复数与复变函数
复数与复变函数
6. 乘方与开方 乘方 z r (cos i sin )
z r (cos 2 i sin 2 )
2 2
z r (cos n i sin n )
n n
开方为乘方的逆运算
n 1 n
设wn = z , 令w =r(cosy+isiny)
2kπ 2kπ z r cos( ) i sin( ) n n
ppΒιβλιοθήκη 5 i cosp
5
显然 r z 1,
p p 3p sin cos - cos , 5 2 5 10
3p p p cos sin - sin , 10 5 2 5
3p 3p 故 z cos 10 i sin 10
p
e
3 pi 10
8
9p 9p w1 2 cos i sin , 16 16
8
17p 17p w2 2 cos i sin , 16 16
8
25p 25p w3 2 cos i sin . 16 16
8
w1
w2
y
w0
这四个根是内接于中 心在原点半径为 8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
5 相等的概念 1 z乘方公式
w - 1 cos i sin - 1 因为 z w 1 cos i sin 1
2 sin - sin i cos 2 2 2 i tan , 2 2 cos cos i sin 2 2 2
x > 0,
x = 0, y ≠ 0,
argz =
y arctan π x < 0, y ≥ 0, x y arctan - π x < 0, y < 0, x π y π (其中 - arctan ) 2 x 2
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复数与复变函数(修定)
05
复变函数的积分公式与全 纯函数
柯西积分公式与解析函数的性质
柯西积分公式
对于复平面上的封闭曲线C，如果f(z)在C的 内部是解析的，那么f(z)在C上的积分可以 用f(z)在C上的四个点处的函数值来表示。
解析函数的性质
如果f(z)是解析函数，那么它在复平面上处 处可导，且满足Cauchy-Riemann方程。
02
03
电气工程
在电气工程中，交流电的电压、电流 等参数通常用复数表示，方便进行计 算和分析。
在数学其他分支中的应用
01
代数
复数可以作为代数方程的根进行 求解，扩展了代数方程的解的范 围。
02
03
几何
分析学
复数域可以视为二维平面上的点 集，为几何学的研究提供了新的 视角和方法。
复变函数是分析学的一个重要分 支，为实数域上的函数分析提供 了更广泛的应用和理论基础。
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是 虚数单位，满足 i^2 = -1。
几何定义
复数可以视为平面上的点或向量，实部是 x 坐标，虚部是 y 坐标。
复数的几何表示
1 2
平面坐标系
每个复数 z = a + bi 可以表示为平面上的一个点 (a, b)。
极坐标系
每个复数 z = r(cosθ + i sinθ) 可以表示为从原 点出发的一个向量，其模长为 r，幅角为 θ。
THANKS
感础 • 复变函数概念 • 复变函数的导数与积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的积分公式与全纯函数 • 复变函数的应用
01
复数基础
复数的定义
形式定义
《复变函数》第一章 复数与复变函数
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复数与复变函数基础
第一章㊀复数与复变函数复变函数的定义域和值域均取自复数域．因此,在展开主要内容之前,有必要系统地学习复数的概念及相关性质．第一节㊀复数及其代数运算㊀㊀一㊁复数的概念定义１．１㊀形如z ＝x ＋i y 或z ＝x ＋y i 的数称为复数,其中x ,y 为两个实数,分别称为复数z 的实部和虚部,并记为x ＝R e (z ),y ＝I m (z )．i 称为虚数单位,满足i ２＝－１显然,当虚部y ＝０时,复数z 就是实数;当实部x ＝０且虚部y ʂ０时,复数z ＝i y 称为纯虚数;两个复数z １＝x １＋i y １与z ２＝x ２＋i y ２相等,当且仅当z １,z ２实部㊁虚部分别对应相等,即x１＝x ２,y １＝y ２;称复数x －i y 为复数x ＋i y 的共轭,记为．㊀㊀二㊁复数的四则运算记z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则两个复数的和、差与乘积的定义如下z １ʃz ２＝(x １ʃx ２)＋i (y １ʃy ２)㊀㊀㊀(１１)z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)(１２)当z ２ʂ０时,可以定义除法z １z ２＝x １＋i y １x ２＋i y ２＝x １x ２＋y １y ２x ２２＋y ２２＋i x ２y １－x １y ２x ２２＋y ２２(１３)㊀㊀三㊁复数的运算性质由复数四则运算的定义,不难验证以下的复数的运算性质:(１)封闭性,即复数的四则运算的结果仍是一个复数;(２)加法交换律,即z １＋z ２＝z ２＋z １;(３)加法结合律,即(z １＋z ２)＋z ３＝z １＋(z ２＋z ３);(４)乘法对加法的分配律,即z １(z ２＋z ３)＝z １z ２＋z １z ３;(５)乘法交换律与结合律,即z １z ２＝z ２z １及(z １z ２)z ３＝z １(z ２z ３)．(６)共轭运算的性质z １ʃz ２＝１ʃ２z １z ２＝１２z １z ２æèçöø÷＝１２()＝z z ＋＝２xz－＝２yi (读者自行证明)例１ １㊀设z １,z ２是两个复数,证明:如果z １＋z ２及z １z ２都是实数,那么z １,z ２或者都是实数,或者是共轭复数．证㊀设z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则z １＋z ２＝(x １＋x ２)＋i (y １＋y ２),㊀z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)由题设知y １＋y ２＝０㊀及㊀x １y ２＋x ２y １＝０(１)当y １＝０时,y ２＝０,这时z １,z ２为实数;(２)当y １ʂ０时,y １＝－y ２,从而由第二式得x １＝x ２,这时z １和z ２为共轭复数．㊀证毕．注㊀当z １＝２时,z １z ２＝x ２１＋y ２１．例１ ２㊀设z ＝１－２i ３＋４i ,求及z ．解㊀z ＝(１－２i )(３－４i )(３＋４i )(３－４i )＝－５－１０i ２５＝－１５－２５i所以＝－１５＋２５i ,㊀z ＝－１５æèçöø÷２＋－２５æèçöø÷２＝１５第二节㊀复数的几何表示㊀㊀一、复平面一个复数x ＋i y 可完全由一对有序数组(x ,y )所确定．因此,我们在平面上可 ２ 复变函数与积分变换(第二版)图１１建立直角坐标系,使得复数x ＋i y 与平面上的点(x ,y )一一对应(图１１)．由于实数x (y ＝０)对应于横坐标轴上的点,纯虚数i y (x ＝０,y ʂ０)对应于纵坐标轴上的点,故将平面直角坐标系中的横坐标轴改称实轴,纵坐标轴改称虚轴,并称这个平面为复平面,或z 平面．㊀㊀二㊁复数的点表示引入复平面后,复数与平面之间建立了一一对应,从而复数的许多结果得到了几何直观的解释．为方便起见,复数z 和复平面上的点z 可等同叙述,如{z |I m z ＞０}㊀与㊀{z |０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１}分别表示上半平面和以０,１,１＋i ,i 为顶点的正方形．图１２㊀I m z ＞０㊀㊀㊀㊀图１３㊀０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１图１４㊀㊀三㊁复数的向量表示如果把复数z ＝x ＋i y 的实部和虚部作为平面向量在两坐标轴上的投影,则复数z ＝x ＋i y 可用平面向量O z ң＝{x ,y }表示(图１４)．向量O z ң的模称为复数z 的模,记为|z |＝r ＝x ２＋y ２(１４)它是点z 到原点的距离,即向量O z ң的长度．由模的定义易得|x |ɤ|z |,㊀|y |ɤ|z |,㊀|z |ɤ|x |＋|y |,㊀z z ＝|z |２(１５)定义１．２㊀当z ʂ０时,以实轴正向为始边,以复数z 对应的向量O z ң为终边的角称为复数z 的辐角,记为A r g z ．令A r g z ＝θ,则由向量的性质可得x ＝|z |c o s θ,㊀y ＝|z |s i n θ,㊀t a n θ＝y x (１６) ３ 第一章㊀复数与复变函数需要指出的是,任何一个不为０的复数均有无穷多个辐角,若θ１为z 的一个辐角,则A r g z ＝θ１＋２k π㊀(k ɪZ )(１７)都是z 的辐角．在复数z (ʂ０)的辐角中,满足－π＜θ０ɤπ的辐角θ０称为复数z 的辐角主值,记为θ０＝ar g z ．当z ＝０时,O z ң表示零向量,其辐角不定．非零复数z ＝x ＋i y 的辐角主值ar g z 可以由下式确定a r g z ＝a r c t a n y x ,当x ＞０π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＞０－π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＜０π当x ＜０,y ＝０π２当x ＝０,y ＞０－π２当x ＝０,y ＜０ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１８)将复数视为向量时,复数的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则(图１５)．㊀图１５从三角形法则,可以得到以下的三角不等式|z １＋z ２|ɤ|z １|＋|z ２|㊀(１９)|z １－z ２|ȡ||z １|－|z ２||(１１０)㊀㊀四、复数的乘方与开方设z 为一个复数,由(１４)和(１６)式可知,z 可以表示为４ 复变函数与积分变换(第二版)z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)(１１１)其中r 表示复数z 的模,θ为复数z 的辐角,(１１１)式称为复数z 的三角表达式．利用欧拉公式e i θ＝c o s θ＋i s i n θ(１１２)我们可以把复数z 表示为z ＝r e iθ(１１３)这称为复数的指数表达式,易知此时＝re －i θ．利用复数的指数表达式,我们很容易计算出复数z 的乘除法公式和乘方公式:设z １＝r １(c o s θ１＋i s i n θ１),z ２＝r ２(c o s θ２＋i s i n θ２),则㊀z １z ２＝r １r ２[c o s (θ１＋θ２)＋i s i n (θ１＋θ２)]㊀或㊀z １z ２＝r １r ２e i (θ１＋θ２)(１１４)z ２z １＝r ２r １[c o s (θ２－θ１)＋i s i n (θ２－θ１)]㊀或㊀z １z ２＝r ２r １e i (θ２－θ１)(r １ʂ０)(１１５)z n ＝z z ︸n 个＝r e i θ r e i θ r e i θ n 个＝r n e i nθ(１１６)或z n ＝r n (c o s n θ＋i s i n n θ)(１１７)如果定义z －n ＝１z n ,那么当n 为复整数时,(１１６)和(１１７)式也是成立的．由(１１１)和(１１７)式,当r ＝１时可以导出著名的棣莫弗公式(c o s θ＋i s i n θ)n ＝c o s n θ＋i s i n n θ(１１８)将此式的左端展开,再分为实部和虚部,就可以得到n 倍角公式．例如,令n ＝３,由于㊀(c o s θ＋i s i n θ)３＝[c o s ２θ－s i n ２θ＋i (c o s θs i n θ＋c o s θs i n θ)](c o s θ＋i s i n θ)＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θ＋i (３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ)所以有c o s ３θ＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θs i n ３θ＝３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ再来考虑开方运算．对于一个复数z １,如果有另一个复数z ２及一个正整数n,使得z n ２＝z １,则z ２称为z １的一个n 次方根．下面给出求z １的n 次方根公式．设已知５ 第一章㊀复数与复变函数z １＝r (co s θ＋i s i n θ)其n 次方根z ２＝ρ(c o s φ＋i s i n φ),下面来计算ρ和φ．由于z n ２＝z １,所以有[ρ(c o s φ＋i s i n φ)]n ＝r (c o s θ＋i s i n θ)即得ρn (c o s n φ＋i s i n n φ)＝r (c o s θ＋i s i n θ)所以ρ＝r １n ,㊀n φ＝θ＋２k π(k ɪZ )故知z ２＝r １n c o s θ＋２k πn ＋i s i n θ＋２k πn æèçöø÷(１１９)注意到当k 取连续的n 个整数,例如１,２, ,n 时,可以得到φ的n 个值,其中任意两个值相差不超过２π．因此,z ２至少可以取n 个值．当k 的取值超过n 个时,必有φ的两个值,其差为２π的整数倍．因此,z ２至多取n 个值．因此,当z １ʂ０时,z２可以恰好取n 个值,且z ２＝|z １|１n c o s a r g z １＋２k πn ＋i s i n a r g z １＋２k πn æèçöø÷(k ＝０,１, ,n －１)(１２０)例１ ３㊀设z １＝１＋i ,z ２＝１＋３i ,求A r g z １z ２æèçöø÷．解㊀z １＝１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷＝２e π４i z ２＝１＋３i ＝２c o s π３＋i s i n π３æèçöø÷＝２e π３i 所以A r g z １z ２æèçöø÷＝A r g ２e π４i ２e π３i æèçöø÷＝A r g ２２e －π１２i æèçöø÷＝－π１２＋２k π㊀(k ɪZ )例１ ４㊀求:(１)４－１;㊀㊀㊀㊀㊀(２)５１＋i ．解㊀(１)因为－１＝c o s π＋i s i n π,所以４－１＝c o s π＋２k π４＋i s i n π＋２k π４㊀(k ＝０,１,２,３) ６ 复变函数与积分变换(第二版)即４－１有４个不同的值,分别为ω０＝co s π４＋i s i n π４＝２２(１＋i )ω１＝co s π＋２π４＋i s i n π＋２π４＝２２(－１＋i )ω２＝co s π＋４π４＋i s i n π＋４π４＝２２(－１－i )ω３＝c o s π＋６π４＋i s i n π＋６π４＝２２(１－i )(２)因为１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷,所以５１＋i ＝１０２æèççc o s π４＋２k π５＋i s i n π４＋２k π５öø÷÷㊀(k ＝０,１,２,３,４)即５１＋i 有５个不同的值,分别为ω０＝１０２c o s π２０＋i s i n π２０æèçöø÷ω１＝１０２c o s ９π２０＋i s i n ９π２０æèçöø÷ω２＝１０２c o s １７π２０＋i s i n １７π２０æèçöø÷ω３＝１０２c o s ２５π２０＋i s i n ２５π２０æèçöø÷ω４＝１０２c o s ３３２０π＋i s i n ３３２０πæèçöø÷它们是内接于以原点为中心㊁１０２为半径的圆的内接正五边形的５个顶点．注意:在复数范围内,方程z ３－１＝０有３个不同的根,分别为１,㊀－１２＋３２i ,㊀－１２－３２i 第三节㊀无穷远点和复球面㊀㊀一、无穷远点为了使复数运算在许多情况下是可以进行的,我们不但要讨论有限复数,还要７ 第一章㊀复数与复变函数讨论一个特殊的 复数 无穷大,记为ɕ,它是由下式ɕ＝１０来定义的,它和有限数的四则运算定义如下:a ＋ɕ＝ɕ＋a ＝ɕ㊀㊀㊀㊀㊀(a ʂɕ)ɕ－a ＝ɕ,㊀a －ɕ＝ɕ(a ʂɕ)a ɕ＝ɕ a ＝ɕ㊀(a ʂ０)a ɕ＝０,㊀ɕa ＝ɕ㊀(a ʂɕ)a ０＝ɕ㊀(a ʂ０)为避免矛盾,对于ɕʃɕ,０ ɕ,ɕɕ,００均无规定．对于复数ɕ,其实部㊁虚部及辐角均无意义,其模规定为＋ɕ．对于其他的每个复数z ,都有|z |＜＋ɕ．在复平面上,没有一个确定的点与ɕ相对应,但可以设想复平面上有一个理想点与它对应,此点称为无穷远点．我们规定复平面上只有一个无穷远点．复平面加上无穷远点称为扩充复平面,也称闭平面．扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点．为了使无穷远点的存在得到直观解释,黎曼特别创造了复数的球面表示法．图１６㊀㊀二、复球面以复平面的原点为球心,作半径为１的球．从原点引垂直于复平面的直线为z 轴,交球面于N 和S ,分别称为北极和南极,如图１６所示．对复平面上的任一点z ,从起点N 引过z 的射线,交球面于P ;反之,由起点N 出发,过球面上任一点P 的射线交复平面于一点,记为z ．这样,我们就建立了球面上的点(除N 外)与复平面上点的一一对应,从而可以用球面上的点(除N 外)来表示复数．应当注意到,以这样的方式建立的一一对应中,复平面内并无一个点与球面上的N 点对应．由于当z 的模|z |无限变大时,P 就无限接近N ,为使复平面上的点与球面上的点都能一一对应,我们在复平面上增加 无穷远点 ,使之与球面上的N 点对应．这样,扩充复平面就与球面之间建立了一一对应,这个球面称为复球面,其上 ８ 复变函数与积分变换(第二版)的N 点就是 无穷远点 ．第四节㊀复平面上的点集㊀㊀一㊁邻域㊁开集复平面上以z ０为圆心㊁r 为半径的圆面(不包括圆周)称为z ０的r 邻域,记为U (z ０,r ),则U (z ０,r )＝{z ||z －z ０|＜r }称U .(z ０,r )＝{z |０＜|z －z ０|＜r }为z ０的去心r 邻域．设D 为复平面上的点集．㊀如果存在z ０的某个邻域U (z ０,r )使得U (z ０,r )⊂D ,则称z ０为D 的一个内点．D 的所有内点构成D 的内部,记为i n t D ．如果z ０的任一邻域中,既有D 中点也有D 的余集中的点,则称z ０为D 的一个边界点．D 的所有边界点构成D 的边界,记为ƏD ．如果D ＝i n t D ,则称D 为一个开集;如果ƏD ⊂D ,则称D 为一个闭集．例如:|z －i |＜２为开集,|z －i |ɤ２为闭集．㊀㊀二㊁区域定义１．３㊀设D 为复平面上的点集,如果D 满足:(１)D 是一个开集;(２)D 中任何两点都可以用完全包含于D 内的一条折线连接起来(这个性质称为D 的连通性)则称D 为复平面上的一个区域．D ɣƏD 称为闭区域,记为D ．如果区域D 可以包含在一个圆周之中,则称该区域为有界区域,否则称为无界区域．例１ ５㊀复平面上,满足r １＜|z －z ０|＜r ２(r １＜r ２)的所有点构成一个有界区域(图１７),其边界为圆周|z －z ０|＝r １和|z －z ０|＝r ２称这样的区域为圆环域．例１ ６㊀复平面上满足R e (z )ȡ１的所有点构成一个无界的闭区域(图１８)．９ 第一章㊀复数与复变函数图１７㊀㊀㊀图１８㊀㊀三、平面曲线的复值函数形式我们知道,一个参数方程x＝x(t)y＝y(t){㊀(tɪ[α,β])在几何上表示一条平面曲线,而复值函数z＝x(t)＋i y(t)㊀(tɪ[α,β])(１２１)在复平面上表示的也是这条平面曲线．例如z＝R(c o s t＋i s i n t)(R＞０,０ɤtɤ２π)表示以原点为圆心㊁R为半径的圆,而z＝t＋i t２(－１ɤtɤ１)则表示一段抛物线．若在(１１７)中,x,y均为t的连续函数,则称平面曲线z＝x(t)＋i y(t)为连续曲线;若xᶄ(t),yᶄ(t)在tɪ[α,β]上都连续,且xᶄ２(t)＋yᶄ２(t)ʂ０,tɪ[α,β],则称平面曲线为光滑的;光滑曲线上每点皆有切线,且切线是连续变化的;若曲线由若干段光滑曲线连接而成,则称曲线为分段光滑的．设C:z＝z(t)(αɤtɤβ)为一条连续曲线,z(α)与z(β)分别称为C的起点和终点．对于满足α＜t１＜β,αɤt２ɤβ的t１,t２,当t１ʂt２且有z(t１)＝z(t２)时, z(t１)称为曲线C的重点．没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若当曲线．如果简单曲线的起点和终点重合,即z(α)＝z(β),则称曲线C为简单闭曲线．由此即知,简单曲线自身不会相交．如图１９所示．图１９０１ 复变函数与积分变换(第二版)。
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
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第一章复数与复变函数
一、判断题。
1. i4=-1.（）
2.两个复数之间可以比较大小。
（）
3.任何复数都可以用三角表示。
（）
4.区域D的内点一定是极限点。
5.若尔当曲线一定把复平面分为三部分。
（）
6.复变函数一定是单值函数。
（）
7.arg（1+2i）＞arg(1-2i).( )
8.设f(z)= 1
z−1
,则f(z)在点z=1处一定不连续。
（）
9.复数列{z n}n=1∞的极限为z0,则z0一定是复数集合
{z n|n=1,2,…}的聚点。
（）
10.复球面上点与扩充复平面上点一定存在一一对应关系。
（）
11.lim
Z→0
Z
|Z|
不存在。
（）
12.在z平面内，中心为i，半径为1的圆方程为|z-i|=1.（）
二、选择题。
1．当z=1+i
1−i
时，z100+z75+z50的值等于（）。
A.i
B.-1
C.1
D.-1
2.设复数z满足arg(z+2)=π
3
,那么z=（）。
A.-1+√3i B .-√3+i C.-1
2+√3
2
i D.-√3
2
+1
2
i
３.复数z=tanθ-i(π
2
＜θ<π)的三角表示式是（）。
Ａ.secθ[cos（π
２＋θ)＋ｉsin（π
２
＋θ）］
Ｂ. secθ[cos（３π
２＋θ)＋ｉsin（３π
２
＋θ）］
Ｃ．－secθ[cos（３π
２＋θ)＋ｉsin（３π
２
＋θ）］
Ｄ. -secθ[cos（π
２＋θ)＋ｉsin（π
２
＋θ）］
４.若z为非零复数，则|z2−z̅2|与2z z̅的关系是（）。
A.|z2−z̅2|≥2z z̅
B.|z2−z̅2|=2z z̅
C.|z2−z̅2|≤2z z̅
D.不能比较大小。
5.设x,y为实数，z1=x+√11+iy, z2=x−√11+iy,且有|z1|+|z2|=12,则动点（x,y）的轨迹是（）。
A．圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
6.一个复数为1-√3i，则该复数关于x轴对称的复数是（）。
A. 1+√3i
B.1-√3i
C.√3-i
D.√3-i
7.使得z2=|z2|成立的复数z是（）。
A.不存在的
B.唯一的
C.存虚数
D.实数
8.设z为复数，则方程z+|z̅|=2+i的解是（）。
A.−3
4+i B.3
4
+i C.3
4
−i D.− 3
4
−i
9.满足不等式|z-i|≥2的所有点z构成的集合是（）。
A.有界区域
B.无界区域
C.有界闭区域
D.无界闭区域
10.方程|z+2-3i|=√2所代表的曲线是（）。
A.中心为2-3i，半径为√2的圆周
B.中心为-2+3i ，半径为2的圆周
C.中心为-2+3i ，半径为√2的圆周
D.中心为2-3i ，半径为2的圆周
11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）。
A.|z|=2
B. |z+3|-|z-3|=4
C.|z-1|=1
D. z z ̅+a z ̅+a ̅z+a a ̅-c=0(c ＞0)
12.设f(z)=1-z ̅,z 1=2+3i, z 2=5-i,则f(z 1−z 2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)=( ).
A.-4-4i
B.4+4i
C.4-4i
D.-4+4i
13.设z=x+iy, z 0=x 0+i y 0,则Im()Im()lim
000x x 0y y
z z z z →≠--=（ ）。
A.i B.-i C.0 D.不存在
14.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z 0=z 0=x 0+i y 0处连续的充要条件是（ ）。
A.u(x,y)在（x 0，y 0）处连续
B ．v(x,y)在（x 0，y 0）处连续
C ．u(x,y)和v(x,y)都在（x 0，y 0）处连续
D ．u(x,y)+ v(x,y)在（x 0，y 0）处连续
15.设复数列z n =1n +2n n+2i ,则lim n n z →∞
=( ). A.-2i B.2i C.-i D.i
16.简单曲线是（ ）曲线。
A ．连续 B.光滑 C.无重点的连续 D.无重点的光滑
17.极限lim o
z z f(z)=a 与z 趋于z 0的方式是（ ）。
A ．无关 B.有关 C.不一定有关 D.以上都对
18.设z=cos θ+i cos θ,则|z|=( ).
A.1
B.|cos θ|
C.√2|cos θ|
D. √2
19.区域1＜|z|＜2的边界是|z|=1和|z|=2，则它们的正向是（ ）。
A. |z|=1和|z|=2都是“逆时针”
B.|z|=1和|z|=2都是“ 顺时针”
C.|z|=1是“顺时针”，|z|=2是“逆时针”
D.|z|=1是“逆时针”，|z|=2是“顺时针”
20.函数f(z)=z 2+8
z 3+8不连续点的集合元素的个数是（ ）。
A.1
B.2
C.3
D.4
三、填空题
1.设z=(1+i )(2−i )（3−i)
(3+i )(2+i), 则|z|=____________.
2.设z=(2-3i)(-2+i),则argz=________.
3.设|z|=√5，arg(z-i)=3π4,则z=________.
4.复数（cos 5θ+i sin 5θ）2
（cos 3θ−i sin 3θ）2的指数表示为___________.
5.以方程z 6=7-√15i 的根对应点为顶点的多边形的面积为_____.
6.不等式|z-2|+|z+2|＜5所表示的区域是曲线_______的内部.
7.方程|2z−1−i
2−(1−i)2|=1所表示曲线的直角坐标方程为__________.
8.方程|z+1-2i|=|z-2+i|所表示的曲线是连接点______和_____
的线段的垂直平分线.
9.对于映射w=i z ，圆周x 2+(y −1)2=1的像曲线为________________.
10.lim ()24z 1i
1z 2z →+++=____________.。