2019-2020学年广东省中山市九年级上期末数学试卷含答案解析
2019-2020学年广东省中山市九年级上期末数学试卷含答案解析-学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列四个图形中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 3．下列事件是必然事件的是（）A．地球绕着太阳转B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨D．打开电视，正在播放新闻4．⊙O的半径为7cm，点P到圆心O的距离OP=10cm，则点P与圆O的位置关系为（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．无法确定5．反比例函数y=﹣的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限6．若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≤4 C．a＜1 D．a≥17．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（）A．3 B．6 C．7 D．148．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为2，则六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．2C．4 D．10．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数的对称轴是直线x=1B．当x＜2时，y随x的增大而减小C．函数的开口方向向上D．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．从分别标有数﹣5，﹣2，﹣1，0，1，3，4的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是．12．如果将抛物线y=2x2+5x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的解析式为．13．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是．14．如图，在△ABC中，∠CAB=62°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为．15．如图，直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为．16．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是．（结果保留π）三、解答题（共9小题，满分66分）17．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知，CD=8，AE=2，求⊙O的半径．19．如图，二次函数y=﹣x2+2x+8图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0）．（1）求此二次函数的顶点坐标；（2）根据函数的图象，直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围．20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．21．如图，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′．（1）画出△AB′C′；（2）写出点A，B关于原点O的对称点A″，B″的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．22．如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．23．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？24．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的⊙O与AE交于点F．（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；（2）求证：CF与⊙O相切；（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．25．如图，已知一次函数y=﹣x+2的图象分别交x轴，y轴于B点、A点，抛物线y=ax2+x+c的图象经过A、B两点，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x 轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）若G为线段DE上一点，F为线段DG的中点，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与y轴相切时，求点D的坐标；（3）设点D的横坐标为m，以A，B，D为顶点的三角形面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．-学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列四个图形中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】由中心对称图形的定义，即可求得答案．【解答】解：中心对称图形的有：；轴对称图形的有：．故选C．【点评】此题考查了中心对称图形的定义．注意理解中心对称图形的定义是关键．2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．3．下列事件是必然事件的是（）A．地球绕着太阳转B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨D．打开电视，正在播放新闻【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．⊙O的半径为7cm，点P到圆心O的距离OP=10cm，则点P与圆O的位置关系为（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．无法确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r 时，点在圆内．【解答】解：PO＞r=5，P在圆外．故选：C．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5．反比例函数y=﹣的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数图象的性质，k=﹣5，反比例函数图象位于第二、四象限进行解答．【解答】解：∵k=﹣5＜0，∴反比例函数图象位于第二、四象限．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．6．若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≤4 C．a＜1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】首先得出根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，进一步求得不等式的解集得出答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，∴△≥0，即△=4﹣4a≥0，∴a≤1．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（）A．3 B．6 C．7 D．14【考点】利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x=6，故选B【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理直接来求∠B的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠AOC=80°，∴∠B=∠AOC=40°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为2，则六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．2C．4 D．【考点】正多边形和圆．【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出BC=OB=2，由垂径定理求出BM，再由勾股定理求出OM即可．【解答】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM⊥BC，∴BM=CM=BC=1，∴OM==，故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．10．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数的对称轴是直线x=1B．当x＜2时，y随x的增大而减小C．函数的开口方向向上D．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】利用二次函数的解析式与图象，判定开口方向，求得对称轴，与y轴的交点坐标，进一步利用二次函数的性质判定增减性即可．【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x=1，又∵a=1＞0，开口向上，∴x＜1时，y随x的增大而减小，令x=0，得出y=﹣3，∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）．因此错误的是B．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．从分别标有数﹣5，﹣2，﹣1，0，1，3，4的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是．【考点】概率公式．【分析】首先得出负数的绝对值，再利用概率公式求出答案．【解答】解：∵|﹣5|=5，|﹣2|=2，|﹣1|=1，0，1，3，4，∴在七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的有3种情况，故所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练应用概率公式是解题关键．12．如果将抛物线y=2x2+5x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的解析式为y=2x2+5x+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】设平移后的抛物线解析式为y=2x2+5x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=2x 2+5x ﹣1+b ， 把A （0，3）代入，得3=﹣1+b ，解得b=4，则该函数解析式为y=2x 2+5x+3． 故答案是：y=2x 2+5x+3．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点． 13．已知方程x 2+mx ﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ﹣3 ．【考点】根与系数的关系．【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．【解答】解：设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系可得：x 11=﹣3，解得x 1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．14．如图，在△ABC 中，∠CAB=62°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为 56° ．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先根据平行线的性质得∠ACC ′=∠CAB=62°，再根据旋转的性质得∠CAC ′等于旋转角，AC=AC ′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC ′=∠AC ′C=62°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC ′的度数，从而得到旋转角的度数．【解答】解：∵CC ′∥AB ，∴∠ACC ′=∠CAB=62°∵△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置， ∴∠CAC ′等于旋转角，AC=AC ′，∴∠ACC ′=∠AC ′C=62°，∴∠CAC ′=180°﹣∠ACC ′﹣∠AC ′C=180°﹣2×62°=56°， ∴旋转角为56°．故答案为56°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．15．如图，直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为12．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由直线求得C的坐标，然后根据S△AOB：S△BOC=1：2，得出A的纵坐标为2，代入直线解析式求得A的坐标，代入y=即可求得k的值．【解答】解：由直线y=x﹣4可知C（0，﹣4），∴OC=4，∵S△AOB：S△BOC=1：2，∴A的纵坐标为2，把y=2代入y=x﹣4得，x=6，∴A（6，2），∴k=6×2=12；故答案为12．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法确定函数的解析式，根据题意求得A的坐标是解题的关键．16．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是4π﹣4．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算．【分析】根据BC为直径可知∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∴AB==4，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，∵CD垂直平分AB，CD=BD=2，∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×42﹣×（2）2=4π﹣4．故答案为：4π﹣4．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．三、解答题（共9小题，满分66分）17．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题．【解答】解：∵2x2﹣4x﹣3=0，∴，∴，∴x﹣1=±，∴．【点评】该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题；准确配方是解题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知，CD=8，AE=2，求⊙O的半径．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE的长和∠OEC的度数，设OC=OA=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=4，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=x﹣2，根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即42+（x﹣2）2=x2，解得x=5，所以⊙O的半径为5．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．19．如图，二次函数y=﹣x2+2x+8图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0）．（1）求此二次函数的顶点坐标；（2）根据函数的图象，直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可求出其顶点坐标；（2）当y＞0时，即抛物线在x轴的上方的部分，写出对应的x的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2﹣9，∴顶点坐标为（1，﹣9）；（2）由函数图象可知当y＞0时，即抛物线在x轴的上方的部分，此时对应自变量x的取值范围是﹣2＜x＜4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点的问题以及借组与函数的图形求自变量取值范围，能够结合函数图象正确的判定自变量的取值范围是解题关键．20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．如图，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′．（1）画出△AB′C′；（2）写出点A，B关于原点O的对称点A″，B″的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．【考点】作图-旋转变换．【专题】计算题．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B′、C′即可得到，△AB′C′；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用弧长公式计算．【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；（2）点A″的坐标为（1，﹣5）；点B″的坐标为（4，﹣1）；（3）点C经过的路径==2π．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长的计算．22．如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+5，即可得出a，再把点A坐标代反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；（2）作点B作关于y轴的对称点D，连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令x=0，即可得出点P坐标．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+5，得a=﹣1+5，解得a=4，∴A（1，4），点A（1，4）代入反比例函数y=，得k=4，∴反比例函数的表达式y=，两个函数解析式联立列方程组得，解得或∴点B坐标（4，1）；（2）作点B作关于y轴的对称点D（﹣4，1），连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=，n=，∴直线AD的解析式为y=x+，令x=0，得y=，∴点P坐标（0，）．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题以及轴对称﹣最短路线问题，利用了待定系数法求解析式，两点之间线段最短的性质．23．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）销售定价为每件x元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可．【解答】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2=81，解得：x1=0.1，x2=1.9，经检验x2=1.9不符合题意，∴x=0.1=10%，答：每次降价百分率为10%；（2）设销售定价为每件x元，每月利润为y元，则y=（x﹣60）[100+5×（100﹣x）]=﹣5（x﹣90）2+4500，∵a=﹣5＜0，∴当x=90元时，w最大为4500元．答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．24．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的⊙O与AE交于点F．（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；（2）求证：CF与⊙O相切；（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，由E为BC边中点，AO=DO，得到AO=AD，EC=BC，等量代换得到AO=EC，AO∥EC，即可得到结论；（2）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；（3）如图，连接DE，由AD是直径，得到∠AFD=90°，根据点F为AE的中点，得到DF 为AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=AD，推出△ABE≌△DCE，根据全等三角形的性质得到AE=DE，推出三角形ADE为等边三角形，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，∵E为BC边中点，AO=DO，∴AO=AD，EC=BC，∴AO=EC，AO∥EC，∴四边形OAEC是平行四边形；（2）如图1，连接OF，∵四边形OAEC是平行四边形∴AE∥OC，∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∴∠DOC=∠FOC，在△ODC与△OFC中，，∴△ODC≌△OFC（SAS），∴∠OFC=∠ODC=90°，∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切；（3）如图2，连接DE，∵AD是直径，∴∠AFD=90°，∵点F为AE的中点，∴DF为AE的垂直平分线，∴DE=AD，在△ABE与R△DCE中，，∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE，∴AE=DE=AD，∴三角形ADE为等边三角形，∴∠DAF=60°，∴∠ADF=30°．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键．25．如图，已知一次函数y=﹣x+2的图象分别交x轴，y轴于B点、A点，抛物线y=ax2+x+c的图象经过A、B两点，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x 轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）若G为线段DE上一点，F为线段DG的中点，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与y轴相切时，求点D的坐标；（3）设点D的横坐标为m，以A，B，D为顶点的三角形面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴上的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DF的长，根据线段中点的性质，可得DG的长根据圆与y轴相切，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，可得D点坐标；（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=4．所以A（0，2），B（4，0）．把A（0，2），B（4，0）代入y=ax2+x+c中，得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2；（2）设F点的坐标为（x，﹣ x+2），则D点的坐标为（x，﹣ x2+x+2），∴DF=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+x∵G点与D点关于F点对称，∴GD=2FD=2（﹣x2+x）=﹣x2+2x．若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与y轴相切，即﹣x2+2x=x，解得：x=2，x=0（舍去）．综上所述：D点的坐标为（2，2）；（3）如图，，连接DA，AB，DO，∵点D的坐标为（m，﹣ m2+m+2）∴S△ABD=S△AOD+S△DOB﹣S AOB=×2m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4=﹣m2+2m=﹣（m﹣2）2+2当m=2时，S有最大值2．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于x的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．21 / 21。
二次函数背景下的特殊四边形存在性判定(解析版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定【方法综述】知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。
它们的判定方法如下：平行四边形的判定方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；矩形判的定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是矩形正方形的判定方法平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性解答时常用的技巧：（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。
如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得a+m=c+e，n+b=d+f则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。
（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。
（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。
【典例示范】类型一平行四边形的存在性探究例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．【答案】（1）y＝12x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋2－，（－2－2＋，（－4，4）.【思路引导】（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用抛物线的解析式表示出点M 的纵坐标，从而得到点M 到x 轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P 、Q 的坐标，然后求出PQ 的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x 的一元二次方程即可得解．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x -2），把B （0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=12， ∴抛物线的解析式为：y=12（x+4）（x -2），即y=12x 2+x -4； （2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为（m ，n ）， 则AD=m+4，MD=-n ，n=12m 2+m -4， ∴S=S △AMD +S 梯形DMBO -S △ABO =111(4)()(4)()44222m n n m +-+-+--⨯⨯= -2n -2m -8=-2×（12m 2+m -4）-2m -8=-m 2-4m =-（m+2）2+4（-4＜m ＜0）；∴S 最大值=4．（3）设P （x ，12x 2+x -4）． ①如图1，当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x -（12x 2+x -4）|=4，解得x=0，-4，-x=0不合题意，舍去．由此可得Q （-4，4）或（-2--2-；②如图2，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．故满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-，2-，（-2-．【方法总结】本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.针对训练1．如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E 的坐标．【答案】（1）（2）S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）【解析】 （1）∵A （﹣4，0）在二次函数y=ax 2﹣x+2（a≠0）的图象上， ∴0=16a+6+2，解得a=﹣， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣x 2﹣x+2； ∴点C 的坐标为（0，2），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则， 232(0)2y ax x a =-+≠122y x =+32--32-3212123204{2k b b=-+=解得，∴直线AC 的函数解析式为：；（2）∵点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D （m ，﹣m 2﹣m+2），过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则DH=﹣m 2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m ，∵四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，∴S=（m+4）×（﹣m 2﹣m+2）+（﹣m 2﹣m+2+2）×（﹣m ），化简，得S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）；（3）①若AC 为平行四边形的一边，则C 、E 到AF 的距离相等，∴|y E |=|y C |=2，∴y E =±2．当y E =2时，解方程﹣x 2﹣x+2=2得，x 1=0，x 2=﹣3，∴点E 的坐标为（﹣3，2）；当y E =﹣2时，解方程﹣x 2﹣x+2=﹣2得，x 1=，x 2=，∴点E 的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC 为平行四边形的一条对角线，则CE ∥AF ，∴y E =y C =2，∴点E 的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E 的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．1{22k b ==122y x =+123212321212321212321232123232-32-+32-32-32--32-+2．（云南省弥勒市2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线y =x 2−2x −3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2.（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F 点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）A(−1,0)，B(3,0)，y =−x −1。
广东中山部分学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题(解析版)
2023−2024学年广东省中山市部分学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四组线段，能构成直角三角形的是（ ）A. 1，1，2B. 2C. 5，6，7D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据定理逐一判断即可.【详解】解：2221122,+=≠ 故A 不符合题意； 22227,+=≠ 故B 不符合题意； 22256617,+=≠ 故C 不符合题意；2226810010,+ 故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键.2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：A =，故原数不是最简二次根式，不合题意；B =C =，故原数不是最简二次根式，不合题意；D ，是最简二次根式，符号题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键．3. 下列计算正确的是（ ）A.B. 1−=C.D. 8= 【答案】C【解析】【详解】分析：根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断．详解：A不能合并，所以A 选项错误；B 、原式B 选项错误；C 、原式，所以C 选项错误；D 、原式=D 选正确．故选C ．点睛：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4. 下列图像中，不能表示y 是x ）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念，对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，判断即可．【详解】解：A 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故A 不符合题意；B 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故B 不符合题意；C 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故C 不符合题意；D 、对于自变量x 的每一个值，y 不是有唯一的值和它对应，所以不能表示y 是x 的函数，故D 符合题意；故选：D ．.【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．5. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 为AD 边中点，连接BE ，CE ，则∠BEC ＝（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 100°【答案】C【解析】 【分析】根据矩形的性质可得90A D ∠=∠=°，根据题意AD ＝2AB ，E 为AD 边中点，可得,ABE DEC △△是等腰直角三角形，进而求得BEC ∠．【详解】 四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=°,AB CD =，AD ＝2AB ，E 为AD 边中点，,AB AE CD DE ∴==，∴,ABE DEC △△是等腰直角三角形，45AEB DEC ∴∠=∠=°18090BEC AEB DEC ∴∠=°−∠−∠=°．故选C【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，证明,ABE DEC △△是等腰直角三角形是解题的关键．6. 将一元二次方程2850x x −−=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A. 4−，21B. 4−，11C. 4，21D. 8−，69【答案】A【解析】 分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：2850x x −−=移项得285x x −=，配方得2284516x x −+=+，【x−=，即()2421∴a=-4，b=21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7. 在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 110°【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．【详解】解：画出图形如下所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°又∵∠A−∠B＝40°，∴∠A＝110°，∠B＝70°，∴∠D＝∠B＝70°．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，难度一般．8. 的值应在（）A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式的乘法运算化简，再估算无理数的大小．++2<<34∴526<<故选C【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数大小的估算，先根据二次根式的乘法法则化简是解题的关键．9. 若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（）A. a＞0B. b＜0C. a+b＞0D. a﹣b＜0【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的图象和性质得出a＜0，b＞0，再逐个判断即可．【详解】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．10. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（）A. 1.5cmB. 2.5cmC. 3.5cmD. 0.5cm【答案】A【解析】 【分析】首先证明四边形AECF 是平行四边形，推出AF ＝CE ，想办法求出CE 即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ＝CE ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ＝3.5cm ，∴EC ＝BC −B E ＝5−3.5＝1.5（cm ∴AF =1.5cm故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，共15分）11. 把直线3y x =的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为_________．【答案】32y x =+##23y x =+ 【解析】【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：把直线y =3x 的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为y =3x +2．故答案为：y =3x +2．【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．12. 甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差为0.06，哪个样本的数据波动大？答：________．【答案】甲的波动比乙的波动大．【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，故可得到正确答案．【详解】解：根据方差的意义，甲样本的方差大于乙样本的方差，故甲的波动比乙的波动大．故答案：甲的波动比乙的波动大．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13. 已知点1(2,)y −，2(8,)y 均在一次函数3y x m =+的图象上，则1y __2y （填“>”“ <”或“=” )．【答案】<【解析】【分析】由30k =>，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，结合28−<，即可得出12y y <．【详解】解：30k => ，y ∴随x 的增大而增大．点1(2,)y −，2(8,)y 均在一次函数3y x m =+的图象上，且28−<，12y y ∴<．故答案为：<．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．14. 如图，一架梯子AB 长10米，底端离墙的距离BC 为6米，当梯子下滑到DE 时，2AD =米，则BE =______米．【答案】2【解析】【分析】在Rt ABC 中，根据勾股定理得出AC ，进而得出DC ，利用勾股定理得出CE ，进而解答即可．【详解】解：在Rt ABC 中，根据勾股定理，可得：AC 8=（米）， 826DC AC AD ∴=−=−=（米），在Rt DCE 中，8CE =（米）， 862BE CE BC ∴=−=−=（米）， 故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE15. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A （1，2），B （0，1）两点，与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为____．【答案】1【解析】【分析】根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式，代入y ＝0求出与之对应的x 值，进而可得出点C 的坐标及OC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC 的面积．详解】解：将A （1，2），B （0，1）代入y ＝kx ＋b ，得：21k b b += = ， 【解得：11k b = =， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1．当y ＝0时，x ＋1＝0，解得：x ＝−1，∴点C 的坐标为（−1，0），OC ＝1，∴S △AOC ＝12OC •y A ＝12×1×2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的解析式是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：2220x x +−=（2(21．【答案】（1）1211x x =−+=−−（2）4−． 【解析】【分析】（1）用公式法解方程即可．（2）先化简二次根式和除法，利用完全平方公式展开，再算二次根式的减法和加法，即可求解．【详解】解：（1）2220x x +−=∴1a =，2b =，2c =−，∴()2242412120b ac −=−××−=>， ∴原方程有两个不相等的实数根，∴1x =−±，解得，1211x x =−+=−（22(113=+−4=．【点睛】本题考查解一元二次方程和二次根式的运算，选择适当的方法解方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质，计算含有二次根式的完全平方公式，是解决本题的关键．17. 已知一次函数的图象经过点A（﹣4，9）与点B（6，3），求这个一次函数的解析式．【答案】33355 y x=−+【解析】【分析】设函数解析式为y=kx+b，把经过的两个点的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解．【详解】解：设函数解析式为y kx b=+，一次函数的图象经过点(4,9)−和点(6,3)，∴49 63k bk b−+=+=，解得35335kb=−=，所以，这个函数的解析式为33355y x=−+．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．18. 某药店有2500枚口罩准备出售．从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中m的值为______．（2）统计的这组数据的平均数为______，众数为______，中位数为______．（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有______枚．【答案】（1）28 （2）1.52，1.8，1.5（3）200【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出%m 的值，从而可以得到m 的值；（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解；（3）利用样本估计总体思想求解．【小问1详解】解：%110%22%32%8%28%m =−−−−=，即m 的值是28，故答案为：28；【小问2详解】解：平均数是：1.010% 1.222% 1.528% 1.832% 2.08% 1.52×+×+×+×+×=（元）， 单价为1.8元的数量最多，则众数为：1.8元；随机抽取了口罩的总数为510%50÷=（枚）， 则中位数是第25枚和第26枚的平均数，即：1.5 1.5 1.52+=（元）， 故答案为：1.52，1.8，1.5；【小问3详解】解：估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有：25008%200×=（枚）， 故答案为：200．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键19. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，连接DE ，EF ． （1）若∠B ＝40°，∠C ＝55°，求∠DEF 的度数；（2）若AD ＝6，BD ＝8，CD ＝4，求△DEF 的周长．【答案】（1）15°；（2）7+ 【解析】【分析】（1）根据已知条件可得EF //AB ，ED EC =，进而求得,EDC EFD ∠∠，根据三角形外角性质即可求得DEF ∠的度数；（2）根据勾股定理求得AB ，AC ，进而根据中位线的性质可求得12EF AB =，根据FD FC DC =−即可求得DF ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得DE ，进而即可求得△DEF 的周长．【详解】（1） E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，//EF AB ∴40EFD B ∴∠=∠=°AD ⊥BC∴ED EC =55EDC C ∴∠=∠=°554015DEF EDC EFD ∴∠=∠−∠=°−°=°（2） AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝8，CD ＝4，10,AB AC ∴==E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，115,22EF AB ED AC ∴==== 11()222FD FC DC BC DC BD DC DC =−=−=+−= ∴△DEF的周长为257DF DE ++=++=+【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的中位线定理，掌握以上知识是解题的关键．20. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？【答案】所围矩形猪舍长为10m 、宽为8m 时，猪舍面积为80m 2【解析】【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，可以得出平行于墙的一边的长为(2521)x −+m ，由题意得出方程(2521)80x x −+=求出边长的值．的【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m ，可以得出平行于墙的 一边的长为(2521)x −+m ，由题意得 (2521)80x x −+=， 化简，得213400x x −+=，解得：125,8x x ==， 当5x =时，2521252511612x −+−×+>（舍去）， 当8x =时，2521252811012x −+−×+<，答：所围矩形猪舍的长为10m 、宽为8m ．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．21. 已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k −++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=−成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤−；（2）k =【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=−，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴2(2)4(2)0k ∆=−−+解得1k ≤−；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=−，∴1212222x x k x x k +==−+ 即(2)(2)2k k +−=，解得k =． 又由（1）知：1k ≤−，∴k =．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=−，找出关于k 的方程． 22. 如图，在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是每秒1个单位，连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为t 秒（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当6t =时，判断四边形AQCP 的形状，并说明理由；【答案】（1）8t =；（2）当6t =时，四边形AQCP 为菱形,理由见解析．【解析】【分析】（1）由矩形性质得出16BC AD ==，8AB CD ==，由已知可得，BQDP t ==，16AP CQ t ==−，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，得出方程，解方程即可；（2）6t =时，BQ 6=，6DP =，得出16610CQ =−=，16610AP =−=，AP CQ =，//AP CQ ，四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，与勾股定理求出10AQ，得出AQ CQ =，即可得出结论．【详解】解：（1） 在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，16BC AD ∴==，8AB CD ==， 由已知可得，BQDP t ==，16AP CQ t ==−， 在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=−，解得：8t =，∴当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）四边形AQCP 为菱形；理由如下：6t = ，6BQ ∴=，6DP =，16610CQ ∴=−=，16610AP =−=，AP CQ ∴=，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，10AQ ，AQ CQ ∴=，∴平行四边形AQCP 为菱形，∴当6t =时，四边形AQCP 为菱形；【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定等知识；熟练掌握判定与性质是解题的关键．23. 如图，在平面直角坐标系中，直线15l y x =−+：与y 轴交于点A ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点()40B −，和点C ，且与直线1l 交于点()2D m ，．（1）求直线2l 的解析式；（2）若点E 为线段BC 上一个动点，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ，且与直线1l 交于点G ，当6EG =时，求点G 的坐标；（3）若在平面上存在点H ，使得以点A C D H ，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H 的坐标．【答案】（1）122y x =+ （2）()27G −，（3）()20，或()26，或()24−， 【解析】【分析】（1）先利用已知函数求出点D 的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）利用两条直线的解析式表示出G E ，两点的坐标，进而得出线段GE 的长，列出方程即可解答； （3）分四边形AHCD 为平行四边形、四边形AHDC 为平行四边形、四边形ADHC 为平行四边形，三种情形解答，先求得经过点H 的解析式，再联立，解方程组即可求解．【小问1详解】解： 当2x =时，253y m =−+==， ∴()23D ，．设直线2l 的解析式为=y kx b +，由题意得：2340k b k b += −+=， 解得：122k b = = ．∴直线2l 解析式为122y x +=． 【小问2详解】解：EF x ⊥ 轴， G E ∴，的横坐标相同．设()5G n n −+，，则122E n n +，． E 为线段BC 上一个动点， 5>0n ∴−+，122>0n +， 5FG n ∴=−+，122FE n =+． 的3362EG FG FE n ∴−−+===． 解得：=2n −．()27G ∴−，． 【小问3详解】解：如下图，当四边形AHCD 为平行四边形时，令0x =，则10222y =×+=，()02C ∴，．CH AD ∥ ，∴直线CH 的解析式为：2y x =−+．令=0x ，则1055y =−×+=，()05A ∴，．AH CD ∥ ，∴直线AH 的解析式为：152y x =+．∴2152y x y x =−+ =+ ．解得：24x y =− = ． ()24H ∴−，．如下图，当四边形AHDC 为平行四边形时，DH AC ∥ ，∴直线DH 的解析式为2x =，AH DC ∥ ，∴直线AH 的解析式为152y x =+， ∴当=2x 时，12562y =×+=， ()26H ∴，． 当四边形ADHC 为平行四边形时，如下图，DH AC ∥ ，∴直线DH 的解析式为2x =，CH AD ∥ ，∴直线CH 的解析式为：2y x =−+， 当2x =时，220y =−+=， ()20H ∴，．综上，存在点H ，使得以点A C D H ，，，为顶点的四边形是平行四边形，点H 的坐标为：()20，或()26，或()24−，．【点睛】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．。
2019-2020学年福建泉州南安九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列实数中，介于与之间的是（）A．B．C．D．π2．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a23．（4分）为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（）市文旅局获悉，A．1.7118×102B．0.17118×107C．1.7118×106D．171.18×104．（4分）图①是由五个完全相同的小正方体组成的立方体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．主视图、俯视图和左视图都改变5．（4分）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个6．（4分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．（4分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．45°B．60°C．72°D．90°8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴正半轴上，点A与原点重合，点D的坐标是（3，4），反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值为（）A．12B．15C．20D．329．（4分）完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m10．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：|﹣3|﹣sin30°＝．12．（4分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是．13．（4分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．14．（4分）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．15．（4分）等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是．16．（4分）动点A（m+2，3m+4）在直线l上，点B（b，0）在x轴上，如果以B为圆心，半径为1的圆与直线l 有交点，则b的取值范围是．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：18．（8分）如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．20．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？21．（8分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别家庭藏书m本学生人数A0≤m≤2520B26≤m≤50aC51≤m≤7550D m≥7666根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为，a＝；（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．22．（10分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．24．（12分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，②求BC：AC：AB的值．（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．25．（14分）已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S 取得最大值时点P的坐标．2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵＜＜＜＜π＜，∴介于与之间的是．故选：A．2．【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a＝3a，正确；C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×106．故选：C．4．【解答】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；②的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；故选：A．5．【解答】解：设袋子中有红球x个，根据题意得＝0.6，解得x＝4．经检验x＝4是原方程的解．答：袋子中有红球有4个．故选：A．6．【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．7．【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝，故选：B．8．【解答】解：如图，分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为M，N，∵点D的坐标是（3，4），∴OM＝3，DM＝4，在Rt△OMD中，OD＝＝5，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），∴BN＝OM＝3，∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，又∵CN＝4，∴C（8，4），将C（8，4）代入y＝，得，k＝8×4＝32，故选：D．9．【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b（a＞b），则a+3b＝n，阴影部分的周长为2n+2（m﹣a）+2（m﹣3b）＝2n+2m﹣2a+2m﹣6b＝4m+2n﹣2n＝4m，故选：D．10．【解答】解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．【解答】解：原式＝3﹣＝．故答案为：．12．【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，所以这组数据的中位数为＝9，故答案为：9．13．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，故答案为：4．14．【解答】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．故答案为15°．15．【解答】解：∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴CD＝AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝CD＝2，故答案为：2．16．【解答】解：∵动点A（m+2，3m+4）在直线l上，∴直线l解析式为y＝3x﹣2如图，直线l与x轴交于点C（，0），交y轴于点A（0，﹣2）∴OA＝2，OC＝∴AC＝＝若以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切于点D，连接BD∴BD⊥AC∴sin∠BCD＝sin∠OCA＝∴∴BC＝∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时，B点坐标为（﹣，0）或（+，0）∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是故答案为：三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：由不等式①得：x＞4．由不等式②得：x＞2．不等式组的解集：x＞4．18．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF∴∠ACB＝∠EFD，∵BF＝CE∴BC＝EF，且∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AC＝DF19．【解答】解：原式＝÷＝•＝1﹣x，当x＝1﹣时，∴原式＝1﹣（1﹣）＝；20．【解答】解：设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．21．【解答】解：（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），故答案为200，64；（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，故答案为0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×＝660（人）．答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．22．【解答】解：（1）方程的解为x1＝c，x2＝，验证：当x＝c时，∵左边＝c+，右边＝c+，∴左边＝右边，∴x＝c是x+＝c+的解，同理可得：x＝是x+＝c+的解；（2）方程整理得：（x﹣3）+＝（a﹣3）+，解得：x﹣3＝a﹣3或x﹣3＝，即x＝a或x＝，经检验x＝a与x＝都为分式方程的解．23．【解答】解：如图所示：（1）作∠A的平分线交BC于点P，点P即为所求作的点．（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，∴AB与圆相切，∵∠ACB＝90°，∵AC与圆相切，∴AC＝AE，设BD＝x，BE＝y，则BC＝6+x，BP＝3+x，∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，∴△PEB∽△ACB∴＝＝∴＝＝解得x＝2，答：BD的长为2．24．【解答】解：（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，∵∠ACB＝90°，∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，在Rt△BCE中∠BCE＝90°，∴BC＝，在Rt△ABC中，AB＝，∴BC：AC：AB＝．（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，∵Rt△ACD是“匀称三角形”．由②知：AC：AD：CD＝：2：，设AC＝，则AD＝2a，CD＝a，如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴，∵＝，解得a＝2，a＝﹣2（舍去），∴，判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，∴tan，又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝，BH＝4﹣，∴tan B＝，即∠AMC≠∠B，这与∠AMC＝∠B相矛盾，∴假设不成立，∴CM不是△ACD的“匀称中线”．25．【解答】解：（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＝，设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），则CM＝＝，则AB＝2CM＝，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，解得：a＝，函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣；（3）过点E作EF⊥PH，设：∠ACB＝α，则∠ACB＝∠HPE＝∠DEF＝α，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣，设点P（h，h2﹣h﹣），则点D（h，h﹣），故tan∠ACB＝tanα＝，则sinα＝，y D﹣y E＝DE sinα＝PD sinα•sinα，S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（y D﹣y E）＝××（h﹣﹣h2+h+＝﹣h2+h﹣，∵﹣＜0，∴S有最大值，当h＝时，S的最大值为：，此时点P（，﹣）．。
2020年广东省中山市中考数学试卷-含详细解析
2020年广东省中山市中考数学试卷-含详细解析1.选择题1.答案：A。
2.答案：B。
3.答案：A。
4.答案：C。
5.答案：B。
6.答案：A。
7.答案：C。
8.答案：D。
9.答案：C。
10.答案：B。
2.填空题11.答案：x(x−1)。
12.答案：2.13.答案：1010.14.答案：−1.15.答案：60°。
3.改写后的文章2020年广东省中山市中考数学试卷一、选择题（共10小题，共30.0分）1.9的相反数是()A。
−9 B。
9 C。
1/9 D。
−1/92.一组数据2，4，3，5，2的中位数是()A。
5 B。
3.5 C。
3 D。
2.53.在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为()A。
(−3,2) B。
(−2,3) C。
(2,−3) D。
(3,−2)4.一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为()A。
4 B。
5 C。
6 D。
75.若式子√2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A。
x≠2 B。
x≥2 C。
x≤2 D。
x≠−26.已知△xxx的周长为16，点D，E，F分别为△xxx 三条边的中点，则△xxx的周长为()A。
8 B。
2√2 C。
16 D。
47.把函数x=(x−1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为()A。
x=x2+2 B。
x=(x−1)2+1 C。
x=(x−2)2+2 D。
x=(x−1)2−38.不等式组{2−3x≥−1.x−1≥−2(x+2)}的解集为()A。
无解 B。
x≤1 C。
x≥−1 D。
−1≤x≤19.如图，在正方形ABCD中，xx=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠xxx=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为()A。
1 B。
√2 C。
√3 D。
210.如图，抛物线x=xx2+xx+x的对称轴是x=1，下列结论：①xxx>0；②x2−4xx>0；③8x+x0。
2023-2024学年广东省中山市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．2563．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．85．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣47．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 210．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（ ） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√211．给定函数f(x)=2xx 2+1（）A ．f （x ）的图像关于原点对称B ．f （x ）的值域是[﹣1，1]C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数D ．f （x ）有三个零点12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（ ）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝ ．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝ ．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是 元． 16．（3分）已知函数f(x)=x +16x−10，x ∈(0，+∞)，则f （x ）的零点之和为 ；若方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值．（1）sinα−2cosα2sinα−cosα；（2）sin αcos α+2．18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}． （1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2． （1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若x＝0，y＝﹣1，满足x＞y，但x2＞y2不成立．若x＝﹣1，y＝0，满足x2＞y2，但x＞y不成立，∴“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分不必要条件．故选：D．2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．256解：√43⋅√2=413×212=(22)13×212=223+12=276．故选：A．3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则2∈A，2∈B，故A错，3∉A∩B，故B错，4∈A∩B，则C错误，5∉A∩B，故D正确，故选：D．4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．8解：f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，因为值域为[1，10]，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，令f（x）＝10，得x＝﹣1或x＝5，所以当n＝5，m＝﹣1时（n﹣m）max＝6．故选：B．5．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]解：根据题意，对于f（x）＝log2（x2﹣4x+3），设t＝x2﹣4x+3，则y＝log2t，必有t＝x2﹣4x+3＞0，解可得t＞3或t＜1，即函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），在区间（﹣∞，1）上，t＝x2﹣4x+3为减函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在区间（3，+∞）上，t＝x2﹣4x+3为增函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（3，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（3，+∞）．故选：C．6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣4解：因为f(x)=a1−e x−2是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即a1−e−x−2＝2−a1−e x，整理得，ae x﹣a＝4e x﹣4，即a＝4．故选：C．7．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）解：对于选项A：不妨令a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，此时a＞b＞c＞d，但ac＝﹣4＜﹣3＝bd，故选项A错误；对于选项B：因为c＞d，所以e c＞e d，不妨令a＝﹣e d，b＝﹣e c，此时a＞b，但ae c＝﹣e c+d＝﹣be d，故选项B错误；对于选项C：由a＞b＞c＞d，所以e a＞e b＞e c＞e d＞0，则e a•e c＞e b•e d，选项C正确；对于选项D：若a＞b，不妨令c＝2，d＝1，此时c＞d，而aln（c﹣d）＝0＝bln（c﹣d），故选项D错误．故选：C．8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6解：（1）由已知得12π＜2α＜2β＜π，所以14π＜α＜β＜12π①，15α＝2k π，k ∈N *②．15β＝2n π，n ∈N * ③，且k ＜n ， 结合①②③式得14π＜2k 15π＜2n 15π＜12π，k ，n ∈N *，且k ＜n ，解得k ＝2，n ＝3，解得α=415π，β=615π， 它们从点A 出发后第二次相遇时，用的时间为t 秒， 所以（α+β）t ＝2×2π，即(415π+615π)t =2×2π．解得t ＝6， 则黑蚂蚁爬过的距离为l =615π×6×1=125π(cm)． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 2解：对于A ，y ＝x ﹣1不是奇函数，不符合题意，对于B ，y ＝x |x |={x 2，x ≥0−x 2，x ＜0既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意，对于C ，y ＝x 3是幂函数，既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意， 对于D ，y ＝x 2，是二次函数，是偶函数，不符合题意， 故选：BC ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（ ） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√2解：正数x ，y 满足x +y ＝2， 可得A 中，由基本不等式可得√xy ≤x+y2=1，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以可得√xy 的最大值为1，A 正确；B 中，因为x 2+y 2≥(x+y)22=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x 2+y 2的最小值为2，所以B 不正确；C 中，因为2＝x +y ≥(√x+√y)22，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以√x +√y 的最大值为2，所以C 不正确；D 中，2x +1y =（2x +1y ）•12•（x +y ）=12（2+1+2y x +x y ）≥12（3+2√2y x ⋅x y ）=12（3+2√3）=√3+32，当且仅当2y x =xy，即x ＝4﹣2√2，y ＝2√2−2时取等号，所以D 正确．故选：AD ． 11．给定函数f(x)=2xx 2+1（ ） A ．f （x ）的图像关于原点对称 B ．f （x ）的值域是[﹣1，1] C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数 D ．f （x ）有三个零点解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，函数f(x)=2x x 2+1，其定义域为R ，有f （﹣x ）=−2xx 2+1=−f （x ），则函数f （x ）为奇函数，其图形关于原点对称，A 正确； 对于B ，f （x ）=2xx 2+1，由基本不等式x 2+1≥2|x |，则有|f （x ）|≤1，即f （x ）的值域是[﹣1，1]，B 正确；对于C ，f （1）＝1，f （2）=45，f （x ）在区间[1，+∞）上一定不是增函数，C 错误；对于D ，f （x ）=2xx 2+1=0，解可得x ＝0，函数f （x ）只有一个零点，D 错误； 故选：AB ．12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（ ）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）解：当 n ＝0时，即f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，∴y ＝f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∵偶函数f （x ） 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∴y ＝f （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，当x ＞0时，f(2x+1)x＞0，∴x ＞0时，有2x +1＞2，解得x ＞12，当x ＜0时，f(2x+1)x ＞0，得f （2x +1）＜0＝f （﹣2），∴0＞2x +1＞﹣2或0＜2x +1＜2，解得−32＜x ＜−12或−12＜x ＜0∴B 错误，A 正确； 令g （x ）=f(x)x 2024， 则g(x 1)−g(x 2)x 2−x 1=f(x 1)x 12024−f(x 2)x 22024x 1−x 2=x 22024f(x 1)−x 12024f(x 2)(x 1x 2)2024(x 1−x 2)＞0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵f （﹣x ）＝f （x ）， ∴g （﹣x ）=f(−x)(−x)2024=f(x)x 2024=g （x ）， 即g （x ）为偶函数，g （2）＝0， 由g （x ）=f(x)x 2024＞0可得|x |＞2，解得x ＞2或x ＜﹣2，C 正确，D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝ 2 ．解：原式＝2lg 5+23×3lg 2＝2lg 5+2lg 2＝2（lg 5+lg 2）＝2，故答案为：2．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝ ﹣x 3（答案不唯一） ． 解：令f （x ）＝﹣x 3，则f（x）定义域为（﹣∞，+∞），满足①；又f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足②；又f（x）＝﹣x3在（0，+∞）上是减函数，满足③，故答案为：﹣x3（答案不唯一）．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是5712元．解：专项扣除总额为：249600×（8%+2%+1%+9%）＝49920元，应纳税所得额为：249600﹣60000﹣52800﹣4560﹣49920＝82320元，个税税额为：82320×10%﹣2520＝5712元，故答案为：5712．16．（3分）已知函数f(x)=x+16x−10，x∈(0，+∞)，则f（x）的零点之和为10；若方程|f（x）|＝m（m＞0）有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝20．解：由题意可知，令f（x）＝x+16x−10＝0，即x2﹣10x+16＝0，解得x＝2或x＝8，故函数在（0，+∞）内的零点为2和8，所以f （x ）的零点之和为10．方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，即为y ＝|f （x ）|，x ∈（0，+∞）与y ＝m 的四个交点的横坐标，方程|f （x ）|＝m （m ＞0）即|x +16x−10|＝m ，x ∈（0，+∞），即|x 2﹣10x +16|＝mx ， 当f （x ）≥0即x 2﹣10x +16≥0时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝mx 即x 2﹣（10+m ）x +16＝0； 当x 2﹣10x +16＜0 时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝﹣mx 即x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0；故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，不妨设x 1，x 4为x 2﹣（10+m ）x +16＝0的两根，则x 1+x 4＝1＝10+m ，则x 2，x 3为x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0的两根，则x 2+x 3＝10﹣m ，则x 1+x 2+x 3+x 4＝10+m +10﹣m ＝20；故答案为：10；20．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值． （1）sinα−2cosα2sinα−cosα； （2）sin αcos α+2．解：tanα=13， （1）sinα−2cosα2sinα−cosα=tanα−22tanα−1=13−22×13−1=5； （2）sin αcos α+2=sinαcosαsin 2α+cos 2α+2=tanαtan 2α+1+2=13109+2=2310． 18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}．（1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝0时，B ＝{1，﹣3}，∵A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}＝{﹣6，1}，∴A ∪B ＝{﹣6，﹣3，1}，集合元素个数为3个，故A ∪B 的子集个数为23＝8．（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，Δ＝4（m +1）2﹣4（m 2﹣3）＝8m +16，当Δ＜0，即m ＜﹣2时，B ＝∅，符合题意，当Δ＝0，即m ＝﹣2时，B ＝{1}，符合题意，当Δ＞0，即m ＞﹣2时，若B ⊆A ，则B ＝{﹣6，1}，即{−2(m +1)=−5m 2−3=−6，方程组无解， 综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2． （1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．解：（1）函数f （x ）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）∪（2，+∞），函数的值域为（﹣∞，0）∪[14，+∞）函数f （x ）为偶函数， 函数f （x ）在区间[0，2），（2，+∞）上上为增函数，在区间（﹣∞，﹣2），（﹣2，0]上为减函数， 由方程f （x ）＝0无解，所以函数无零点；（2）由（1）中函数的性质，可得y ＝f （x ）的图象如图所示：20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．解：（1）f（﹣x）＝﹣x3﹣x+1，令f（﹣x）＝f（x），得x3+x＝0，解得x＝0，∴存在x＝0满足f（﹣x）＝f（x），故f（x）是“局部偶函数”；（2）由f（﹣x）＝f（x），得4x+4﹣x+（2m﹣1）（2x+2﹣x）+6＝0，令t＝2x+2﹣x（t＞2），得t2+（2m﹣1）t+4＝0，则1−2m=t+4t在t∈（2，+∞）上有解，∴1﹣2m＞4，即m＜−3 2，故m的取值范围为(−∞，−32 )．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．解：（1）令m＝n＝0，得f（0）＝f（0）f（0），又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（0）＝1．证明：∵f（0）＝f（﹣x+x）＝f（﹣x）f（x），∴f(−x)=1f(x)，∴φ(−x)=f(−x)−1f(−x)+1=1f(x)−11f(x)+1=1−f(x)1+f(x)=−φ(x)，∴φ（x）为奇函数．（2）证明：任取x1＜x2，x1，x2∈R，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1+x1）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1）f（x1）＝f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]．∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1，∴1﹣f（x2﹣x1）＜0．又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）为R上的增函数．由φ(x)=1517，即f(x)−1f(x)+1＞1517，化简得f（x）＞16．∵f（3）＝4，∴16＝f（3）f（3）＝f（6），∴f（x）＞f（6）．又f（x）为R上的增函数，∴x＞6，故φ(x)＞1517的解集为{x|x＞6}．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．解：（1）已知g（x）＝sin2x﹣cos x+a＝﹣cos2x﹣cos x+a+1，函数定义域为（π2，π），令g（x）＝0，可得cos2x+cos x＝a+1，不妨令t＝cos x，﹣1＜t＜0，所以−14≤cos2x+cos x＝t2+t＜0，当a+1≥0，即a≥﹣1时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1＜−14，即a＜−54时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1=−14，即a=−54时，方程t2+t＝a+1有且仅有一个解t=−12；当−14＜a+1＜0，即−54＜a＜﹣1时，方程t2+t＝a+1有两个解，分别为t1=−12+√a+54，t2=−12−√a+54，所以cos x=−12±√a+54各有一解，此时函数g（x）有两个零点，综上，要使函数g（x）有两个零点，此时实数a的取值范围为（−54，﹣1）；（2）证明：当f（x）有两个零点时，不妨令t1＝cos x1，t2＝cos x2，由（1）知t1，t2为t2+t＝a+1两解，则t1+t2＝﹣1，所以cos x1+cos x2＝﹣1，对等式两边同时平方得cos2x1+2cosx1cosx2+cos2x2=1，因为x1，x2∈(π2，π)，所以cos x1＜0，cos x2＜0，可得2cos x1cos x2＞0，所以cos2x1+cos2x2＜1，则cos2x1＜sin2x2=cos2(3π2−x2)，又π2＜x2＜π，所以π2＜3π2−x2＜π，此时cos(3π2−x2)＜0，所以cosx1＞cos(3π2−x2)，易知y＝cos x在(π2，π)上单调递减，则x1＜3π2−x2，故x1+x2＜3π2．。
2019-2020学年广东省中山市八年级(上)期末数学试卷含答案
2019-2020学年广东省中山市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题10题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个手机APP 图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）已知某细菌直径长的0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为（ ） A ．1.52×10﹣5米 B ．﹣1.52×105米 C ．152×105米D ．1.52×10﹣4米3．（3分）下列等式成立的是（ ） A ．x 2+x 3＝x 5 B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2C ．（x 2）3＝x 6D ．（﹣1）0＝﹣14．（3分）点A （2，﹣1）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，2）D ．（﹣2，1）5．（3分）若分式，则（ ） A ．x ≠0B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝0或x ＝26．（3分）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2+y 2 ＝（x +y ）2B ．x 4﹣y 4 ＝（x 2+y 2）（x 2﹣y 2）C ．﹣3a +12＝﹣3（a ﹣4）D ．a 2+7a ﹣8＝a （a +7）﹣87．（3分）一边长为3，另一边长为6的等腰三角形的周长是（ ） A ．12 B ．15 C ．12或15D ．98．（3分）已知，则的值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．D ．﹣ 9．（3分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，AB ＝6cm ，DE ＝4cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AC 的长为（ ）A ．10cmB ．9cmC ．4.5cmD ．3cm10．（3分）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，CD 、CE 分别是△ABC 的高和中线，下列说法错误的是（ ）A ．AD ＝AB B ．S △CEB ＝S △ACEC ．AC 、BC 的垂直平分线都经过ED ．图中只有一个等腰三角形二、填空题（本大题7题，每小题4分，共28分） 11．（4分）（﹣2a 2）3÷a 2＝ ．12．（4分）如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠A ＝68°，∠B ＝65°，则∠ACD ＝ ．13．（4分）如图，BC ＝EF ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件，使得△ABC ≌△DEF ， ．（只需填一个答案即可）14．（4分）方程的解x ＝ ．15．（4分）已知ab＝﹣3，a+b＝5，则10+a2b+ab2＝ ．16．（4分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．17．（4分）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内任意一点，且OP＝7，点E和点F分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PEF周长的最小值是 ．三、解答题（一）（本大题3题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：（2x﹣1）2﹣x（4x﹣1）19．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．20．（6分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝23°，∠BCA＝125°．（1）尺规作图：作AC的垂直平分线，交BC的延长线于点D；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AD，求∠BAD的度数．四、解答题（二）（本大题3题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图，已知△ABC≌△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的中线，求证：BG＝EH．22．（8分）如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．23．（8分）某商家用1000元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1600元购进第二批多肉盆栽，且数量是第一批的1.2倍，已知第一批盆栽的单价比第二批的单价少3元，问这两批多肉盆栽的单价各是多少元？五、解答题（三）（本大题2题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，CF平分∠ACB交AD于点F，连接CE．求证：（1）点D是EF的中点；（2）△CEF是等腰三角形．25．（10分）已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小；（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB ＝9，求BG的长．2019-2020学年广东省中山市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：某细菌直径长的0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为1.52×10﹣5米．故选：A．3．【分析】根据幂的乘方与积的乘方，完全平方公式的应用，以及零指数幂的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵x2+x3≠x5，∴选项A不符合题意；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴选项B不符合题意；∵（x2）3＝x6，∴选项C符合题意；∵（﹣1）0＝1，∴选项D不符合题意．故选：C．4．【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：A（2，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），故选：B．5．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．【解答】解：分式，则x＝0．故选：C．6．【分析】根据十字相乘法，提公因式法，以及公式法在因式分解中的应用，逐项判断即可．【解答】解：∵x2+y2 ≠（x+y）2，∴选项A不符合题意；∵x4﹣y4 ＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），∴选项B不符合题意；∵﹣3a+12＝﹣3（a﹣4），∴选项C符合题意；∵a2+7a﹣8＝（a+8）（a﹣1），∴选项D不符合题意．故选：C．7．【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3＝6∴不能构成三角形，故舍去．∴这个等腰三角形的周长为15．故选：B．8．【分析】根据已知条件可得＝6，进而可得m﹣n＝﹣6mn，然后再代入可得答案．【解答】解：∵，∴＝6，n﹣m＝6mn，∴m﹣n＝﹣6mn，∴＝＝﹣，故选：D．9．【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝4，∵AB＝6，∴S△ABC＝×6×4+AC×4＝30，解得AC＝9；故选：B．10．【分析】根据等腰三角形的判定和性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴AC＝，AD＝AC，∴AD＝AB；故A正确；∵CE是△ABC的中线，∴S△BCE＝S△ACE，故B正确，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴AC、BC的垂直平分线都经过E，故C正确；∴△ACE和△BCE是等腰三角形，故D错误；故选：D．二、填空题（本大题7题，每小题4分，共28分）11．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣8a6÷a2＝﹣8a4．故答案为：﹣8a4．12．【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝68°+65°＝133°，故答案为：133°．13．【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BC＝EF，∴添加AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠DEF即可证明△ABC≌△DEF，故答案为AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠DEF．14．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣2x﹣x2+4＝3x+6，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解，故答案为：﹣15．【分析】直接提取公因式ab，将原式变形进而求出答案．【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝5，∴10+a2b+ab2＝10+ab（b+a）＝10﹣3×5＝﹣5．故答案为：﹣5．16．【分析】方程两边同乘以x﹣1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．【解答】解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，∵分式方程的解为正数，∴x＝m﹣2＞0且x﹣1≠0，即m﹣2＞0且m﹣2﹣1≠0，∴m＞2且m≠3，故答案为m＞2且m≠3．17．【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点F、E在CD上时，△PEF的周长最小．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，连接OP、OC、OD、PE、PF．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝5cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝7cm．∴△PEF的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD＝7．故答案为7．18．【分析】根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算即可．【解答】解：（2x﹣1）2﹣x（4x﹣1）＝4x2﹣4x+1﹣4x2+x＝﹣3x+1．19．【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再把a的值代入即可．【解答】解：原式＝（﹣），＝，＝•，＝﹣，当a＝﹣1时，原式＝﹣2．20．【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出AC的垂直平分线，进而得出答案；（2）利用线段垂直平分线的性质得出AD＝DC，进而得出∠ACD＝∠CAD＝55°，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：D点即为所求；（2）∵∠BCA＝125°，∴∠ACD＝55°，∵ED垂直平分线AC，∴DC＝AD，∴∠ACD＝∠CAD＝55°，∵∠BAC＝23°，∴∠BAD＝23°+55°＝78°．21．【分析】根据全等三角形的性质得到BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F，证明△BCG≌△EFH，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】证明：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F，∵BG、EH分别是△ABC和△DEF的中线，∴CG＝AC，FH＝DF，∴CG＝FH，在△BCG和△EFH中，，∴△BCG≌△EFH（SAS）∴BG＝EH．22．【分析】（1）要证明BD平分∠ABC，只要证明∠DBC＝∠ABE即可，根据题目中的条件和三角形外角和内角的关系，可以证明∠DBC＝∠ABE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得∠C的度数．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∴∠EAB＝∠DBC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABE，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，∴∠BAC＝3x，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠C，∴∠C＝3x，∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，∴4x+3x+3x＝180°，解得，x＝18°，∴∠C＝3x＝54°，即∠C的度数是54°．23．【分析】首先设第一批单价为x元，则第二批单价为（x+3）元，根据题意可得等量关系：进一批的数量×1.2＝第二批的数量，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设第一批单价为x元，则第二批单价为（x+3）元，由题意得：×1.2＝，解得：x＝9，经检验：x＝9是分式方程的解，x+3＝9+3＝12，答：第一批单价为9元，则第二批单价为12元．五、解答题（三）（本大题2题，每小题10分，共20分）24．【分析】（1）根据ASA证明△CDF≌△BDE，即可得出DF＝DE；（2）由（1）中的全等得：CF＝BE，判定△ACF≌△CBE，得到∠CAF＝∠BCE，根据三角形外角的性质和等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠CBE＝45°，∵CF平分∠ACB，∴∠DCF＝45°＝∠CBE，在△CDF和△BDE中，∵，∴△CDF≌△BDE（ASA），∴DF＝DE，∴点D是EF的中点；（2）由（1）知△CDF≌△BDE，∴CF＝BE，在△ACF和△CBE中，∵，∴△ACF≌△CBE（SAS），∴∠CAF＝∠BCE，∵∠CFE＝∠CAF+∠ACF，∠ECF＝∠BCF+∠BCE，∠ACF＝∠BCF，∴∠CFE＝∠ECF，∴EC＝EF，∴△CEF是等腰三角形．25．【分析】（1）利用平行线的性质得出∠ADE＝60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE ＝∠EDF＝60°，进而得出∠BDF＝60°，即可得出结论；（2）由折叠的性质得出∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，得出∠ADC＝120°，由等腰三角形的性质得出∠FEC＝∠FCE，设∠FEC＝∠FCE＝x，由三角形的外角性质得出∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；（3）同（1）得出△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，得出BG＝BD，由折叠的性质得出AD＝FD，由直角三角形的性质得出FD＝2BD，得出AD＝2BD，由已知得出2BD+BD＝9，求出BD＝3，即可得出BG＝BD＝3．【解答】（1）证明：如图1，∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠BDF＝60°，∴∠DFB＝60°＝∠B＝∠BDF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，∴∠ADC＝120°，∵CF＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，设∠FEC＝∠FCE＝x，则∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即2x+x+120°＝180°，解得：x＝20°，∴∠A＝2x＝40°；（3）解：同（1）得：∠BDF＝60°，△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，∴BG＝BD，由折叠的性质得：AD＝FD，∵BF⊥AB，∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，∴FD＝2BD，∴AD＝2BD，∵AD+BD＝AB，∴2BD+BD＝9，∴BD＝3，∴BG＝BD＝3．。
2023-2024学年广东省中山市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.“明天连云港会下雨”，这个事件是( )A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件3.抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是( )A. (2,5)B. (−2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)4.平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP=7cm，则点P( )A. 在⊙O外B. 在⊙O上C. 在⊙O内D. 不能确定5.在一个不透明的布袋中装有10个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 7个6.据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人.设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为( )A. 12.1(1+2x)=14.4B. 12.1(1+x)2=14.4C. 14.4(1−x)2=12.1D. 12.1+12.1x+12.1(1+x)2=14.47.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°8.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠ACD=51°，则∠BAC的度数为( )A. 39°B. 49°C. 51°D. 29°9.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2−2b，例如：5※1=52−2×1=23.若x※x=−1，则x的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 1或−110.如表是一组二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y−0.36−0.010.360.75 1.16那么下列选项中可能是方程ax2+bx+c=0的近似根的是( )A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
广东省中山市部分学校2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省中山市部分学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四组线段，能构成直角三角形的是( )A. 1，1，2B. 3，2，5C. 5，6，7D. 6，8，102. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )C. 0.3D. 7A. 12B. 233. 下列计算正确的是( )A. 2+3=5B. 43―33=1C. 14×7=72D. 24=834. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是( )A. B. C. D.5. 如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E为AD边中点，连接BE，CE，则∠BEC=( )A. 45°B. 60°C. 90°D. 100°6. 将一元二次方程x2―8x―5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )A. ―4，21B. ―4，11C. 4，21D. ―8，697. 在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为( )A. 60°B. 70°C. 80°D. 110°8. 估计1×(30+23)的值应在( )3A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间9. 若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是( )A. a>0B. b<0C. a+b>0D. a―b<010. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=3.5cm，BC=5cm，AE平分∠BAD，CF//AE，则AF的长度是( )A. 1.5cmB. 2.5cmC. 3.5cmD. 0.5cm二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 把直线y=3x的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为______．12. 甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差为0.06，哪个样本的数据波动大？答：______．13. 已知点(―2,y1)，(8,y2)均在一次函数y=3x+m的图象上则y1______y2(填“>”“<”或“=”)．14. 如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD=2米，则BE=______米．15. 如图，一次函数y=kx+b的图象经过A(1,2)，B(0,1)两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。
2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(有答案和解析)
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列图形是我们日常生活中经常看到的一些标志，则其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（）A．1B．﹣2C．﹣1D．23．下列事件中是必然事件的是（）A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次B．任意一个六边形的外角和等于720°C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日4．如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4cm，EM＝6cm，则⊙O的半径为（）A．5B．3C．D．45．抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，2）D．（﹣2，﹣2）6．已知方程x2+2018x﹣3＝0的两根分别为α和β，则代数式α2+αβ+2018α的值为（）A．1B．0C．2018D．﹣20187．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（）A．30°B．25°C．15°D．10°8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．30°9．已知a、b是等腰三角形的两边，且a、b满足a2+b2+29＝10a+4b，则△ABC的周长为（）A．14B．12C．9或12D．10或1410．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴为直线l，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c ＞0；③a+c＞0；④a+b＞0，正确的是（）A．①②④B．②④C．①③D．①④二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是．12．抛物线y＝x2的对称轴是直线．13．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．14．小明和他的哥哥、姐姐共3人站成一排，小明与哥哥相邻的概率是．15．圣诞节，小红用一张半径为24cm，圆心角为120°的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的高为cm．16．已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是．17．某校规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽度的三条小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是．18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表，则在实数范围内能使得y﹣1＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：（7个小题，共78分）19．（8分）解方程（1）x2﹣2x﹣48＝0．（2）2x2﹣4x＝﹣1．20．（10分）将抛物线y1＝2x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线y2．（1）直接写出平移后的抛物线y2的解析式；（2）求出y2与x轴的交点坐标；（3）当y2＜0时，写出x的取值范围．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；（3）求△A2B2C1的面积．22．（12分）传统节日“元宵节”时，小丽的妈妈为小丽盛了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅，一个汤圆是黑芝麻馅，两个汤圆草莓馅，这4个汤圆除了内部馅料不同外，其他均相同．（1）若小丽随意吃一个汤圆，刚好吃到黑芝麻馅的概率是多少？（2）小丽喜欢草莓馅的汤圆，妈妈在盛了4个汤圆后，又为小丽多盛了2个草莓馅的汤圆，若小丽吃2个汤圆，都是草莓馅的概率是多少？23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，E为BC 的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径．24．（12分）一年一度的“春节”即将到来，某超市购进一批价格为每千克3元的桔子，根据市场预测，该种桔子每千克售价4元时，每天能售出500千克，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10千克，物价部门规定，该种桔子的售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给这种桔子定价，使得超市每天销售这种桔子的利润为800元．25．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件；D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】如图，连接OC．设⊙O的半径为r．首先证明EN经过圆心O，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．设⊙O的半径为r．∵CM＝DM＝2cm，EM⊥CD，∵EM经过圆心O，在Rt△COM中，∵OC2＝OM2+CM2，∴r2＝22+（6﹣r）2，∴r＝，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．【分析】已知抛物线的一般式，利用配方法转化为顶点式，直接写成顶点坐标．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，∴抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标为（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；此题还考查了配方法求顶点式．6．【分析】由根与系数的关系得到α+β＝﹣2018，将其代入整理后的代数式求值．【解答】解：依题意得：αβ＝﹣3，α+β＝﹣2018，α2+2018α﹣3＝0，所以α2+αβ+2018α＝α（α+β）+2018α＝﹣2018α+2018α＝0．故选：B．【点评】考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的巧妙之处在于将所求的代数式转化为α（α+β）+2018α的形式，然后代入求值．7．【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝70°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠BAB′＝40°，然后计算∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′即可．【解答】解：∵C′C∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAB′＝40°，∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．8．【分析】在四边形OBCD中，利用四边形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°，∠BOD＝2∠A＝160°，∴∠ODC＝360°﹣160°﹣60°﹣100°＝40°，故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．【分析】利用配方法分别求出a、b，根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．【解答】解：a2+b2+29＝10a+4b，a2﹣10a+25+b2﹣4b+4＝0，（a﹣5）2+（b﹣2）2＝0，a﹣5＝0，b﹣2＝0，解得，a＝5，b＝2，∵2、2、5不能组成三角形，∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12，故选：B．【点评】本题考查的是配方法、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握配方法、完全平方公式是解题的关键．10．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线的对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．所以abc＞0．故正确；②如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故错误；③由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以a+a+c+c＜0．所以2a+2c＜0．所以a+c＜0．故错误；④由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以4a+2b+b﹣a＞0，所以3a+3b＞0．所以a+b＞0．故正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12．【分析】直接利用y＝ax2图象的性质得出其对称轴．【解答】解：抛物线y＝x2的对称轴是直线y轴或（x＝0）．故答案为：y轴或（x＝0）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．13．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：1或2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．14．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．【解答】解：设小明为A，哥哥为B，姐姐为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），∴他的哥哥相邻的概率是＝，故答案为：．【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是16π，列出方程求解即可求得半径，然后利用勾股定理求得高即可．【解答】解：半径为24cm、圆心角为120°的扇形弧长是：＝16π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝16π，解得：r＝8cm．所以帽子的高为＝16故答案为：16．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．16．【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．【解答】解：依题意得：△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．解得m≥﹣．故答案是：m≥﹣．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17．【分析】设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪部分的总面积为112m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，依题意，得：（16﹣x）（9﹣2x）＝112．整理，得：2x2﹣41x+32＝0．故答案为：2x2﹣41x+32＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y＝1的自变量x 的值即可．【解答】解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∵x＝﹣1时，y＝1，∴x＝3时，y＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，∴y﹣1＞0成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3，故答案为：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．三、解答题：（7个小题，共78分）19．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（2）直接利用配方法将原式变形，进而解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣48＝0（x+6）（x﹣8）＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝8；（2）2x2﹣4x＝﹣1（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题主要考查了十字相乘法、配方法解方程，正确分解因式是解题关键．20．【分析】（1）利用点平移规律写出平移后的顶点坐标为（3，﹣2），然后利用顶点式写出抛物线y2的解析式；（2）通过解方程2（x﹣3）2﹣2＝0得y2与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象写出抛物线在x轴上方对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）平移后的抛物线y2的解析式为y2＝2（x﹣3）2﹣2；（2）当y2＝0时，2（x﹣3）2﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝4，所以y2与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）；（3）当2＜x＜4时，y2＜0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）由点A及其对应点A1的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得；（2）由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，其中A2的坐标为（﹣1，1）、B2的坐标为（1，﹣1）；（3）△A2B2C1的面积为2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）所有等可能结果中，满足吃一个汤圆，吃到黑芝麻馅的结果只有1种，∴吃到黑芝麻馅的概率为；（2）列表如下：由表知，共有30种等可能结果，2个都是草莓馅的结果有12种，所以都是草莓馅的概率是．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE＝∠DCE，由∠ODC＝∠OCD且∠OCD+∠DCE＝90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2可得r＝3，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OD、CD，∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠CDE＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF＝90°，∴OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键．24．【分析】设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的200%即可确定x的值，此题得解．【解答】解：设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，依题意，得：（x﹣3）（500﹣10×）＝800，整理，得：x2﹣12x+35＝0，解得：x1＝5，x2＝7．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x＝5．答：每千克桔子的定价为5元时，每天的利润为800元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）【点评】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．。
广东省广州市越秀区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可，轴对称图形：沿某一直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形：将一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合的图形叫做中心对称图形；【详解】A 、此图形既是中心对称图形，也是轴对称图形故此选项正确；B 、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形故此选项不正确；C 、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形故此选项不正确；D 、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形故此选项不正确；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确理解它们的概念是解题的关键；2. 用配方法解一元二次方程2450x x --=，此方程可变形为（ ）A. ()229x -=B. ()229x +=C. ()221x +=D. ()221x -= 【答案】A【解析】【分析】先把常数项移到等式右边，再两边同时加上4，等式左边可以凑成完全平方的形式．【详解】解：2450x x --=24454x x -+=+ ()229x -=．故选：A ．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是掌握配方法的方法．3. 若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A. y=5（x ﹣2）2+1B. y=5（x+2）2+1C. y=5（x ﹣2）2﹣1D. y=5（x+2）2﹣1【答案】A【解析】 试题解析：将抛物线25y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式是()252 1.y x =-+故选A . 点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.4. 已知A 1122(,)(,)x y B x y 、为二次函数()21y x k =--+图象上两点，且1x <2x <1，则下列说法正确的是（ ） A. 120y y +> B. 120y y +< C. 12 0y y -> D. 12 0y y -<【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大，从而得到因变量的大小关系．【详解】解：二次函数()21y x k =--+的对称轴是直线1x =，且开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大，∵1x <2x <1，∴12y y <，即120y y -<．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质．5. 下列事件为必然事件的是（ ）A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 弦是直径C. 等边三角形的中心角是120︒D. 位似的两个三角形的对应边互相平行【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的定义判断出正确选项．【详解】A是随机事件，抛一枚硬币不一定正面朝上；B是随机事件，弦不一定是直径；C是必然事件；D是随机事件，位似三角形的对应边也可能重合．故选：C．【点睛】本题考查必然事件的定义，解题的关键是掌握必然事件的定义．6. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5【答案】B【解析】【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AC BD CE DF=，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF =，解得：DF=92，∴937.52BF BD DF=+=+=．故选B．考点：平行线分线段成比例．7. 如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则DEFBCFSS=（）A.25B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】根据中位线定理得到//DE BC和12DE BC=，再利用DEF CBF△△的性质得到它们的面积比．【详解】解：∵CD，BE分别是边AB，AC上的中线，∴//DE BC，12DE BC=，∴DEF CBF△△，∴214DEFBCFS DES CB⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．8. 如图，AB、AC为O的两条切线，50BAC∠=︒，点D是BC上一点，则BDC∠的大小是（）A. 100︒B. 110︒C. 115︒D. 125︒【答案】C【解析】【分析】连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，首先求出∠BOC，再根据∠BD′C=12∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°，即可解决问题．【详解】解：连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，如图，∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠BD′C=12∠BOC=65°，∴∠BDC=180°-65°=115°，故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸【答案】C【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.详解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题10. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到BC D'△，BC'与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（）A. 165B.125C. 3D. 2【答案】A 【解析】分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝10255-或AB＝1055+，则BC＝20455+，然后计算m的值．【详解】∵x1、x2是关于x的方程x2−4x＋m＝0的两个实根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝m，即AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E，∴∠CBD ＝∠EBD ，∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠EDB ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ＝3，在Rt △ABE 中，AE ＝AD−DE ＝BC −3＝8−2AB−3＝5−2AB ，∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB 或AB （舍去），∴BC ＝8−2AB ，∴m ＝12×105-×205+＝165． 故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 关于x 的方程()21210m x mx +++=是一元二次方程，则m 的取值范围是_____． 【答案】1m ≠-【解析】【分析】根据定义，一元二次方程的二次项系数不能是0，求出m 的取值范围．【详解】解：∵方程()21210m x mx +++=是一元二次方程， ∴10m +≠，即1m ≠-．故答案是：1m ≠-．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．12. 在平面直角坐标系中，有两点A （1，2），B （3，1），以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的3倍，得到OA B ''△，则点A 的对应点A '的坐标是_______．【答案】()3,6或()3,6--【解析】根据位似图形的定义，以原点O 为位似中心，将原三角形放大3倍，则对应点坐标也变为原来的3倍．【详解】解：以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的3倍，则点A 的横纵坐标都变为原来的3倍，对应的点A '()3,6或()3,6--．故答案是：()3,6或()3,6--．【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的定义．13. 一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m 与n 的关系是________．【答案】m +n ＝10．【解析】【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．【详解】∵一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， ∴m 与n 的关系是：m +n ＝10．故答案为m +n ＝10．【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．14. 若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的母线长是________．【答案】6【解析】【分析】先根据圆锥的底面半径求出底面圆周长，也就是侧面图扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径，也就是圆锥的母线．【详解】解：∵圆锥的底面半径是2，∴底面圆周长是4π，即展开后的扇形弧长是4π， 根据弧长公式：180n r l =︒π， 得1204180r ππ︒=︒，解得6r =，即该圆锥的母线长是6． 故答案是：6．【点睛】本题考查扇形和圆锥的有关计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式，以及圆锥和侧面展开的扇15. 如图，已知点B （3，3）、C （0，6）是抛物线24y ax x c =-+ (0a ≠)上两点，A 是抛物线的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA+PB 最小时，P 点的坐标是_____．【答案】(2.4，0)【解析】【分析】根据点B （3，3）、C （0，6）是抛物线24y ax x c =-+（a≠0）上两点，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得顶点A 的坐标，然后即可得到点A 关于x 轴的对称点的坐标，则点A 关于x 轴的对称点的坐标与点B 所连直线与x 轴的交点即为所求的点P 的坐标．【详解】解：∵点B (3，3)、C (0，6)是抛物线24y ax x c =-+ (a ≠0)上两点， ∴91236a c c -+=⎧⎨=⎩，得16a c =⎧⎨=⎩ ， ∴抛物线解析式为2246(22)y x x x =-+=-+，∴点A 的坐标为(2,2)，点A 关于x 轴的对称点的坐标为(2,−2)，则点(2,−2)与点B (3,3)所连直线与x 轴的交点即为所求的点P ，此时P A +PB 最小，设过点(2,−2)与点B (3,3)的直线解析式为y =kx +b ， 2233k b k b +=-⎧⎨+=⎩，得512k b =⎧⎨=-⎩ ， 即过点(2，−2)与点B (3，3)的直线解析式为y =5x −12，当y =0时，0=5x −12，得x =2.4，∴点P 的坐标为(2.4,0)，故答案为：(2.4，0)．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征、对称轴最短路径问题，解本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．16. 如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．【答案】16【解析】【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8，∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADC S S +=，∴=16ABC ADC ABCD S S S +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．三、解答题（本大题共9题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解方程：22320x x --= 【答案】12x =，212x =- 【解析】 【分析】利用公式法求出24b ac =-△，继而求一元二次方程的解； 【详解】∵2a =，3b =-，2c =-， ∴()()224342225b ac -=--⨯⨯-=，∴32522x ±=⨯，∴12x =，212x =-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，公式法：先求出24b ac =-△，继而用b x -±=△求出解即可，是基础性考点；18. 在平面直角坐标系中， OAB △的位置如图所示，且点A （-3，4），B （2，1），将 OAB △绕点O 顺时针旋转90︒后得到 OA B ''△． （1）在图中画出 OA B ''△；（2）求点A 在旋转过程中所走过的路线长．【答案】（1）见解析；（2）52π【解析】 【分析】（1）将点A 绕着点O 顺时针旋转90︒得到点A '，用同样的方法得到点B '，就可以画出OA B ''△； （2）先算出AO 的长度，再利用弧长公式求出路线长． 【详解】解：（1）如图所示：（2）22345AO =+=，90551802l ππ︒⨯==︒．【点睛】本题考查图形的旋转和弧长公式，解题的关键是掌握画旋转图形的方法和弧长公式的运用． 19. 已知抛物线2y x 2x 3=-++． （1）该抛物线的对称轴是_____；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象：x…………y …… ……（3）根据函数的图象，直接写出不等式2230x x -++>的解．【答案】（1）1x =；（2）见解析；（2）13x【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求出抛物线的对称轴； （2）利用5点作图法列出表格并画出图象；（3）不等式的解表示：函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，根据图象得出解集． 【详解】解：（1）2122bx a ， 对称轴是直线1x =， 故答案是：1x =；（2）令1x =-，则1230y =--+=， 令0x =，则3y =，令1x =，则1234y =-++=， 令2x =，则4433y =-++=， 令3x =，则9630y =-++=，x …… -1 0 1 2 3 …… y……343……图象如图所示：（3）不等式2230x x -++>的解表示：函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围， 根据图象得不等式的解是：13x．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象的画法，以及利用函数图象去解不等式．20. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，ADE 60∠=︒． （1）求证：BAD CDE ∠=∠；（2）若BD=4，CE=2，求△ABC 的边长．【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到60B ADE ∠=∠=︒，再根据外角和定理证明结论； （2）根据（1）的结论证明ABD DCE △△，利用相似三角形对应边成比例列式求出CD 的长，就可以得到三角形ABC 的边长．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形， ∴60B ∠=︒， ∵60ADE ∠=︒， ∴B ADE ∠=∠，∵BAD B ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠， ∴BAD CDE ∠=∠；（2）∵BAD CDE ∠=∠，60B C ∠=∠=︒， ∴ABD DCE △△，∴AB BDDC CE=， 设DC x =，则4AB BC x ==+， ∴442x x +=，解得4x =， ∴448BC =+=，即△ABC 的边长是8．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． 21. 有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字-1，0，1，2；B 布袋中有二个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1．小明先从A 布袋中随机取出一个小球，用m 表示取出的球上标有的数字 ，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字． （1）若用（m n ，）表示小明取球时m n 与的对应值，请用树状图或列表法表示()m n ，的所有取值； （2）求关于x 的一元二次方程2102x mx n -+=有实数根的概率． 【答案】（1）见解析；（2）58【解析】 【分析】（1）用列表的方法或树状图去表示所有可能性；（2）利用根的判别式算出m 和n 的关系式，找到符合条件的组合． 【详解】解：（1）如图：（2）要使一元二次方程202x mx n -+=有实数根，则0∆≥，即220m n -≥， 满足条件的组合有：()1,0-，()0,0，()1,0，()2,0，()2,1，∴概率是58．【点睛】本题考查概率求解，解题的关键是掌握通过画树状图或列表求解概率的方法．22. 有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．在甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元，依此类推，即每多买一台，则所买各台单价均再减20元；乙公司一律按原售价75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买4台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若该单位计划购买m台图形计算器，经过对比发现，在两家公司购买相差480元，试求m的值．【答案】（1）去乙公司购买花费少；（2）4或6或12【解析】【分析】（1）把数量4分别代入甲乙两家公司的计算即可求出到哪家公司购买花费较少；（2）把数量m分别代入甲乙两家公司计算，费用用含m表示，然后讨论①当去甲公司花费比乙公司多480元时；②当去甲公司花费比乙公司少480元时，分别列等式求出m的值即可．【详解】（1）去甲公司购买花费：（800-4×20）×4=2880（元），去乙公司购买花费：800×4×75%=2400（元），∵2880>2400，∴去乙公司购买花费少（2）去甲公司购买花费：m(800-20m)=800m-20m2，去乙公司购买花费：800×75%m=600m，∴在两家公司购买相差480元，∴当去甲公司花费较多时，800m-20m2=600m+480 整理得：m2-10m+24=0 解得：m1=4，m2=6 当去甲公司花费较少时，800m-20m2=600m-480 整理得：m2-10m-24=0，解得：m1=12，m2=-2（舍去）综上m的值为4或6或12．【点睛】本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费=单价×数量这一等量关系，注意分情况讨论“两家公司购买相差480元”是解答此题的易漏点 ． 23. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．（1）动手操作：利用尺规作以BC 为直径的圆O ，并标出圆O 与AB 的交点D ，与AC 的交点E ，连接DE （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的圆中， ①求证：DE//BC ； ②求线段DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4225DE = 【解析】 【分析】（1）作BC 的垂直平分线得到BC 的中点O ，以O 为圆心，BO 的长为半径画圆，得到圆O ； （2）①根据等腰三角形的性质即可证明结论；②根据三角形的面积和勾股定理即可求出线段DE 的长． 【详解】解：（1）如图所示：（2）①在ABC 中，AB AC =， ∴A ABC CB =∠∠， ∴DEC EDB =， ∴EC DB =，∴DEB CBE ∠=∠， ∴//DE BC ； ②∵//DE BC ， ∴ADE ABC ，∴AE DEAC BC=， ∵5AB AC ==，6BC =， ∴3OB OC OE ===， ∴4AO =， 连接BE ， ∵BC 是O 的直径，∴90BEC ∠=︒， ∴1122ABCSBC AO AC BE =⋅=⋅， ∴245BE =， 在Rt AEB 中，根据勾股定理，得222AE EB AB +=，即2222455AE ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得75AE =， ∴7556DE =，解得4225DE =．【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些几何性质进行证明求解．24. 如图，抛物线y =ax 2+(4a ﹣1)x ﹣4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC =2OB ，点D 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，过点D 作矩形DEFH ，点H 、F 在抛物线上，点E 在x 轴上． （1）求抛物线解析式；（2）当矩形DEFH 的周长最大时，求矩形DEFH 的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH 不动，将抛物线沿着x 轴向左平移m 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ．若MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，求m 的值．【答案】（1）y=12x2+x﹣4；（2）10；（3）m的值为52．【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，由OC＝2OB，可推出点B坐标，将点B坐标代入y＝ax2＋（4a﹣1）x﹣4可求出a的值，即可写出抛物线的解析式；（2）设点D坐标为（x，0），用含x的代数式表示出矩形DEFH的周长，用函数的思想求出取其最大值时x 的值，即求出点D的坐标，进一步可求出矩形DEFH的面积；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，依次求出直线BH，MN的解析式，再求出点M的坐标，即可得出m的值．【详解】解：（1）在抛物线y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C(0，﹣4)，∴OC＝4．∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B(2，0)，将B(2，0)代入y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4，得：a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x﹣4；（2）设点D坐标为(x，0)．∵四边形DEFH为矩形，∴H(x，12x2＋x﹣4)．∵y＝12x2＋x﹣4＝12(x＋1)2﹣92，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，∴点H到对称轴的距离为x＋1，由对称性可知DE＝FH＝2x＋2，∴矩形DEFH的周长C＝2(2x＋2)＋2(﹣1 2 x2﹣x＋4)＝﹣x2＋2x＋12＝﹣(x﹣1)2＋13，∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，∴此时H(1，﹣52)，∴HF＝2x＋2＝4，DH＝52，∴S矩形DEFH＝HF•DH＝4×52＝10；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H(1，﹣52)，∴G(﹣1，﹣54)，设直线BH的解析式为y＝kx＋b，将点B(2，0)，H(1，﹣52)代入，得：2052k bk b+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：525kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BH的解析式为y＝52x﹣5，∴可设直线MN解析式为y＝52x＋n，将点(﹣1，﹣54)代入，得n＝54，∴直线MN的解析式为y＝52x＋54，当y＝0时，x＝﹣12，∴M(﹣12，0)．∵B(2，0)，∴将抛物线沿着x轴向左平移52个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，∴m的值为52．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值，平移规律等，解题关键是知道过矩形对角线交点的直线可将矩形的面积分成相等的两半．25. 如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C 作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，AFAE是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠ADC＝120°；（2）EF＝1919，（3）有最大值，最大值为：1392【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CB，进而即可得到答案；（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，由在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，得A 3DH＝12，结合勾股定理得AE＝192，易证△AEH∽△CEF，得EH AEEF EC，进而即可求解；（3）作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．易得P A的值最大时，AFAE的值最大，P A的值最大＝AN的长，根据勾股定理和三角函数的定义得DN12-，从而得AN＝AD+DN＝132+，进而即可得到答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CB，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°．（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，如图1，∵在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，∴AH＝AD•sin60DH＝AD•cos60°＝12，∵DE＝EC＝32，∴EH＝DH+DE＝2，∴AE2==，∵CF⊥AF，∴∠F＝∠H＝90°，∵∠AEH＝∠CEF，∴△AEH∽△CEF，∴EH AEEF=，∴2232EF=，∴EF＝19．（3）如图2中，作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．∵DE∥PF，∴AF AP AE AD=，∵AD是定值，∴P A的值最大时，AFAE的值最大，观察图形可知，当点F与点M重合时，P A的值最大，最大值＝AN的长，由（2）可知，AHCH＝72，∠H＝90°，∴AC==∴OM＝12AC，∵OK∥AH，AO＝OC，∴KH＝KC，∴OK＝12 AH∴MK＝NQ＝2﹣4，在Rt△NDQ中，DN＝1 sin6022NQ==-︒，∴AN＝AD+DN＝132+，∴AFAE的最大值＝ANAD＝12【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质定理，圆的性质，添加辅助线，构造圆与相似三角形，是解题的关键．。