1复数与复变函数
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复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
第1章 复数与复变函数数学物理方程
z平面
ω 平面
复变函数w =f(z)可以写成w =u(x,y)+iv(x,y)， 其中z=x+iy
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复变函数论
第1章 复数与复变函数
几类基本初等函数 幂函数
n为正整数
z n n (cos i sin ) n n (cosn i sin n ) n e in
z1
z2 p
区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为 D
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复变函数论
第1章 复数与复变函数
定义5：单连通域与多连通域
若在区域D内作任意闭合曲线，曲线所包围的所有点都属于D， 那么D称为单连通区域，否则，D称为复连通区域。 规定：若观察者沿边界线走时，区域总保持在观察者的左边， 那么观察者的走向为边界线的正向；反之，则称为边界线的 负向。
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
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复变函数论
第1章 复数与复变函数
z1 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i 2 2 2 2 z2 x2 y 2 x2 y 2 r1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) r2 r1 exp[i(1 2 )] r2
指数函数 e z e x cos y i sin y
e z e x , Arg e z y
z x iy
性质
周期性
y 0时, e z e x ; x 0时, eiy cosy isiny
exp(z i2 ) exp(z)
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数1 复数与复变函数
定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.
2 . 乘方与开方运算 1）乘方 z
n
=r e
n inθ
= r ( cos nθ + i sin nθ )
n
n
De Moivre 公式： ( cosθ + i sin θ ) = cos nθ + i sin nθ
z=z1+t(z2−z1). (0≤t≤1)
z1 + z2 z= 2
的中点为
例4 求下列方程所表示的曲线:
1) 2) 3)
| z + i |= 2; | z − 2i |=| z + 2 |; Im(i + z ) = 4.
解：
1)
| z + i |= 2
y x −i
设 z = x + i y , 方程变为
⇔
他们的实部和虚部都相等
复数的表示法 1.代数形式 : z = x + iy
1)点表示 虚轴
复数z = x + iy ↔ 平面XOY 上的点 z ( x, y )
y y r
θ
z(x,y)
复平面
0
x
实轴
x
2) 向量表示
y
r 复数z=x+iy ↔ 矢径z
y
r = | |z
r z z=x+iy
| x |≤| z |,| y |≤| z | | z |≤| x | + | y |, zz =| z | =| z | x
4
即
π π⎞ ⎛ w0 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 ⎠ ⎝ 16 9π ⎞ ⎛ 9π 8 w1 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 16 ⎠ ⎝
2 . 乘方与开方运算 1）乘方 z
n
=r e
n inθ
= r ( cos nθ + i sin nθ )
n
n
De Moivre 公式： ( cosθ + i sin θ ) = cos nθ + i sin nθ
z=z1+t(z2−z1). (0≤t≤1)
z1 + z2 z= 2
的中点为
例4 求下列方程所表示的曲线:
1) 2) 3)
| z + i |= 2; | z − 2i |=| z + 2 |; Im(i + z ) = 4.
解：
1)
| z + i |= 2
y x −i
设 z = x + i y , 方程变为
⇔
他们的实部和虚部都相等
复数的表示法 1.代数形式 : z = x + iy
1)点表示 虚轴
复数z = x + iy ↔ 平面XOY 上的点 z ( x, y )
y y r
θ
z(x,y)
复平面
0
x
实轴
x
2) 向量表示
y
r 复数z=x+iy ↔ 矢径z
y
r = | |z
r z z=x+iy
| x |≤| z |,| y |≤| z | | z |≤| x | + | y |, zz =| z | =| z | x
4
即
π π⎞ ⎛ w0 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 ⎠ ⎝ 16 9π ⎞ ⎛ 9π 8 w1 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 16 ⎠ ⎝
《复变函数》第一章 复数与复变函数
( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
2 2
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
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2. 逆时针的转角为正，顺时针的转角为负（补充规定）。
[例] [定义]
1 i
的辐角：7
4
，
4
7
4
2
取值在(- , ]的辐角称z的辐角主值, 记为 arg z 0 (- , ]，Arg z arg z 2k .
z x iy
由z平面的图可知，x r cos, y r sin.
(3) (三角) z rcos i sin .
r1r2cos1 cos2 sin1 sin2 isin1 cos2 cos1 sin2 r1r2cos1 2 i sin1 2
z rcos i sin
[定理一] 复数乘积的模 模的乘积；乘积的辐角 辐角的和，即
z1z2 z1 z2, Arg(z1z2) Arg(z1) Arg(z2)
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
[对比] ( x1, y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
[共轭] z1 x1 iy1
z1 z2 z1
z1 z2
[注]
z2
1. 复数加减法与向量加减法一样。
2.复数的代数运算
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2, z x iy
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
[乘法] z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
i2 1
( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ).
t , t
0
t
2
x2 y2 1 (单位圆 z
1)
[直观理解]
给
定一个曲线
x y
x(t) ,a
y(t )
t
b，我们可以
把（x(t), y(t)）理解为某个人在t 时刻所处的位置。随着
时间t 的推移，这个人走出一个轨迹。x(t), y(t)分别代表
他在X方向、Y方向的行走情况。
椭圆：z z1 z z2 r
第一章 复数与复变函数
●复数的概念及运算：±×÷共轭, 乘幂方根 ●复数的各种表示法及相互关系 ●区域的概念 ●复变函数的概念及性质：映射、极限、连续
S1 复数及其代数运算
1. 复数的概念
常用的数集：
自然数集 N {1,2,3, }
整数集 Z { ,3,2,1,0,1,2,3, }
有理数集Q
(4) (指数) z rei . 例： 1 1ei
i ry
1 O x1
Euler公式： ei cos i sin i
[例] 1 i
2
cos
4
i
sin
4
2 cos i sin
4
4
i
2e 4
i
2e 4
i
2e 4
注：不要利用sin, cos的奇偶性化简。否则看不出辐角。
i
2e 4
8
2ei ,
2k
4
, k 0,1,2,3
2
4
2
82
o
0
x
3
1
zn
r n1cos
2k
n
i sin
2k
n
r n1ei
2k n
,
k Z.
[例] u
[解释] 在实数域内对正数开偶次方，有两个根， 一正一负，例如4 16 2；开奇次方，只有一个 正根，3 8 2。负数不能开偶次方；开奇次方，有 一个负根，3 8 2。
(实部•实部-虚部• 虚部) i(交叉相乘)
[共轭] z x iy.（虚部变号） z ? (z R)
[除法]
z1 z2
z1 z2 z2 z2
( x1 ( x2
iy1 ) iy2 )
( x2 ( x2
iy2 ) iy2 )
( ) i( )
x22
y22
. i0
性质：
z x iy
和虚部，记为Re(z), Im( z). ( Real, Imaginary ) [定义] x 0, y 0时的z iy称纯虚数. [复数表示法的唯一性] x iy a ib x a且y b.
r1ei1 r2ei2 r1 r2 且 1 2 2k .
两个复数不能比较大小. i 2i
双曲线：z z1 z z2 r [例] 4P9 u [例] 25(4) P34
(单位圆z 1上点的n次幂仍在单位圆上，角度为n .)
[例]
3 i 6 2
3 2
i 2
6
26ei
6
6
64ei
64.
[例] u
[定义] 若对z, 存在，使得n z(n N), 称是z的n次
1
方根, 记为n z或 zn . 求方根的运算叫开方。
设 cos i sin，z rcos i sin rei
球面称作复球面.
复平面上的直线对应着复球面上的圆（过北极N）。所
以直线被看作是广义的圆-过的圆。
C 扩充复平面 ：复平面 C + {},与复球面一一对应。
S3 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设z1 r1cos1 i sin1, z2 r2cos2 i sin2,则
z1z2 r1r2cos1 i sin1cos2 i sin2
[计算] 如何由一种表示法求另一种表示法：
（1）（2）: x, y，（3）（4）: r,， ( A) 已知r, ,求x, y ? 简单：x r cos , y r sin . (B) 已知x, y,求r,0(主值 : ( , ])?
r
x2
y2简
单
，
比
0
较
复
杂
：
特殊点：
x 0, y 0, z 0, 0不定。 x 0, y 0, 典型z 1, 0 0. x 0, y 0, 典型z 1, 0 . x 0, y 0, 典型z i, 0 / 2. x 0, y 0, 典型z i, 0 / 2.
z1
2. 减法时向量箭头指向被减数。
3. 互相共轭的两向量关于x轴对称,长度相等，角度相反。
实部相等，虚部相反。
* 4. z1 z2 可以表示两点(即两复数)间的距离。 z i 1
5. (三角不等式) z1 z2 z1 z2 .
x2 ( y 1)2 1
复球面（第五种表示）
N
P SO
2
2k
2n
2
2m
.
ZZZ
2Z 0,2,4,
* 3. 涉及 z1 z2 ，z1 z2 ，zn , n z 时三角（指数）表示式比 x iy好 此时辐角的计算变成加减。
z1z2
zn
r1r2
r e i(1 2 n ) n
,
z2 r2 e i(2 1 ) z1 r1
[例]
[例]1 P14
(x x0)2 ( y y0)2 r2
* 直 线 ：(1)有 参 数t： xy
x1 y1
t(x2 t( y2
x1) y1)
z
z1
t(z2
z1)
(2)无参数t：z 1 z 1表示1， 1的垂直平分线，
即y轴 : x 0, Re z 0。
x y
x1 y1
x2 x1 y2 y1
[曲线的参数表示法] 平面上的曲线F ( x, y) 0可以表示
成
x y
x(t) ,a
y(t )
t
b，在复积分C
f
(z)dz
中要用到。
C
f (z)dz
b
a
f z(t) z'(t) dt, z(t) x(t) iy(t)
要化成我们熟悉的方程的话，只要消去t 即可，例如
x y
cos sin
i ry
1 O x1
i tan y
x
其他点的辐角主值： ( , ]
arctan x ,
2 2
z I , IV象限，0 arctan
y , 典型z 1 i,1 i. x
0
z
II象限，0
arctan
y x
, 典型z
1
i.
0
z
III象限，0
arctan
y x
, 典型z
2.幂与根
[定义] n个相同的复数z的乘积称z的n次幂,记为zn.
zn rcos i sin n r n cos n i sin n r nein
如果定义zn
1 zn
, z0
1,则上式对任意整数都成立。当
r 1时即De Moivre公式
cos i sin n cos n i sin n
x
y z
除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表 示复数.
取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与 原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一 点N. 称N为北极, S为南极.
对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交 于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一 一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的
n
1
zn
r n1cos
2k
n
i sin
2k
n
1
r nei
2k n
,
k Z.
1
[几何意义] z rei 的n个根都在半径为r n的圆上，是内
接正n边形的n个顶
点，每隔2
n
有一个根，即n个根
平
分
了360o,
第
一
个
的
角
度
为
[例] [定义]
1 i
的辐角：7
4
，
4
7
4
2
取值在(- , ]的辐角称z的辐角主值, 记为 arg z 0 (- , ]，Arg z arg z 2k .
z x iy
由z平面的图可知，x r cos, y r sin.
(3) (三角) z rcos i sin .
r1r2cos1 cos2 sin1 sin2 isin1 cos2 cos1 sin2 r1r2cos1 2 i sin1 2
z rcos i sin
[定理一] 复数乘积的模 模的乘积；乘积的辐角 辐角的和，即
z1z2 z1 z2, Arg(z1z2) Arg(z1) Arg(z2)
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
[对比] ( x1, y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
[共轭] z1 x1 iy1
z1 z2 z1
z1 z2
[注]
z2
1. 复数加减法与向量加减法一样。
2.复数的代数运算
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2, z x iy
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
[乘法] z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
i2 1
( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ).
t , t
0
t
2
x2 y2 1 (单位圆 z
1)
[直观理解]
给
定一个曲线
x y
x(t) ,a
y(t )
t
b，我们可以
把（x(t), y(t)）理解为某个人在t 时刻所处的位置。随着
时间t 的推移，这个人走出一个轨迹。x(t), y(t)分别代表
他在X方向、Y方向的行走情况。
椭圆：z z1 z z2 r
第一章 复数与复变函数
●复数的概念及运算：±×÷共轭, 乘幂方根 ●复数的各种表示法及相互关系 ●区域的概念 ●复变函数的概念及性质：映射、极限、连续
S1 复数及其代数运算
1. 复数的概念
常用的数集：
自然数集 N {1,2,3, }
整数集 Z { ,3,2,1,0,1,2,3, }
有理数集Q
(4) (指数) z rei . 例： 1 1ei
i ry
1 O x1
Euler公式： ei cos i sin i
[例] 1 i
2
cos
4
i
sin
4
2 cos i sin
4
4
i
2e 4
i
2e 4
i
2e 4
注：不要利用sin, cos的奇偶性化简。否则看不出辐角。
i
2e 4
8
2ei ,
2k
4
, k 0,1,2,3
2
4
2
82
o
0
x
3
1
zn
r n1cos
2k
n
i sin
2k
n
r n1ei
2k n
,
k Z.
[例] u
[解释] 在实数域内对正数开偶次方，有两个根， 一正一负，例如4 16 2；开奇次方，只有一个 正根，3 8 2。负数不能开偶次方；开奇次方，有 一个负根，3 8 2。
(实部•实部-虚部• 虚部) i(交叉相乘)
[共轭] z x iy.（虚部变号） z ? (z R)
[除法]
z1 z2
z1 z2 z2 z2
( x1 ( x2
iy1 ) iy2 )
( x2 ( x2
iy2 ) iy2 )
( ) i( )
x22
y22
. i0
性质：
z x iy
和虚部，记为Re(z), Im( z). ( Real, Imaginary ) [定义] x 0, y 0时的z iy称纯虚数. [复数表示法的唯一性] x iy a ib x a且y b.
r1ei1 r2ei2 r1 r2 且 1 2 2k .
两个复数不能比较大小. i 2i
双曲线：z z1 z z2 r [例] 4P9 u [例] 25(4) P34
(单位圆z 1上点的n次幂仍在单位圆上，角度为n .)
[例]
3 i 6 2
3 2
i 2
6
26ei
6
6
64ei
64.
[例] u
[定义] 若对z, 存在，使得n z(n N), 称是z的n次
1
方根, 记为n z或 zn . 求方根的运算叫开方。
设 cos i sin，z rcos i sin rei
球面称作复球面.
复平面上的直线对应着复球面上的圆（过北极N）。所
以直线被看作是广义的圆-过的圆。
C 扩充复平面 ：复平面 C + {},与复球面一一对应。
S3 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设z1 r1cos1 i sin1, z2 r2cos2 i sin2,则
z1z2 r1r2cos1 i sin1cos2 i sin2
[计算] 如何由一种表示法求另一种表示法：
（1）（2）: x, y，（3）（4）: r,， ( A) 已知r, ,求x, y ? 简单：x r cos , y r sin . (B) 已知x, y,求r,0(主值 : ( , ])?
r
x2
y2简
单
，
比
0
较
复
杂
：
特殊点：
x 0, y 0, z 0, 0不定。 x 0, y 0, 典型z 1, 0 0. x 0, y 0, 典型z 1, 0 . x 0, y 0, 典型z i, 0 / 2. x 0, y 0, 典型z i, 0 / 2.
z1
2. 减法时向量箭头指向被减数。
3. 互相共轭的两向量关于x轴对称,长度相等，角度相反。
实部相等，虚部相反。
* 4. z1 z2 可以表示两点(即两复数)间的距离。 z i 1
5. (三角不等式) z1 z2 z1 z2 .
x2 ( y 1)2 1
复球面（第五种表示）
N
P SO
2
2k
2n
2
2m
.
ZZZ
2Z 0,2,4,
* 3. 涉及 z1 z2 ，z1 z2 ，zn , n z 时三角（指数）表示式比 x iy好 此时辐角的计算变成加减。
z1z2
zn
r1r2
r e i(1 2 n ) n
,
z2 r2 e i(2 1 ) z1 r1
[例]
[例]1 P14
(x x0)2 ( y y0)2 r2
* 直 线 ：(1)有 参 数t： xy
x1 y1
t(x2 t( y2
x1) y1)
z
z1
t(z2
z1)
(2)无参数t：z 1 z 1表示1， 1的垂直平分线，
即y轴 : x 0, Re z 0。
x y
x1 y1
x2 x1 y2 y1
[曲线的参数表示法] 平面上的曲线F ( x, y) 0可以表示
成
x y
x(t) ,a
y(t )
t
b，在复积分C
f
(z)dz
中要用到。
C
f (z)dz
b
a
f z(t) z'(t) dt, z(t) x(t) iy(t)
要化成我们熟悉的方程的话，只要消去t 即可，例如
x y
cos sin
i ry
1 O x1
i tan y
x
其他点的辐角主值： ( , ]
arctan x ,
2 2
z I , IV象限，0 arctan
y , 典型z 1 i,1 i. x
0
z
II象限，0
arctan
y x
, 典型z
1
i.
0
z
III象限，0
arctan
y x
, 典型z
2.幂与根
[定义] n个相同的复数z的乘积称z的n次幂,记为zn.
zn rcos i sin n r n cos n i sin n r nein
如果定义zn
1 zn
, z0
1,则上式对任意整数都成立。当
r 1时即De Moivre公式
cos i sin n cos n i sin n
x
y z
除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表 示复数.
取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与 原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一 点N. 称N为北极, S为南极.
对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交 于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一 一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的
n
1
zn
r n1cos
2k
n
i sin
2k
n
1
r nei
2k n
,
k Z.
1
[几何意义] z rei 的n个根都在半径为r n的圆上，是内
接正n边形的n个顶
点，每隔2
n
有一个根，即n个根
平
分
了360o,
第
一
个
的
角
度
为