀a －ɕ＝ɕ(a ʂɕ)a ɕ＝ɕ a ＝ɕ㊀(a ʂ０)a ɕ＝０,㊀ɕa ＝ɕ㊀(a ʂɕ)a ０＝ɕ㊀(a ʂ０)为避免矛盾,对于ɕʃɕ,０ ɕ,ɕɕ,００均无规定．对于复数ɕ,其实部㊁虚部及辐角均无意义,其模规定为＋ɕ．对于其他的每个复数z ,都有|z |＜＋ɕ．在复平面上,没有一个确定的点与ɕ相对应,但可以设想复平面上有一个理想点与它对应,此点称为无穷远点．我们规定复平面上只有一个无穷远点．复平面加上无穷远点称为扩充复平面,也称闭平面．扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点．为了使无穷远点的存在得到直观解释,黎曼特别创造了复数的球面表示法．图１６㊀㊀二、复球面以复平面的原点为球心,作半径为１的球．从原点引垂直于复平面的直线为z 轴,交球面于N 和S ,分别称为北极和南极,如图１６所示．对复平面上的任一点z ,从起点N 引过z 的射线,交球面于P ;反之,由起点N 出发,过球面上任一点P 的射线交复平面于一点,记为z ．这样,我们就建立了球面上的点(除N 外)与复平面上点的一一对应,从而可以用球面上的点(除N 外)来表示复数．应当注意到,以这样的方式建立的一一对应中,复平面内并无一个点与球面上的N 点对应．由于当z 的模|z |无限变大时,P 就无限接近N ,为使复平面上的点与球面上的点都能一一对应,我们在复平面上增加 无穷远点 ,使之与球面上的N 点对应．这样,扩充复平面就与球面之间建立了一一对应,这个球面称为复球面,其上 ８ 复变函数与积分变换(第二版)的N 点就是 无穷远点 ．第四节㊀复平面上的点集㊀㊀一㊁邻域㊁开集复平面上以z ０为圆心㊁r 为半径的圆面(不包括圆周)称为z ０的r 邻域,记为U (z ０,r ),则U (z ０,r )＝{z ||z －z ０|＜r }称U .(z ０,r )＝{z |０＜|z －z ０|＜r }为z ０的去心r 邻域．设D 为复平面上的点集．㊀如果存在z ０的某个邻域U (z ０,r )使得U (z ０,r )⊂D ,则称z ０为D 的一个内点．D 的所有内点构成D 的内部,记为i n t D ．如果z ０的任一邻域中,既有D 中点也有D 的余集中的点,则称z ０为D 的一个边界点．D 的所有边界点构成D 的边界,记为ƏD ．如果D ＝i n t D ,则称D 为一个开集;如果ƏD ⊂D ,则称D 为一个闭集．例如:|z －i |＜２为开集,|z －i |ɤ２为闭集．㊀㊀二㊁区域定义１．３㊀设D 为复平面上的点集,如果D 满足:(１)D 是一个开集;(２)D 中任何两点都可以用完全包含于D 内的一条折线连接起来(这个性质称为D 的连通性)则称D 为复平面上的一个区域．D ɣƏD 称为闭区域,记为D ．如果区域D 可以包含在一个圆周之中,则称该区域为有界区域,否则称为无界区域．例１ ５㊀复平面上,满足r １＜|z －z ０|＜r ２(r １＜r ２)的所有点构成一个有界区域(图１７),其边界为圆周|z －z ０|＝r １和|z －z ０|＝r ２称这样的区域为圆环域．例１ ６㊀复平面上满足R e (z )ȡ１的所有点构成一个无界的闭区域(图１８)．９ 第一章㊀复数与复变函数图１７㊀㊀㊀图１８㊀㊀三、平面曲线的复值函数形式我们知道,一个参数方程x＝x(t)y＝y(t){㊀(tɪ[α,β])在几何上表示一条平面曲线,而复值函数z＝x(t)＋i y(t)㊀(tɪ[α,β])(１２１)在复平面上表示的也是这条平面曲线．例如z＝R(c o s t＋i s i n t)(R＞０,０ɤtɤ２π)表示以原点为圆心㊁R为半径的圆,而z＝t＋i t２(－１ɤtɤ１)则表示一段抛物线．若在(１１７)中,x,y均为t的连续函数,则称平面曲线z＝x(t)＋i y(t)为连续曲线;若xᶄ(t),yᶄ(t)在tɪ[α,β]上都连续,且xᶄ２(t)＋yᶄ２(t)ʂ０,tɪ[α,β],则称平面曲线为光滑的;光滑曲线上每点皆有切线,且切线是连续变化的;若曲线由若干段光滑曲线连接而成,则称曲线为分段光滑的．设C:z＝z(t)(αɤtɤβ)为一条连续曲线,z(α)与z(β)分别称为C的起点和终点．对于满足α＜t１＜β,αɤt２ɤβ的t１,t２,当t１ʂt２且有z(t１)＝z(t２)时, z(t１)称为曲线C的重点．没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若当曲线．如果简单曲线的起点和终点重合,即z(α)＝z(β),则称曲线C为简单闭曲线．由此即知,简单曲线自身不会相交．如图１９所示．图１９０１ 复变函数与积分变换(第二版)。
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
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例1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则y 0,
由m2 5m 6 0知m 6或m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
z2
3
4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
.
解 z1 5 5i (5 5i)(3 4i) z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
(15 20) (15 20)i 7 1 i.
25
55
z1 7 1 i. z2 5 5
13
例6 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
2
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
由m2 3m 4 0知m 4或m 1. 但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
6
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
3
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
i8 i4 i4 1;
……
一般地，如果 n是正整数, 则
i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
1 1
i i
7
(i )7
i.
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
11
例4
计算 i 2 1i i
.
i 1
解
i2 1i i
(i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
i 1
i2
i 2i i2 1
i
2
1 3i 2i
(1 3i)(2 i) (2 i)(2 i)
2 i 6i (2)2
i2
3i 2
1
i.
12
例5
设
z1
5 5i,
或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2Re(z1 z2 ).
15
例8 化简(1) 5 12i ; (2) i i.
解 (1) 5 12i x iy, 5 12i ( x2 y2 ) 2xyi,
x2 y2 5,
x 3, y 2,
2xy 12
复数为什么不能比较大小？
9
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im( z)2;
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z).
以上各式证明略.
10
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
14
例7 设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re(z1 z2 ).
4
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
5 12i (3 2i).
16
(2) i x yi,
x2 y2 0, 2xy 1
x y 1 , 2
i
1 2Βιβλιοθήκη 1 2i,
i
1 2
1 2
i
,
i i 2.
17
三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
18
思考题
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
8
4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
例2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积. 解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2. 结论： 两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
7
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2