复变函数概述复数和复平面
大学复变函数的基本概念
大学复变函数的基本概念复变函数是数学分析中的重要概念，它在工程学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍大学复变函数的基本概念，包括复数、复平面、复函数以及复变函数的导数和积分等内容。
复数是复变函数研究的基础，它由实数和虚数部分构成。
设z是一个复数，可以表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数在复平面上的表示可以视为点的坐标，实部和虚部分别对应x轴和y轴。
复平面将复数与几何图形联系起来，使得复数的运算有了直观的几何解释。
复函数是将一个或多个复数的集合映射到另一个复数集合的函数。
设f(z)是一个复函数，其中z和f(z)都是复数。
复函数的运算与实函数类似，可以进行加减乘除、求幂以及对数等运算。
复函数的可导性也是复变函数研究的关键。
如果f(z)在某一点z0处可导，那么复函数在该点处的导数可以用极限来定义，即f'(z0)=lim[(f(z)-f(z0))/(z-z0)]，这里z趋于z0。
复变函数的导数具有与实函数导数不同的性质。
由于复数具有实部和虚部，所以复变函数的导数要求实部和虚部的导数都存在且满足柯西-黎曼条件。
如果f(z)在某一区域内满足柯西-黎曼条件，并且其实部和虚部都是连续可微的，那么f(z)是该区域内的全纯函数。
复变函数的积分同样是复变函数研究的重要内容。
对于一条曲线上的复变函数f(z)来说，可以通过求取沿曲线的积分来描述曲线上的运动。
这种类型的积分称为曲线积分，可以通过参数化来计算。
此外，还有复变函数的级数展开、留数定理等重要概念和理论。
这些概念和理论为复变函数的分析提供了基础，使得我们可以更深入地研究复变函数的性质和行为。
总结起来，大学复变函数的基本概念包括复数、复平面、复函数、导数、积分等内容。
复变函数在数学及应用领域扮演着重要的角色，深入理解和掌握这些概念对于进一步的学习和研究都具有重要的意义。
通过学习复变函数的基本概念，我们可以更好地理解和应用复变函数的原理和方法，为解决实际问题提供有力的数学工具。
复数与复平面ppt课件
来表 . 示 y zxiy
y
P(x,y)
z r
o
x
x
复数的模(或绝对值): 向量的长 z的 度模 称或 为,绝对值
记z为 rx2y2.
.
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模的性质
x z, y z, zxy, zzz2z2. 三角不等式 (1 )z1 z2z1 z2;(2 )z1 z2z1z2. 复数的辐角:
在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
.
5
复变函数起源简介
在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元 n 次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中a_0、a_1、⋯a_n 都是 复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数 学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁 的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而在 复数域内我们就可以定义负数的对数。
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角 记作Azrg. 当 z0时 , z0,而辐角 . 不
任何一 z0有 个无 复穷 数 . 多个辐
如果 1是其中一个 , 那 辐么 z角 的全部辐角
Ar zg12kπ(k为任意 ). 整数
.
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辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0
.
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复变函数已成为我校的精品课程，其网址是：
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第一章 复数与复平面 第二章 复变函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数
第五章 留数 第六章 保形映射
数学复变函数的基本概念
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
复数与复平面
• z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
• z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
x22 y22 (z2 0)
复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。
复变函数的起源
4、瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，√-1，√-2的数学式 子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这 类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么， 更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
复变函数的起源
5、法国数学家达朗贝尔在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚 数进行运算，那么它的结果总是a+ib的形式（a、b都是实数。 6、法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣 莫佛定理。
复变函数的起源
1、16世纪意大利米兰学者Cardan在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公 布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方 根写到公式中的数学家。
复变函数的起源
2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》（1637年发表） 中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。
1. 点的表示
z x iy 复平面上的点P( x，y)
易见，z x iy 一对实数( x, y),
在平面上取定直角坐标系， 点P 一对实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y)
复变函数的概念
复变函数的概念复变函数的概念复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数。
与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质和应用。
一、复数及其运算要理解复变函数的概念，首先需要了解复数及其运算。
一个复数可以表示为z=x+yi，其中x和y分别表示实部和虚部。
虚数单位i满足i²=-1。
在复数中，我们可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中加法和减法与实数类似，乘法和除法则需要注意公式的推导。
二、复平面及其坐标表示为了更方便地描述和分析复变函数，在平面直角坐标系中引入了一个新的坐标轴——虚轴，并将实轴称为实部轴，虚轴称为虚部轴。
这样就构成了一个二维平面——复平面。
在复平面中，每个点都可以表示为z=x+yi的形式。
这样我们就可以通过坐标来描述每个点，并将其映射到另一个点。
三、复变函数的定义与实变函数类似，对于给定的自变量z∈C（即z是一个复数），如果存在唯一确定的因变量w∈C（即w也是一个复数），则称w是z的函数值，记作f(z)。
四、复变函数的性质与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质。
以下是一些常见的复变函数性质：1. 解析性：如果一个函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共形性：如果一个函数在某个区域内保持角度不变，则称该函数在该区域内共形。
3. 周期性：如果存在一个非零复数c，使得对于所有z∈C，有f(z+c)=f(z)，则称f(z)为周期函数。
4. 解析延拓：如果一个解析函数可以通过某种方式扩展到整个复平面上，则称该解析函数具有解析延拓性质。
五、复变函数的应用由于复变函数具有丰富的性质和应用，因此在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 电路分析：利用复变函数可以方便地描述电路中电流和电压等物理量之间的关系。
2. 流体力学：利用共形映射可以将流体力学问题转化为更简单的几何问题。
3. 计算机图形学：利用复变函数可以方便地描述图形的旋转、缩放等变换。
《复变函数》第一章 复数与复变函数
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
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• 数学从产生、有发展到现在, 已成为分支众 多的学科了, 复变函数是其中一个非常重要 的分支。以复数作为自变量的函数就叫做 复变函数, 而与之相关的理论就是复变函数 论。解析函数是复变函数中一类具有解析 性质的函数, 复变函数论主要就研究复数域 上的解析函数, 因此通常也称复变函数论为 解析函数论, 简称函数论。
面向量对应起来解决实际问题的缘故。
• 复变函数论产生于十八世纪。1774 年, 欧 拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的 积分导出的两个方程。而比他更早时, 法国 数学家达
朗贝尔在他的关于流体力学的论文中, 就已 经得到了它们。因此, 后来人们提到这两个 方程, 把它们叫做“达朗贝尔- 欧拉方程”。
• 我们知道, 在解实系数一元二次方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)时,如果判别式b^24ac<0, 就会遇到负数开平方的问题, 最简 单的一个例子是在解方程x^2+1=0 时, 就 会遇到开平方的问题。
复变函数起源简介
• 十六世纪中叶, 意大利卡尔丹( Cardan,1545) 在 解三次方程时, 首先产生了负数开平方的思想, 他 把50 看作5+5i 与5-5i 的乘积, 然而这只不过是一 种纯形式的表示而已, 当时, 谁也说不上这样表示 究竟有什么好处。
复变函数起源简介
• 到了十九世纪, 上述两个方程在柯西和黎曼 研究流体力学时,作了更详细的研究, 所以这 两个方程也被叫做“柯西- 黎曼条件”。关 于复数理论最系统的叙述, 是由瑞士数学家 欧拉( Euler) 作出的。他在1777 年系统地 建立了复数理论, 发现了复指数函数和三角 函数之间的关系, 创立了复变函数论的一些 基本定理, 并开始把它们用到水力学和地图 制图学上, 用符号“i”作为虚数的单位, 也 是他首创的。此后, 复数才被人们广泛承认 和使用。
复变函数起源简介
• 在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元n 次方程a_0x^n+a_1x^{n1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中 a_0、a_1、⋯a_n 都是复数, 在复数域内恒 有解。这就是著名的代数学基本定理, 它用 复变函数来解决是非常简洁的。又如, 在实 数域内负数的对数无意义, 而在复数域内我 们就可以定义负数的对数。
复变函数起源简介
• 复变函数论的全面发展是在十九世纪, 就像微积分的直接扩 展统治了十八世纪的数学那样, 复变函数这个新的分支统治 了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰 饶的数学分支, 并且称为这个世纪的数学享受, 也有人称赞 它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪, 复变函数 的理论经过法国数学家柯西( Cauchy) 、德国数学家黎曼 ( Riemann) 和维尔斯特拉斯( Weierstrass)的巨大努力, 已 经形成了非常系统的理论, 并深刻地渗入到代数学、解析数 论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支; 同时,它在 热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。
• 复变函数已成为我校的精品课程，其网址 是：
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第一章 复数与复平面 第二章 复变函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保形映射
复变函数起源简介
• 二十世纪以来, 复变函数已经被广泛应用到 理论物理、弹性理论和天体力学等方面, 与 数学中其它分支的联系也日益密切。致使 经典的复 变函数理论, 如整函数与亚纯函数理论、解 析函数的边值问题等有了新的发展和应用。 并且, 还开辟了一些新的分支, 如复变函数 逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多 复变函数论、广义解析函数论以及拟保形 变换等。另外, 在种种抽象空间的理论中, 复变函数还常常为我们提供新思想的模型。
复变函数起源简介
• 为复变函数论的创建做了最早期工作的是 欧拉、达朗贝尔, 法国的拉普拉斯也随后研 究过复变函数的积分, 他们都是创建这门学 科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的 要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特 拉斯。二十世纪初, 复变函数论又有了很大 的进展, 维尔斯特拉斯的 作了大量的研究工作, 开拓了复变函数论更 广阔的研究领域, 为这门学科的发展做出了 贡献。
复变函数起源简介
• 从20世纪30年代开始，以华罗庚、熊庆来、庄圻 泰、李国平、余家荣、杨乐与张广厚为代表的我国数 学家在单复变和多复变函数方面，做过许多重要的工 作。在20世纪40年代、50年代，我国著名的数学家 华罗庚在多复变数典型域上的调和分析方面，作过许 多工作，其工作在调和分析、复分析、微分方程等的 研究中，有着广泛的影响。在70年代，我国著名的数 学家杨乐、张广厚在单复变函数的值的分布和渐近值 理论中，得到了首创性的重要成果。从80年代开始， 我国的数学工作者在数学的各个领域中开展了富有成 效的研究工作，这些都受到国际数学界的高度重视。
复变函数起源简介
• 从柯西算起, 复变函数论已有170 多年的历 史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成 为数学的一个重要组成部分。它曾经推动 过一些学科 的发展, 并且常常作为一个有力的工具被应 用在实际问题中。现在, 复变函数论中仍然 有不少尚待研究的课题, 所以它将继续向前 发展, 并将取得更多应用。
• 为了使负数开平方有意义, 也就是要使上述这类方 程有解, 我们需要再一次扩大数系, 于是就引进了 虚数, 使实数域扩大到复数域。但最初, 由于对复 数的有关概念及性质了解不清楚, 用它们进行计算 又得到一些矛盾, 因而, 长期以来, 人们把复数看作 不能接受的“虚数”。
复变函数起源简介
• 直到十七世纪和十八世纪, 随着微积分的发 明与发展, 情况才逐渐有了改变。另外的原 因, 是这个时期复数有了几何的解释, 并把 它与平